题型2 课时1 与线段有关的问题(线段比值、和差、乘积、平方关系)(2024.10)-【练客中考】2026年浙江新中考数学二轮重难题型培优PPT

《二轮重难题型培优》 数学 题型二　探究几何图形中的不变关系 (2024.10，3分) 课时一　与线段有关的问题 (线段比值、和差、乘积、平方关系)(2024.10) 深研浙江统考方向 变化中的不变问题的解题思路 1.抽象出“变化量中的可能不变量”：先明确题目中什么在变，再猜想可能不变的对象(长度、角度、关系、面积)； 2.用“变化量”表示“未知量”：设变化量为参数，用参数表示所有与变化相关的量(线段长度、比值、面积等)； 3.通过代数推导或几何性质，锁定不变量： (1)代数中：建立方程，分离参数，或计算定值(常数项)； (2)几何中：利用图形变化的性质(全等、相似、旋转)，证明关系. 4.常用到的方法： 勾股定理、平行线分线段成比例、相似三角形性质、面积法、三角函数、坐标法. 深研浙江统考方向 (2025杭州钱塘区三模)如图，四边形ABCD是正方形，点F在边AD上运动(不与端点重合)，连接CF，以CF为对角线作正方形CEFG，连接BG，DE.当点F运动时，下列比值不变的是(　 　) A.　　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　　 D. 例题图 B 延长AD到点H，使DH＝AF，连接EH，△FHE和△CDE全等，且△DEH是等腰直角三角形，根据勾股定理转化得＝，再由△BCG和△DCE全等，即可得出答案. 深研浙江统考方向 【解析】如解图，延长AD到点H，使DH＝AF，连接EH.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝CB，AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠BCF＝∠DFC.∵四边形CEFG是正方形，∴FE＝CE＝ CG，∠CEF＝∠GCE＝90°，∠GCF＝∠EFC＝45°，∴∠BCF－∠GCF＝∠DFC－∠EFC，∴∠BCG＝∠DFE.∵∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＋∠GCD＝∠GCD＋∠DCE，∴∠BCG＝∠DCE，∴∠DFE＝∠DCE.∵DH＝AF，∴DH＋DF＝AF＋DF，∴FH＝AD＝CD. 例题解图 深研浙江统考方向 在△FHE和△CDE中，，∴△FHE≌ △CDE(SAS)， ∴HE＝DE， ∠FEH＝∠CED， ∴∠FED＋∠DEH＝ ∠FED＋∠CEF， ∴∠DEH＝ ∠CEF＝90°，∴ △DEH是等腰直角三角形，∴DH＝DE，∴AF＝DE，∴＝.在△BCG和△DCE中，， ∴ △BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∴＝＝，∴当点F运动时，的值不变，始终等于. 例题解图 深研浙江统考方向 (2025杭州滨江区一模)如图，AB，CD是☉O的直径，AB⊥CD，点E为劣弧BD(不含端点)上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G.若☉O的半径为1，记OF＝x，BG＝y，则下列代数式的值不变的是(　 　) A.2x－y B.－ C.2y－x D.－ 变式1题图 D 深研浙江统考方向 (2025温州龙湾区二模)如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG.连接EG，过点B作 BH⊥EG于点H，过点A作MN∥BC分别交BD，FG，BH于点M，N，P，则下列比值为定值的是(　 　) A. B. C. D. B 变式2题图 深研浙江统考方向 【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠EAG＝∠BAC＝90°，∠ABC＋∠ACB＝90°.∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，BD∥CE，∠ABD＝90°.在△ABC和△AEG中， ，∴△ABC≌△AEG(SAS)，∴BC＝EG， ∠ACB＝∠AGE. 变式2题图 深研浙江统考方向 ∵BD∥CE，MN∥BC，∴四边形AMBC是平行四边形， ∴AM＝BC＝EG. ∵BH⊥EG，∴∠PBA＋∠AGE＝90°，∴∠PBA＋∠ACB＝90°. ∵∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠PBA＝∠ABC.∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠PAB，∴∠PBA＝∠PAB，∴PA＝PB.∵∠ABD＝90°，∴∠PBM＋∠PBA＝90°，∠PMB＋∠PAB＝90°，∴∠PBM＝∠PMB，∴PB＝PM，∴PA＝PM，∴AM＝2PA，∴EG＝2PA，∴＝，即的值为定值. 变式2题图 深研浙江统考方向 1.(2025宁波江北区二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，AD∥BC，∠BDC＝90°，记AB＝x，AD＝y，当BC不变，AB改变的过程中，下列代数式的值不变的是(　 　) A.x＋y　　　　　　　　 B.xy C.x2＋y2 D.x2－y2 4 5 3 2 1 7 6 针对训练 第1题图 C 深研浙江统考方向 2.(2025温州瑞安市二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边作正方形ACDE和正方形BCFG，使点D，F分别落在BC，CA的延长线上，连接GE交AF于点H.求GE的长，只需知道(　 　) A.CH的长 B.BD的长 C.AF的长 D.AB的长 4 5 3 2 1 7 6 第 2题图 D 深研浙江统考方向 3.(2025金华义乌市二模)如图，已知线段AB为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，连接AC，BC(AC＞BC).在线段AC上取一点D，使得AD＝BC，过点D作DE⊥AC交半圆O于点E，连接AE，CE.设tan∠DAE＝x，tan∠DEC＝y，若∠B的大小保持不变，当直径AB的长度变化时，下列关系式中固定不变的是(　 　) A.x与y的和 B.x与y的差 C.x与y的积 D.x与y的比值 4 5 3 2 1 7 6 第3题图 B 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 【解析】如解图，连接BE交AC于点F.由条件可知∠ACB＝∠ADE＝∠CDE＝90°，∴BC∥DE，∴∠DEF＝∠CBF.∵∠DAE＝∠CBF，∴tan∠DAE＝tan∠CBF＝tan∠DEF＝x，即＝＝＝ x. ∵AD＝ BC，∴DE＝CF，DF＝xDE，∴CD＝CF＋DF＝(1＋x)DE，∴tan∠DEC＝＝＝y，∴y－x＝1，为定值，∴当∠B的大小保持不变，直径AB的长度变化时，x与y的差固定不变. 第3题解图 深研浙江统考方向 4.(2025温州一模)如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点(不与端点重合)，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，过点F作FG⊥BD于点G，连接AE，EG，则下列比值为定值的是(　 　) A.　　 　 B.　 　　 C.　　 　 D. 4 5 3 2 1 7 6 第4题图 A 深研浙江统考方向 【解析】如解图，连接AG，CG.∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴AB＝CB，∠ABG＝∠CBG＝ 45°，在△ABG和△CBG中， ， 4 5 3 2 1 7 6 第4题解图 ∴△ABG≌△CBG(SAS)，∴AG＝CG，∠AGB＝ ∠CGB.∵FG⊥BD， ∴∠BGF＝90°.又∵∠CBG＝45°，∴△GBF是等腰直角三角形，∴GF＝GB，∠F＝∠CBG＝45°， 深研浙江统考方向 在△GCF和△GEB中，，∴△GCF≌ △GEB(SAS)，∴CG＝EG，∠CGF＝∠EGB，∴AG ＝CG＝EG，∴△GAE是等腰三角形.∵∠AGB＝ ∠CGB，∠CGF＝∠EGB，∴∠AGE＝∠AGB＋∠EGB＝∠CGB＋∠CGF＝∠BGF＝90°，∴△GAE是等腰直角三角形，在Rt△GAE中，由勾股定理，得AE＝＝EG，∴＝为定值. 4 5 3 2 1 7 6 第4题解图 深研浙江统考方向 5.(2025金华婺城区二模)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，DE⊥AC于点P，已知 AB＝5，BD＝x，BC＝y.当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是(　 　) A.(x＋y)2 B.(x－y)2 C.x2＋y2 D.x2－y2 4 5 3 2 1 7 6 第5题图 C 深研浙江统考方向 6.(2025杭州上城区二模)如图，点E，F是边长为1的正方形ABCD的边AD，BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B'在边CD上，AB的对应边A'B'交AD于点G，记B'C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(　 　) A. B.(y＋1)(x＋1) C.xy D.x2＋y2 4 5 3 2 1 7 6 第6题图 B 深研浙江统考方向 【解析】由正方形的性质可得AD＝BC＝CD＝1，∠D＝∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质可得B'F＝BF，∠A'B'F＝∠B＝90°.设CF＝m，则B'F＝BF＝BC－CF＝1－m.在Rt△B'FC中，由勾股定理，得B'F2＝CF2＋B'C2，∴(1－m)2＝m2＋x2，∴m＝，∴CF 4 5 3 2 1 7 6 第6题图 ＝.∵∠DGB'＋∠DB'G＝∠DB'G＋∠CB'F＝90°，∴∠DGB'＝∠CB'F，∴△DGB'∽△CB'F， 深研浙江统考方向 ∴＝，∴＝，∴DG＝.∵AD＝AG＋DG＝1，∴＋y＝1，∴2x＋xy＋y＝1＋x，∴xy＋x＋y＝1，∴(x＋1)(y＋1)＝2，∴当x，y的值发生变化时，(x＋1)(y＋1)的值不变. 4 5 3 2 1 7 6 第6题图 深研浙江统考方向 7.(2025温州模拟)如图，点E，F，M，N分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD，CD上，连接EF，MN.若AB＝5，BE＝BF＝AM＝CN，sin B＝xsin∠EFB，记EF＋MN＝y，当x，y发生变化时，下列代数式的值不变的是(　 　) A. B. C.xy D.y－x 4 5 3 2 1 7 6 第7题图 A 深研浙江统考方向 ∵sin B＝xsin∠EFB，∴＝x·，∴EF＝ax.∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，∴AB＝CB＝AD＝CD＝5，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC.∵BE＝BF＝a，AB＝CB＝5，∴＝＝. 【解析】如解图，过点E作EP⊥BF于点P，连接AC， ∴△BEP和△EFP都是直角三角形.设BE＝BF＝AM＝CN＝a，在Rt△BEP中，sin B＝＝，在Rt△EFP中，sin∠EFB＝ . 4 5 3 2 1 7 6 第7题解图 深研浙江统考方向 又∵∠EBF＝∠ABC，∴△BEF∽△BAC，∴∠BEF＝∠BAC.同理可得△DMN∽△DAC，∴∠DMN＝∠DAC.∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BEF＝∠DMN.又∵∠B＝∠D， ∴△BEF∽△DMN， 4 5 3 2 1 7 6 ∴＝，∴＝.∵EF＝ax，∴＝，∴MN＝5x－ax，∴y＝EF＋MN＝ax＋5x－ax＝5x，∴＝5，∴当x，y发生变化时，的值不变，始终等于5. 第7题解图 深研浙江统考方向 2024浙江中考10题 10.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝2.过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE长为x，BC长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(　 　) A.x＋y B.x－y C.xy D.x2＋y2 C 第10题图 返回 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $