4.3 等腰三角形与直角三角形（含角平分线、线段的垂直平分线、中位线）-【中考档案A版】2026年中考数学配套PPT课件

该初中数学中考复习课件系统覆盖等腰三角形与直角三角形的核心考点，包括性质判定、角度边长计算、分类讨论及角平分线、线段垂直平分线、中位线应用等。对接中考说明分析考点权重，如等腰三角形综合应用占比30%，直角三角形性质占25%，并归纳出角度计算、证明推理、动态问题等常考题型，体现备考针对性。 课件以中考真题训练为核心，精选2022泰安、苏州等多地中考题，通过“精讲巧练”模式培养学生几何直观与推理意识。如等腰三角形分类讨论题引导学生用数学思维构建分类模型，角平分线与垂直平分线综合证明题示范辅助线添加技巧。助力学生掌握解题方法，教师可依此高效规划复习，提升中考得分率。

第四章 图形的初步认识与三角形 第三节 等腰三角形与直角三角形（含角平分线、线段 的垂直平分线、中位线） 1 精讲巧练授技巧 考点一 等腰三角形中有关度数、边长的计算 【例1】 （2022·泰安中考）如图，，点在直线上，点 在 直线上，， ， ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 【例2】 ［新定义］（2022·苏州中考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形是“倍长三角形”，底边 的 长为3，则腰 的长为___. 6 2 对点练习 1.如图，在中，，若 ，则 等于 ( ) C A. B. C. D. 2.［规律探究］如图，已知 ，点，， ， 在射线上，点，，， 在射线 上， ，，， 均为等边三角形.若 ，则 的边长为_______. 3 考点二 等腰三角形性质和判定的综合应用 【例3】 （2021·淄博中考）如图，在中， 的 平分线交于点，过点作，交于点 . （1）求证： ； 证明：平分， . ， ， ， . 4 （2）若 , ，求 的度数. 【自主解答】 解： , ， . 由（1）可得 . 5 对点练习 3.（2022·广州中考）如图，点，在的边上，， ，求 证： . 证明：， . 在和中， . 6 4.如图，在中，和的平分线交于点，过点 作 ，交于点，交于点，， 的周长分 别为和 . （1）求证： 为等腰三角形； 证明：如图. 是的平分线， . ， ， ， , 为等腰三角形. 7 （2）求线段 的长. 解：由（1）得 为等腰三角形， . 同理可得 . ， ， . 又 ， . 8 5.如图，在中， ，，为 的中点，点 在线段上，,交于点， . （1）求 的度数； 解：， 是等腰三角形. ， . 又为 的中点， 平分 ， . 9 （2）求 的周长. 解：， . 又 ， ， ， 的周长 . ， ， 的周长 . 10 考点三 等边三角形的性质和判定 【例4】 如图，在菱形中，， ，，分别是边 ， CD的中点，则 的周长等于( ) B A. B. C. D.3 . . 连接.分别判定， 是等边三角形，结合等边三角形的性质，利用 勾股定理求出 的长. 11 对点练习 6.如图，在中， ， 的平分 线交于点，是的垂直平分线，垂足为.若，则 的长为( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 12 考点四 等腰三角形中的分类讨论 【例5】 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均 为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为__________. 或 . . 首先画出符合条件的大致图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形内角和定 理及其推论找到角之间的关系，最后运用分类讨论思想列方程求解. 13 对点练习 7.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点 ，点 .若是等腰三角形，则 可取的值最多有( ) C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.如图，在中， ，，，若动点从点 开始， 按的路径运动，且速度为，设出发的时间为 . 14 （1）出发后，求 的周长. 解：如图①， ， 是直角三角形. 由勾股定理得 . 动点从点开始，按的路径运动，且速度为 ， 出发后，， . 在中，由勾股定理得， 的周长 . 15 （2）当为何值时， 为等腰三角形？ 解：分情况讨论： ①如图②，当点在边上时，，此时， 为等腰三角形. ②当点在 边上时，有三种情况： .如图③，时，，点 运动的路 程为，时， 为等腰三角形. .如图④，时，过点作于点 . 根据等面积法，得 . 在中， ， ， 点 运动的路程为 ，时， 为等腰三角形. 16 .如图⑤，时， . ， ， ，， ， 点运动的路程为 ， 时， 为等腰三角形. 综上所述，当为6或12或10.8或13时， 为等腰三角形. 17 （3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为 ，若 ，两点同时出发，当，中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当 为何值时， 直线把 的周长分成相等的两部分？ 解：分两种情况： ①当， 相遇前，如图⑥. 点走过的路程为，点走过的路程为 . 直线把 的周长分成相等的两部分， ，解得 . 18 ②当， 相遇后，如图⑦. 当点在上，点在上时， ， . 直线把 的周长分成相等的两部分， ，解得 . 综上所述，当为4或12时，直线把 的周长分成相 等的两部分. 19 考点五 角平分线、线段垂直平分线和中位线 【例6】 （2022·郴州中考）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以任意长为半径作弧交 ，于，两点；分别以点，为圆心，以大于 的 8 . . 利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”及等量代换，把 的周长转化为线段 的长. 长为半径作弧，在内两弧相交于点；作射线交于点，过点 作 ，垂足为.若，则的周长等于___ . 20 【例7】 如图，在中， ， ，分别以 点和点为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，，作直线，交于点，连接，则 的度数 为( ) A A. B. C. D. . . 根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据三角形内角和定理得到 ，即可 求解. 21 【例8】 如图，在四边形中， ， ， ，是对角线的中点，是边的中点，连接， .若 ，则线段 的长是( ) C A. B.3 C. D.5 . . 首先由勾股定理求得 的长度，然后结合直角三角形斜边上中线的性质得到 ，最后由三角形的中位线定理得到 . . . 当题目中出现两个及两个以上中点条件时，往往会用到中位线的知识. 22 【例9】 如图，在中，的平分线与 的垂直平 分线交于点，过点作，垂足为，作 ， 交的延长线于点 . （1）求证： ； 证明：如图，连接， . 是的垂直平分线， . 是的平分线，，， . 在和中， ， . 23 （2）当，时，求 的长. 【自主解答】 解：由（1）知, . 在和中， ， . ， ， 即，解得 . 24 . . （1）连接,,由是的垂直平分线，得，由是 的平分 线，，，得，借助即可证得 ； （2）通过可得，从而有 ，可得出 ，即可得出 的长. . . 角平分线和线段的垂直平分线经常在题目中组合出现，应用各自性质可以得到 全等三角形，此时如果线段不完整，要大胆添加辅助线. 25 对点练习 9.（2022·青岛平度一模）如图，在中， ， ，为边上一点，于点.若 ， ，则 的长为( ) D A. B.2 C. D.4 10.如图，在四边形中，是对角线 的中点， ，分别是，的中点，， ， 则 的度数是( ) D A. B. C. D. 26 11.（2024·牡丹江中考）矩形的面积是90，对角线，交于点，是 边的三等分点，连接，是的中点，，连接，则 的值为 ____________. 13或 考点六 勾股定理及其逆定理 【例10】 （2023·东营中考）一艘船由A港沿北偏东 方向航行 至B港，然 后再沿北偏西 方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为____ . 50 . . 根据题意画出图形，证明直角三角形是解题的关键. 27 对点练习 12.如图，在中，对角线,相交于点，过点 作 交于点，若，，，则 的长为( ) B A. B. C. D. 13.（2025·长春二模）如图，在中， ， ，.点,分别是边,上的点，连接 ，将 沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则 的长为( ) A A. B. C.3 D.2 28 14.（2022·遵义中考）如图①是第七届国际数学教育大会 会徽，在其主体图 案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形 .若 ， ，则点到 的距离为( ) B ① ② A. B. C.1 D.2 29 15.如图，在中， ，为上一点，，， . 求 的长. 解： ，为上一点，，， ， ， ， . 30 考点七 直角三角形有关性质的应用 角度一 含 角的直角三角形的性质 【例11】 ［多解］在中， ，有一个锐角为 ，.若点 在直线上（不与点，重合），且 ，则 的长为____________. 2或或 [解析] ①如图，当 时，.当点在线段 上时， ，，；当点在 的延长线上时， ， ， , . 31 ②当 时，同理可得 . 32 角度二 直角三角形斜边上中线的性质 【例12】 如图，在中， ， ，为边的中点，，则 的长为( ) C A. B. C.2 D.4 33 对点练习 16.如图，正方形的边长为4，点，分别在， 上， ，连接，，与相交于点，连接，取 的中 点，连接，若，则 的长为( ) C A. B. C.2 D.3 17.如图，在中，，，分别是， 的中点， 连接，在上有一点，且，连接， .若 ，则 的长为( ) C A.12 B.14 C.16 D.18 34 18.如图，，分别是矩形纸片的两边， 的中 点，，.沿折叠，点与上点重合，点 在上，延长交于点，则 _ ___. 19.（2023·枣庄中考）如图，在正方形中，对角线与 相 交于点，为上一点，，为的中点.若 的周长为 32，则 的长为___. 35 名题研究赢中考 【基础篇】 1.（2025· 东营中考）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳 与地面 垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离 为 ，然后向后摆到最高点处.若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成 角，则小丽在 处时距离地面的高度是( ) A A. B. C. D. 36 2.（2025· 东营中考）如图，在中，， ， 的平分 线交于点，，分别是和上的动点，则 的最小值是___. 3 37 3.（2023·菏泽中考）的三边长，， 满足 ，则 是( ) D A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 4.（2023·青岛中考）如图，在正方形中，,分别是, 的中点，,相交于点,为上一点，为 的中点.若 ，，则线段 的长度为( ) B A. B. C.2 D. 38 5.（2025·潍坊中考）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到 地. 甲 乙 丙 甲：，路程为 . 乙：，路程为 . 丙：，路程为 . 39 下列关系正确的是( ) D A. B. C. D. 40 6.（2021·滨州中考）如图，在中，是边上的一点.若 ， ，则 的大小为____. 41 【加强篇】 7.（2024·潍坊中考）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 的顶点的坐标为，点,均在轴上.将绕顶点 逆时针旋转 得到，则点 的坐标为_ __________. 8.（2022·青岛中考）如图，为正方形对角线 的中点， 为等边三角形.若，则 的长度为( ) B A. B. C. D. 42 9.（2025· 威海中考）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方 体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为 ，则折成的立方体的棱长为______ . 43 ① 10.（2025·山东中考）在中， ， ，的平分线交于点 .如图①. （1）求 的度数； 解： ， ， . 是 的平分线， ， . 44 ② （2）已知，分别以点，为圆心，以大于 的长为半 径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交 的延 长线于点，如图②，求 的长. 解：由作图知是线段 的垂直平分线， . ， . ， ， ， . ， ， ， . 45 11.（2023·潍坊中考）如图，在中，平分,,垂足为,过点 作,交于点,为的中点，连接,求证： . 46 证明：平分, . , , , . , , , , , ,即为 的中点. 是 的中点， 为 的中位线， . 47 12.（2023·临沂中考）如图， ，， ， . （1）写出与 的数量关系; 解：如图①，在上取一点，使得，连接， . 设，则 . ， ， . ， ， 48 . ， . ， ， ， ，即 . 49 （2）延长至点，使，延长至点，使，连接 ,求证： ; 证明：如图②. 在和 中， ， ， ， . ， . 50 （3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证： . 证明：如图③,延长交的延长线于点 . ，平分 ， . ， ， ， . ， ， . 又， ， . 51 【拓展篇】 13.（2023·滨州中考）已知是等边三角形的边上的一点，若 ， 则在以线段，， 为边的三角形中，最小内角的大小为( ) B A. B. C. D. 第14题图 14.（2022·德州中考）如图，正方形的边长为6，点在 上，，是对角线上的一个动点，则 的最小值 是( ) C A. B. C. D. 52 第15题图 15.（2023·滨州中考）如图，矩形的对角线， 相 交于点，点，分别是线段，上的点.若 ， ，，，则 的长为_____. [解析] 如图，过点作于点，过点作于点 ， 则 . 四边形 是矩形， ， ， ， . 53 ， . ， ， . ，， ， . 设 . ，，， ， ，解得，， . ， ， . ① （1）用数学的眼光观察. 如图①，在四边形中，，是对角线的中点， 是的中点，是的中点，连接,, ,求证： . 证明：是的中点，是 的中点， . 同理， . ,, . 16.（2023·东营中考） ② （2）用数学的思维思考. 如图②，延长线段,交的延长线于点，延长线段,交 的 延长线于点，求证： . 证明：是的中点，是 的中点， , . 同理，， . 由（1）可知， . 56 （3）用数学的语言表达. 如图③，在中，，点在上，，是的中点，是 的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接.若 ，试判 断 的形状，并进行证明. ③ 57 解： 是直角三角形.证明如下： 如图，取的中点，连接， . 是 的中点， ， . 同理，， . , , . ， . 58 又 , 是等边三角形， . , , , , 是直角三角形. 【基础篇】 第17题图 17.（2025·扬州中考）在如图的房屋人字梁架中， ，点在上，下列条件不能说明 的是( ) B A. B. C. D.平分 60 第18题图 18.（2025·昆明模拟）如图，已知线段，分别以点和点 为圆 心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线 交于点，在直线上任取一点，连接，.若 ，则 的长为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 61 第19题图 19.（2023·辽宁中考）如图，在三角形纸片 中， , ，是边 上的动点，将三角形纸片沿 对折，使点落在点处，当时， 的度数为 _____________. 或 第20题图 20.（2025·银川三模）如图，平行四边形 的对角 线，相交于点，的平分线与边 相交于点 ，是的中点.若，，则 的长为 ( ) D A.4 B.3 C.2 D.1 62 21.（2023·扬州中考）在中， ，，若 是锐角三角形， 则满足条件的 长可以是( ) C A.1 B.2 C.6 D.8 第22题图 22.如图，，直线与直线，分别交于， 两点，分别以点 ，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点， ，作 直线，分别交直线，于点，，连接.若 ， 则 的度数为____. 63 第23题图 23.（2021·扬州中考）如图，在 的正方形网格中有两个格点 ，，连接，在网格中再找一个格点，使得 是等腰直 角三角形，满足条件的格点 的个数是( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 24.（2022·宁波中考）如图，在中，为斜边 的中 点，为上一点，为的中点.若， ，则 的长为( ) D A. B.3 C. D.4 64 25.（2021·凉山中考）如图，在中， , , ，将沿翻折，使点与点重合，则 的长为 ( ) D A. B.2 C. D. 26.（2025·内江中考）如图，在矩形中， , ，，分别是边，上的动点，连接，， 为 的中点，为的中点，连接，则 的最大值是___. 5 65 27.［数学文化］（2025·扬州中考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究， 提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也 体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数： ，4， 5；，12，13；，24，25；，40，41； ，根据上述规律，写出第⑤组 勾股数为_________. 11,60,61 28.（2025·连云港中考）如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子的底 端离墙脚线的距离为，则梯子顶端离地面的高度为____ . 2.4 66 【拓展篇】 29.［多选］（2025·潍坊中考）下列命题的逆命题为真命题的 是( ) AD A.若，则 B.若，则 C.三角形的中位线平行于第三边 D.等腰三角形的两个底角相等 67 30.（2025·成都中考）如图，在中， ，， .以点 为圆心，以长为半径作弧；再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在 上 方交于点，连接，则 的长为_ ___. 68 31.（2025·哈尔滨模拟）如图，在中，，以点 为 圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以点 ， 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，射线交 于点，若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 请完成“精练册”第46页习题 69 $