模型7 数学文化背景下的几何问题-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学常考模型PPT

该初中数学中考复习课件聚焦数学文化背景下的几何问题，系统覆盖弦图模型、勾股树、七巧板等核心考点，对接中考说明中勾股定理证明、面积计算、图形拼接等高频考查要求，分析近三年考点权重，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“模型建立+真题应用+技巧归纳”模式，如通过赵爽弦图推导面积关系培养推理能力，勾股树中“面积和等于斜边图形面积”强化模型意识，2023温州中考题示范七巧板与圆的综合计算提升几何直观。帮助学生掌握模型应用技巧，教师可依此制定精准复习计划，助力中考冲刺。

《初中数学常考模型》 数学 模型七　数学文化背景下的几何问题 深研浙江统考方向 【建立模型】 弦图模型 条件 模型展示 结论 正方形ABCD，AE⊥BF，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE 内弦图模型 ①△ABE≌△BCF≌△CDG ≌△DAH， ②S正方形ABCD＝4S△EAB＋S正方形EFGH 深研浙江统考方向 条件 模型展示 结论 正方形ABCD，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，正方形EFGH 外弦图模型 ①△AHE≌△BEF≌△CFG ≌△DGH， ②S正方形ABCD＝4S△EAH＋S正方形EFGH 正方形ABCD，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，正方形EFGH，正方形QMNP 内外组合型弦图模型 ①2S正方形EFGH＝S正方形ABCD＋S正方形PQMN， ②△HQE≌△EMF≌△FNG ≌△GPH 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图1，用四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，就是著名的“赵爽弦图”.第14届国际数学教育大会(ICME－14)会标如图2所示，会标中心的图案就来源于此.若图1中正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，现将这四个直角三角形拼成图3，则图3中大正方形的面积为(　　) A.34 B.35 C.44 D.49 例1题图 图1　　　　 图2　　　　 图3 D 深研浙江统考方向 识别模型：一个大正方形内有四个全等的直角三角形和一个小正方形时考虑用赵爽弦图 模型结论：S△ADH＝S△DCG＝S△CBF＝S△BAE，S正方形EFGH＝(AE－AH)2＝(DH－DG)2＝(CG－CF)2＝(BF－BE)2，S正方形ABCD＝AD2＝CD2＝AB2＝BC2 深研浙江统考方向 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3＝12，则下列关于S1，S2，S3的说法正确的是(　　) A.S1＝2 B.S2＝3 C.S3＝6 D.S1＋S3＝8 变式1题图 D 深研浙江统考方向 【建立模型】 勾股树 条件 以直角三角形的三条边为边，向外作同样的图形 模型展示 作等边三角形 作等腰直角三角形 作正方形 作半圆 结论 S1＋S2＝S3 深研浙江统考方向 【结论证明】以等边三角形为例 如解图，过点D作DM⊥AC于点M. ∵△ACD是等边三角形，∴AM＝MC＝b. 在Rt△ADM中，DM＝AM·tan∠DAC＝AM·tan 60°＝b， ∴S1＝DM·AC＝×b×b＝b2.同理可得S2＝a2，S3＝c2， ∴S1＋S2＝b2＋a2＝(a2＋b2). 又∵在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝(a2＋b2)＝c2，∴S1＋S2＝S3. 解图 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的面积分别是3，2，3，4，则最大的正方形E的面积是____. 例2题图 12 深研浙江统考方向 识别模型：由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，考虑勾股树模型 模型结论：SA＋SB＋SC＋SD＝SE 深研浙江统考方向 如图，∠AED＝90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE为直径的半圆的面积是(　　) A.4π B.8π C.16π D.32π 变式2题图 B 深研浙江统考方向 【建立模型】 七巧板 图示 三角形 四边形 类型 直角边 斜边 面积 个数 类型 边长 对角线 面积 个数 小等腰直角三角形 1 2 小正方形 1 1 1 中等腰直角三角形 2 1 1 平行四边形 1和 1和 1 1 大等腰直角三角形 2 2 2 2 大正方形 2 4 8 1 常出现角度 45°，90°，135° 深研浙江统考方向 【模型应用】 (2023温州中考)图1是4×4方格绘成的 七巧板图案，每个小方格的边长为，现 将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左 侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出 矩形CDEF作为题字区域(点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为_______.若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为_______. 例3题图 图1 图2 5 深研浙江统考方向 【解析】如解图1连接GH，依题意，GH＝2＝GQ.∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝2GH＝4，NK⊥QL，∴O在KN上.如解图2，连接OQ，则OQ为半径.∵OH＝OK－KH＝r－2，在Rt△OHQ中，OH2＋QH2＝QO2，∴(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5. 图1 图2 例3题解图 深研浙江统考方向 连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，NB，AM.∵AB∥PN， ∴AB⊥OT，∴AS＝SB.∵点A，N，M在同一直线 上，∴＝，∴MN＝AN.又∵NB＝AN，∴∠ABM＝90°，MN＝NB，∴NP⊥MP，∴PB＝MP＝2，NS＝MB＝MP＝2.∵KH＋HN＝2 ＋4＝6，∴ON＝6－5＝1，∴OS＝3.∵DE＝EF，设EF＝ST＝a，则 ET＝DE＝a. 图1 图2 例3题解图 深研浙江统考方向 在Rt△OET中，OE2＝OT2＋TE2，即 52＝(3＋a)2＋(a)2，整理得 5a2＋12a－32＝0，即(a＋4)(5a－8)＝0，解得a＝ 或a＝－4(舍去)，∴题字区域的面积为 a2＝. 图1 图2 例3题解图 深研浙江统考方向 (2025舟山三模)数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH.这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙，且对角互补的四边形ABCD.若＝，则的值为___. 变式3题图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 1.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝2，则△ADE的面积为( 　 ) A.6 B.5 C.2 D.2 第1题图 A 模型综合练 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，其中∠H，∠E，∠F是直角，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为(　　) A.1 B.2 C. D. 第2题图 C 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 3.如图，已知S1，S2和S3分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1，S2和S3满足的关系式为(　　) A.S1＜S2＋S3 B.S1＝S2＋S3 C.S1＞S2＋S3 D.S1＝S2·S3 第3题图 B 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90° ，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形.连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q.若 ∠ABE＝30° ，则的值为(　　) A. B. C. D.－1 第4题图 D 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 5.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为____. 第5题图 63 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 6.魏朝时期，刘徽利用“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理.如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于点E，若DE＝2，CE＝4，则BF的长为_______. 第6题图 3 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 7.(2025温州校级模拟)七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”.小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图.过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为______. 第7题图 图1 图2 2 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 【解析】如解图，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交☉O于点D，连接EI.∵AF∥GH，FG∥EH，∴四边形EFGH是平行四边形，且▱EFGH≌▱BILK.∵EH ∥IL，且EH＝IL，∴四边形EILH是平行四边形.∵大正方形的边长为4，∴AE＝BC＝QL＝4，QH＝2，∴EI＝HL＝QH＋QL＝6.∵HL⊥GH，GH∥AF∥BC， ∴EI⊥BC，EI⊥AD. 第7题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 ∵BI＝CI＝2，∴EI垂直平分BC，∴圆心O在EI上，∴EI垂直平分AD，∴∠OED＝∠OIB＝90°，DE＝AE＝4，连接OD，OB，则OD＝OB，∴OE2＋DE2＝OD2＝OB2＝BI2＋OI2，∴OE2＋42＝22＋(6－OE)2，解得OE＝2，∴OD＝＝＝2，∴这个圆的半径长为2. 第7题解图 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $