精品解析：浙江省杭州市文海中学2025-2026学年上学期期末模拟检测九年级数学试题

杭州市文海中学2025学年第一学期期末模拟检测 九年级（数学）试卷 答题时间120分钟 总分120分 温馨提示： 1．答题前，必须在答题卷规定区域内填写姓名、班级、学号，填涂准考证号等信息． 2．本试卷分试题卷和答题卷两部分，所有答案都必须做在答题卷标定的区域内，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试结束后，上交答题卷． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 抛物线y＝x2﹣9与y轴的交点坐标是（　　） A. （﹣9，0） B. （0，﹣9） C. （3，0） D. （0，3） 3. 若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A. 1：3 B. 1：9 C. 3：1 D. 9：1 4. 已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ） A. 若y1y2＞0，则y3y4＞0 B. 若y1y4＞0，则y2y3＞0 C. 若y2y4＜0，则y1y3＜0 D. 若y3y4＜0，则y1y2＜0 10. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题每小题3分，共18分） 11. 抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数向上为偶数的概率为_______． 12. 将向左平移2个单位，所得的函数表达式为________． 13. 已知一个正多边形的外角是，则该多边形的内角和为_____． 14. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 15. 已知二次函数，当时，函数有最大值，则________． 16. 如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连接，，与交于点，且满足，．若，，则弦_____，线段_____． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. （1）计算：． （2）已知扇形面积为，半径为6，求扇形的弧长？ 18. 一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求： （1）摸出的2个球都是白球的概率． （2）摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率． 19. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）． 21. 点是抛物线与直线的一个交点． （1）求a，b的值及抛物线的对称轴． （2）设点是抛物线上一点，点是直线上一点．若，求的最大值． 22. 如图，内接于，为的直径，为上一点，为弧上一点，连结交于点，已知，． （1）求证：； （2）求的长． 23. 【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．． 飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．． 【建立模型】任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 24. 如图，是中的三条弦，点E在上，且． 连结，其中交于点G． （1）求证：． （2）若，求的度数（用含α的代数式表示）． （3）若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市文海中学2025学年第一学期期末模拟检测 九年级（数学）试卷 答题时间120分钟 总分120分 温馨提示： 1．答题前，必须在答题卷规定区域内填写姓名、班级、学号，填涂准考证号等信息． 2．本试卷分试题卷和答题卷两部分，所有答案都必须做在答题卷标定的区域内，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试结束后，上交答题卷． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4． 故选：D． 2. 抛物线y＝x2﹣9与y轴的交点坐标是（　　） A. （﹣9，0） B. （0，﹣9） C. （3，0） D. （0，3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入y＝x2﹣9，求出y的值，即为交点的纵坐标，由此得解. 【详解】x＝0时，y＝﹣9， 所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣9）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.掌握二次函数图象与坐标轴的交点坐标的求解方法是解决此题的关键. 3. 若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A. 1：3 B. 1：9 C. 3：1 D. 9：1 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出答案． 【详解】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：3， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质． 4. 已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式； 根据扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 故选：B． 5. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质，求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理得， 故选∶B． 6. 如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数，以及他选择从口进入从口离开的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种． 他选择从口进入，从口离开的概率为， 故选：A． 7. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故选D． 8. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 9. 二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ） A. 若y1y2＞0，则y3y4＞0 B. 若y1y4＞0，则y2y3＞0 C. 若y2y4＜0，则y1y3＜0 D. 若y3y4＜0，则y1y2＜0 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可． 【详解】解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2， ∵-2＜0＜2＜3＜5， ∴y3＜y2＜y4＜y1， 若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意， 若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意， 若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意， 若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 二、填空题（本题有6小题每小题3分，共18分） 11. 抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数向上为偶数的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，6个数中有3个数是偶数，根据概率公式求解即可． 【详解】根据题意可得，抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数有6中情况 ，其中有3种为向上一面为偶数， 故其概率为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 将向左平移2个单位，所得的函数表达式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将函数的图象向左平移2个单位，得到：， 故答案为：． 13. 已知一个正多边形的外角是，则该多边形的内角和为_____． 【答案】##540度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．先思考正多边形的外角和为，再根据一个外角为，求出正多边形的边数，然后求出多边形的内角和即可． 【详解】解：正多边形的边数是：， 正多边形的内角和为：． 故答案为：． 14. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义，而是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段原线段的倍，计算即可． 【详解】解：∵线段，点M是黄金分割点，， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 已知二次函数，当时，函数有最大值，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，可知当时，随的增大而减小，所以当时，函数有最大值，可得，即可求出答案． 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，函数有最大值， ， 解得或3， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性以及二次函数的最值，熟练运用二次函数的图象和性质是解题的关键． 16. 如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连接，，与交于点，且满足，．若，，则弦_____，线段_____． 【答案】 ①. 4 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 由圆周角定理得，利用证明得到，再证明，利用相似三角形对应边成比例计算即可求出，通过相似三角形得到，进而可得到． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 或（舍去）． ∵， 连接， ∴． 故答案为：4；2． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. （1）计算：． （2）已知扇形面积为，半径为6，求扇形的弧长？ 【答案】 （1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算以及弧长公式，熟练掌握公式是解题关键； （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行减法计算即可； （2）根据扇形的面积公式即可求得扇形的弧长． 【详解】解：（1） ； （2）设扇形的弧长为， ∵ 扇形面积公式为 ，且 ，， ∴ ， 化简得 ， ∴ ， ∴扇形的弧长为 ． 18. 一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求： （1）摸出的2个球都是白球的概率． （2）摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，正确画出树状图得到所有可能结果是解答的关键． （1）从树状图中找出摸出的2个球都是白球的结果数，再利用概率公式求解即可； （2）从树状图中找出摸出1个是白球，1个是红球的结果数，再利用概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的结果有4种， ∴摸出的2个球都是白球的概率为． 【小问2详解】 解：由树状图可知，摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果有4种， ∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为． 19. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数是． 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 20. 如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点A到地面的高度．他们绘制了如图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离（精确到，参考数据：，）． 【答案】展板最高点A到地面的距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，     ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：展板最高点A到地面的距离为． 21. 点是抛物线与直线的一个交点． （1）求a，b的值及抛物线的对称轴． （2）设点是抛物线上一点，点是直线上一点．若，求的最大值． 【答案】（1） ，，对称轴为直线 （2） 最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． （1）把点A的坐标代入直线解析式可求得b的值，再把点A的坐标代入抛物线解析式可求得a的值，再将一般式化为顶点式即可求得抛物线对称轴； （2）由，可得，整理后利用二次函数的性质可求得其最大值． 【小问1详解】 解：把代入，解得， 把代入得，解得， 抛物线解析式为， ， 抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：， ， 当时，有最大值，最大值为 22. 如图，内接于，为的直径，为上一点，为弧上一点，连结交于点，已知，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用弧、弦、圆心角的关系推得，再由同弧或等弧所对的圆周角相等即可证明； （2）结合半圆（直径）所对的圆周角是直角，用勾股定理解三角形求出，再证明，结合相似三角形的性质即可求得，由即可得解． 【小问1详解】 证：， ， ； 【小问2详解】 解：是的直径， ， ，， 中，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是利用弧、弦、圆心角的关系求证，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握圆的相关性质． 23. 【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．． 飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．． 【建立模型】任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务：； 任务：米； 任务：． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式解答． 任务：由表格中的数据可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为：，把点的坐标代入解析式可得：，解方程求出的值即可； 任务：把代入关于的函数表达式，可得，解方程，可得：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，所以可得发射台高度的取值范围为． 【详解】解：任务： 二次函数经过点，， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：； 任务2：， ， ， 整理得：， 当水火箭落地（高度为）时，， 解得：（不合题意，舍去），， 答：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：设的长度为， 水火箭的抛物线解析式为， 当抛物线经过点时， ， 点的坐标为， ， 解得：， 当抛物线经过点时， ，， ， 点的坐标为， ， 解得：， 水火箭落到内（包括端点，）， ， ， 答：发射台高度的取值范围为：． 24. 如图，是中的三条弦，点E在上，且． 连结，其中交于点G． （1）求证：． （2）若，求的度数（用含α的代数式表示）． （3）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形判定与性质，圆周角定理，弦与弧的关系，等腰三角形的性质等． （1）由等弦所对弧相等，再由等弧所对圆周角相等得出，又，即可得出结论； （2）由等边对等角的性质与圆周角性质得出，即可由求解； （3）由，得，从而可求出从而求出再证，得，代入即可求解． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $