模型8 点圆最值及隐形圆问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学常考模型PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“点圆最值及隐形圆问题”核心考点，依据中考说明梳理点圆最值、线圆最值、隐形圆（定点定长、定弦定角、四点共圆）等常考类型，分析近三年中考中动态几何问题占比，归纳“模型建立—辅助线作法—最值计算”解题步骤，体现备考针对性。 课件亮点在于“模型应用+变式训练+综合提升”模式，如点圆最值中通过矩形背景例题，示范“连接圆心与定点求最值”技巧，培养几何直观与推理意识。隐形圆问题结合正方形翻折、定角定弦模型，强化模型意识，帮助学生掌握动态几何解题策略。教师可利用此资料系统开展专题复习，助力学生中考几何突破。

《初中数学常考模型》 数学 模型八　点圆最值及隐形圆问题 深研浙江统考方向 点圆最值 【建立模型】 条件 辅助线 结论 定点(点A)，圆上一动点(点P) 连接AO并延长，直线AO与☉O交于点P1，P2 线段最值 定点在圆外 A，O，P三点共线时， PAmin＝P1A＝OA－r； PAmax＝P2A＝OA＋r 深研浙江统考方向 条件 辅助线 结论 定点(点A)，圆上一动点(点P) 连接AO并延长，直线AO与☉O交于点P1，P2 线段最值 定点在圆上 P，A重合时，PAmin＝P1A＝0； A，O，P三点共线时， PAmax＝P2A＝2r 定点在圆内 A，O，P三点共线时， PAmin＝P1A＝r－OA； PAmax＝P2A＝OA＋r 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝8，点E为BC的中点，以BE为直径作☉O，点P为☉O上一动点，连接DP，则DP之间的最大距离为__________. 例1题图 2＋2 深研浙江统考方向 　特征1：定点：圆外一定点D；　特征2：动点：P为☉O上一动点，求DP最大值 　如解图，连接DO并延长，交☉O下方于点P' 　DPmax＝OD＋r 解图 深研浙江统考方向 【解析】如解图，连接DO并延长，交圆O于点P'，连接OP，∴OP＝OP'，∴DP'＝OD＋OP'＝OD＋OP≥DP，即DP'≥DP.∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝8.∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝4，∴OB＝OE＝OP＝2，∴OC＝BC－OB＝6，在Rt△DOC中，OD＝＝＝2，∴DP'＝OP'＋OD＝2＋2，∴DP的最大值为2＋2. 例1题解图 深研浙江统考方向 如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(5，0)，以点B为圆心，3为半径的☉B上有一动点P，连接AP，若点C为AP的中点，连接 OC，则OC的最小值为_______. 变式1题图 深研浙江统考方向 【建立模型】 线圆最值 条件 辅助线 结论 直线(l)，圆上一动点(点P) 过圆心作直线的垂线 线段最值 直线与圆相离 PDmin＝P2D＝OD－r； PDmax＝P1D＝OD＋r 深研浙江统考方向 条件 辅助线 结论 直线(l)，圆上一动点(点P) 过圆心作直线的垂线 线段最值 直线与圆相切 P，D重合时，PDmin＝0； PD为直径时，PDmax＝2r 直线与圆相交 PDmin＝P2D＝r－OD； PDmax＝P1D＝OD＋r 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝8，D是边AB的中点，以BD为直径作☉O，E是☉O上一动点，F是边AC上一动 点，则EF的最小值为_____. 例2题图 深研浙江统考方向 　特征1：定线段：AC；　特征2：动点：☉O上一点E，求EF的最小值， 　如解图，过点O作OF⊥AC于点F，与☉O交于点E' 　EFmin＝OF－r 解图 深研浙江统考方向 【解析】如解图，过点O作OF⊥AC于点F，与☉O交于点E'，EF ≥FE'，∴当点E在E'时，EF的值最小.∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝8，∴AB＝AC·cos 30°＝4.∵D是AB的中点，∴BD＝2. ∵BD为☉O直径，∴OD＝OB＝OE'＝，∴OA＝AB－OB＝3， ∴OF＝，∴E'F＝OF－OE'＝，∴EF的最小值为. 例2题解图 深研浙江统考方向 如图，点O为矩形ABCD的中心，AB＝8，BC＝6，☉B的半径为2，点P是☉B上一个动点，则△AOP面积的最小值为____. 变式2题图 7 深研浙江统考方向 【建立模型】 定点定长作隐形圆 类型 一点作圆 三点作圆 条件 平面内，点O为定点，点B为动点，且OB长度固定 OA＝OB＝OC 模型展示 结论 点B的轨迹是以点O为圆心，OB长为半径的圆 点A，B，C均在☉O上 深研浙江统考方向 【模型延伸】 拓展方向 翻折生圆 旋转生圆 条件 在矩形ABCD中，E是AB边上的定点，F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠得到△B'EF 将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C' 模型展示 结论 点B'的运动轨迹是以点E为圆心， BE长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 点B(C)的运动轨迹是以点A为圆心，AB(AC)长为半径的一段圆弧 (如图中的虚线圆弧) 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上的动点(不与B，C重合)，连接DE，作点C关于DE的对称点C'，连接BC'，则BC'的最小值为_____. 例3题图 4 深研浙江统考方向 　特征1：定点：点D；动点：点C'(随点E的运动而运动)； 特征2：定点动点之间长度固定，即DC'＝6 　如解图，以点D为圆心，DC长为半径作☉D，连接BD交☉D于点C″ BC'min＝BD－CD 解图 深研浙江统考方向 【解析】如解图，以点D为圆心，DC长为半径作☉D，连接BD交☉D于点C″，BC″即为BC'的最小值.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝C″D＝AB＝6，∠BCD＝90°，∴BD＝＝10，∴BC″＝BD－C″D＝4，∴BC'的最小值为4. 例3题解图 深研浙江统考方向 如图，正方形ABCD的边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF.若2BE＝3DF，则BF的最小值为___________. 变式3题图 4－2 深研浙江统考方向 【建立模型】 定弦定角作隐形圆 条件 一条定边所对的角是定角，则这个角的顶点轨迹是圆弧 如图，在△ABC中，AB为定长，∠C为定角 模型展示 深研浙江统考方向 结论 如图，当∠ACB＜90°时，点C在优弧ACB上(不与点A，B重合) 如图，当∠ACB＝90°时，点C在☉O上(不与点A，B重合) 如图，∠ACB＞90°时，点C的劣弧ACB上(不与点A，B重合) 解题关键 考题常以30°，45°，60°，90°，120°来考，核心关键就是画出等腰三角形 推论 构成等腰三角形(AC＝BC)，即点C为的中点时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，已知正方形ABCD的边长为8，M为正方形内部的一个动点，连接AM，MD，且∠AMD＝90°，连接CM，则CM的最小值为________. 例4题图 4－4 深研浙江统考方向 　特征1：定弦：AD；定角：∠AMD＝90°；　特征2：求定点C到动点M的最小值 　取AD中点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，连接OC交☉O于点M 　CMmin＝OC－OM 解图 深研浙江统考方向 【解析】∵∠AMD＝90°，∴点M是在以AD为直径的圆上运动.如解图，取AD中点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆，连接OC交☉O于点M，此时CM的值最小，最小值为OC－OM的长.∵AD＝8，∴OA＝OD＝OM＝4，∴OC＝＝4，∴CM的最小值为OC－OM＝4－4. 例4题解图 深研浙江统考方向 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连接AD，使得△ACD面积为24，连接BD，求BD的最大值. 变式4题图 解：如解图，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8，连接DE. 由题意，得∠ACD＝90°.∵△ACD面积为24， ∴AC·CD＝24，∴AC·CD＝48. 变式4题解图 深研浙江统考方向 ∵BC＝6，∴BC·CE＝6×8＝48，即AC·CD＝BC·CE， ∴＝. ∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠ACD＝90°. ∵∠BCE－∠ACE＝∠ACD－∠ACE，∴∠ACB＝∠ECD，∴△CED∽△CAB， ∴∠EDC＝∠ABC＝90°，∴点D在以CE为直径的圆上，记圆心为直径 CE的中点O，即☉O的半径OC＝CE＝4，连接BO，并延长与☉O交于点 D1，当B，O，D三点共线，即点D与点D1重合时，BD取最大值为BD1的长.在Rt△BOC中，BO＝＝＝2， ∴BD1＝BO＋OD1＝2＋4，∴BD的最大值为2＋4. 变式4题解图 深研浙江统考方向 【建立模型】 四点共圆作隐形圆 类型 点C，D在AB的同侧 点C，D在AB的异侧 条件 ∠ADB＝∠ACB＝90° 模型展示 结论 点A，B，C，D在同一个圆上，AB为☉O的直径 深研浙江统考方向 【模型延伸】 拓展方向 直径不确定的情况下，四点共圆的判定 条件 AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，且∠C＝∠D 在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°(四边形对角互补) 图示 结论 点A，B，C，D在同一个圆上 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，以BC为斜边作Rt△BDC，连接AD，过点D作DE⊥AD交AB于点E.若∠BAD＝∠CBD，且 cos∠BAD＝，则AD的长为_____. 例5题图 深研浙江统考方向 　特征1：DE⊥AD，Rt△BDC，∠BAD＝∠CBD→∠BCD＋∠BED＝180°； 特征2：∠BDC＝90° 　如解图点B，C，D，E在以BC为直径的圆上 解图 深研浙江统考方向 如图，正方形ABCD的边长为6，对角线交于点O，E是正方形 外一点，且BE⊥CE，连接OE.