浙江省绍兴市新昌县2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年浙江省绍兴市新昌县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分） 1．（3分）小明对被誉为“20世纪人类最伟大的考古发现之一”的三星堆很好奇，想去三星堆博物馆参观，下列表述能确定三星堆博物馆位置的是（　　） A．距离广汉北站8公里 B．德阳市广汉市向新路133号 C．在广汉北站30° D．北纬30° 2．（3分）下面四幅图是三星堆挖掘出的一些文物图片，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．4cm，5cm，10cm B．8cm，7cm，15cm C．6cm，6cm，13cm D．13cm，12cm，20cm 4．（3分）为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为（0，﹣1），（1，﹣2），则“典”所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（3分）不等式x﹣2＞0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 7．（3分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，若添加条件∠ABC＝∠ADC＝90°来判定△ABC≌△ADC，其判定依据是（　　） A．SSS B．ASA C．HL D．AAS 8．（3分）下列命题是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．若ac2＞bc2，则a＞b C．全等三角形的对应边相等 D．若|a|＝|b|，则a＝b 9．（3分）已知不等式kx+b＞0的解是x＞2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形ABCD，以BH为边再作一个正方形BHIJ，连结CH，DH，则△CDH的面积为（　　） A． B．7 C． D． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分） 11．（3分）函数中自变量x的取值范围是　 　 ． 12．（3分）a与3的和是正数，用不等式表示为 　 　 ． 13．（3分）一次函数y＝2x+1图象上有两点（2，y1），（﹣1，y2），则y1　 　 y2（填＞，＜，＝）． 14．（3分）一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，若摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为113°，则图中角α的度数为 　 　 ． 15．（3分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：3，则这个等腰三角形顶角的度数为　 　 ． 16．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，BC＝8，在边BC上取一点E，使BE＝3，连结AE，将△ABE沿直线AE折叠，使得点B落在点F处，连结CF，若∠ECF＝∠BAE，则线段AE与线段CF的大小关系为：AE　 　 CF（填＞，＜，＝）． 三、解答题（本大题有8小题，第17～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共72分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（8分）解下列不等式或不等式组： （1）6x+3＞x﹣2； （2）解不等式组；． 18．（8分）在如图所示的10×10的方格图中，点A，B，C，D均在小方格的顶点上，设每个小方格的边长为1，按要求作答． （1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1； （2）画出线段AB的垂直平分线l，分别交AB，CD于点M，N．并求出MN的长． 19．（8分）生物学家测得，某种蛇在一定生长阶段它的长y和尾长x的数据如下表（单位：．cm） 尾长x（cm） 6 7 8 9 10 体长y（cm） 45.5 53 60.5 68 75.5 （1）当6≤x≤10时，尾长x每增加1cm，则体长y增加多少cm？ （2）判断变量x，y是否满足或近似地满足一次函数关系式．如果是，求y关于x的函数表达式． 20．（8分）如图，在△ABC中，点D在BC上，DE平分∠ADC，DE⊥AC于点E，∠BAD＝2∠C．若AD＝6，AB＝5，求BC的长． 21．（8分）某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A．B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品 B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 （1）求A，B两种型号文创用品的单价． （2）丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 22．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，∠1＝∠2，∠ABC＝∠D，AB＝AD＝5，AC＝3． （1）求证：△ABC≌△ADE． （2）若AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，求BE的长． 23．（10分）热门的巧英水库环湖跑结束后，小宇和爸爸相约从同一地点，沿同一路线环湖再跑一圈（环湖跑一圈总路程为21km，假设小宇和爸爸在整个跑步过程中匀速前进），爸爸跑得慢，先出发，10分钟后，小宇再出发，中途爸爸停下来接了个电话后继续以原来的速度前进，比小宇晚23分钟到达终点．两人离开出发点的路程s（km）与爸爸离开出发点的时间t（h）的函数图象如图所示： （1）求小宇离开出发点的路程s（km）与爸爸离开出发点的时间t（h）的函数表达式． （2）小宇跑完全程所需的时间． （3）爸爸中途接电话停留了多少时间？ 24．（12分）小明思考解决如下问题： 原题：如图，∠A＝36°，点B，C分别是射线AN，AM上的动点，以BC为腰在△ABC的外侧作等腰△BCD，使∠CBD＝108°，过点D作DE⊥AN于点E，交射线AM于点F，过点D作DG∥AN交AM于点G，探究线段AC与GF的数量关系． 小明与同桌讨论后，进行如下解答： （1）特殊情况，探索结论 ①如图1，当点G与点A重合时，点D与点E重合，小明探索得GF＝2AC，请你证明． ②如图2，当点G与点C重合时，小明取GF的中点H，连结DH，探究得到线段AC与GF的数量关系，请你完善小明的探究过程． （2）特例启发，解答题目 解：如图3，取GF的中点H，连结DH（请完成后续解答过程）． 2024-2025学年浙江省绍兴市新昌县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C D A C D B C 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分） 1．（3分）小明对被誉为“20世纪人类最伟大的考古发现之一”的三星堆很好奇，想去三星堆博物馆参观，下列表述能确定三星堆博物馆位置的是（　　） A．距离广汉北站8公里 B．德阳市广汉市向新路133号 C．在广汉北站30° D．北纬30° 【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、距离广汉北站8公里，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； B、德阳市广汉市向新路133号，能确定具体位置，故此选项符合题意； C、在广汉北站30°，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； D、北纬30°，不能确定具体位置，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 2．（3分）下面四幅图是三星堆挖掘出的一些文物图片，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项B、C、D中的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项A中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（3分）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A．4cm，5cm，10cm B．8cm，7cm，15cm C．6cm，6cm，13cm D．13cm，12cm，20cm 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、4+5＜10，不能摆成三角形，故A不符合题意； B、8+7＝15，不能摆成三角形，故B不符合题意； C、6+6＜13，不能摆成三角形，故C不符合题意； D、13+12＞20，能摆成三角形，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 4．（3分）为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为（0，﹣1），（1，﹣2），则“典”所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【解答】解：如图建立直角坐标系，则“典”在第三象限， 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形，正确建立直角坐标系是解题的关键． 5．（3分）不等式x﹣2＞0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定． 【解答】解：x﹣2＞0， x＞2， 在数轴上表示不等式的解集为： ， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是求出不等式的解集，难度适中． 6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，根据题意计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则∠A+∠B＝90°， ∵∠A﹣∠B＝10°， ∴∠A＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 7．（3分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，若添加条件∠ABC＝∠ADC＝90°来判定△ABC≌△ADC，其判定依据是（　　） A．SSS B．ASA C．HL D．AAS 【分析】根据全等三角形的判定定理HL得出即可． 【解答】解：∵AB＝AD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴能用“HL”判定△ABC≌△ADC， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理HL是解此题的关键． 8．（3分）下列命题是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．若ac2＞bc2，则a＞b C．全等三角形的对应边相等 D．若|a|＝|b|，则a＝b 【分析】利用对顶角的性质、不等式的性质、全等三角形的性质及绝对值的意义分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、若ac2＞bc2，则a＞b，正确，是真命题，不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意； D、若|a|＝|b|，则a＝±b，故原命题错误，是假命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 9．（3分）已知不等式kx+b＞0的解是x＞2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】把不等式的解集理解为当x＞2时，一次函数的函数值大于0，即函数图象上x的上方，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：∵不等式kx+b＞0的解是x＞2， ∴对于一次函数y＝kx+b，当x＞2时，y＞0， 即当x＞2时，一次函数的图象上x的上方． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了一次函数图象． 10．（3分）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形ABCD，以BH为边再作一个正方形BHIJ，连结CH，DH，则△CDH的面积为（　　） A． B．7 C． D． 【分析】过点H作HK⊥CD于点K，先利用勾股定理分别求出CH，DH，设DK＝a，则CK＝CD﹣DK＝5﹣a，再利用勾股定理构造关于a的方程得10﹣a2＝17﹣（5﹣a）2，由此解得a，则HK，然后根据三角形的面积公式求出△CDH的面积即可得出答案． 【解答】解：过点H作HK⊥CD于点K，如图所示： 依题意得：AH＝DG＝CF＝BE＝3，BH＝EC＝DF＝AG＝4，AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∴正方形EFGH的边长为1，即EH＝HG＝GF＝EF＝1， ∵四边形BHIJ是正方形， ∴HI＝EC＝4， 在Rt△CEH中，EH＝1，EC＝4， 由勾股定理得：CH， 在Rt△DHG中，HG＝1，DG＝3， 由勾股定理得：DH， 设DK＝a，则CK＝CD﹣DK＝5﹣a， 在Rt△DHK中，由勾股定理得：HK2＝DH2﹣DK2＝10﹣a2， 在Rt△CHK中，由勾股定理得：HK2＝CH2﹣CK2＝17﹣（5﹣a）2， ∴10﹣a2＝17﹣（5﹣a）2， 解得：， ∴HK， ∴△CDH的面积为：CD•HK． 故选：C． 【点评】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分） 11．（3分）函数中自变量x的取值范围是x　 ． 【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：2x﹣5≠0， 解得：x， 故答案为：x． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 12．（3分）a与3的和是正数，用不等式表示为 a+3＞0　 ． 【分析】根据“a与3的和是正数”，可得出关于a的一元一次不等式，此题得解． 【解答】解：根据题意得：a+3＞0． 故答案为：a+3＞0． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 13．（3分）一次函数y＝2x+1图象上有两点（2，y1），（﹣1，y2），则y1　＞　 y2（填＞，＜，＝）． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝2x+1的k＝2＞0， ∴函数值y随x的增大而增大， ∵2＞﹣1， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是关键． 14．（3分）一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，若摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为113°，则图中角α的度数为 　23°　 ． 【分析】由垂直的定义得到∠2＝90°，由平行线的性质推出∠1＝∠β＝113°，由三角形的外角性质得到∠α＝∠1﹣∠2＝23°． 【解答】解：∵重力G的方向竖直向下， ∴∠2＝90°， ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠1＝∠β＝113°， ∴∠α＝∠1﹣∠2＝23°． 故答案为：23°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1＝∠β＝113°． 15．（3分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：3，则这个等腰三角形顶角的度数为　°或108°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解． 【解答】解：设两内角的度数为x、3x， 当等腰三角形的顶角为x时，x+3x+3x＝180°， ∴x°； 当等腰三角形的顶角为3x时，3x+x+x＝180°， ∴x＝36°，则3x＝108°； 综上分析可知，等腰三角形的顶角度数为°或108°． 故答案为：°或108°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质． 16．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，BC＝8，在边BC上取一点E，使BE＝3，连结AE，将△ABE沿直线AE折叠，使得点B落在点F处，连结CF，若∠ECF＝∠BAE，则线段AE与线段CF的大小关系为：AE　＞　 CF（填＞，＜，＝）． 【分析】连接BF，过点F作FH⊥BC于点H．证明△ABE∽△CHF，推出1，推出AE＞CF． 【解答】解：连接BF，过点F作FH⊥BC于点H． 由翻折变换的性质可知AE垂直平分线段BF，EB＝EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝90°， ∵FH⊥BC， ∴∠FHC＝∠ABE＝90°， ∵∠BAE＝∠ECF， ∴△ABE∽△CHF， ∵FH＜EF＝BE， ∴1， ∴AE＞CF． 故答案为：＞． 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题． 三、解答题（本大题有8小题，第17～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共72分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（8分）解下列不等式或不等式组： （1）6x+3＞x﹣2； （2）解不等式组；． 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）6x+3＞x﹣2， 移项，得：6x﹣x＞﹣2﹣3， 合并同类项，得：5x＞﹣5， 系数化为1，得：x＞﹣1； （2）， 解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x＞﹣2． 所以不等式组的解集为﹣2＜x≤1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（8分）在如图所示的10×10的方格图中，点A，B，C，D均在小方格的顶点上，设每个小方格的边长为1，按要求作答． （1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1； （2）画出线段AB的垂直平分线l，分别交AB，CD于点M，N．并求出MN的长． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质画图即可；利用勾股定理计算MN的长即可． 【解答】解：（1）如图，线段A1B1即为所求． （2）如图，直线l即为所求． 由勾股定理得，MN． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键． 19．（8分）生物学家测得，某种蛇在一定生长阶段它的长y和尾长x的数据如下表（单位：．cm） 尾长x（cm） 6 7 8 9 10 体长y（cm） 45.5 53 60.5 68 75.5 （1）当6≤x≤10时，尾长x每增加1cm，则体长y增加多少cm？ （2）判断变量x，y是否满足或近似地满足一次函数关系式．如果是，求y关于x的函数表达式． 【分析】（1）利用表中的y点的值的变化得到尾长x每增加1cm，体长y增加7.5cm； （2）先设x、y的关系式为y＝kx+b，再取两组对应值分别代入得到k、b的方程组，则解方程组可得到y＝7.5x+0.5，接着利用验证还有三组对应值满足上述函数关系式，从而可判断y关于x的函数表达式为y＝7.5x+0.5． 【解答】解：（1）x＝6，y＝45.5；x＝7，y＝53， 而53﹣45.5＝7.5， 所以当6≤x≤10时，尾长x每增加1cm，则体长y增加7.5cm； （2）变量x，y满足一次函数关系式． 理由如下： 设x、y的关系式为y＝kx+b， 把x＝6，y＝45.5；x＝7，y＝53分别代入得， 解得， ∴y＝7.5x+0.5， 当x＝8时，y＝7.5×8+0.5＝60.5； 当x＝9时，y＝7.5×9+0.5＝68； 当x＝10时，y＝7.5×10+0.5＝75.5； ∴y关于x的函数表达式为y＝7.5x+0.5． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 20．（8分）如图，在△ABC中，点D在BC上，DE平分∠ADC，DE⊥AC于点E，∠BAD＝2∠C．若AD＝6，AB＝5，求BC的长． 【分析】由DE平分∠ADC，得∠CDE＝∠ADE，由DE⊥AC于点E，得∠CED＝∠AED＝90°，而DE＝DE，即可根据“ASA”证明△CED≌△AED，则CD＝AD＝6，∠C＝∠DAE，推导出∠BDA＝2∠C，因为∠BAD＝2∠C，所以∠BDA＝∠BAD，则DB＝AB＝5，求得BC＝CD+DB＝11． 【解答】解：∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠CED＝∠AED＝90°， 在△CED和△AED中， ， ∴△CED≌△AED（ASA）， ∴CD＝AD＝6，∠C＝∠DAE， ∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝2∠C， ∵∠BAD＝2∠C， ∴∠BDA＝∠BAD， ∴DB＝AB＝5， ∴BC＝CD+DB＝6+5＝11， ∴BC的长为11． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明△CED≌△AED是解题的关键． 21．（8分）某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A．B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品 B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 （1）求A，B两种型号文创用品的单价． （2）丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 【分析】（1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元，利用总价＝单价×数量，结合甲、乙两组购买记录，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件B型文创用品，则购买（40﹣m）件A型文创用品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过725元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； （2）设购买m件B型文创用品，则购买（40﹣m）件A型文创用品， 根据题意得：15（40﹣m）+20m≤725， 解得：m≤25， ∴m的最大值为25． 答：B型文创用品最多可以购买25件． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，∠1＝∠2，∠ABC＝∠D，AB＝AD＝5，AC＝3． （1）求证：△ABC≌△ADE． （2）若AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，求BE的长． 【分析】（1）由∠1＝∠2，得∠BAC＝∠DAE，利用ASA即可证明△ABC≌△ADE； （2）证明∠1＝∠DAC＝∠2＝30°，得∠BAE＝90°，由（1）△ABC≌△ADE，得AC＝AE＝3，根据勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）； （2）解：∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠DAC∠BAC60°＝30°， ∴∠1＝∠DAC＝∠2＝30°， ∴∠BAE＝90°， 由（1）知：△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE＝3， ∵AB＝5， ∴BE． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定义，勾股定理，解决本题的关键是证明∠BAE＝90°． 23．（10分）热门的巧英水库环湖跑结束后，小宇和爸爸相约从同一地点，沿同一路线环湖再跑一圈（环湖跑一圈总路程为21km，假设小宇和爸爸在整个跑步过程中匀速前进），爸爸跑得慢，先出发，10分钟后，小宇再出发，中途爸爸停下来接了个电话后继续以原来的速度前进，比小宇晚23分钟到达终点．两人离开出发点的路程s（km）与爸爸离开出发点的时间t（h）的函数图象如图所示： （1）求小宇离开出发点的路程s（km）与爸爸离开出发点的时间t（h）的函数表达式． （2）小宇跑完全程所需的时间． （3）爸爸中途接电话停留了多少时间？ 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将s＝21代入（1）中得到的函数关系式，求出对应的t的值，再减去出发的时间即可； （3）根据速度＝路程÷时间求出爸爸的速度，由时间＝路程÷速度求出爸爸跑完全程所用时间，根据题意求出爸爸到达终点的时间，爸爸到达终点的时间与爸爸跑完全程所用时间的差即为他中途接电话停留的时间． 【解答】解：（1）10分钟小时． 设小宇离开出发点的路程s与爸爸离开出发点的时间t的函数表达式为s＝kt+b（k、t为常数，且k≠0）． 将坐标（，0）和（1，10）分别代入s＝kt+b， 得， 解得， ∴小宇离开出发点的路程s与爸爸离开出发点的时间t的函数表达式为s＝12t﹣2． （2）当s＝21时，得12t﹣2＝21， 解得t， （h）． 答：小宇跑完全程所需的时间为h． （3）爸爸的速度为10÷1＝10（km/h）， 爸爸跑完全程所用时间为21÷10＝2.1（h）， 爸爸到达终点的时间为（h）， （2.1）×60＝12（分钟）． 答：爸爸中途接电话停留了12分钟． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 24．（12分）小明思考解决如下问题： 原题：如图，∠A＝36°，点B，C分别是射线AN，AM上的动点，以BC为腰在△ABC的外侧作等腰△BCD，使∠CBD＝108°，过点D作DE⊥AN于点E，交射线AM于点F，过点D作DG∥AN交AM于点G，探究线段AC与GF的数量关系． 小明与同桌讨论后，进行如下解答： （1）特殊情况，探索结论 ①如图1，当点G与点A重合时，点D与点E重合，小明探索得GF＝2AC，请你证明． ②如图2，当点G与点C重合时，小明取GF的中点H，连结DH，探究得到线段AC与GF的数量关系，请你完善小明的探究过程． （2）特例启发，解答题目 解：如图3，取GF的中点H，连结DH（请完成后续解答过程）． 【分析】（1）证明CE＝AC，CE＝CF可得结论； （2）如图2中，取GF的中点H，连结DH．证明△DGH≌△DGB（ASA），推出DH＝GH＝BD＝BG＝AG可得结论； （3）如图3中，取GF的中点H，连结DH．过点D作DJ∥AM交AE于点J，连接CJ，在AB上截取线段AP，使得AP＝AC，连接PC，在线段BE上截取线段BL，使得BL＝PC，连接DL．设BC，DJ交于点O．证明△HGD≌△CAJ（ASA），推出AC＝GH可得结论． 【解答】证明：（1）如图1中， ∵BC＝BD，∠CBD＝108°， ∴∠BCE＝∠BEC＝36°， ∵∠A＝36°， ∴∠A＝∠AEC＝36°， ∴AC＝CE， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AFE＝∠FEC＝54°， ∴CE＝CF， ∴FG＝2AC； （2）如图2中，取GF的中点H，连结DH． ∵EF⊥AE，DG∥AE， ∴DG⊥EF， ∵FH＝HG， ∴DH＝HG＝HF， ∵DG∥AB， ∴∠ABG＝∠BGD＝36°，∠HGD＝∠HDG＝36°， ∴GA＝GB， ∵DG＝DG，∠HGD＝∠HDG＝∠BGD＝∠BDG＝36°， ∴△DGH≌△DGB（ASA）， ∴DH＝GH＝BD＝BG＝AG， ∴FG＝2AC； （3）如图3中，取GF的中点H，连结DH．过点D作DJ∥AM交AE于点J，连接CJ，在AB上截取线段AP，使得AP＝AC，连接PC，在线段BE上截取线段BL，使得BL＝PC，连接DL．设BC，DJ交于点O． ∵EF⊥AE，DG∥AE， ∴DG⊥EF， ∵FH＝HG， ∴DH＝HG＝HF， ∵∠A＝36°，AP＝AC， ∴∠APC＝∠ACP＝72°， ∴∠PBC+∠PCB＝72°， ∵∠CBD＝108°， ∴∠PBC+∠DBL＝72°， ∴∠DBL＝∠PCB， ∵CP＝BL．CB＝BD， ∴△CPB≌△BLD（SAS）， ∴PB＝DL，∠PBC＝∠BDL， ∵DJ∥AM， ∴∠OJB＝∠A＝36°， ∴∠OJB＝∠OCD， ∵∠COD＝∠JOB， ∴∠OBJ＝∠CDO， ∴∠CDO＝∠BDL， ∴∠CDB＝∠JDL＝36°， ∴∠DJL＝∠JDL＝36°， ∴DL＝JL＝PB， ∴PJ＝BL＝PC， ∴∠PCJ＝∠PJC＝36°， ∵DG∥AB，DJ∥AG， ∴四边形AJDG是平行四边形， ∴DG＝AJ， ∵∠HDG＝∠HGD＝∠A＝∠CJA＝36°， ∴△HGD≌△CAJ（ASA）， ∴AC＝GH， ∴GF＝2AC． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/12 10:48:48；用户：宋逸扬；邮箱：18267209186；学号：49240137 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $