模型2 遇中点如何构造辅助线-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学常考模型PPT

《初中数学常考模型》 数学 模型二　遇中点如何构造辅助线 深研浙江统考方向 深研浙江统考方向 【模型应用】 【一题多解】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与 CD交于点F，则DF的长为_____. 例题图 深研浙江统考方向 ➡读题干 ①∠ACB度数，AC，BC长度→AB长度 ②CD⊥AB→等面积法→CD长度 ③E为BC中点→BE＝CE ➡辅助线 E为BC中点→构造倍长中线 作法：如解图，延长AE至点M，使ME＝AE，连接BM，CM ➡明思路 ①倍长中线→AE＝ME ②BE＝CE→连接CM→联想构造▱ABMC ③CM∥AB→＝→DF长度 例题解图 深研浙江统考方向 更多解法 解法一：类倍长中线＋相似 解法二：中位线＋相似 解法三：锐角三角函数求解 解法四：建系 延长AE至点M，ME＝EF，连接CM，BM，BF 过点C作EA的平行线，交BA的延长线于点M 过点F作FG⊥AC于点G 以点C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系 深研浙江统考方向 【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝.∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°.∵S△ABC＝×1×2＝××CD，∴CD＝. ∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴＝，即＝，∴AD＝. 例题解图 深研浙江统考方向 解法一(倍长中线法)：如解图1，延长AE至点M，使ME＝AE，连接CM，BM.∵E为BC的中点，∴四边形ABMC是平行四边形，∴CM＝ AB＝＝.易得△CAD∽△BAC，则＝，即＝，解得AD＝.又∵CM∥AB，∴△ADF∽△MCF，∴＝＝＝ ，∴DF＝CF，∴DF＝CD＝. 例题解图1 深研浙江统考方向 解法二(类倍长中线法)：如解图2，延长FE至点M，使ME＝FE，连接CM，BM，BF.∵E为BC的中点，∴四边形FBMC是平行四边形，∴AB ＝＝.∵CD⊥AB，∴CD＝＝，∴BM＝CF＝CD－DF＝－DF.∵BM∥CF，∴△ADF∽△ABM，∴＝，即＝，∴DF＝. 例题解图2 深研浙江统考方向 解法三(构造中位线法)：如解图3，过点C作EA的平行线，交BA的延长线于点M，∵E为BC的中点，∴BE＝CE. ∵EA∥CM，∴△BEA∽△BCM，∴＝＝1，∴A为 MB的中点，AM＝AB＝.∵AE∥CM，∴△DFA∽ △DCM，∴＝，即＝，∴DF＝. 例题解图3 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 1.AB为☉O的直径，弦CD交OA于点M(不与点O重合)，且∠DMB＝45°.若MC＝2，MD＝4，则☉O的半径为______. 模型综合练 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 2.★【一题多解】如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD＝5，AB ＝BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是_____. 第2题图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】解法一：如解图1，延长DA至点F，使AF ＝AD，连接FC，过点F作FG⊥BC于点G，易得四 边形ABGF为矩形，则FG＝AB＝10，BG＝AF＝AD ＝5，∴GC＝BC－BG＝5.在Rt△FGC中，由勾股 定理得FC＝＝5.∵E是CD的中点， ∴DE＝EC.∵AD＝AF，∴AE是△DCF的中位线，∴AE＝FC＝. 第2题解图1 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 解法二：如解图2，延长DA，BE交于点F.∵AB⊥ BC，AB⊥AD，∴DF∥BC，∴∠F＝∠EBC.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.在△DEF和△CEB 中，， ∴△DEF≌△CEB(AAS)， 第2题解图2 ∴BE＝EF，DF＝BC，∴AF＝DF－AD＝BC－AD＝5.在Rt△ABF中， BF＝＝5，∴AE＝BF＝. 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 解法三：如解图3，延长AE交BC于点F.∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥ BC，∴∠D＝∠C.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE和△FCE中， ，∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴AE＝FE，AD＝CF＝5， ∴BF＝BC－CF＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝5，∴AE＝AF＝. 第2题解图3 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 3.★如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB∶AD＝3∶5，过点D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连接CD，F为DC的中点，则线段EF的长是_____. 第3题图 【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H.∵△ABC是等边三角形，且边长为6，∴AB＝BC＝AC＝6，∴BH ＝CH＝BC＝3.在Rt△ABH中，由勾股定理得AH＝ ＝＝3. 第3题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 ∵AB∶AD＝3∶5，AD＝AB＋BD＝6＋BD，∴6∶(6＋BD) ＝3∶5，∴BD＝4.∵AH⊥BC，DE⊥BC，∴DE∥AH， ∴△DEB∽△AHB，∴＝＝，∴＝＝，∴BE ＝2，DE＝2，∴CE＝BC＋BE＝8.在Rt△DEC中，由勾 股定理得CD＝＝＝2.∵点F为DC的中点， ∴EF是Rt△CDE斜边CD上的中线，∴EF＝CD＝. 第3题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 4.如图，在矩形ABCD中，点H为对角线AC的中点，点E，F分别在边AB，BC上，FC＝8，AE＝6，点G为EF的中点，则GH的长为____. 第4题图 5 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 5.★如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边上的中点，点E为边BC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交AB的延长线于点F，连接EF.若CE＝2，EF＝6，则AF的长为______. 第5题图 4 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 【解析】如解图，延长ED到点G，使DG＝DE，连接FG，AG.∵DF⊥DE，CE＝2，EF＝6，∴DF是线段EG的垂直平分线，∴FG＝EF＝6.∵点D为AC 边上的中点，∴AD＝CD，在△ADG和△CDE中，，∴△ADG ≌△CDE(SAS)，∴AG＝CE＝2，∠DAG＝∠C.∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，∴∠FAG＝∠DAG＋∠BAC＝∠C＋∠BAC＝90°，AF＝＝＝4. 第5题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE. (1)求证：CG＝EG； 第6题图 证明：如解图，连接DE. 在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴DE＝AB＝AE.∵CD＝AE，∴DE＝DC. 又∵DG⊥CE，∴CG＝EG. 第6题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 (2)已知BC＝13，CD＝5，求AD的长. 解：∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13－5＝8. ∵DE＝CD＝AB＝5，∴AB＝10. ∵∠ADB＝90°，∴AD＝＝6. 第6题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 7.如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，E是AD上一点，连接BE并延长交边AC于点F.若AD是△ABC的中线，且AF＝EF，求证：AC＝BE. 第7题图 证明：如解图，延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG， ∵AD为△ABC的中线，∴BD＝DC. 又∵∠ADC＝∠GDB，∴△ADC≌△GDB(SAS)， ∴AC＝BG，∠CAD＝∠BGD. ∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF. ∵∠GEB＝∠AEF，∴∠GEB＝∠CAD＝∠BGD， ∴BE＝BG，∴AC＝BE. 第7题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 8.如图，在☉O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G(不与点O，B重合)，连接OF.若FO＝FG，猜想∠CAD的度数， 并证明你的结论. 第8题图 解：∠CAD＝45°，证明如下： 如解图，延长FO交AC于点H，连接OC. ∵直径AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＋∠D＝90°. ∵CF⊥AD，∴∠FCD＋∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD. 第8题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 8 7 6 由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，∴∠CGB＝∠CBG. ∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO， ∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，∴BC∥FH. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠AHO＝90°. ∵OA＝OC，∴AH＝CH，∴AF＝CF. ∵CF⊥AD，∴△AFC是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°. 第8题解图 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $