题型3 课时4 对称性下的参数求取值范围-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优PPT

该初中数学课件聚焦二次函数性质综合题等中考核心考点，严格对接中考说明要求。通过分析2024、2025年中考真题（如23题，10分），明确对称性下参数取值范围等高频考点权重，按“对称轴确定”“对称轴含参”分类梳理，归纳定对称轴、开口方向等五步解题思路，覆盖例习题及变式训练，备考针对性强。 课件亮点在于“真题引领+素养导向”，以2025杭州校级三模等真题为载体，通过分类讨论a的正负（如例1）、对称点位置分析（如变式2-5）等典型题型，培养学生数学思维与推理意识。示范参数范围求解中不等式构建技巧，帮助学生掌握得分要点，为教师提供系统复习框架，助力学生中考冲刺提分。

《二轮重难题型培优》 数学 题型三　二次函数性质综合题 (2025.23，10分、2024.23，10分) 课时四　对称性下的参数求取值范围 深研浙江统考方向 对称性下的参数取值范围求解解题思路 1.定对称轴：根据函数解析式，明确对称轴； 2.定开口方向：由a的符号判断开口方向(a＞0，开口向上，顶点为最小值，a＜0，开口向下，顶点为最大值)，同时决定函数在不同取值范围内的增减性； 3.定“关键区间”点：明确题目中的限制条件； 4.找对称关系：用对称性关联点，通过对称点与区间的位置(分类讨论)，判断函数值的大小； 5.列不等式(组)求解：结合开口方向、增减性和题目中的关键条件列不等式(组). 深研浙江统考方向 画图区 三要素：a未知，开口方向需讨论，对称轴为直线x＝－1，与y轴交于(0，3) a＞0 a＜0 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)经过点B(x1，y1)和C(x2，y2).若对于1＜x1＜3，x2＝2a，都有y1＜y2，求a的取值范围. 对称轴确定 深研浙江统考方向 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)经过点B(x1，y1)和C(x2，y2).若对于1＜x1＜3，x2＝2a，都有y1＜y2，求a的取值范围. 解：抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1， ①当a＞0时，对于1＜x1＜3，x2＝2a，都有y1＜y2， ∴B(x1，y1)和C(x2，y2)都在对称轴右侧. ∵在对称轴的右侧，y随x增大而增大，∴3≤2a，∴a≥； 深研浙江统考方向 ②当a＜0时，1＜x1＜3， ∴B(x1，y1)在对称轴右侧. ∵抛物线的对称轴为直线x＝－1， ∴B(x1，y1)关于对称轴的对称点为(－2－x1，y1)， ∴－5＜－2－x1＜－3. ∵对于1＜x1＜3，x2＝2a，都有y1＜y2， ∴2a≥－3，∴－≤a＜0；综上，－≤a＜0或a≥. 深研浙江统考方向 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋2ax＋3(a＜0)经过点A(x1，y1)和B(x2，y2).若对x1＝－1－a，x2＝2a，都满足y1＜y2，求证： 3＜－a＋3＜4. 证明：将A，B两点坐标代入函数表达式得y1＝a3－a＋3， y2＝4a3＋4a2＋3. ∵y1＜y2，∴a3－a＋3＜4a3＋4a2＋3，化简得3a3＋4a2＋a＞0. ∵a＜0，∴两边同时除以a得3a2＋4a＋1＜0， 因式分解得(a＋1)(3a＋1)＜0， 解得－1＜a＜－ ，∴ 3＜－a＋3＜4. 深研浙江统考方向 已知抛物线y＝ax2＋2ax＋3与x轴的交点分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2.若0＜x2－2x1＜1，分别求出x1和a的取值范围. 解：二次函数图象的对称轴为直线x＝－1， 由抛物线的对称轴得＝－1，变形可得x2＝－2－x1， 代入0＜x2－2x1＜1中，得0＜－2－x1－2x1＜1， 解得－1＜x1＜－. ∵x2和x1是方程ax2＋2ax＋3＝0的两个根，把x1代入方程得a＋2ax1＋3＝0， 深研浙江统考方向 整理可得a＝. 令z＝＋2x1＝(x1＋1)2－1，－1＜x1＜－， 当x1＝－1时，z＝(－1＋1)2－1＝－1， 当x1＝－时，z＝(－＋1)2－1＝－1＝－. ∵在－1＜x1＜－这个范围内，z＝＋2x1随自变量的增大而增大， ∴－1＜＋2x1＜－，则＜＜， ∴3＜＜，即3＜a＜. 深研浙江统考方向 画图区 三要素：a＝1＞0，开口方向向上，对称轴为直线x＝－m，与y轴交点坐标为(0，2－m) m＜2 m＝2 m＞2 【一题多解】在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2＋2mx－m＋2(m是常数).若点A(－1，y1)，B(－m＋2，y2)在该函数图象上，且y1＜y2，求m的取值范围. 对称轴含参 深研浙江统考方向 【一题多解】在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2＋2mx－m＋2(m是常数).若点A(－1，y1)，B(－m＋2，y2)在该函数图象上，且y1＜y2，求m的取值范围. 解：解法一：由条件可知二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝－m， 则点B(－m＋2，y2)在对称轴右侧. ∵y1＜y2，∴存在如下情况： ①当－m＜－1，即m＞1时，－1＜－m＋2， 解得m＜3，∴1＜m＜3； 深研浙江统考方向 ②当－m≥－1，即m≤1时，－m＋2－(－m)＞－m－(－1)， 解得m＞－1，∴－1＜m≤1. 综上，m的取值范围为－1＜m＜3； 解法二：函数y＝x2＋2mx－m＋2的图象经过点A(－1，y1)，B(－m＋2，y2)， ∴y1＝1－2m－m＋2＝－3m＋3，y2＝－m2－m＋6. ∵y1＜y2，∴y1－y2＜0， ∴y1－y2＝(－3m＋3)－(－m2－m＋6)＝m2－2m－3＜0， ∴－1＜m＜3. 深研浙江统考方向 在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2＋2mx－m＋2(m是常数).若点A(n，y1)，B(－m，y2)都在该函数图象上，点A不与点B重合，比较y1，y2的大小. 解：由条件可知二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝－m. ∵B(－m，y2)， ∴点B为抛物线的顶点，函数值最小， ∴y1＞y2. 深研浙江统考方向 在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2＋2mx－m＋2(m是常数).若函数图象经过点(－1，y1)，(1，y2)，求证：y1y2≤12. 证明：函数y＝x2＋2mx－m＋2的图象经过点(－1，y1)，(1，y2)， ∴y1＝1－2m－m＋2＝－3m＋3，y2＝1＋2m－m＋2＝m＋3， ∴y1y2＝(－3m＋3)(m＋3)＝－3m2－6m＋9＝－3(m＋1)2＋12. ∵－3(m＋1)2≤0， ∴y1y2≤12. 深研浙江统考方向 在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2＋2mx－m＋2(m是常数).若二次函数的图象经过点(n，y1)，(n＋3，y2)，求当y1＜y2时，m＋n的取值范围. 解：∵函数y＝x2＋2mx－m＋2的图象经过点(n，y1)，(n＋3，y2)， ∴y1＝n2＋2mn－m＋2，y2＝(n＋3)2＋2m(n＋3)－m＋2＝n2＋6n＋9＋2mn＋6m－m＋2. ∵y1＜y2， ∴y1－y2＝(n2＋2mn－m＋2)－(n2＋6n＋9＋2mn＋6m－m＋2)＝－6n－6m－9＜0， ∴m＋n＞－1.5. 深研浙江统考方向 在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2＋2mx－m＋2(m是常数).若函数图象经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其中x1＋x2＝3，且当x1＜x2时，总有y1＞y2，求m的取值范围. 解：将A，B两点坐标代入函数表达式得， y1＝＋2mx1－m＋2， y2＝＋2mx2－m＋2， 两式相减得 y1－y2＝－＋2m(x1－x2)＝(x1＋x2＋2m)(x1－x2). 又∵x1＋x2＝3， 深研浙江统考方向 ∴y1－y2＝(2m＋3)(x1－x2). 又∵当x1＜x2时，总有y1＞y2， ∴2m＋3＜0， 解得m＜－， ∴m的取值范围是m＜－. 深研浙江统考方向 在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2＋2mx－m＋2(m是常数).若点A(x1，y1)， 点B(2－3m，y2)都在抛物线上，其中m－3≤x1≤m＋1，且y1＜y2，求m的取值范围. 解：由条件可知二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝－m. 设点A(x1，y1)关于对称轴的对称点为(x0，y1)， 则－3m－1≤x0≤－3m＋3. ∵点B(2－3m，y2)也在抛物线上，且y1＜y2， ∴2－3m＜m－3或2－3m＞－3m＋3， ∴m＞. 深研浙江统考方向 1.(2025杭州校级三模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2mx＋m2与y轴交于点A，过点A作直线l垂直于y轴. (1)求抛物线的对称轴；(用含m的式子表示) 4 3 2 1 针对训练 解：对称轴为直线x＝－＝－＝m； 深研浙江统考方向 (2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，形成图形G.M(x1，y1)，N(x2，y2)为图形G上的两点. ①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由； 4 3 2 解：y1＞y2，理由如下： 当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2，图形G如解图1， 此时若x1＜x2，则y1＞y2； 第1题解图1 1 深研浙江统考方向 ②若对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2，直接写出m的取值范围. 4 3 2 解：当m＞0时，如解图2， 此时翻折后的图象解析式为y＝－x2＋2mx＋m2(x＞0)， 故当x1＝1时，y1＝－1＋2m＋m2，当x2＝2时，y2＝－4＋4m＋m2， y1＞y2，即－1＋2m＋m2－(－4＋4m＋m2)＞0， 解得m＜， 第1题解图2 1 深研浙江统考方向 4 3 2 即0＜m＜； 当m＝0时，显然对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2成立； 当m＜0时，对于x1＝1，x2＝2，恒有y1＞y2成立； 综上，m的取值范围为m＜. 第1题解图2 1 深研浙江统考方向 2.(2025杭州钱塘区一模)已知二次函数y＝x2＋2tx＋t－3(t为常数)的图象经过y＝－x2＋2x的图象顶点. (1)求t的值； 4 3 2 1 解：根据y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，可得其顶点坐标为(1，1)， 把(1，1)代入二次函数y＝x2＋2tx＋t－3中，可得1＝1＋2t＋t－3， 解得t＝1； 深研浙江统考方向 (2)若二次函数y＝x2＋2tx＋t－3的图象经过点(m＋1，n＋1)，求n的最 小值； 解：由(1)知t＝1，故二次函数的解析式为y＝x2＋2x－2， 又∵y＝x2＋2x－2的图象经过点(m＋1，n＋1)， ∴n＋1＝(m＋1)2＋2(m＋1)－2，整理可得n＝m2＋4m＝(m＋2)2－4， 故n是m的二次函数，n的最小值为－4； 4 3 2 1 深研浙江统考方向 (3)若二次函数y＝x2＋2tx＋t－3在－3≤x≤m时，－3≤y≤1，求m的取值范围. 解：对于二次函数y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，其对称轴为直线x＝－1， 顶点坐标为(－1，－3)， 令y＝－3，此时可得x2＋2x－2＝－3，解得x1＝x2＝－1； 令y＝1，此时可得x2＋2x－2＝1，解得x1＝－3，x2＝1， 4 3 2 1 深研浙江统考方向 画出大致图象如解图， 由于在－3≤x≤m时，－3≤y≤1， 故m的取值范围为－1≤m≤1. 第2题解图 4 3 2 1 深研浙江统考方向 3.(2025杭州滨江区二模)已知二次函数y＝ax2＋bx－1(a＜0)的图象经过点A(2，－1). (1)求二次函数图象的对称轴； 4 3 2 1 解：将 A(2，－1)代入y＝ax2＋bx－1得－1＝4a＋2b－1，整理得－＝1， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1； 深研浙江统考方向 (2)若y＝ax2＋bx－1的最大值为4，将该函数的图象向右平移3个单位长度，得到新的二次函数图象，求此新的二次函数的表达式； 解：由(1)得－＝1，即b＝－2a， ∵y＝ax2＋bx－1的最大值为4， ∴顶点坐标为(1，4)， 将x＝1代入y＝ax2＋bx－1得a＋b－1＝4， 将b＝－2a代入a＋b－1＝4得a＝－5，b＝10， ∴抛物线的表达式为y＝－5x2＋10x－1. 又∵该函数的图象向右平移3个单位长度， ∴新的二次函数的表达式为y＝－5(x－3)2＋10(x－3)－1， 整理得新的二次函数的表达式为y＝－5x2＋40x－76； 4 3 2 1 深研浙江统考方向 (3)设y＝ax2＋bx－1的图象与x轴的交点分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2.若0＜x2－2x1＜1，分别求出x1和a的取值范围. 解：由抛物线的对称轴得＝1，变形可得x2＝2－x1， 代入0＜x2－2x1＜1中，得0＜2－x1－2x1＜1， 解得＜x1＜. ∵x2和x1是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，把x1代入方程得a＋bx1－1＝0， 又∵b＝－2a，则a－2ax1－1＝0，整理可得a＝. 4 3 2 1 深研浙江统考方向 令z＝－2x1＝(x1－1)2－1，＜x1＜， 当x1＝时，z＝(－1)2－1＝－1＝－， 当x1＝时，z＝(－1)2－1＝－1＝－. ∵在＜x1＜这个范围内，z＝－2x1随自变量的增大而减小， ∴－＜－2x1＜－， 则＜＜，即－＜a＜－. 4 3 2 1 深研浙江统考方向 4.(2025杭州萧山区一模)已知二次函数y＝a(x－1)(x＋2)(a≠0). (1)求该二次函数图象的顶点坐标； 4 3 2 1 解：将y＝a(x－1)(x＋2)展开得y＝a(x2＋x－2)＝ax2＋ax－2a， 根据顶点坐标公式－＝－，＝－， ∴顶点坐标为(－，－)； 深研浙江统考方向 (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点(0，－3)，求该二次函数的表达式； 3 2 1 解：函数图象向上平移3个单位长度后，函数表达式变为y＝ax2＋ax－2a＋3. ∵平移后的函数图象经过点(0，－3)， ∴－3＝－2a＋3，解得a＝3， ∴原二次函数表达式为y＝3(x－1)(x＋2)＝3x2＋3x－6； 4 深研浙江统考方向 (3)若a＜0，A(x1，m)和B(x2，n)是该二次函数图象上任意两点，对x1＝－1－a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：y＜. 3 2 1 证明：∵A(x1，m)和B(x2，n)在y＝ax2＋ax－2a的图象上，且x1＝－1－a，x2＝2a，m＜n， ∴a(－1－a)2＋a(－1－a)－2a＜a(2a)2＋a×2a－2a， 化简得a3＋a2－2a＜4a3＋2a2－2a， 移项得3a3＋a2＞0. ∵a＜0， ∴两边同时除以a得3a2＋a＜0，因式分解得a(3a＋1)＜0， 4 深研浙江统考方向 解得－＜a＜0， 由(1)知二次函数图象顶点纵坐标为y＝－. ∵－＜a＜0， ∴0＜－＜. ∵a＜0， ∴二次函数图象开口向下， ∴y＜. 3 2 1 4 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $