4.5 牛顿运动定律的应用 临界和等时圆 模型讲义-2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

本讲义聚焦牛顿运动定律应用的两大核心知识点，系统梳理动力学临界问题（含接触脱离、相对滑动等临界条件及极限法等解题方法）和等时圆模型（阐述光滑弦下滑时间相等规律），构建从概念界定到方法应用的完整学习支架。 资料通过分类剖析临界条件、推导等时圆规律，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。典型例题结合受力分析与数学推导，基础练习覆盖多情境，课中辅助教师突破教学难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升物理观念应用与问题解决能力。

牛顿运动定律应用—临界和等时圆讲义 1、 动力学中的临界问题 1、 临界问题界定 某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态。一般问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰好”等词语，一般都暗示了临界状态的出现。 2、 典型临界问题 (1) 两物体接触或脱离的临界条件：两物体相互接触或脱离，临界条件是FN=0； (2) 相对滑动的临界条件：两物体互相接触且处于相对静止时，存在静摩擦力，相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值； (3) 绳子断裂或松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力达到了它能承受的最大值；而绳子松弛的临界条件是FT=0； (4) 加速度是变量，速度达到最值得临界条件：当加速度变为0时，物体的速度达到最大或最小值。 3、 临界问题的解题方法 (1) 极限法：在题目中若出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，则一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理过程推向极限，从而使临界条件暴露出来。 (2) 假设法：在有些物理过程中，没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题时，一般用假设法。 (3) 数学方法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式求解得出临界条件。　　 4、 临界问题解题思路 (1) 对于FN=0或FT=0的状况，相当于物体没有支持力和拉力，那求出物体所受其他力的合力，进而通过牛顿第二定律求解加速度或其他量即可； (2) 对于静摩擦力达到最大值或绳中张力达到了它能承受的最大值的状况：如果是静摩擦力达到了最大值，相当于这时的摩擦力为Fmax=μFN，然后对物体进行受力分析求合力即可；绳子的张力达到最大值，意味着FT=FTmax，然后对物体进行受力分析求合力进而通过F=ma求加速度； (3) 对于变加速直线运动，加速度是变化的量：如果是变减速直线运动，加速度为0的时候速度达到最小值；如果是变加速直线运动，加速度为0时速度达到最大值。 5、 经典例题解析 例1 如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)。 (1)当滑块以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？ (2)当滑块以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力刚好等于零？ (3)当滑块以2g的加速度向左运动时，线上的拉力为多大(不计空气阻力)? 解析 对于FT=0且向右加速时，小球合外力方向向右，小球只受重力和支持力则根据受力情况，如下图，可求出合外力F=mgtan45°，则加速度为g； 对于FN=0且向左加速时，小球合外力方向向左，小球只受重力和拉力。则根据受力情况，可求出合外力F=mg/tan45°，方向水平向左，则加速度为g，方向水平向左。 而当加速度为2g时，小球脱离滑块，滑块和小球之间用细线连接，如下图所示。 此时合外力F=2mg，则由勾股定理，得FT′＝m＝mg (1)当FT＝0时，小球受重力mg和斜面支持力FN作用， 由牛顿第二定律得 FNcos 45°＝mg FNsin 45°＝ma1 解得a1＝g 故当向右运动的加速度为g时线对小球的拉力刚好为0。 (2)由牛顿第三定律知，小球对滑块压力刚好为零时，滑块对小球支持力也为零。 当FN＝0时，小球受重力和拉力，则 F合＝ 由牛顿第二定律得F合＝ma2 则a2＝＝g。 (3)当滑块向左运动的加速度大于g时， 小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和球的重力的作用。 由牛顿第二定律得 FT′cos α＝ma′， 由平衡条件得FT′sin α＝mg 解得FT′＝m＝mg。 6、 基础练习 (1) 如图所示，某车中有一倾角为30°的斜面，当小车沿水平方向向左加速运动时，斜面上质量为m的物体与小车始终保持相对静止。(重力加速度为g) 1)若物体所受的摩擦力为零，则小车的加速度为多大？ 2)若小车的加速度大小等于重力加速度g，求斜面对物体的摩擦力的大小和方向。 (2) 如图所示，质量为M的小车的表面由光滑水平面和光滑斜面连接而成，其上放一质量为m的球，球与水平面的接触点为a，与斜面的接触点为b，斜面倾角为θ。当小车和球一起在水平桌面上做直线运动时，下列说法正确的是(　　) A.若小车匀速运动，则球对斜面上b点的压力大小为mgcos θ B.若小车匀速运动，则球对水平面上a点的压力大小为mgsin θ C.若小车向左以加速度gtan θ加速运动，则球对水平面上a点无压力 D.若小车向左以加速度gtan θ加速运动，则小车对地面的压力小于(M＋m)g (3) 如图所示，两个质量均为m的物块叠放压在一个竖直轻弹簧上面，处于静止状态，弹簧的劲度系数为k，t＝0时刻，物块受到一个竖直向上的作用力F，使得物块以0.5g(g为重力加速度的大小)的加速度匀加速上升，则A、B分离时B的速度为(　　) A. B.g C.g D.2g (4) .(多选)如图所示，质量为m的圆柱体和平板车一起水平向左匀加速运动，斜面倾角为θ，所有接触面均无摩擦，斜面和挡板对圆柱体的弹力分别为F1和F2，重力加速度为g。若加速度突然增大，车和圆柱体始终相对静止。则下列说法正确的是(　　) A.F1增大，F2减小 B.F1不变，F2减小 C.加速度一定不大于gtan θ D.加速度可能大于gtan θ (5) .(多选)一个质量为0.2 kg的小球用细线吊在倾角θ＝53°的斜面顶端，如图所示，斜面静止时，球紧靠在斜面上，细线与斜面平行，不计摩擦及空气阻力，当斜面以10 m/s2的加速度向右做匀加速运动时，则(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，取g＝10 m/s2)(　　) A.细线的拉力为1.60 N B.细线的拉力为2 N C.斜面对小球的弹力为1.20 N D.斜面对小球的弹力为0 2、 等时圆模型 1. 等时圆模型界定 所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。 验证：如下图所示，小球从一个圆最高点B静止沿竖直光滑细杆滑到最低点E，BE高度为h，则小球所用的时间为：t0= 若从C点沿细杆滑到E点，沿杆方向是重力的分力mgcosθ，则加速度为gcosθ，则小球所用的时间为：t1===t0 由此可知，从圆上任意一点沿杆下滑到最低点E时间都相同。 2. 基本规律 (1)物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。 (2)物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。 (3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，物体沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 3. 解题思路 (1) 设置顶点。上端相交：交点为圆的最高点；下端相交：交点为圆的最低点。 (2) 作等时圆。①过顶点作竖直线；②以某条轨道为弦作圆心在竖直线上的圆。 (3) 比较时间。①轨道端点都在圆周上，质点的运动时间相等；②端点在圆内的轨道，质点运动时间短些，端点在圆外的轨道，质点运动时间长些。 4. 典型例题 例2 (多选)如图所示，MA、MB、NA是竖直面内三根固定的光滑细杆，M、N、A、B、C位于同一圆周上，C、A两点分别为圆周的最高点和最低点，O点为圆心。每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，3个滑环分别从M点和N点无初速度释放，t1、t2依次表示滑环从M点到达B点和A点所用的时间，t3表示滑环从N点到达A点所用的时间，则(　　) A.t1＝t2 B.t1＞t2 C.t2＝t3 D.t2＜t3 解析　由图可知，A为圆上最低点，所以从M和N沿杆滑到A点的时间相同，即t2＝t3； 而MA和MB在上端相交，则以M点为最高点，取合适的竖直直径作圆，如下图所示，从M点滑到A、D点的时间相同，则从M点滑到B点时间大于A点，即t1＞t2。 所以B、C正确。 5. 基础练习 (1) 如图所示，竖直圆环中有多条终止于E点的光滑轨道，其中BE通过环心O并竖直。一小物体分别自A、B、C、D点沿各条轨道下滑，初速度均为零。比较小物体沿各轨道下滑的时间，则(　　) A.小物体沿着与BE夹角越大的轨道下滑，时间越短 B.小物体沿着轨道BE下滑，时间最短 C.小物体沿其与BE夹角越小(BE除外)的轨道下滑，时间越短 D.无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同 (2) 如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上最高点沿三个不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用的时间分别为t1、t2、t3，乙图中质点从竖直面内的圆环上沿三个不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用的时间分别为t4、t5、t6，则(　　) A.t1＝t2＝t3，t4＝t5＝t6 B.t1＞t2＞t3，t4＞t5＞t6 C.t1＜t2＜t3，t4＜t5＜t6 D.t2＞t3＞t1，t6＞t5＞t4 学科网（北京）股份有限公司 $