若CE＝BC，则OE的长为_______. 变式5题图 4＋ 深研浙江统考方向 【解析】过点B作BH⊥OE于点H，如解图.∵四边形 ABCD是正方形，BC＝6，∴∠BOC＝90°，∠BCO ＝45°，OB＝＝＝3.∵BE⊥CE，∴∠BEC＝ 90°，∴∠BOC＋∠BEC＝180°，∴B，E，C，O四 点共圆，∴∠BEO＝∠BCO＝45°，∴△BHE是等腰 直角三角形.∵CE＝BC，∴CE＝2，∴BE＝＝4，∴BH＝EH＝＝4.在Rt△BOH中，OH＝＝＝， ∴OE＝OH＋HE＝4＋. 变式5题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为(　　) A. B. C.1＋ D.3 第1题图 C 模型综合练 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 2.如图，BE，CF为△ABC的两条高，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则AE的长为(　　) A. B.4 C. D. 第2题图 A 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 3.如图，已知AB是☉O的弦，C是☉O上的一个动点，连接AC，BC，∠C＝60° ，☉O的半径为2，则△ABC面积的最大值是(　　) A.3 B.2 C. D. 第3题图 A 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝5，BC＝2，则对角线BD的长为(　　) A.7 B.2 C.2 D.4 第4题图 D 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 5.如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，E是边AB中点，以点A为圆心，AE长为半径作☉A，P是☉A上一动点，连接BP，CP，若▱ABCD的面积为10，则△BPC面积最小值为______. 第5题图 1.25 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 6.如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E为DC上一点，∠DAE＝30°，过点D作DF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的 长为________. 第6题图 － 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 7.如图，同一个圆中的两条弦AB，CD相交于点E.若∠AEC＝120°，AC＝4，则与长度之和的最小值为____. 第7题图 π 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB上靠近点A的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆O上的动点. (1)连接MN，求MN的最小值和最大值之和； 第8题图 解：如解图1，设☉O与AC相切于点D，连接OD， 过点O作OP⊥BC，垂足为P，交半圆O于点F， 当点N与点F重合，点M与点P重合时，MN的最小值 为PF的长，为OP－OF. 第8题解图1 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 ∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝5. ∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC. ∵点O是AB上靠近点A的三等分点， ∴OB＝×5＝，＝＝， ∴OP＝. ∵半圆O与AC相切于点D， ∴OD⊥AC， ∴OD∥BC，∴＝＝，∴OD＝1， ∴MN最小值为OP－OF＝－1＝. 第8题解图1 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 如解图，当点N在AB边上，点M与点B重合时，MN与AB重合.∵经过圆心的弦最长， ∴MN最大值为OB＋ON＝＋1＝， ∴＋＝6， ∴MN长的最大值与最小值的和是6； 第8题解图1 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 (2)求CN的最小值. 解：如解图2，连接OC交半圆O于点N'，当点N与点N'重合时，CN的值最小，为CN'的长. 过点C作CF⊥AB于点F，由(1)知，AB＝5，ON＝1， OB＝. 在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝＝，cos∠ABC＝＝， 第8题解图2 第8题图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 ∴在Rt△BCF中，CF＝BC·sin∠ABC＝3×＝，BF＝BC·cos∠ABC＝3×＝， ∴OF＝OB－BF＝－＝. 在Rt△OCF中，OC＝＝， ∴CN'＝OC－ON'＝－1， ∴CN的最小值为－1. 第8题解图2 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $