第8讲 圆的证明与计算的综合题-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学思维培优PPT

该初中数学课件聚焦中考“圆的证明与计算”核心考点，覆盖相似三角形构造、等弧等角转化、垂径定理应用等考查要求。通过课前预习梳理基础模型，课堂探究分析近三年中考真题考点权重，归纳线段计算、面积比值等常考题型，对接中考说明，提升备考针对性。 课件亮点在于“问题驱动+方法积累”模式，如“直径垂直弦”例题中，通过连接半径构造相似三角形，示范推理能力培养过程，结合勾股定理解决半径计算，落实几何直观与模型意识。课后探究题强化圆内接四边形性质应用，帮助学生掌握“相似转化”“等量代换”等应试技巧，助力教师系统规划复习，学生高效突破中考难点。

《初中数学思维培优》 数学 目录 01 02 课前预习 课堂探究 第8讲　圆的证明与计算的综合题 03 课后延伸 深研浙江统考方向 1.如图，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，你能在图中构造出哪些相似三角形？ 解：△ABD∽△ADE(答案不唯一，合理即可). 深研浙江统考方向 返回目录 【问题驱动】 2.如图，在☉O中，弦AB，CD交于点E，连接AD，BC，BD，点C是的中点. 第2题图 (1)图中有哪些相似三角形？ 解：△ADE∽△CBE∽△CDB 深研浙江统考方向 返回目录 (2)若AE＝3，CE＝2，DE＝4，则BE＝； (3)若BC＝4，CE＝2，则DE＝___； (4)在(3)的条件下，连接AC，设△ACB的面积为S1，△ABD的面积为S2，则S1∶S2＝______. 第2题图 6 　1∶3 深研浙江统考方向 返回目录 通过以上学习体验，我们得到了圆的证明与计算的常用路径： 深研浙江统考方向 返回目录 【问题初探】 如图，在☉O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E， 连接AC，DO，延长DO交AC于点F. （1）求证：AF2＝OF·DF; 例题图 证明：如解图，连接AD. ∵直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∴＝， ∴∠OAF＝∠OAD. ∵OA＝OD，∴∠ADF＝∠OAD，∴∠OAF＝∠ADF. ∵∠OFA＝∠AFD，∴△OFA∽△AFD，∴＝，∴AF2＝OF·DF. 例题解图 深研浙江统考方向 返回目录 (2)若CD＝8，BE＝2，求OF的长. 解：∵OA＝OB＝OD，CD＝8，BE＝2， ∴DE＝CE＝CD＝4，OE＝OB－BE＝OD－2. ∵∠AED＝90°，∴OE2＋DE2＝OD2， ∴(OD－2)2＋42＝OD2，解得OD＝5，∴OA＝OB＝5， OE＝5－2＝3，∴AE＝OA＋OE＝5＋3＝8， ∴AD＝＝＝4. 例题解图 例题图 深研浙江统考方向 返回目录 ∵△OFA∽△AFD，∴＝＝，∴AF＝OF. ∵AF2＝OF·DF，∴(OF)2＝OF(OF＋5)，解得OF＝或OF＝0(不符合题意，舍去)，∴OF＝. 例题解图 深研浙江统考方向 返回目录 【问题追寻】 追寻　如图，半圆O中，直径AB＝4，点C为的中点，点D在上，连接CD并延长交AB的延长线于点E，连接AD交CO于点F，连接EF. 追寻题图 深研浙江统考方向 返回目录 (1)求证：△DCA∽△ACE； 证明：∵点C为的中点，AB为直径， ∴＝，∠AOC＝∠BOC＝90°，即OC⊥AB， ∴∠CDA＝∠AOC＝45°. ∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAE＝45°，∴∠CDA＝∠CAE. ∵∠DCA＝∠ACE，∴△DCA∽△ACE； 追寻题图 深研浙江统考方向 返回目录 (2)若D为CE中点，求BE的长； 解：∵OC＝OA＝OB＝AB＝2，CO⊥AB， ∴AC＝2. ∵D为CE的中点，∴CD＝DE＝CE. 由(1)知△DCA∽△ACE，∴＝，∴AC2＝CD·CE＝CD·2CD， ∴8＝2CD2，解得CD＝2，∴CE＝4， ∴OE＝＝2，∴BE＝OE－OB＝2－2； 追寻题图 深研浙江统考方向 返回目录 (3)①求证：△ACE面积与△AEF面积的差是定值； 证明：由(2)知AC＝2.∵△DCA∽△ACE， ∴∠CAF＝∠CEA. 又∵∠ACF＝∠CAE＝45°，∴△ACF∽△EAC， ∴＝，∴AC2＝AE·CF，∴AE·CF＝8. ∵S△ACE＝AE·CO，S△AEF＝AE·OF， ∴S△ACE－S△AEF＝AE·OC－AE·OF＝AE(OC－OF)＝ AE·CF＝×8＝4，故△ACE面积与△AEF面积的差为定值； 追寻题图 深研浙江统考方向 返回目录 解：由题意得tan∠AEF＝＝.设OF＝a， 则OE＝6a，AE＝OA＋OE＝2＋6a，CF＝OC－OF＝2－a. 由①知AE·CF＝8，∴(2＋6a)(2－a)＝8，解得a＝1或a＝， ∴OF＝1或OF＝. ∵AF＝，OA＝2，∴当OF＝1时，AF＝＝， 当OF＝时，AF＝＝.综上，AF＝或. ②若tan∠AEF＝，求AF的长. 追寻题图 深研浙江统考方向 返回目录 深研浙江统考方向 返回目录 【课后探究】如图，在圆内接四边形ABCD中，CD 为∠ACM的平分线，F为 上一点，BC＝AF，延 长DF交BA的延长线于点E. (1)求证：△ABD为等腰三角形； 题图 证明：∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，∴∠MCD＝∠DAB， ∵CD为∠ACM的平分线，∴∠MCD＝∠ACD. ∵∠DCA＝∠DBA，∴∠DAB＝∠DBA，∴DB＝DA，∴△ABD为等腰三角形； 深研浙江统考方向 返回目录 (2)求证：AC·AF＝DF·FE. 题图 证明：由(1)知AD＝BD，BC＝AF， 则＝，＝， ∴∠BDC＝∠ADF，＝，CD＝DF， ∴∠BDC＋∠BDA＝∠ADF＋∠BDA，即∠CDA＝∠BDF， 而∠FAE＋∠BAF＝∠BDF＋∠BAF＝180°， ∴∠FAE＝∠BDF＝∠CDA. 深研浙江统考方向 返回目录 同理∠DCA＝∠AFE. 在△CDA与△FAE中，∠CDA＝∠FAE， ∠DCA＝∠AFE，∴△CDA∽△FAE， ∴＝，即CD·EF＝AC·AF， 又∵CD＝DF，∴AC·AF＝DF·EF. 题图 深研浙江统考方向 返回目录 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $