专题1.3圆周角（高效培优讲义）数学沪科版九年级下册

本初中数学讲义聚焦“圆周角”核心知识点，系统构建从圆周角定义、定理及推论到圆内接四边形性质的知识链，以“定义-定理-推论-应用”为学习支架，衔接圆心角知识，形成完整的圆中角关系认知体系。 资料以分层题型设计为特色，涵盖基础应用、综合探究及动态问题，融入安徽各地期中期末真题，通过“即学即练”“例题-变式”强化推理能力与几何直观，助力教师课堂教学深化，同时便于学生课后自主巩固，查漏补缺。

专题1.3圆周角 教学目标 1.了解圆周角的概念。 2.掌握圆周角定理及其推论,并会熟练运用它们解决问题。 3.由圆周角与圆心角的关系学会以特殊情形为基础,通过转化来解决一般问题的方法,并了解分类的数学思想方法. 4.掌握圆内接四边形的性质定理。 教学重难点 教学重点：圆周角定义、定理及推论的理解与应用。 教学难点：定理的分类证明及与其他知识的综合运用。 知识点01 圆周角与圆周角定理及其推论 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角. (1)特征：圆周角必须满足两个条件： ①顶点在圆上；②两边都和圆相交. 2. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 示例：如图，∠ ACB=∠ AOB. 1. 推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 2. 推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 3. “五量关系”定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（    ） A． B． C． D． 知识点02 圆的内接多边形 1. 圆的内接多边形 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 2. 圆内接四边形的性质 定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为 ． 题型01 圆周角定理及其推论的运用 【例1-1】求角的度数 （25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径．若，则 °． 【例1-2】求线段长度 （24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【例1-3】证明线段相等 （2025·安徽合肥·二模）如图，为的直径，C为上的一点，过点C作，交于点D，交于点E，连接，，过点C作于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【例1-4】证明角相等 9．（24-25九年级上·安徽六安·月考）如图，为直径，弦分别与半径相交，且． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知是的直径，点，是圆上两点，连接，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知的半径为3，弦垂直于弦，垂足为． (1)若于点，求弦的长； (2)过点作于点，交于点，求证：． 【变式1-4】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 题型02 圆内接四边形性质的运用 【例2-1】求角的度数 （25-26九年级上·安徽阜阳·月考）点P是上异于点A，B的一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【例2-2】证明线段相等 （25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 【变式2-1】（2025·安徽合肥·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直于，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)点为上一点，平分，且，求的度数． 【变式2-2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 题型03 圆周角定理及其推论与其他知识综合 【例3-1】与三角形全等综合 （2025·安徽蚌埠·三模）如图，在四边形中，对角线，交于点O，E是边的中点，连接 ，交于点F，． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的值． 【例3-2】与相似三角形综合 （2025·安徽蚌埠·三模）如图，，是的两条弦，且于点E． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，连接，，，，若，求证： 【例3-3】与平面直角坐标系综合 31．（24-25九年级下·安徽淮南·月考）如图，为的直径，、在上． (1)写出圆心的坐标是_____________； (2)求的值． 【例3-4】与一元二次方程综合 23．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 【变式3-1】（2025·安徽阜阳·三模）如图，是的直径，，点是上一点，连接交于点，连接． (1)若平分，求的值； (2)求证：． 【变式3-2】（2025·安徽安庆·三模）已知，四边形内接于，为直径，与的延长线相交于点，平分与相交于点． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，求的半径． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）已知：四边形内接于，对角线交于点E，且． (1)如图1，求证：平分． (2)如图2，若的直径的长为6，的长为，求弦的长． 【变式3-4】（2025·安徽滁州·二模）如图1，为的外接圆，的平分线交于点D，交于点E，连接 (1)若，，求的长． (2)如图2，当为直径时，若，，求的长． 题型04 动态探究题 【例4】（2025·安徽·二模）如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【变式4-1】（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，矩形中，，，动点从向运动，速度为每秒；同时，动点从向运动，速度为每秒；任意一点到达终点后，两点都停止运动．连接、交于点，连接，     (1)求证： (2)最小值是多少？此时点运动了多少秒？ 【变式4-2】（22-23九年级下·安徽宣城·自主招生）矩形中，为边上的动点，为边上的动点． (1)如图1，若，且与相似，求的长，并在图1中作出点的位置，要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹； (2)如图2，若，且，求的长； (3)如图3，当点与点重合，是的中点，是上的动点，且，求的最小值．【直接写出结果，不写解题过程】 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，点为上任一点，点为的中点，连接，点在上，且满足，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1.5 D．2 二、填空题 5．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接，，若，，则的长为 ． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，点是等边三角形外接圆上的点，在以下判断中，正确选项有 ． ①当弦最长时，是等腰三角形；    ②当是等腰三角形时，； ③当时，；    ④当时，是直角三角形． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点，的半径为． （1）若，则的长为 ； （2）的最大值为 ． 三、解答题 8．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，的直径垂直于弦，垂足为，．，求、的长． 9．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，内接于，是的直径，是上一点，是的中点，连接，，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，求的长． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，是的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点，交于另一点，． (1)求证：； (2)设，垂足为，若，求的长． 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 12．（2025·安徽马鞍山·三模）已知四边形内接于，与直径交于点，平分． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点在的延长线上，连接，，，求的长． 13．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，在矩形中，平分 交 于点E，点 F 在上，且 ，分别过点C，F作，，与交于点G． (1)求证：四边形 是正方形． (2)连接，求的度数． (3)已知与 相交于点H，若，，求 的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题1.3圆周角 内容概览 ★教学目标、教学重点 ①圆周角与圆周角定理及其推论 ★知识清单 ②圆的内接多边形 求角的度数 求线段长度 ①圆周角定理及其推论的运用 证明线段相等 证明确相等 角 求角的度数 ②圆内接四边形性质的运用 ★题型精讲 证明线段相等 与三角形全等综合 与相似三角形综合 ③圆周角定理及其推论与其他知识综合 与平面直角坐标系综合 与一元二次方程综合 ④动态探究题 ★强化训练 教学目标、教学重难点 1.了解圆周角的概念。 2.掌握圆周角定理及其推论，并会熟练运用它们解决问题。 教学目标 3.由圆周角与圆心角的关系学会以特殊情形为基础，通过转化来解决一般问题的方法，并 了解分类的数学思想方法 4.掌握圆内接四边形的性质定理。 教学重点：圆周角定义、定理及推论的理解与应用。 教学重难点 教学难点：定理的分类证明及与其他知识的综合运用。 知识清单 知识点01圆周角与圆周角定理及其推论 1.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角， 1/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)特征：圆周角必须满足两个条件： ①顶点在圆上；②两边都和圆相交. 2.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 示例：如图，∠ACB吉∠AOB, ○ A B 1.推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 2.推论2半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 3.“五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条 弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 【即学即练】（25-26九年级上·安微芜湖·月考)如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学 兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点A(∠A=30°)放在圆上，两边与圆的交点分别记为点B,C,测得 BC的长为10cm,则铜镜的直径为() B A.10cm B.20cm C.10v3cm D.20v3cm 【答案】B 【详解】解：如图，设该圆形铜镜的圆心为O,连接OB,OC,BC, B :∠A=30°， .∠B0C=2∠A=60°， OB=OC,BC =10cm 2/43 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△B0C是等边三角形， .0B=0C=BC=10cm, :该铜镜的直径为20cm. 故选：B. 知识点02圆的内接多边形 1.圆的内接多边形 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 2.圆内接四边形的性质 定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角. 【即学即练】(25-26九年级上安徽阜阳·期中)如图，己知四边形ABDC是⊙0的内接四边形，BD是⊙0 的直径，∠CBD=26°，则∠A的度数为」 B D 【答案】116° 【详解】解：如图，连接OC, D ∠CBD=26°， ∠C0D=2∠CBD=52°， :0C=0D, ÷∠0DC=∠0CD=180°，52=64， 2 :圆内接四边形对角互补， ∠A=180°-∠0DC=180°-64°=116°. 故答案为：116°· 题型精讲 3/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型01圆周角定理及其推论的运用 【例1-1】求角的度数 (25-26九年级上安徽铜陵，期中)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AB是00的直径.若 ∠BEC=18°，则∠ADC=° B D 【答案】108 【详解】解：连接AC, B D BC=BC, ∠CAB=LBEC=18°， 又：AB是O0的直径， ∠ACB=90°， ∠ABC=90°-∠CAB=90°-18°=72°， 又：ABCD是OO的内接四边形， .∠D=180°-∠ABC=180°-72°=108°， 故答案为：108。 【例1-2】求线段长度 (24-25九年级上.安徽准北期末)如图，△BCD内接于⊙0，点B是CD的中点，CD是⊙0的直径.若 ∠ABC=30°，AC=5,则BC的长为() D B 4/43 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.5 B.42 C.5√2 D.45 【答案】c 【详解】解：连接AD, :点B是CD的中点， :BC=BD, “CD是OO的直径， ∠CAD=∠CBD=90°， :BC2+BD2=CD2, .2BC2 CD2, :∠ABC=30°， .∠ADC=∠ABC=30°， CD=2AC=10, .2BC2=102, 解得：BC=5√2（负值舍去）， 故选：C. 【例1-3】证明线段相等 (2025安微合肥.二模)如图，AB为⊙0的直径，C为00上的一点，过点C作CD⊥AB,交O0于点D, 交AB于点E,连接AC,BD,过点C作CF⊥BD于点F,交AB于点G. A E D G B (1)求证：AC=CG. (2)若CD=8,OG=1,求00的半径. 【详解】(1)证明：：CD⊥AB,CF⊥BD, 5/43 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BED=∠BFG=90°， ∠BGF=90°-∠B=LD, :∠BGF=∠AGC,∠A=∠D, ∴∠AGC=LA, .AC=CG (2)解：连接0C, :AB⊥CD,AC=GC, .AE =GE, :CD⊥AB,AB为O0的直径，CD=8, :.CE=CD=4, 设OE的长为x,则AE=GE=x+1, A0=AE+0E=2x+1, ∴.C0=A0=2x+1, A E B 在Rta0CE中，0E2+CE2=C02, 42+x2=(2x+1)2, 5 解得：x=。或x=-3(不合题意，舍去)， C0=2x+1=13 ⊙0的半径为号 【例1-4】证明角相等 9.(24-25九年级上安徽六安月考)如图，AB,CD为⊙0直径，弦DE,BF分别与半径AO,CO相交，且 DE=BF. 6/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：∠B=∠D; (2)若AE=EF=FC,且LD=40°，求∠A0C的度数. 【详解】(1)证明：：AB,CD为O0直径， .ACB DAC, DE=BE, DE=BF, :ACB-BF=DAC-DE, 即AF=CE, ∠B=∠D; (2)解：：∠D=40°， .CE的度数为2×40°=80°， AE,EF,FC的度数为40°， AC的度数为120°， ∴∠A0C的度数为120°. 【变式1-1】(25-26九年级上·安微芜湖期中)如图，己知AB是00的直径，点C,D是圆上两点，连接 AC,AD,CD.若∠C=I3°，则∠BAD的度数为() C A.63° B.65° C.73° D.77 【答案】D 【详解】解：连接BD, D :AB是OO的直径， LADB=90°， :∠ACD=13°， ∴∠ABD=∠ACD=13°， .∠BAD=90°-∠ABD=77°， 7/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 【变式1-2】(24-25九年级上安微淮南·月考)如图，AB是00的直径，AB=4,弦BC=2,P是00上的 动点，取AP的中点D,则CD的最大值为() P A.2V2+1 B.√7+1 c.2W7 D.2√2 【答案】B 【详解】解：如图，连接OD,OC, :AD DP, OD⊥PA, .∠AD0=90°， 点D的运动轨迹为以AO为直径的OK,，连接CK,DK, :CD≤CK+DK, :当点D在CK的延长线上时，CD的值最大， :AB是⊙0的直径，AB=4,弦BC=2, .BC=0B=0C=2, .△OBC是等边三角形， .∠C0B=60°， 取OB的中点Q,连接CQ, P 则CQ⊥OB,00=BQ=0K=1,C0=2,CQ=V5, 在RIAOCK中，CK=VQK2+QC2=√7， 8/43 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD=√万+1， .CD的最大值为N7+1, 故选：B. 【变式1-3】(25-26九年级上·安徽阜阳·期中)如图，已知00的半径为3，弦AB垂直于弦CD,垂足为E (1)若0M⊥CD于点M,OM=1,求弦CD的长； (2)过点A作AN⊥BD于点N,交CD于点F,求证：CE=EF. 【详解】(1)解：如图1，连接0D. B:OM⊥CD 图1 ∴CD=2DM,∠0MD=90°. 在RtaD0M中，由勾股定理得DM=V0D2-0M2=V32-12=2V2, ∴CD=2DM=4V2; (2)证明：如图2，连接AC, D B:AN⊥BD, 图2 .∠DNF=90°， ∠DFN+∠D=90°. :AB⊥CD, ∠CEA=90° .∠C+∠EAC=90°. 9/43 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EAC=∠D,∠DFN=LAFC, ∠C=∠AFC, .AF =AC. :AB⊥CD, .CE EF. 【变式1-4】(24-25九年级上·安徽六安期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,点M在⊙O 上，MD恰好经过圆心O，,连接MB. (1)若CD=16,BE=4,求⊙O的直径： (2)若∠D=2∠M,求∠D的度数， 【详解】(1)解：设⊙O的半径是r,则0D=0B=r, 0E=r-4, :直径AB⊥CD, .DE-CD-1x16-8. .OD2 =OE2+DE2, r2=口-4)2+82， .r=10, :00的直径为2r=20: (2)解：：∠B0D=2∠M,∠D=2∠M, ∠BOD=LD, :AB⊥CD, .∠0ED=90°， ∠D=180°-900 =45° 题型2圆内接四边形性质的运用 【例2-1】求角的度数 (25-26九年级上安徽阜阳·月考)点P是⊙0上异于点A,B的一点，若LA0B=70°，则∠APB的度数为() A.35° B.140° C.40°或140° D.35°或145° 【答案】D 10/43