第六章 特殊平行四边形（复习课件）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定及中点四边形知识，通过表格对比边、角、对角线及对称性，结合知识图谱构建从一般平行四边形到特殊图形的逻辑脉络，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于设计“性质判定对比-典型题型剖析-分层针对训练”复习路径，如菱形折叠问题通过对称转化培养几何直观，动态最值题提升空间观念与推理能力。分层练习兼顾基础与拓展，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习方案。

单元复习课件 第六章 特殊平行四边形 鲁教版五四制·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握矩形、菱形、正方形的定义及其性质，能够区分并理解判定矩形、菱形、正方形的定理。 3.通过特殊平行四边形的学习，培养对几何图形的直观理解和空间想象能力。理解从一般平行四边形到特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质演变过程。 2.能够解决涉及特殊平行四边形折叠或旋转的几何问题，如矩形折叠问题中对称点到全等形的转化。 单元学习目标 单元知识图谱 四边形 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 互相平分 且相等 菱形 对角相等 邻角互补 中心对称图形 轴对称图形 正方形 四个角都是 直角 一、特殊平行四边形的性质 四个角都是 直角 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 对边平行且 四条边都等 对边平行且 四条边都等 互相垂直 且平分 互相垂直平分 且相等 考点串讲 四边形 几种判定的条件 矩形 菱形 正方形 二、特殊平行四边形的判定 三个角都是直角的四边形 有一个角是直角的平行四边形 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直 的平行四边形 有一个角是直角的菱形或对角线相等的菱形是正方形 对角线相等的 平行四边形 四条边都相等的四边形 一组邻边相等的 矩形或对角线垂直的矩形是正方形 考点串讲 ★三、中点四边形的性质与判定 中点四边形 几种判定的条件 平行四边形 顺次连接四边形各边上的中点 组成的四边形是平行四边形 矩形 菱形 正方形 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边上的中点 组成的四边形是矩形 顺次连接对角线相等的四边形各边上的中点 组成的四边形是菱形 顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边上的中点 组成的四边形是正方形 考点串讲 题型一：菱形的性质与判定 例1、如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是_______，面积是________。 例2、如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点 O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ） A . AC⊥BD B . AB=AD C . AC=BD D . ∠ABD=∠CBD 40 24 C 点拨：∵菱形的对角线互相垂直，∴△AOB是直角三角形，可利用勾股定理求出菱形的边长，从而求出菱形的周长。因为菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴菱形面积为24。 点拨：根据题目条件已知对角线互相平分，所以可根据菱形的判定定理：“对角线互相垂直平分或邻边相等的平行四边形等求解。 题型剖析 1、已知：如图，菱形ABCD的周长为40cm，AC，BD相交于O，且BD：AC＝３：４。 求AC，BD的长及菱形ABCD的面积。 点拨：求菱形的边长、对角线长等，通常在由菱形的一边、两条对角线一般所组成的直角三角形中，用勾股定理求解。 解析：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10cm，∵BD：AC＝３：４ ∴OB：OA=3：4，在Rt△AOB中，根据勾股定理即可求解出AO，BO的长，从而求出对角线的长度，进而利用“菱形的面积等于对角线乘积的一半求解。 解：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10cm， ∵BD：AC＝３：４　∴OB：OA=3：4　设AO＝４ｘ，BO＝３ｘ，在Rt△AOB中，（３ｘ）２＋（４ｘ）２＝10２　　∴ｘ＝２ 即OB＝6，OA＝8，∴AC＝16ｃｍ，BD＝12ｃｍ． ∴S菱形ABCD＝１２＝９６ｃｍ２ 针对训练 2、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F。求证：四边形AEDF是菱形。 点拨：证明是否为菱形时，一般根据题目中给出条件，确定菱形判定定理，本题根据“四条边都相等的四边形是菱形”这一定理求解。 解：∵ＡＤ是△ABC的角平分线　∴∠BAD=∠CAD. 又∵DE//AC，DF//AB ∴∠CAD=∠EAD，∠BAD=∠FAD ∴∠CAD=∠EAD=∠BAD=∠FAD ∴AE=DE=AF=DF ∴四边形AEDF为菱形. 针对训练 ３、如图，在菱形ABCD中，AB＝４，∠A＝60°，点E是AB的中点，点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到△A’EF．若A’E与菱形ABCD的对角线平行，求DF的长． 点拨：根据题目中给出条件，可以确定存在两种情况，即A’E//AC或A’E//BD，由此可以确定点F的位置，再利用题目中“∠A=60°，AB=4，点E是AB中点等条件，从而求出DF的长。 解：如图1，过点E作EG⊥AD于点G ∵A’E//AC　∴∠CAE=∠A’EB＝６０°. ∴∠AEA’=150°，即∠AEF=75° ∴∠AFE=45°∴△GEF为等腰直角三角形 即可求出AF=1+.∴DF=3-。 解：如图2，EF⊥AD于点F ∵A’E//BD　∴∠AEF=30° 易证△AEA’为等边三角形. 即可求出AA’=2.∴DF=2。 针对训练 ４、最值问题如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转得到菱形AB’C’D’，若B’C’与CD所在直线交于点E，则当CB’最小时，求DE的长． 点拨：如图，A、B’、C三点共线，连接AC，BD，相交于点O，先推出当A、B’、C三点共线时，CB’最小。 解：∵菱形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°， ∴∠BAC=∠CAD=∠ACB=∠ACD=30 ，∠ABC=120° AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=AD=CD=2， ∴△ABD为等边三角形，BD=2，OD=1，AC= 由旋转可得AB’＝AB＝2，∴CB’＝－2 ∴B’E＝CB’=－１，∴CE＝3－ ∴DE＝CD－CE＝－１ 针对训练 题型二：矩形的性质与判定 例1、已知矩形的一条对角线长为10ｃｍ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为＿＿＿ｃｍ、＿＿＿ｃｍ、＿＿＿ｃｍ、＿＿＿ｃｍ。 例2、如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ） A . AB＝BC B . AC⊥BD C . ∠ABC＝90° D . ∠１=∠２ 5 5 5 5 C 点拨：求矩形的边长，根据交角120°，可得等边三角形，从而额得出矩形的一条边，再用勾股定理求解另一条边长。 点拨：根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边是矩形来求解。 题型剖析 1、如图所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，沿EF折叠，点B恰好与点D重合，点C落在点G处，求折痕EF的长度。 点拨：此题要求EF的长度必须要用勾股定理来求解，因此需要做辅助线，过点E做CD的垂线段。 解：由折叠可知，∠DEF=∠BEF，DE=BE 在ABCD是矩形，CD//AB .∴∠DFE=∠FEB，即∠DEF=∠DFE. ∴DF=DE=BE，设BE=x，则DE=DF=x，则AE=8-x. 在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2 ∴62+（8-x）2=x2，解得x=，∴AE= 过点E作EH⊥CD，∴62+）2=EF2 ∴EF= 针对训练 2、已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，P，N，Q分别在AO，BO，CO，DO上，且AE＝BF＝CG＝DH。求证：四边形EFGH是矩形。 点拨：证明是否为矩形时，一般根据题目中给定的条件，选择合适的矩形判定定理，此题分析题目可知主要根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来求解。 解：∵ABCD是矩形，∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD ∵AE＝BF＝CG＝DH，∴OE=OF=OG=OH. ∴四边形EFGH是矩形 针对训练 ３、如图，在长方形ABCD中，BC＝AB，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边△BPP’，连接CP’．当点P’落在边BC上时，∠PP’C的度数为＿＿＿＿；当线段CP’的长度最小时，∠PP’C的度数为＿＿＿＿ ． 点拨：当点P’落在边上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出∠PP’C的度数；以AB为边向右作等边△BPP’，连接EP’．利用全等三角形的性质证明∠BEP’＝90°，推出点P’在射线EP’上运动，当CP’⊥EP’时，CP’的长最小，设EP’交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论． 120° 60° 针对训练 2、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，将△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求DE的长 点拨：根据题意分两种情况①点D的对应点F落在矩形的内部，②点D的对应点F落在矩形的外面，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 此题分析题目可知主要根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来求解。 解：如图所示，MNAD为矩形 ∴AD=AF=5，且AN=4 ∴FN=3，即MF=2 由折叠可知：DE=EF=ｘ 在△MEF中，ME2+MF2=EF2 可得DE=2.5 解：如图所示，MNAD为矩形∴AD=AF=5，AN=4∴FN=3，即MF=8 由折叠可知：DE=EF=ｘ在△MEF中，ME2+MF2=EF2 可得DE=10 针对训练 题型三：正方形的性质与判定 例1、如图所示，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（　　 ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 例2、下列四个命题中正确的命题是（ ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③对角线互相垂直的四边形是菱形； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形。 A . ①④ B . ①③ C . ②③ D .③④ A A 题型剖析 1、如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC于F，试证明EC=EF=BF。 解：∵ABCD是正方形，∴AC平分∠BAC，　　　　　　　　　　且∠B=90° ∵AB＝AE，EF⊥AC　∴∠B＝∠AEF＝９０° 又∵AF＝AF，∴△ABF≌△AEF.　即BF＝EF ∵∠BAC＝４５°，∴∠BFE＝１３５°，即∠EFC＝４５° ∴∠EFC＝∠ACB＝45°即EF＝EC ∴EC=EF=BF. 点拨：根据题目中给定的条件，易证△ABF≌△AEF，即可求出BF=EF，再根据四边形ABFE内角和360°求出∠BFE，∴∠EFC=45°=∠BCA，∴EF=EC.　∴EC=EF=BF. 针对训练 2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F。求证：四边形CEDF是正方形。 点拨：根据题目中给定的条件，易证DE=DF，由∠DCF=45°可得 FC=DF，即可求出DE=DF=CF=CE，再根据有一个角是直角的菱形可得出四边形CEDF为正方形. 解：∵CD是△ABC的角平分线 ∴∠DCF=DCE=45°，　　　　　　　　　　 ∵DF⊥AC，DE⊥BC　 ∴DF＝DE，　 ∵∠DCF=DCE=45°，∴△DFC和△DEC都是等腰直角三角形，即DE=DF=CF=CE. ∴四边形CEDF是菱形，又∵∠DEC=90° ∴四边形CEDF是正方形. 针对训练 ３、如图，正方形的边长为4，点G是边AD的中点，点E是边CD上的动点，连接BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接GF．当GF最小时，CE的长为＿＿＿＿． 点拨：本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，GF最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．根据正方形的性质和勾股定理可得BG的长，再由翻折知BF＝BA＝４，由FG≥BG－BF可知当点G、F、B三点共线时，GF最小，结合梯形面积、三角形面积求解即可． －2 针对训练 题型四：中点四边形模型 例1、定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形ABCD中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形．利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形EFGH的形状：(写出结果并证明)当AC⊥BD时， 四边形EFGH是_________． 解：∵连接AC，　　　　　　　　　　 ∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD的中点　 ∴EF，GH分别是△ABC和△ADC的中位线， ∴EF//AC且EF=AC，GH//AC且GH=AC ∴EF=GH且EF//GH ∴四边形EFGH是平行四边形. 矩形 题型剖析 １、如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM． 【应用】如图②，连结图①中的AC，并取AC中点Q，连结MQ、NQ． （1）若AD＝８，则四边形PMQN的周长为 ＿＿＿＿． （2）图③，若AD＝８，且∠DAB＋∠ABC＝90°，则四边形PMQN的面积为 ＿＿＿＿． 16 16 点拨：（１）根据题目中给定的条件，易证四边形PMQN是菱形。 由三角形中位线定理可得：PN＝AD＝4， ∴四边形PMQN的周长为16. （２）根据题目中给定的条件，易证四边形PMQN是正方形，∴面积为16。 针对训练 ２、如图，四边形ABCD的两条对角线分别为AC和BD，且满足AC⊥BD，AC·BD＝18，那么依次连接它的各边中点得到的四边形EFGH的面积为_______． 点拨：根据题目中给定的条件，易证四边形EFGH是矩形。 由三角形中位线定理可得：EF＝AC，GF= ∴四边形EFGH的面积为9 ３、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；其中正确的是＿＿＿＿＿． 点拨：本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键． 针对训练 4、如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE和CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由。 解：∵BE∥AC，CE∥BD ∴四边形CEBO为平行四边形。　　　　　　　　　　 ∵O是菱形ABCD对角线的交点　 ∴AC⊥BD，　 ∴∠BOC=90°， ∴四边形CEBO是矩形. 点拨：根据题目中给定的条件，易证四边形CEBO为平行四边形。再根据菱形ABCD的对角线互相垂直可得出四边形CEDF为矩形. 5、如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)探究OE与OF的数量关系并加以证明. 解：OE＝OF ∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD ∴∠BCE＝∠OCE，∠FCD＝∠FCO。　　　　　　　　　　 ∵MN∥BC　 ∴∠OEC＝∠BCE=∠OCE，∠OFC=∠FCD＝∠FCO　 ∴OE=OC，OF＝OC ∴OE＝OF. 5、【探究题】如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由. 答：四边形BCFE不能成为菱形 证明：假设四边形BCFE是菱形 ∴BE＝BC，CE⊥BF 又∵CE⊥CF 一个三角形不可能有两个直角 ∴四边形BCFE不能成为菱形 5、【探究题】如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由. 答：当点O在AC中点时，四边形AECF是矩形。 证明：∵O为AC中点 ∴OA＝OC 在Rｔ△AEC中，OE＝OA＝OC ∴OA＝OC＝OE＝OF ∴AC＝EF ∴四边形AECF是矩形. 5、【探究题】如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (4)在(3)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由. 答：当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AECF是正方形。 证明：∵△ABC为等腰直角三角形 且由３可知，在Rｔ△AEC中，OE＝OA＝OC ∴当∠ACB＝90°时 ∴AE＝CE ∴四边形AECF是正方形. 课堂总结 特殊平行四边形 菱形的性质与判定 性质： 1、四条边都相等，对边平行 2、对角线互相垂直平分 判定： 1、四条边都相等的四边形 2、对角线互相垂直平分的四边形 矩形的性质与判定 性质： 1、四个角都是直角 2、对角线互相平分且相等 判定： 1、三个角都是直角的四边形 2、对角线互相平分且相等 正方形的性质与 判定 性质： 1、四个角都是直角，四条边都相等 2、对角线互相垂直平分且相等 性质： 1、一个角是直角或对角线相等的菱形 2、对角线互相垂直的矩形或相等的菱形 感谢聆听! $