1.1 数列的概念及其函数特性（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.1数列的概念及其函数特性 一数列定义判断（如数集与数列区别、有序性） 定义相关题型⊙ 数列分类（无穷/有穷数列） 数列的概念O 通项公式存在性判断 通项公式相关题型。 通项公式唯一性判断 奇偶项特征型（如a,b,a,b…) 观察法求通项。 分子分母规律型 符号交转型 二、通项公式求解0 特殊结构型（如6,66,666…） 已知条件求通项。 已知前n项求通项 已知递推公式求通项 已知通项公式求项。 一求指定项（如第n项） 判断某数是否为数列的项 三、数列项的求解⊙ 逐项迭代求项 已知递推公式求项。 周期数列求项（先找同期） 图象相关题型。 数列图象判断（孤立点特性） -判断数列单调性（递增/递减/严格增减） 单调性相关题型©一 求单周数列的参改范围 四、敌列的函数特性⊙ 单调性与充分必要条件结合 求数列最大/最小项 最值相关题型© 已知最值项求参数范围 周期相关题型⊙ 判断数列周期性 一利用周期性求项或前n项和 恒成立问题 不等式恒成立求参数范国（分奇偶项） 新定义数列问题。 T数列、间隔递增数列等新定义判断与求解 五、综合应用 数列与二次函数、对数函数结合 数列与函数、 不等式结合0 一数列与不等式综合求参数 实际应用与规律探究◇ 形数（三角数、正方形数、六边形数）问题 有机物结构、图形点数等规律探究 基础达标题 题型一数列的有关概念 1.B 2.⑤ 3.ABD 4.D 5.A 题型二观察法求数列的通项公式 1.C 2.C 3.【详解】(1)数列的奇数项为，偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示， a,n为奇数 记为a气。为得数也可记为4，=+--6 2,nEN. (2)这个数列的前4项为2-，32-1.42-152-1 2 3， 4 5 1/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1， (n+1)2- 故an= -,nEN'. n+1 (3)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，，是连续的奇数，且奇数项为正，偶数项为负， a =(-1)"(2n-1),neN'. 这个数列胸前4项为高女45 它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正， 故an= （-1” neN'. n(n+l) (5)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察，二，，2， 22222 其分母都是2，分子都是序号的平方， 故a,=n EN (6)因为-3=-八×写×10-小，3=(-×写×10-，-33=(-×分×100-刂 所以。，=10- ,nEN'. 3 4.【详解】(1)观察数列中的数，可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1，…，所以它的一个通 项公式是am=n2-1: (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的 一个通项公式为an=(-1)"(2n-1; (3)因为5=22+1,10=32+1,17=42+1，所以数列的一个通项公式为an= n2-n n2+1 （4原数列的各项可变为×9，×99，×99，×999.，易知数列9,9,99,999，，的一个通项 9 39 公式为10-1，所以原数列的一个通项公式为0,10-刂。 5.【详解】(1)该数列的分子成公差为2的等差数列，分母成公比为2的等比数列， 则a,=2n+1 2”9 (2)该数列是正负交错的摆动数列，被开方次数依次递增， 故an=(-1)n 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)9,99,999.的一个通项公式为bn=10"-1; 则6,66,66的一个通项公式为6=号10-刂-10-明片 (4)1,-1,1,-1,1,·的一个通项公式为an=（-11, 则2,0,2,0,2，. 的一个通项公式为b,=(-1)+1。 题型三己知数列通项公式、递推公式求数列的某一项或项数 1.D 28 901 3.B 4.B 5.15 6.【详解】(1)因为an=2n-1,所以a,=2×1-1=1,a2=2×2-1=3, a=2×3-1=5,a4=2×4-1=7,a=2×5-1=9 (2)因为a,=3+-, n 所以43+-日=2·4，- =3+-=2 1 3+-1=2,a= 2 33 4 5-5 7.A 8.【详解】(1)由于an=2n+3: ∴.4=5，a2=7,，a3=9,a4=11,a5=13: 13 87 6 5432 0123456n (2)an=3; .41=3,a2=3,03=3,a4=3,a5=3; 3/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 an 5 3 2 0123456n 3)a,=32- 7 31 4-4,=1,4-3’a=5,4=3 ◆an ● 10 8 6 2 1 0123456 1,n为奇数 (4)an= 2n-l,n为偶数 41=1,a2=3,43=1,a4=7,a5=1. 4 3 14 0123456n 9.B 10.B 11.CD 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.BC 14.2 15.2 题型四数列的函数特性 1.B 2.A 3.B 4.B 5.c 6.BC 7对 3 8.-0,3 9【详解】将4、4代入通项公式符-分+9，子心+9，解得P方9， 2 -1在R上单调递减， -1为递减数列， “数列的最大项为其第一项a=号 10.【详解】(1)a1=1-8+5=-2,a2=4-16+5=-7,a=9-24+5=-10,a4=16-32+5=-11, a=25-40+5=-10,图象如下： 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 无 ● -5 -10 (2)an=n2-8n+5=(n-4)2-11,当n=4时，a,取得最小值，a4=-11为最小项 B 能力提升题 题型一根据现有数列规律推测某一项或通项 1.5n+1/1+5n ● 2.【详解】(1) ● ● ● ● ● ●● ● ● (10) (13) 有a1=3×1-2=1,a2=3×2-2=4,a3=3×3-2=7,…故an=3×n-2=3n-2; 00OO00 0○○○○ (2) 000○00 000○○00○00○○0 (24) (35) a1=3×1=3,a2=4×2=8,a3=5×3=15,……故an=n+2×n=n2+2n. 3.C 4.A 5.A 6.C 6/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.BD 8.ABC 题型二数列的函数特性的应用 1.A 2.B 3.D 4.【详解】列表如下： n 1 3 6 8 a -30 30 -28 -24 -18 -10 0 12 作图如下： 10 5 2468x -10 -15 -20 25 30.· 如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增 5.BC 6.BC 7.【详解】列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 a -10 -19 -24 -25 -22 -15 11 作图如下 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 an木 1 02468方 -5 -10外 -15 -20· 25. 如图所示，当n=4时，a4=-25,是数列最小项 8【详解】令2a-7≥0，则n≥号藏m<号时2-7<0， 7 7-2n,n∈{1,2,3} 所以an= ，故该数列的先递减后递增， 2n-7,n24 又a1>a2>a,=a4=1<a<…<an,故数列最小项为第三、四项为a,=a4=1. 9.D 10.A 11.c 12.【详解】解：a1-an= 是-”3=)，当1≤ns3时，a-a,>0,即4<4<a,< 2*2” 当n=4时，an+1-an=0,即a5=a4,当n≥5时，a1-an<0,即a5>a6>a,>…, 所以{an}在l≤n≤4n∈N)时单调递增，在n≥5n∈N)时单调递减： 所以数列a的最大项为4=a=6,又a<4<0,当≥3aeN,a=”,二3≥0， 1 2 所以数列(an}的最小项为a,=-1. 13.4 14.BCD 题型三根据数列的单调性求参数 1.c 2.A 3.A 4.B 8/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.D 题型四数列中的恒成立问题 1.D 2.D 3.C 4品动》 5.【详解】(1)由an=n2+kn, 《号 对称轴x=-, 因为不等式0，之a,恒成立，所以≤-s 所以-13≤k≤-11 (2)由a,=2+n,对称轴x=- 因为数列a,仅第7项最小，所以<-真<15 2 22 解得-15<k<-13 拓展培优题 1.19 2.D 3.B 4.B 5.BCD 6.BCD 9/9 1.1 数列的概念及其函数特性 题型一 数列的有关概念 1.现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】考查了数列的定义、分类及通项公式和函数特性. 【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确； 对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值， 依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确； 对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等， 即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确； 对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 2.下列说法：①数列，，，与，，，是相同数列；②数列，，，可表示为；③数列，，，，…的一个通项公式为；④数列，，，，…是常数列；⑤数列是严格递增数列，其中正确的是______．（填编号） 【答案】⑤ 【分析】考查了数列的有序性、增减性和通项公式的作用，注意数列与集合的区别. 【详解】对于①，数列中的项是有序的，，，，与，，，项的排序不同，不是相同数列，①错误； 对于②，表示集合，其中元素无序；数列，，，，各项是有序的，不可以用来表示，②错误； 对于③，当时，，不是该数列的一个通项公式，③错误； 对于④，常数列是指各项均为同一常数的数列，④错误； 对于⑤，若，则，，数列是严格递增数列，⑤正确. 故答案为：⑤. 3.【多选】下列说法正确的是（ ） A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一 C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示 【答案】ABD 【分析】根据数列相关的概念逐项分析即可. 【详解】对于A，由数列定义知，数列是以项数为自变量，项为因变量的特殊函数，故可以用图象来表示，A正确； 对于B，若数列有通项公式，则该数列的通项公式不一定唯一， 例如：数列的通项公式可以为， 也可以为，B正确； 对于C，数列中的项可以相等，如常数列，C不正确； 对于D，由数列是特殊的函数且知，数列可以用一群孤立的点表示，D正确. 故选：ABD 4..将正整数的前5个数作如下排列： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2.那么可以称为数列的是（ ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】考查了数列的定义，按照一定次序排成的一列数称为数列. 【详解】解：根据数列的定义，四个都构成数列,所以选D. 5.下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【分析】利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答. 【详解】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 题型二 观察法求数列的通项公式 1.若数列的前五项分别为，，，，，则下列最有可能是其通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用观察法求解. 【详解】数列，，，，， ，，，，， 所以数列的一个通项公式是， 故选：C. 2.数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据规律求得数列的一个通项公式，从而确定正确答案. 【详解】数列， 即， 所以数列的通项公式可以为. 故选：C 3.写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…； (3)； (4)，，，，…； (5)，2，，8，，…； (6)，33，，3 333，…. 【答案】(1)（） (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据奇偶项的特征即可写出通项公式； （2）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （3）根据奇偶项的符号与序号之间的关系即可写出通项公式； （4）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （5）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （6）根据前4项的结构特征即可写出通项公式； 【详解】（1）数列的奇数项为a，偶数项为b，因此通项公式可用分段形式来表示， 记为，也可记为． （2）这个数列的前4项为，，，， 其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1， 故． （3）数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的奇数，且奇数项为正，偶数项为负， 故． （4）这个数列的前4项为，，，， 它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正， 故. （5）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察， 其分母都是2，分子都是序号的平方， 故. （6）因为 所以． 4.写出下列数列的一个通项公式． (1) (2) (3)0，，，，…； (4)1，11，111，1 111，…. 【答案】(1)； (2); (3); (4). 【分析】（1）将给定的5项都加1即为项数的平方,即可写出一个通项； （2）所给5项正负相间，其绝对值为前5个正奇数，由此即可写出一个通项； （3）分母为项数的平方加1，观察即可写出一个通项； （4）把所给4项变形，并用10的整数次幂减去1的形式表示出来，观察即可写出一个通项. 【详解】（1）观察数列中的数，可以看到所以它的一个通项公式是； （2）数列各项的绝对值为是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为； （3）因为所以数列的一个通项公式为； （4）原数列的各项可变为，易知数列9，99，999，9 999，…，的一个通项公式为，所以原数列的一个通项公式为． 5.写出下面数列的一个通项公式： (1)，，，，，…； (2)1，，，，，…； (3)6，66，666，6666，66666，…； (4)2，0，2，0，2，…． 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【分析】(1)根据分子分母的特征分析数列的解析式即可； (2)结合正负交错的数列特征增加符号解析式； (3) 根据9，99，999…的通项公式求解； (4)根据数列1，-1，1，-1，1，…．的通项公式求解即可； 【详解】（1）该数列的分子成公差为2的等差数列，分母成公比为2的等比数列， 则 （2）该数列是正负交错的摆动数列，被开方次数依次递增， 故 （3）9，99，999…的一个通项公式为 则6，66，666…的一个通项公式为 （4）1，-1，1，-1，1，…．的一个通项公式为， 则2，0，2，0，2，…．的一个通项公式为. 题型三 已知数列通项公式、递推公式求数列的某一项或项数 1.在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察总结规律，直接可写出第12个数. 【详解】观察可得，数列的第个数可以写为，所以第12个数为： . 故选：D 2.按一定规律排列的数据依次为，，，，…按此规律排列，则第30个数是 ． 【答案】 【分析】根据规律写出通项公式即可求得结果. 【详解】，，，，… 所以第30个数为. 故答案为： 3.斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 【答案】B 【分析】先观察数列，再利用发现的规律求出第10项. 【详解】观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第3项起，每一项均为其前2项的数之和， 则第9项：13＋21＝34，第10项：21＋34＝55. 故该数列的第10项为55． 故选：B. 4.根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数（    ）    A．32 B．35 C．36 D．42 【答案】B 【分析】根据所给数据，找出规律即可得解. 【详解】由题意，， 所以，根据规律，， 所以， 故选：B 5.已知数列的通项公式是，则 . 【答案】 【分析】根据通项公式求得. 【详解】由于，所以. 故答案为： 6.根据下面数列的通项公式，分别说出各数列的前5项． (1) (2)． 【答案】(1)，，，， (2)，，，， 【分析】根据通项公式写出数列的前项即可. 【详解】（1）因为，所以，， ，，. （2）因为， 所以，，，，. 7.在数列中，若，则的值为（    ） A．17 B．23 C．25 D．41 【答案】A 【分析】根据给定的通项公式，直接计算即可. 【详解】依题意，. 故选：A 8.写出数列的前5项，并作出它的图象： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)，，，，，图象见解析； (2)，，，，，图象见解析； (3)，，，，，图象见解析； (4)，，，，，图象见解析． 【分析】根据数列的通项公式，写出该数列的前5项． 【详解】（1）由于； ，，，，；    （2）； ，，，，；    （3）； ，，，，；    （4）． ，，，，．    9.已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】结合通项公式，利用列方程求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得． 故选：B. 10.已知数列，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D． 【答案】B 【分析】根据规律可知数列的通项公式为，计算可得是这个数列的第22项. 【详解】由题意可得数列的通项公式为， 又，解得， 所以是这个数列的第22项． 故选：B． 11.已知数列1，，，，…，，…，则下列说法正确的是（    ） A．是它的第3项 B．是它的第4项 C．是它的第9项 D．是它的第16项 【答案】CD 【分析】直接计算和时的结果来判断. 【详解】当时，，C正确，A错误； 当时，，故D正确，B错误． 故选：CD． 12.已知数列的通项公式是，那么（    ） A．30是数列的一项 B．45是数列的一项 C．66是数列的一项 D．90是数列的一项 【答案】BC 【分析】根据通项公式解方程结合即得 【详解】分别令的值为30，45，66，90， 可知只有当时，或（舍去）  ； 当时，或 （舍去），故45，66是数列的一项． 故选：BC 13.已知数列的首项为，递推公式为，则 ． 【答案】 【分析】利用递推公式逐项计算可得出的值. 【详解】由题意，. 故答案为：. 14.已知数列满足，，，则 . 【答案】2 【分析】由递推式写出项即可. 【详解】由题设，，，，. 故答案为：2 15.设，数列满足，若，则 ． 【答案】2 【分析】由题意结合新定义的数列逐步往前迭代即可列方程求解. 【详解】，所以． 故答案为：2. 题型四 数列的函数特性 1.数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【答案】B 【分析】根据数列的知识确定正确答案. 【详解】数列对应点为， 所以图象是直线上孤立的点. 故选：B 2.设数列满足，且，则（    ） A．-2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】判断出数列的周期为4，即可求解. 【详解】因为，， 所以，，，， 显然数列的周期为4，而，因此. 故选：A. 3.数列中最大的项是（    ） A．107 B．108 C． D．109 【答案】B 【分析】配方后，利用二次函数知识可求出结果. 【详解】因为 ， 所以当时，取得最大值. 故选：B 4.已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用得到，求出时，取得最大值，得到答案. 【详解】要想为递增数列，则恒成立， 故， 又时，取得最大值，最大值为，故， 故选：B 5.已知数列的通项公式为，则“”是“数列为严格增数列”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的单调性即可求解 【详解】当时，则，所以， 所以能推出数列为严格增数列； 当数列为严格增数列时，则能推出， 故“”是“数列为严格增数列”的充要条件 故选：. 6.（多选）已知函数，设数列的通项公式为，则此数列（    ） A．图象是二次函数的图象 B．是递减数列 C．从第3项往后各项均为负数 D．有两项为1 【答案】BC 【分析】根据题意作出数列的图象，利用图象分析判断即可 【详解】由题意得，由数列与函数的关系可知，数列的图象是分布在二次函数图象上的离散的点，如图所示，故A错， 从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，只有第2项为1，从第3项往后各项为负数项，所BC正确，D错误， 故选：BC 7.已知数列的通项公式为：，则的最小值为 ，此时的值为 . 【答案】 【分析】分类讨论去绝对值，即可根据通项公式的单调性判断求值. 【详解】，已知先减后增，且. 故的最小值为，此时的值为3. 故答案为：；3. 8.已知为递减数列，且对于任意正整数n，恒成立，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】对于任意正整数n，恒成立，再由,可以构造出一个关于λ的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】∵恒成立，又由，∴恒成立， 即对于任意正整数n恒成立，∴，所以的取值范围是. 故答案为：. 9.已知数列的通项公式为，且，． (1)求的通项公式； (2)求该数列的最大项． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据、即可求出p和q，从而求出； (2)根据指数函数单调性即可判断. 【详解】（1）将、代入通项公式得，，解得，， ∴； （2）∵在R上单调递减， ∴为递减数列， ∴数列的最大项为其第一项. 10.已知数列的通项公式是． (1)写出这个数列的前5项，并作出它的图象； (2)这个数列中有没有最小的项？ 【答案】(1)，，，，，图象如下： (2)有，为最小项. 【分析】（1）代入求出数列的前5项，画出图象；（2）配方求最值. 【详解】（1），，，，，图象如下： （2），当时，取得最小值，为最小项 题型一 根据现有数列规律推测某一项或通项 1.如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键 个．(用含n的代数式表示)    【答案】/ 【分析】由图分别得到第1个图，第2个图，第3个图中化学键的个数,由数的规律找到第个图中化学键的个数. 【详解】由图，第1个图中有6个化学键； 第2个图中有11个化学键； 第3个图中有16个化学键， 观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键， 则第个图有个化学键. 故答案为： 2.根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式． (1) (2) 【答案】(1)图形见解析， (2)图形见解析， 【分析】根据每一个图形与项数n的关系进行仔细观察，发现规律，列出前几项，即可猜想出每个图形对应的通项公式． 【详解】（1） 有，，，故； （2） ，，，故. 3.公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【答案】C 【分析】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项. 【详解】六边形数从小到大排成一列，形成数列， 依题意，，归纳得， 所以.故选：C 4.在数列中，若，则下列数不是中的项的是（    ） A．-1 B．-2 C．3 D． 【答案】A 【分析】推出为周期数列，且周期为4，得到答案. 【详解】由题意得， 所以为周期数列，且周期为4.故选：A. 5.已知数列的首项，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，发现周期，根据周期来求解. 【详解】由题可得，，，， 故是以4为周期的周期数列，故．故选：A. 6.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列，则484是数列中的第（    ） A．12项 B．13项 C．14项 D．15项 【答案】C 【分析】先利用两数列的通项公式分析两数列相同项的特点，得到的奇偶项的性质，从而得解. 【详解】设，则，可得， 则为3的倍数或为3的倍数， 设或，则或， 故的奇数项项数为t，偶数项项数为r， 又，由，解得（舍去）， 由，解得，484是数列中的第14项．故选：C． 7.(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由已知条件，得出三角形数前面是1，3，6，10，相邻两数后一个与前一个的差增加1，利用此规律，即可找出结果. 【详解】这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…， 且正方形数是这串数中相邻两数之和，容易得到：，，，，只有BD是对的． 故选：BD. 8.已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据选项中的通项对前五项一一验证即可. 【详解】对于选项A：时，，，，，，满足题意，故A正确； 对于选项B：时，，，，，，满足题意，故B正确； 对于选项C：时，，，，，，满足题意，故C正确； 对于选项D：时，，不满足题意，故D错误； 故选：ABC. 题型二 数列的函数特性的应用 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是单调递增数列，则实数t的取值范围是(　　) A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6) C．(－∞，－3) D． 【答案】A 【分析】数列也是一种函数，构建适当的函数模型能够事半功倍. 【详解】法一：因为{an}是单调递增数列，所以对于任意的n∈N*，都有an＋1>an， 即2(n＋1)2＋t(n＋1)＋1>2n2＋tn＋1，化简得t>－4n－2，所以t>－4n－2对于任意的n∈N*都成立， 因为－4n－2≤－6，所以t>－6.故选A. 法二：设f(n)＝2n2＋tn＋1，其图象的对称轴为n＝－，要使{an}是递增数列，则－<，即t>－6.故选A. 2.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 018＝(　　) A．－2 B．－1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查数列的周期性，通过列举法列出前几项即可发现规律. 【详解】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，∴a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝＝2，…，可知此数列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，则a2 018＝a672×3＋2＝a2＝－1.故选B. 3.已知数列满足，，则数列的前2023项的乘积为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题知数列是以为首项，周期为4的一个周期数列，再根据周期性求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以，所以数列是以为首项，周期为4的一个周期数列， 因为，所以，，， 所以，所以. 故选：D 4.已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 【答案】数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增 【分析】利用描点法画图，结合图象分析单调性即可. 【详解】列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… -30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 …… 作图如下：    如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增. 5.【多选】已知函数，设数列的通项公式为，则对于数列，下列说法正确的是（    ） A．该数列的图象是二次函数的图象 B．该数列是递减数列 C．该数列从第3项往后各项均为负数 D．该数列有两项为1 【答案】BC 【分析】由数列图象、二次函数图象特点判断A；根据二次函数的单调性判断B、C、D. 【详解】对于A：由数列图象各点为离散的（非连续），故数列的图象不是二次函数的图象，错； 对于B：由题设，对应二次函数开口向下，在上递减，对； 对于C：由，结合数列单调递减，故从第3项往后各项均为负数，对； 对于D：由C分析知：只有，错. 故选：BC 6.【多选】已知在数列中，，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 【答案】BC 【分析】根据二次函数的性质求最值. 【详解】依题意，，函数的开口向上，对称轴为， 由于，所以当或时，取得最小值.故选：BC 7.（2023·全国·高二随堂练习）已知，画出该数列的图象，并求数列的最小项． 【答案】详见解析 【分析】利用描点法画图，结合图象求数列最小项即可. 【详解】列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… -10 -19 -24 -25 -22 -15 -4 11 …… 作图如下    如图所示，当时，，是数列最小项. 8.已知数列的通项公式是，判断该数列的单调性，并求出这个数列的最小项． 【答案】答案见解析 【分析】写出通项公式的分段形式，直接判断数列单调性，进而确定最小项. 【详解】令，则，故时， 所以，故该数列的先递减后递增， 又，故数列最小项为第三、四项为. 9.在数列中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，利用对勾函数的单调性，可得，从而可得答案. 【详解】由题意可得． 根据对勾函数与复合函数的单调性，在上递增，在上递减， 所以在中，，当时，，； 当时，．因为，所以，所以的最大值是． 故选：D. 10.已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（　　） A．1， B．0， C．， D．1， 【答案】A 【分析】利用的单调性可得答案. 【详解】因为，所以当时，，且单调递减； 当时，，且单调递减，且， 所以最小项为，最大项为. 故选：A. 11.已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【答案】C 【分析】将分奇偶项分别作差，判断出奇数项和偶数项的单调性，从而可得结果. 【详解】数列, 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故此时有最大项为； 当时，，， ，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故此时有最小项为， 综上，既有最大项，又有最小项.故选：C 12.已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 【答案】详见解析 【分析】由判断判断单调性后即可得最值. 【详解】解：，当时，，即， 当时，，即，当时，，即， 所以在时单调递增，在时单调递减； 所以数列的最大项为，又，当，， 所以数列的最小项为. 13.在数列中，，，则数列的最大项的值是 ． 【答案】4 【分析】根据已知条件判断出和的大小，得出数列的单调性即可求解. 【详解】根据以及，可知， 所以①，则②， 由②①得，即 ， 因为，所以与同号， 又因为，且， 所以，所以数列为单调递减数列， 所以因此数列的最大项是，其值是4． 故答案为：4. 14.已知数列的通项为，，则（    ） A．数列的最小项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小值为－0.8 D．数列的最大值为2.4 【答案】BCD 【分析】由 判断选项AB，由判断选项CD. 【详解】解： ，当时，，则单调递增； 当时， ，则单调递减，又，，，所以数列的最大项为，无最小项，故A错误，B正确； ， 当时， 单调递减，； 当时，各项为正且单调递减， 所以数列的最小值为，数列的最大值为，故CD正确，故选：BCD 题型三 根据数列的单调性求参数 1.若（为正整数）是严格减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为对于恒成立，进而得到对于恒成立，即可求解. 【详解】由数列是严格减数列，所以对于恒成立， 又由， 可得，即对于恒成立，又由，所以. 故选：C. 2.已知，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】作差，利用二次函数性质可判断充分性；取可判断必要性. 【详解】充分性：， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 所以的最小值为，因为，所以， 所以，即数列是递增数列.“”是“数列是递增数列”的充分条件. 必要性：显然，当时，为递增数列.“”是“数列是递增数列”的不必要条件. 综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.故选：A 3.数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当时，可得，知充分性成立；由数列单调性可知，从而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得结论. 【详解】当时，， 数列为递增数列，充分性成立； 当数列为递增数列时，， 恒成立，又，，必要性不成立； “”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选：A. 4.已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段情况下，对任意，都有，只需保证每一段递增，且，结合数列的单调性求解. 【详解】当时，， 由，得，即， ∵且，，∴，解得.当时，单调递增， 若对任意，都有，则且，即且，解得， 则实数的取值范围是.故选：B. 5.已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一次函数与指数函数的性质，结合数列的增减性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为数列是递增数列，且， 所以，解得， 则的取值范围是． 故选：D． 题型四 数列中的恒成立问题 1.若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分奇偶讨论，利用最值求解即可得解. 【详解】当为正奇数时，，即恒成立， 因为，所以，所以， 所以； 当为正偶数时，恒成立， 因为，所以，所以, 所以. 综上所述：. 故选：D 2.已知数列满（），且对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列单调性结合二次函数的性质分析求解. 【详解】由题意可知：，且开口向上，对称轴为， 可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：D. 3.已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的单调性，即可根据对恒成立，以及求解. 【详解】当时，恒成立， 所以对恒成立，故， 又当时，为单调递增的数列， 故要使对任意，都有，则，即， 解得，综上可得，故选:C 4.已知数列的通项公式为，若满足 ，且 ，对任意 恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式与二次函数的关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意，数列的通项公式为，满足 ，且 ，对任意 恒成立， 当时，显然不合题意， 根据二次函数性质可得，解得， 实数的取值范围是， 故答案为：. 5.数列的通项公式为， (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)数列仅第7项最小，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是关于的二次函数，求出对称轴，找到对称轴与角标的关系，求得结果；（2）与（1）类似，注意对称轴与角标的关系中的等号问题. 【详解】（1）由， ，对称轴， 因为不等式恒成立，所以， 所以. （2）由，对称轴， 因为数列仅第7项最小，所以， 解得. 1.Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过的最简分数及0（视为）和1（视为：）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是．则F－7的项数为 ． 【答案】19 【分析】根据Farey序列构成的数列的性质，利用列举法，即可求解. 【详解】根据题意Farey序列构成的数列， 可得的各项为：， 共有项，所以的项数为. 故答案为：. 2.若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由T数列的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】当时，是单调递减数列，，因为，当时，单调递增，所以是单调递增数列，所以是T数列，故A错误； 当时，易知不是递增数列，因为，所以是单调递增数列，所以是T数列，故B错误； 因为，所以是递减数列，因为，且是单调递增数列，所以是T数列，故C错误； 当时，，所以不是单调递增数列，不是T数列，故D正确. 故选：D 3.已知在数列中，，，则数列的周期为  （    ） A．3 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【分析】构造数列，通过正切函数的周期性可得. 【详解】由联想到两角和的正切公式， 把换为，则 ， ，，； 所以，即. 所以数列的周期为6.故选：B. 4.对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】由数列通项公式写出前n项，结合数列 “谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”. 【详解】由an＝，则，，， 当时恒有，则，此时递增， 综上，故数列的“谷值点”为2、7，共2个. 故选：B. 5.（多选题）已知正项数列满足：，则（    ） A． B．是递增数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用递推公式计算，由结果判断是递增数列，再把的结果进行放大和缩小可判断C,D选项. 【详解】由得，即，解得，因为正项数列，所以，故A错误； 因为，又正项数列， 所以，即，因此是递增数列，故B正确； 由上可知，，所以，即，故C正确； 因为，即， 所以，，，…，， 因此，，即，故D正确. 故选：BCD. 6.设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是数列的“间隔数”，下列选项正确的是（    ） A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知，则数列是间隔递增数列 C．已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2 D．已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 【答案】BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义，通过计算，根据其正负取值情况来判断各个选项. 【详解】对于A：设等比数列的公比为， 则， 因为，所以当时，，故A错误； 对于B：， 对于函数，明显其在上单调递增， 则， 当，即时，，B正确； 对于C：， 当为奇数时，，存在，使成立， 当为偶数时，，存在，使成立， 综上，数列是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C正确； 对于D：若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3， 则对恒成立， 即， 解得，又该不等式的解为 所以，解得，可以得到，D正确； 故选：BCD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 数列的概念及其函数特性 题型一 数列的有关概念 1.现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.下列说法：①数列，，，与，，，是相同数列；②数列，，，可表示为；③数列，，，，…的一个通项公式为；④数列，，，，…是常数列；⑤数列是严格递增数列，其中正确的是______．（填编号） 3.【多选】下列说法正确的是（ ） A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一 C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示 4..将正整数的前5个数作如下排列： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2.那么可以称为数列的是（ ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 5.下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 题型二 观察法求数列的通项公式 1.若数列的前五项分别为，，，，，则下列最有可能是其通项公式的是（    ） A． B． C． D． 2.数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3.写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…； (3)； (4)，，，，…； (5)，2，，8，，…； (6)，33，，3 333，…. 4.写出下列数列的一个通项公式． (1) (2) (3)0，，，，…； (4)1，11，111，1 111，…. 5.写出下面数列的一个通项公式： (1)，，，，，…； (2)1，，，，，…； (3)6，66，666，6666，66666，…； (4)2，0，2，0，2，…． 题型三 已知数列通项公式、递推公式求数列的某一项或项数 1.在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（    ） A． B． C． D． 2.按一定规律排列的数据依次为，，，，…按此规律排列，则第30个数是 ． 3.斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 4.根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数（    ）    A．32 B．35 C．36 D．42 5.已知数列的通项公式是，则 . 6.根据下面数列的通项公式，分别说出各数列的前5项． (1) (2)． 7.在数列中，若，则的值为（    ） A．17 B．23 C．25 D．41 8.写出数列的前5项，并作出它的图象： (1)； (2)； (3)； (4) 9.已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C． D． 10.已知数列，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D． 11.已知数列1，，，，…，，…，则下列说法正确的是（    ） A．是它的第3项 B．是它的第4项 C．是它的第9项 D．是它的第16项 12.已知数列的通项公式是，那么（    ） A．30是数列的一项 B．45是数列的一项 C．66是数列的一项 D．90是数列的一项 13.已知数列的首项为，递推公式为，则 ． 14.已知数列满足，，，则 . 15.设，数列满足，若，则 ． 题型四 数列的函数特性 1.数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 2.设数列满足，且，则（    ） A．-2 B． C． D．3 3.数列中最大的项是（    ） A．107 B．108 C． D．109 4.已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知数列的通项公式为，则“”是“数列为严格增数列”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 6.（多选）已知函数，设数列的通项公式为，则此数列（    ） A．图象是二次函数的图象 B．是递减数列 C．从第3项往后各项均为负数 D．有两项为1 7.已知数列的通项公式为：，则的最小值为 ，此时的值为 . 8.已知为递减数列，且对于任意正整数n，恒成立，恒成立，则的取值范围是 . 9.已知数列的通项公式为，且，． (1)求的通项公式； (2)求该数列的最大项． 10.已知数列的通项公式是． (1)写出这个数列的前5项，并作出它的图象； (2)这个数列中有没有最小的项？ 题型一 根据现有数列规律推测某一项或通项 1.如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键 个．(用含n的代数式表示)    2.根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式． (1) (2) 3.公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 4.在数列中，若，则下列数不是中的项的是（    ） A．-1 B．-2 C．3 D． 5.已知数列的首项，且，则（    ） A．3 B． C． D． 6.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列，则484是数列中的第（    ） A．12项 B．13项 C．14项 D．15项 7.(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（    ）    A． B． C． D． 8.已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 题型二 数列的函数特性的应用 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是单调递增数列，则实数t的取值范围是(　　) A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6) C．(－∞，－3) D． 2.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 018＝(　　) A．－2 B．－1 C．2 D． 3.已知数列满足，，则数列的前2023项的乘积为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4.已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 5.【多选】已知函数，设数列的通项公式为，则对于数列，下列说法正确的是（    ） A．该数列的图象是二次函数的图象 B．该数列是递减数列 C．该数列从第3项往后各项均为负数 D．该数列有两项为1 6.【多选】已知在数列中，，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 7.（2023·全国·高二随堂练习）已知，画出该数列的图象，并求数列的最小项． 8.已知数列的通项公式是，判断该数列的单调性，并求出这个数列的最小项． 9.在数列中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 10.已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（　　） A．1， B．0， C．， D．1， 11.已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 12.已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 13.在数列中，，，则数列的最大项的值是 ． 14.已知数列的通项为，，则（    ） A．数列的最小项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小值为－0.8 D．数列的最大值为2.4 题型三 根据数列的单调性求参数 1.若（为正整数）是严格减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件 3.数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 数列中的恒成立问题 1.若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知数列满（），且对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4.已知数列的通项公式为，若满足 ，且 ，对任意 恒成立，则实数的取值范围是 . 5.数列的通项公式为， (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)数列仅第7项最小，求实数的取值范围． 1.Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过的最简分数及0（视为）和1（视为：）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是．则F－7的项数为 ． 2.若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（    ） A． B． C． D． 3.已知在数列中，，，则数列的周期为  （    ） A．3 B．6 C．9 D．15 4.对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 5.（多选题）已知正项数列满足：，则（    ） A． B．是递增数列 C． D． 6.设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是数列的“间隔数”，下列选项正确的是（    ） A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知，则数列是间隔递增数列 C．已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2 D．已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $