第7讲 圆背景下线段相等的证明-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学思维培优PPT

该初中数学课件聚焦中考几何核心考点“圆背景下线段相等的证明”，严格对接中考说明，分析此类题型在中考中的考查权重，通过课前预习典型例题、课堂探究位置特征、课后延伸综合应用，系统归纳共三角形证等腰、不共三角形证全等或相似两类常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于结合深圳中考真题训练与应试技巧指导，以“问题驱动”引导学生发现线段位置特征与圆中弧、弦要素的关联，培养推理能力与几何直观。如通过全等三角形判定、等腰三角形性质等方法解析典型题，帮助学生掌握规范证明步骤，助力教师高效开展中考冲刺复习。

《初中数学思维培优》 数学 目录 01 02 课前预习 课堂探究 第7讲　圆背景下线段相等的证明 03 课后延伸 深研浙江统考方向 1.如图，已知在☉O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M. 求证：AM＝DM. 第1题图 证明：如解图，连接AD. ∵AB＝CD，∴＝，∴＝， ∴∠ADM＝∠DAM，∴AM＝DM. 第1题解图 深研浙江统考方向 返回目录 2.如图，△ABC为圆内接三角形，弦BD与AC相交于点E，弦BD平分∠ABC，过点E作EF∥BC交AB于点F，若BE＝AC，求证：FE＝AD. 第2题图 证明：如解图，连接CD. ∵BD平分∠ABC，EF∥BC， ∴∠FEB＝∠FBE＝∠DBC. ∵∠DAC＝∠DBC，∠ABD＝∠ACD， 第2题解图 深研浙江统考方向 返回目录 ∴∠FEB＝∠FBE＝∠DAC＝∠ACD. ∵AC＝BE， ∴△FBE≌△DCA(ASA)， ∴EF＝AD. 第2题解图 深研浙江统考方向 返回目录 【问题驱动】 通过这两个问题的解答，你认为这两个小题中要求证明相等的两条线段在位置上各有什么特征？基于这种位置特征下，我们又是利用圆的哪个关键要素来证明两条线段相等的？ 共三角形与不共三角形；共三角形可证明等腰，不共三角形可证明全等或相似，发挥弧或弦的关键作用. 深研浙江统考方向 返回目录 通过以上学习体验，我们得到圆背景下证明线段相等的的常用路径： 深研浙江统考方向 返回目录 【问题初探】 (教材改编)如图，已知四边形ABCD内接于圆， 连接AC，BD，延长BA至点F.若AD平分∠FAC， 求证：DB＝DC. 例题图 证明：∵AD平分∠FAC，∴∠DAF＝∠DAC. ∵∠DAF＝∠DCB，∠DAC＝∠DBC， ∴∠DCB＝∠DAC，∴DB＝DC. 深研浙江统考方向 返回目录 【问题追寻】 追寻1　(教材改编)如图，已知四边形ABCD内接于圆， 对角线AC与BD相交于点G，延长BA至点F，AD平分 ∠FAC，若_____(请你增加一个条件，不增加额外的 点)，求证：AB＝GC. 追寻1题图 证明：答案不唯一，若添加DG平分∠ADC. 由例题可知DC＝DB. ∵∠DCG＝∠DBA，∠GDC＝∠ADB，∴△DGC≌△DAB(ASA)， ∴AB＝GC. 深研浙江统考方向 返回目录 追寻2　(教材改编)如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长BA至点F.延长DA，CB交于点H，连接DF，AC，BD.若DF∥CB，DF＝DH，求证：DA＝CH. 追寻2题图 证明：∵DF∥CH，∴∠FDA＝∠H. ∵∠FAD＝∠DCH，DF＝HD， ∴△FDA≌△DHC(AAS)，∴DA＝CH. 深研浙江统考方向 返回目录 追寻3　如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径作☉O，与AC相切于点E，与AB，BC分别相交于点D，F，连接EF. 追寻3题图 (1)连接OF，求证：OF∥AC； 证明：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABC.∴∠OFB＝∠C，∴OF∥AC； 深研浙江统考方向 返回目录 (2)若BD＝2AD，求的值； 解：如解图1，连接DE，OE，BE. 设OB＝r.∵AC为☉O的切线， ∴OE⊥AC. ∵OF∥AC，∴OE⊥OF. ∵OE＝OF，∴EF＝r. ∵BD＝2AD，BD＝2OD＝2OB，∴OA＝2OD. ∵OD＝OE，∴OA＝2OE，∴∠A＝30°， 追寻3解图1 追寻3题图 深研浙江统考方向 返回目录 ∴∠AOE＝60°，AE＝r. ∵∠ABE＝∠AOE＝30°，∴∠A＝∠ABE， ∴BE＝AE＝r.易得∠CEF＝∠CBE＝45°. ∵∠C＝∠C，∴△CEF∽△CBE，∴＝＝＝； 追寻3解图1 深研浙江统考方向 返回目录 (3)若tanB＝3，求证：E为AC的中点. 证明：如解图2，过点F作FH⊥AB于点H，连接OE. 由题意可知tanB＝＝3，设HB＝t，OH＝y.则FH＝3t. 在Rt△OHF中，OH2＋FH2＝OF2，即y2＋(3t)2＝(y＋t)2，解得y＝4t，∴OB＝OF＝OE＝5t.∵OF∥AC，∴∠A＝∠FOB. 追寻3题图 追寻3解图2 深研浙江统考方向 返回目录 ∵∠AEO＝∠FHO＝90°，∴△OAE∽△FOH， ∴＝＝，即＝＝＝， ∴AE＝t，AO＝t，∴AC＝AB＝AO＋OB＝t， ∴AE＝AC，∴E为AC的中点. 追寻3解图2 深研浙江统考方向 返回目录 深研浙江统考方向 返回目录 【课后探究】如图，在圆内接四边形ACBD中，点C在上(不与点A，B重合)，AD＞AC，∠ADC＜∠BAD，在AD上取点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC.证明EF＝BD. 题图 深研浙江统考方向 返回目录 证明：证法一：如解图1，延长BC，DA交于点G. 易得△EAF∽△GAB，得＝， 易得△GBD∽△GAC，得＝， ∴＝＝. ∵AE＝AC，∴EF＝BD. 图1 解图 深研浙江统考方向 返回目录 证法二：如解图2，过点D作DG∥EF交AF的延长线于点G. 易得△AFE∽△AGD，得＝， 易得△DCA∽△GBD，得＝， ∴＝＝. ∵AE＝AC，∴EF＝BD. 图2 解图 深研浙江统考方向 返回目录 解法③：如解图3，过点B作BG∥AE交圆于点G，连接CG和AG. 由BG∥AE，得∠EAF＝∠GBA. 又∵∠GBA＝∠GCA，∴∠EAF＝∠GCA. 易得∠AFE＝∠AGC. 又∵AE＝AC， ∴△AFE≌△CGA(AAS)，∴EF＝AG. 由＝，可得BD＝AG，∴EF＝BD. 图3 解图 深研浙江统考方向 返回目录 解法④：如解图4，过点D作∠BDG＝∠ADC交圆于点G， 连接BG，则BG＝AC＝AE. 由AE＝BG，∠AFE＝∠BDG，∠EAF＝∠BGD， 可证△AFE≌△GDB(AAS)，∴EF＝BD. 图4 解图 深研浙江统考方向 返回目录 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $