题型4 课时1 圆与直角三角形-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“圆性质的综合题”核心考点，对接中考3分选择与12分解答题的考查要求，分析近三年考点权重，归纳证明线段关系、求角度、线段长及最值等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件以“一题多解+变式训练”为特色，融入2023台州中考、2025杭州模拟等真题，通过“定条件-定目标-找性质”五步法培养推理能力与模型意识，如解析直径所对圆周角与切线性质综合题，帮助学生掌握相似、勾股等解题技巧，助力教师高效组织中考冲刺复习教学。

《二轮重难题型培优》 数学 题型四　圆性质的综合题 (2025.16，3分、2024.24，12分) 课时一　圆与直角三角形 深研浙江统考方向 圆性质的综合问题解题思路 1.定条件：找出题干中圆的关键信息(如直径、切线、弧、圆内接等相关信息)； 2.定目标：明确所求(如线段长度、角度、证明线段数量关系等)，反向推导需要什么条件； 3.找性质：根据条件匹配圆的核心性质(如直径→圆周角定理，切线→切线垂直于过切点的半径)； 4.找关系：将圆的性质与其他几何知识关联(圆周角相等→相似三角形，垂径定理→勾股定理列方程)； 5.找辅助线：若现有条件无法关联，通过辅助线补全图形(如连半径、作弦心距等). 深研浙江统考方向 序号 定性/定量 等价条件 ① 定量 AC为☉O的切线 ② 定量 △ACB为等腰直角三角形 ③ 定性 ∠CDB＝90°，关联①②：AD＝DB ④ 定量 △CEO∽△ACO 定性/定量分析图形基本结构 【一题多解】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°①，AC＝BC②，以CB为直径的☉O交AB于点D③，连接AO，过点C作CE⊥AO④，垂足为E，连接BE，DE. 求证：AE·CE＝BE2. 例题图 深研浙江统考方向 逆向分析 　　由结论出发，易知需要借助相似三角形完成证明.其中，相似三角形需要包含AE，CE，BE或者与之存在关联的线段.结合图形结构，可以猜想到将上述问题转化为求证△BCE∽△ABE. 【一题多解】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°①，AC＝BC②，以CB为直径的☉O交AB于点D③，连接AO，过点C作CE⊥AO④，垂足为E，连接BE，DE. 求证：AE·CE＝BE2. 例题图 深研浙江统考方向 【一题多解】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°①，AC＝BC②，以CB为直径的☉O交AB于点D③，连接AO，过点C作CE⊥AO④，垂足为E，连接BE，DE. 求证：AE·CE＝BE2. 例题图 证明：如图，过点B作AE的垂线，交AE的延长线于点F. 由CE⊥AO，CO＝BO，AC＝BC可知，△COE≌△BOF，， ∴OE＝OF，CE＝BF. 深研浙江统考方向 ∵∠ACB＝90°，CE⊥AO，∠COE＝∠AOC，∴△COE∽△AOC， ∴. ∵CE＝BF，∴CE＝BF＝2EO＝EF，∴△EFB是等腰直角三角形，∴∠CEB＝∠BEA＝135°.∵∠ABC＝∠EBF＝45°，∴∠OBF＝∠OCE＝∠ABE， ∴△BCE∽△ABE，∴，即AE·CE＝BE2； 例题图 深研浙江统考方向 证明：如图，过点B作AE的垂线，交AE的延长线于点F. 由CE⊥AO，CO＝BO，AC＝BC可知，△COE≌△BOF， ， ∴CE＝BF，OE＝OF. ∵∠ACB＝90°，CE⊥AO，∠COE＝∠AOC， 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.以CB为直径的☉O交AB于点D，连接AO，过点C作CE⊥AO，垂足为E，连接BE，DE.求证：∠DEB＝90°. 从角的方面出发展开变式： 变式1题图 深研浙江统考方向 ∴△COE∽△AOC， ∴. ∵CE＝BF，∴CE＝BF＝2EO＝EF，∴△EFB是等腰直 角三角形， ∴∠BEF＝45°.易得，∠EAD＝∠BAO， ∴△AED∽△ABO，∴∠AED＝∠ABC＝45°， ∴∠DEB＝180°－∠BEF－∠AED ＝90°. 变式1题图 深研浙江统考方向 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以CB为直径的☉O交AB于点D，连接CD.延长AC至点E，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为F.若AC＝2，CE＝1，求BF的长. 从求线段长度出发展开变式： 变式2题图 解：如解图，延长BF交CD于点G， 由题意得∠EAD＝∠BCG＝45°， ∠AED＝∠CBG， ∴△AED∽△CBG，∴＝＝， 易得AD＝CD＝BD＝，∴CG＝BD＝， 变式2题解图 深研浙江统考方向 ∴GD＝BD＝. 由题意得CD⊥AB， ∴BG＝＝， ∴cos∠DBG＝＝，∴BF＝×cos∠DBG＝. 变式2题解图 深研浙江统考方向 证明：如图，连接CD交AE于点G，连接DE，易知△DCB是等腰直角三角形，CD＝AD＝DB. ∵∠DBE＝90°，∠DCB＝∠DEB＝45°， ∴△DEB是等腰直角三角形， ∴BD＝BE， 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以CB为直径的☉O交AB于点D.过点B作AB的垂线交☉O于点E，连接AE.作BD的中点F，连接CF.求证：AE＝2CF，AE⊥CF. 从中点结构出发展开变式： 变式3题图 深研浙江统考方向 ∵F是BD的中点，∴DF＝BD＝BE. ∵，∠CDF＝∠ABE＝90°， ∴△CDF∽△ABE，∴AE＝2CF，∠DCF＝∠BAE. ∵∠AGD＝∠CGE，∴AE⊥CF. 变式3题图 深研浙江统考方向 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.以CB为直径的☉O交AB于点D.取AC中点E，点F是弧CD上一动点，连接AF，EF. 已知AC＝2.求AF＋EF的最小值. 从求线段和最值出发展开变式： 变式4题图 解：如图，连接EO，FO. 在EO上取一点G使得GO＝1，连接FG. ∵AC＝BC＝2，BC为☉O的直径， ∴CO＝BO＝FO＝，AB＝＝4. ∵E为AC的中点，∴EO为△ABC的中位线， 深研浙江统考方向 ∴EO＝AB＝2，∴，∠EOF＝∠FOG， ∴△EOF∽△FOG，∴，∴AF＋EF＝AF＋FG. 如解图，过点G作GM⊥AC，GN⊥BC，连接AG. ∵∠ACB＝90°，∴四边形CMGN为矩形. 当点A，F，G共线时取到最小值，即为AG的长. ∵∠GON＝45°，∴GN＝ON＝GO＝，CN＝MG＝. ∵MC＝GN＝，∴AM＝，∴AG＝， ∴AF＋EF的最小值为. 变式4题解图 深研浙江统考方向 如图， AB是☉O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，点F是下半圆上一点，连接AF，连接DF交☉O于点G，交AB于点H.若∠BAF＝2∠BDF，AH＝3GH，求证：. 从求面积比值出发展开变式： 变式5题图 深研浙江统考方向 证明：如图，连接BG.∵∠BGF＝∠BAF＝2∠BDF， ∴BG为Rt△BDH斜边上的中线，∴BG＝GH＝DH.易得△BGH∽△FAH， ∵AH＝3GH，∴9S△BGH＝S△FAH. ∵2S△BGH＝S△DBH，∴. 变式5题图 深研浙江统考方向 1.(2023台州中考)我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图，AB是☉O的直径，直线l是☉O的切线，B为切点.P，Q是圆上两点(不与点A重合，且在直径AB的同侧)，分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D. 4 3 2 1 针对训练 图1 图2 图3 第1题图 深研浙江统考方向 解：如图，连接OP， 设∠BOP的度数为n°. ∵AB＝6，长为π， ∴＝π， ∴n＝60，即∠BOP＝60°， ∴∠BAP＝30°. ∵直线l是☉O的切线， ∴∠ABC＝90°，∴BC＝tan 30°·AB＝2； (1)如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长； 4 3 2 1 图1 深研浙江统考方向 解：如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F， ∵AB为☉O直径，∴∠BQA＝90°， ∴cos∠BAQ＝. ∵，∴∠BAC＝∠DAC. ∵CF⊥AD，AB⊥BC，∴CF＝BC. ∵∠BAQ＋∠ADB＝90°，∠FCD＋∠ADB＝90°， ∴∠FCD＝∠BAQ， ∴cos∠FCD＝cos∠BAQ＝，∴， ∴； (2)如图2，当，时，求的值； 4 3 2 1 图2 深研浙江统考方向 (3)如图3，当sin∠BAQ＝，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值. 4 3 2 1 图3 解：＝.【解法提示】如解图，连接BQ，∵AB为☉O的直径，∴∠BQA＝90°.∵AB⊥BC，∴∠ABQ＝90°－∠QBD＝∠ADC.∵∠ABQ＝∠APQ，∴∠APQ＝∠ADC.∵∠PAQ＝∠DAC，∴△APQ∽△ADC，∴＝①. 第1题解图 深研浙江统考方向 ∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，∴△APB∽△ABC，∴＝②， 由BC＝CD，将①②两式相除得＝.∵sin∠BAQ＝，∴cos∠BAQ＝＝，∴＝. 4 3 2 1 第1题解图 深研浙江统考方向 解：线段FC和OE的数量关系为FC＝OE，位置关系为OE⊥FC， 理由：连接OF，OE，如图， ∵，且所对的圆心角为30°， ∴∠EOF＝∠COE＝30°，∴∠COF＝60°. 2.(2025杭州滨江区二模)在△ABP中，∠B＝90°，点C在斜边AP上，以AC为直径的☉O交BP于点E，F，连接FC. (1)如图1，若和所对的圆心角为30°，连接OE，请判断线段FC和OE的数量关系和位置关系，并说明理由； 4 3 2 1 图1 第2题图 深研浙江统考方向 ∵OF＝OC，∴△OFC为等边三角形， ∴FC＝OF＝OC. ∵OE＝OC，∴FC＝OE. ∵OE为半径，，∴OE⊥FC； 4 3 2 1 图1 第2题图 深研浙江统考方向 证明：∵AC为直径， ∴∠AFC＝∠AEC＝90°，∴∠CFE＋∠AFB＝90°. ∵∠B＝90°， ∴∠AFB＋∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠CFE. ∵∠CFE＝∠EAC，∴∠BAF＝∠EAC. ∵∠B＝∠AEC＝90°，∴△BAF∽△EAC， ∴，∴AB·AC＝AE·AF； (2)如图2，连接AE，AF，EC. ①求证：AB·AC＝AE·AF； 4 3 2 1 图2 第2题图 深研浙江统考方向 ②若EA＝EP，sin∠BAF＝，PF－BF＝7，求EP的长. 4 3 2 1 解：过点C作CH⊥PB于点H，如解图， 由①知∠BAF＝∠EAC. ∵EA＝EP，∴∠EAC＝∠P，∴∠BAF＝∠P. ∵sin∠BAF＝，∴sin P＝. ∵sin∠BAF＝＝， ∴设BF＝k，则AF＝10k， 第2题解图 图2 第2题图 深研浙江统考方向 ∴AB＝＝3k. ∵PF－BF＝7，∴PF＝7＋k， ∴PB＝PF＋BF＝7＋2k. ∵sin P＝＝，∴＝， ∴PA＝30k， ∴PB＝＝9k＝7＋2k，∴k＝， 4 3 2 1 第2题解图 深研浙江统考方向 ∴BF＝1，AF＝，AB＝3，PF＝8，PB＝PF＋BF＝9. ∵∠EFC＝∠EAC，∴∠EFC＝∠P，∴CF＝CP. ∵CH⊥PB，∴PH＝FH＝PF＝4. ∵∠EFC＝∠EAC＝∠BAF，∠CHF＝∠B＝90°， ∴△CFH∽△FAB， ∴＝＝， ∴CF＝，∴CP＝CF＝. 4 3 2 1 第2题解图 深研浙江统考方向 ∵PA＝30k＝30×＝3， ∴AC＝PA－PC＝. ∵sin∠CAE＝sin∠BAF＝＝，∴CE＝， ∴EA＝＝5， ∴EP＝EA＝5. 4 3 2 1 第2题解图 深研浙江统考方向 3.(2025台州校级模拟)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，D是AC边上的动点，过点B，A，D作☉O，交BC于点E，过点A作AG⊥BE交BC于点G. 4 3 2 1 图1 图2 第3题图 深研浙江统考方向 (1)如图1，连接DE，求证：； 图1 证明：连接BD，如图，∵∠BAC＝90°，∴BD为直径，∴∠BED＝90°. 又∵∠BGA＝90°，∴AG∥DE，∴； 4 3 2 1 第3题图 深研浙江统考方向 (2)如图2，AF是☉O的直径，连接 FG，AE. ①求证：∠EAF＝∠C； 图2 证明：∵AG⊥BC，∴∠C＋∠GAC＝90°. 又∵∠BAG＋∠GAC＝90°，∴∠C＝∠BAG. 连接BF，如图，∵AF为直径，∴∠ABF＝90°. 由同弧所对的圆周角相等知∠BFA＝∠AEB. 又∵∠AGE＝90°，∴∠BAF＝∠EAG， ∴∠BAG＝∠EAF.故∠EAF＝∠C. 4 3 2 1 第3题图 深研浙江统考方向 ②若圆心O满足在AG左侧时，记△AFG与△AEG的面积之和为k，则k是否为定值？若是，请写出求解过程；若不是，请说明理由. 解：k为定值， 由勾股定理可知BC＝＝10， 由等面积法可知AG＝＝＝. 4 3 2 1 图2 第3题图 深研浙江统考方向 过点F作FH⊥BE于点H，连接BF，EF，如解图， 设BF＝x， 由AF为直径知∠ABF＝90°，∠BAF＝∠BEF， ∴tan∠BEF＝tan∠BAF＝＝， 即＝， 则HE＝＝. 第3题解图 4 3 2 1 深研浙江统考方向 ∵sin C＝＝，且∠C＝∠EAF＝∠HBF， ∴sin∠HBF＝＝sin C＝， 故HF＝x，HE＝＝，即HE为定值. ∵S△AFG＋S△AEG＝AG·HG＋AG·GE ＝AG(HG＋GE)＝AG·HE＝×× ＝， 即k为定值. 第3题解图 4 3 2 1 深研浙江统考方向 4.(2025杭州校级模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E在AB上，且∠ECD＝45°. (1)如图1，若CD＝CE，求证：AD＝AC； 4 3 2 1 图1 第4题图 证明：∵CD＝CE，∠ECD＝45°， ∴∠CDE＝∠CED＝＝67.5°. ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝45°， ∴∠ACD＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ∴∠CDA＝∠ACD，∴AD＝AC； 图2 深研浙江统考方向 (2)如图2，作△CDE的外接圆分别交AC，BC于点F，G，连接DF，FG. ①求证：CD＝DF； 证明：∵∠A＝∠ECD＝45°，∠ADC＝∠CDE， ∴△ACD∽△CED，∴∠ACD＝∠CED. ∵∠DFC＝∠DEC，∴∠ACD＝∠DFC， ∴CD＝DF； 图2 4 3 2 1 第4题图 深研浙江统考方向 ②求证：AF＋BG＝FG. 证明：如解图，连接DG，延长FD交CB的延长线于点N，过点N作NM⊥BC，交AB的延长线于点M. 由①知∠ACD＝∠DFC. ∵，∴∠ACD＝∠FGD. ∵四边形CGDF为圆的内接四边形， ∴∠DFC＝∠NGD，∠NDG＝∠ACB＝90°， ∴∠FGD＝∠DGN. 第4题解图 4 3 2 1 图2 第4题图 深研浙江统考方向 ∵∠GFD＝90°－∠FGD，∠GND＝90°－∠DGN， ∴∠GFD＝∠GND，∴FG＝NG，∴FD＝ND. ∵NM⊥BC，∴∠CNM＝90°， ∴∠ACB＝∠CNM＝90°， ∴AC∥MN，∴∠A＝∠M＝45°， 在△AFD和△MND中，， 第4题解图 4 3 2 1 深研浙江统考方向 ∴△AFD≌△MND(AAS)，∴AF＝MN. ∵∠M＝45°，∠MNB＝90°， ∴△MNB为等腰直角三角形， ∴MN＝BN，∴AF＝BN. ∵GN＝BG＋BN＝BG＋AF，∴AF＋BG＝FG. 第4题解图 4 3 2 1 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $