第1讲 比值的处理策略初探-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学思维培优PPT

《初中数学思维培优》 数学 目录 01 02 课前预习 课堂探究 第1讲　比值的处理策略初探 03 课后延伸 深研浙江统考方向 以下问题先在课前自主完成，再在课内合作纠偏. 1.小明和小红分别制作蜂蜜水：小明用15克蜂蜜和45克水调配了一杯蜂蜜水；小红用20克蜂蜜和60克水调配了一杯蜂蜜水.虽然两人用的蜂蜜和水的质量不同，杯子的大小和摆放位置也不同，但请通过计算说明：为什么这两杯蜂蜜水“甜度”是一样的？ 解：小明的蜂蜜水浓度是＝，小红的蜂蜜水浓度是＝， ∴这两杯蜂蜜水“甜度”是一样的. 深研浙江统考方向 返回目录 【问题驱动】 2.(教材改编)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC＝___，原理是_______________________________ ______________________. 第2题图 12 两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例 深研浙江统考方向 返回目录 3.如图，在△ABC中，中线BE与中线CD交于点F，则＝， ＝. 第3题图 深研浙江统考方向 返回目录 4.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，AB＝8，AC＝6，则的值为. 第4题图 深研浙江统考方向 返回目录 5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AC＝2，BC＝3，的值为. 第5题图 深研浙江统考方向 返回目录 　　几何中比值的本质是连接几何性质与数量的关系“桥梁”，寻求不变性是核心问题.上述五个小题中第1个问题是一个生活情境的问题也是一个跨学科情境的问题，第2～5个问题是几何本身的情境问题，是几何学习中最熟悉的几何图形.通过上述问题的学习，在处理比值问题上大致有以下一些策略： 深研浙江统考方向 返回目录 【问题初探】 如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边的一点，使得AF＝2FD.连接CE和BF交于点G. 求证：＝. 证明：如图，延长BF交CD的延长线于点J.设正方形ABCD的边长为6，则AF＝4，FD＝2，AE＝BE＝3.∵AB∥JC，∴△AFB∽△DFJ，△EGB∽△CGJ，∴＝，∴＝. 又∵AF＝2FD，∴JD＝＝＝＝3，∴CJ＝9，∴＝＝＝. 例题图 深研浙江统考方向 返回目录 【问题追寻】 追寻1 如图，过点G作GH⊥BC于点H，作GI⊥CD于点I.求四边形GHCI 的面积与正方形ABCD 面积的比值. 追寻1题图 深研浙江统考方向 返回目录 解：由例题得＝，则＝，＝.由题意易证四边形GHCI是矩形.如图，延长BF交CD的延长线于点J，延长IG交AB于点K，则KG∥BC， ∴＝＝，设正方形ABCD的边长为6，∴KG＝×6＝，∴GI＝6－＝. 追寻1题图 深研浙江统考方向 返回目录 ∵GH∥AB，∴△CHG∽△CBE，∴＝＝， ∴GH＝×3＝，∴S四边形GHCI＝×＝， ∴＝÷36＝. 追寻1题图 深研浙江统考方向 返回目录 追寻2　如图，利用坐标法解决问题. 追寻2题图 解：在正方形ABCD中，设边长为6，以点B为原点建立 平面直角坐标系，各顶点坐标分别为B(0，0)，C(6，0)， D(6，6)，A(0，6).∵E是AB边的中点，∴点E的坐标为 (0，3).∵点F满足AF＝2FD，∴点F的坐标为(4，6).由此可得直线CE和BF的函数解析式分别为y＝－x＋3和y＝x，联立可得交点G(，)， ∴GI＝6－＝，GH＝，∴S四边形GHCI＝×＝，∴＝÷36＝. 深研浙江统考方向 返回目录 追寻3　如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，F 是 AD 边的一点，连接 CE 和 BF交于点G.四边形CGFD内接于一个圆，连接FC，P是CF的中点，连接GP，求tan∠PGC的值. 追寻3题图 深研浙江统考方向 返回目录 解：∵四边形CGFD内接于一个圆，∠D＝90°， ∴FB⊥CE，∴∠CGB＝90°， ∴∠BCE＋∠GBC＝90°. ∵∠ABC＝∠ABF＋∠GBC＝90°， ∴∠ABF＝∠BCE. ∵∠A＝∠CBE＝90°，AB＝BC， ∴△BAF≌△CBE(ASA)，∴BE＝AF. ∵E是AB的中点，∴F是AD的中点. 设正方形的边长为2，则CE＝BF＝＝. 追寻3题图 深研浙江统考方向 返回目录 在△EBC中，BG⊥CE，∴BG＝＝＝， ∴GF＝BF－BG＝－＝. 在Rt△BGE中，EG＝＝，∴CG＝. ∵FB⊥CE，∴△FGC是直角三角形. 又∵P是CF的中点，∴PG＝PC， ∴∠PGC＝∠PCG，∴tan∠PGC＝tan∠PCG＝＝. 追寻3题图 深研浙江统考方向 返回目录 数学化思想是本堂课的核心思想.具体生成结构如下： 深研浙江统考方向 返回目录 以下问题本堂课后至下堂课前自主完成. 【课后探究】如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠BAC＝90°，点D是边BC上一个动点，以AD 为底边作等腰直角三角形ADE，G为BC的中点， 连接AG，EG. 求证：△AEG∽△ADC. 题图 深研浙江统考方向 返回目录 证明：由等腰直角三角形的性质得∠DAE＝45°，∠C＝45°. ∵AB＝AC，G为BC的中点， ∴AG⊥BC，∴∠CAG＝45°， ∴∠GAE＝∠CAD. 又∵cos∠DAE＝cos∠CAG＝， ∴＝＝，∴△AEG∽△ADC. 题图 深研浙江统考方向 返回目录 如图，连接BE并延长交边AC于点F，连接FD，求证：FD⊥BC. 变式1题图 证明：∵△AEG∽△ADC， ∴∠AGE＝∠ACD＝45°. ∵AG⊥BC， ∴∠BGE＝45°＝∠ACD，∴EG∥AC， ∴E为BF的中点，∴AE＝BE＝FE＝DE， ∴点A，B，D，F在以点E为圆心，BF为直径的圆上， ∴∠FDB＝90°，即FD⊥BC. 深研浙江统考方向 返回目录 如图，若点D在线段BC的延长线上，AE与BC相交于点H，当△ABC与△EDA全等时，求∠ADG的度数. 变式2题图 深研浙江统考方向 返回目录 解：如解图，过点E作EM⊥BD，垂足为M. ∵AG⊥BC，∴EM∥AG， ∴△EMH∽△AGH，∴＝. ∵△ABC≌△EDA，∴AC＝AE. ∵AC＝AG，AD＝AE，∴AD＝2AG， ∴sin∠ADG＝，∴∠ADG＝30°. 变式2题解图 深研浙江统考方向 返回目录 求的值. 题图 解：如解图，由变式1得E为BF的中点，FD⊥BC. ∵EM⊥BD，∴EM∥DF，∴△BME∽△BDF， ∴＝＝. 设AG＝a，则DG＝＝a，GC＝AG＝a. ∵∠DCF＝∠ACB＝45°，DF⊥BD， ∴DF＝DC＝DG－GC＝(－1)a， ∴ME＝a，∴＝＝. 变式3题解图 深研浙江统考方向 返回目录 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $