第4讲 二次函数轴对称视角下的距离与函数值的关系-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学思维培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数核心考点，围绕对称轴与函数值关系，对接中考对二次函数性质应用的考查要求，分析近三年中考中该考点占比约15%，归纳比较函数值大小、已知函数值关系求参数范围等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“问题驱动-实验探究-规律总结”模式，通过几何画板验证、逻辑推理培养学生数学思维与抽象能力，如“追导2”例题示范用“距离比较法”解函数值关系问题，帮助学生掌握解题技巧，助力中考冲刺，为教师提供系统复习框架。

《初中数学思维培优》 数学 目录 01 02 课前预习 课堂探究 第4讲　二次函数轴对称视角下的距离与函数值的关系 03 课后延伸 深研浙江统考方向 1.(1)思考装修工在使用人字梯时，人字梯的高度与什么有关. 解：梯子的张开角度等(合理即可)； 第1题图 深研浙江统考方向 返回目录 (2)将打开的人字梯抽象成如图，若让你比较点A，B，C，D的高度你会怎样比较？ 解：同侧可直接比较，异侧可对称比较(合理即可). 第1题图 深研浙江统考方向 返回目录 【问题驱动】 2.如图是二次函数y＝ax2(a＜0)的图象，若让你比较点A，点B，点C，点D的函数值大小你会比较吗？你发现了什么规律？那么a＞0时呢？对于所有的二次函数这样的规律是否适用呢？ 第2题图 解：yC＞yB＞yD＞yA；令各点到对称轴距离为d， a＞0时，d越大y越大；a＜0时，d越大y越小；规律普遍适用. 深研浙江统考方向 返回目录 【问题初探】见P9. 【问题追寻】 追寻1　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其对称轴记为x＝h.对于抛物线上任意一点(x，y)，到对称轴的距离d＝｜x－h｜.证明：①d相等时，y值相等；② a＞0时，d越大， y值越大 ；a＜0时， d越大，y值越小 . 第2题图 深研浙江统考方向 返回目录 证明：①设抛物线上两点为(x1，y1)和(x2，y2)，满足 ｜x1－h｜＝｜x2－h｜，则有两种情况： 若x1－h＝x2－h，则x1＝x2，代入函数可得y1＝y2. 若x1－h＝－x2＋h，则x1＋x2＝2h＝－. y1－y2＝a＋bx1＋c－a－bx2－c＝a(－)＋b(x1－x2)＝(x1－x2)[a(x1＋x2)＋b] 把x1＋x2＝2h＝－代入上式y1－y2＝0，故y1＝y2； 第2题图 深研浙江统考方向 返回目录 ②设两点x1，x2，满足｜x1－h｜＞｜x2－h｜， 即(x1－h)2＞(x2－h)2. 将二次函数化为顶点式得y＝a(x－h)2＋k， 则y1－y2＝a(x1－h)2＋k－a(x2－h)2－k＝a[(x1－h)2 －(x2－h)2]. ∵a＞0，∴y1－y2＞0，即y1＞y2. 同理可证当a＜0时，d越大，y越小. 第2题图 深研浙江统考方向 返回目录 追寻2　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的顶点为(m，n)，点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在函数y＝ax2＋bx＋c的图象上.当y2＜y1＜y3时，求m的取值范围. 解：由题意得二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为x＝m， ∴点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)到对称轴的距离分别为｜－2－m｜，｜－1－m｜，｜2－m｜. ∵a＞0，y2＜y1＜y3，∴｜－1－m｜＜｜－2－m｜＜｜2－m｜. 解得－1.5＜m＜0. 第2题图 深研浙江统考方向 返回目录 　　二次函数图象的对称轴和开口方向对解决函数值大小问题起到关键作用.本堂课的生成结构图如下： 【方法积累】d相等，y相等；a＞0时，d越大y越大；a＜0时，d越大y越小. 深研浙江统考方向 返回目录 实验单 实验主题 探究抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上的点到对称轴的距离d与函数值y的关系. 实验目的 通过操作与计算，理解“d相等则y值相等；a＞0时，d越大y越大；a＜0时，d越大y越小”的规律，提升数形结合与探究归纳能力. 深研浙江统考方向 返回目录 实验步骤 1.分组与函数选择：学生分成小组，每组选取两个二次函数，A：____ __________(a＞0)和B：________________(a＜0). 2.求对称轴：对于A：______________，利用对称轴公式___________，计算得对称轴______. B：对于________________，计算得对称轴______. y＝ x2－2x＋1 y＝－x2＋4x－3 y＝x2－2x＋1 x＝－ x＝1 y＝－x2＋4x－3 x＝2 深研浙江统考方向 返回目录 3.取点计算： 在A：______________上： 取关于对称轴对称的两点________、________，计算到对称轴的距离d1＝｜___－___｜＝___，d2＝___，观察y值_______. 再取非对称的不同的三点________、________、__________，计算d分别为___、___、___， 对应y值为___、___、___，记录数据. 　y＝x2－2x＋1 (0，1) (2，1) 0 1 1 1 均为1 (1，0) (0，1) (－1，4) 0 1 2 0 1 4 深研浙江统考方向 返回目录 在B：________________上： 取非对称的不同的三点________、________、__________，计算d分别为___、___、___， 对应y值为___、___、_____，记录数据. y＝－x2＋4x－3 (2，1) (1，0) (0，－3) 0 1 2 1 0 －3 深研浙江统考方向 返回目录 4.软件验证：打开几何画板软件，绘制A：___________________和B：________________的图象.任意选取抛物线上一点，测量其横坐标，计算到对称轴的距离d，观察y值变化；拖动点改变位置，重复观察. 5.总结规律：小组讨论，结合计算数据与软件演示，总结d与y的关系规律. 实验记录 函数 点坐标 对称轴x d y d与y的关系 A： A： y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋1 (0，1) (2，1) 1 1 1 1 1 1 d相等 y相等 y＝x2－2x＋1 y＝－x2＋4x－3 深研浙江统考方向 返回目录 函数 点坐标 对称轴x d y d与y的关系 A： A： A： B： B： B： ...... y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋1 y＝－x2＋4x－3 y＝－x2＋4x－3 y＝－x2＋4x－3 (1，0) 1 0 1 1 (0，1) 1 1 (－1，4) 1 2 4 (2，1) 2 0 1 (1，0) 2 1 0 (0，－3) 2 2 －3 当a＞0时， d越大y越大 当a＜0时，d越大y越小 深研浙江统考方向 返回目录 实验结论 通过实验操作与数据观察，我们验证并总结出：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上任意一点到其对称轴的距离记为d，则有：_______________ ____________________________________________________________________________________________________________________________ d相等，y值相等；a＞0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；a＜0时，d越大，y值越小，d越小，y值越大. 深研浙江统考方向 返回目录 【课后探究】在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究.把“T”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C，图象的顶点为D，测得AB为m厘米时，CD为n厘米. 图1 图2 题图 深研浙江统考方向 返回目录 【猜想】 (1)探究小组先对y＝x2的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的平面直角坐标系内描出相应的点. 连线：用光滑的曲线顺次连接各点. 解：描点连线绘制函数图象如解图. 图2 解图 猜想：n与m的关系式是_______. n＝m2 深研浙江统考方向 返回目录 【验证】 (2)探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数y＝a(x－h)2＋k(a＞0)的情况进行了推理验证.请从下表中任选一种方法(在“□”内打“√”)并补全其推理过程；(根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案) □方法1 □方法2 如图3，平移二次函数图象， 使得顶点D移到原点O的位置，则 A'B'＝AB＝m，C'O＝CD＝n， C'B＝＝，∴点B'坐标为 ________；将点B'坐标代入y＝ax2，得到n与m的关系式是_______ . 如图4，顶点D的 横坐标加个单位，纵 坐标加n个单位得到点 B的坐标，∴点B坐标 为____________________；将点B坐标代入y＝a(x－h)2＋k，得到n与m的关系式 是________ . 图3 图4 (m，n) n＝am2 (h＋m，k＋n) n＝am2 深研浙江统考方向 返回目录 【应用】 (3)已知AB∥x轴且AB＝4，两个二次函数y＝ 2(x－h)2＋k和y＝a(x－h)2＋d的图象都经过A， B两点.当两个函数图象的顶点之间的距离为 10时，求a的值. 解：∵AB＝4，∴m＝4，∴n1＝×2×42＝8.∵两抛物线顶点距离为10，∴n2＝18或－2，当n2＝18时，∴×a×42＝18，∴a＝；当n2＝－2时，∴×a×42＝－2，∴a＝－.综上，a＝或－. 图1 图2 题图 深研浙江统考方向 返回目录 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $