3.8 二次函数的实际应用-【中考档案A版】2026年中考数学配套PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数实际应用核心考点，涵盖面积最值、利润最大、抛物线形问题及函数建模四大中考高频题型，紧密对接中考说明，通过例题精讲与真题分析明确各考点权重，系统归纳解题步骤与题型特征。 课件亮点在于“考点精讲+真题实战+技巧点拨”模式，如利润最大问题通过销量与售价关系构建二次函数模型，结合二次函数性质求最值，培养数学建模与运算能力。包含五年山东中考真题分阶训练，助力学生掌握解题技巧，教师可依此精准复习，提升中考备考效率。

第一部分 教材考点复习 第八节 二次函数的实际应用 四维智学系列丛书 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点一 面积最值问题 例1 某单位准备靠墙(如图中线段MN所示)开辟一处长方形的土地进行绿化，除墙体外三面都要用栅栏围起来，计划用栅栏50 m. (1)不考虑墙体长度，长方形各边的长为多少时，长方形的面积最大？ (2)若墙体长度为20 m，问长方形的面积最大是多少？ 【自主解答】 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设AB=x m，则BC=(50-2x)m，长方形的面积为y m2，得y=x(50-2x)=-2x2+50x=-2 2+. 当x=时，y最大值=，BC=50-2×=25. 答：当AB的长为 m，BC的长为25 m时，长方形的面积最大. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)若墙体长度是20 m，则BC≤20，得AB≥15. 在函数y=-2x2+50x中，a=-2<0，当x>时，y随x的增大而减小，∴当x=15时，y最大值=300. 答：长方形的面积最大是300 m2. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 1.(2022·威海中考)某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25 m，木栅栏长47 m，在与墙垂直的一边留出1 m宽的出入口(另选材料建出入门).求鸡场面积的最大值. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：设与墙平行的一边长为x m(x≤25)，则与墙垂直的一边长为 m，鸡场面积为y m2，根据题意，得 y=x·=-x2+24x=-(x-24)2+288， ∴当x=24时，y有最大值288. 答：鸡场面积的最大值为288 m2. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点二 利润最大问题 例2 (2024·滨州中考)春节期间，全国各影院上映多部影片.某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80，且x是整数)，部分数据如下表所示： 电影票售价x/(元/张) 40 50 售出电影票数量y/张 164 124 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (1)请求出y与x之间的函数解析式. (2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位：元)，求w与x之间的函数解析式. (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b， 由题意得解得 ∴y与x之间的函数解析式为y=-4x+324(30≤x≤80). 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)由题意得w=xy-2 000=x(-4x+324)-2 000=-4x2+324x-2 000，即w与x之间的函数解析式为 w=-4x2+324x-2 000(30≤x≤80). (3)由(2)知w=-4x2+324x-2 000=-4 2+4 561. ∵x是整数，且30≤x≤80， ∴当x=40或41时，w取得最大值，最大值为4 560. 答：该影院将电影票售价x定为40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4 560元. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 2.“活力海洋之都，精彩宜人之水”，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市之一.为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售．已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系如图所示，图象是直线的一部分． 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (1)求y与x之间的函数解析式. (2)该景区要想使这种文创纪念品的销售利润每天达到6 000元，每件文创纪念品的定价应为多少元？ (3)若规定该文创纪念品的利润率不得高于60%，且不赔钱，当销售单价定为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)由题意，设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b. ∵直线过点(30，350)，(50，250)， ∴∴ ∴y与x之间的函数解析式为y＝-5x+500． 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)由题意，每天的销售利润为(x-20)(-5x+500)，且20≤x≤100. 由销售利润每天达到6 000元，得6 000＝(x-20)(-5x+500),∴x＝40或x＝80． 答：该景区要想使这种文创纪念品的销售利润每天达到6 000元，每件文创纪念品的定价应为40元或80元． 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3)设每天的销售利润为w元， 由题意，得w＝(x-20)(-5x+500)＝-5x2+600x-10 000＝-5(x-60)2+8 000． ∵该文创纪念品的利润率不得高于60%， ∴每件纪念品的利润不超过20×60%＝12(元). ∴销售单价x应满足20≤x≤12+20，即20≤x≤32． ∵-5＜0，∴当x=32时，w最大，最大利润是(32-20)×(-5×32+500)＝4 080(元). 答：当销售单价定为32元时，每天的获利最大，最大利润是4 080元． 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点三 抛物线形问题 例3 如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8 m,拱高为4 m,该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4 m的隔离带，一辆宽为2 m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5 m的空隙，按如图②所示建立平面直角坐标系. (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)通过计算说明该货车能安全通过的最大高度. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)已知A(-4，0)，C(0，4)， 设抛物线的解析式为y=ax2+k, 由题意，得解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+4(-4≤x≤4). (2)由题意得2+=2.2(m), 当x=2.2时，y=-×2.22+4=2.79,2.79-0.5=2.29(m). 答：该货车能安全通过的最大高度为2.29 m. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 3.(2025·西安三模)中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图①是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图②所示，检票口大门可看成是抛物线OPQ(点O与点Q关于抛物线的对称轴对称)，OQ=8 m，四边形ACDB区域为检票区域，点A与点B在抛物线上.已知检票闸机高AC=EF=HN=BD= m，AC，EF，HN，BD均与OQ垂直，点A，E，H，B在一条水平直线上，点O，C，F，N，D，Q在一条水平直线上，以OQ所在直线为x轴，过点O且垂直于OQ的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线OPQ满足关系式y=ax2+x(a为常数，且a≠0). 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 ① ② (1)求a的值和抛物线的对称轴； (2)已知闸机AC与EF之间的区域为应急通道，闸机EF与HN之间的区域为人工检票通道，闸机HN与BD之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为 m ，求自动检票通道的总宽度BH.(闸机宽度忽略不计)     精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)根据题意可得Q(8,0)，把Q(8,0)代入y=ax2+x,得64a+×8=0，解得a=-. ∴抛物线的函数解析式为y=-x2+x， ∴抛物线的对称轴为直线x=-=4. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)令y=，得-x2+x=，解得x1=，x2=， ∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， ∴AB=-=7(m). ∵AE=EH= m，∴BH=7--=(m)， 即自动检票通道的总宽度BH为 m. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点四 函数的建模问题 例4 (2022·潍坊中考)某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研.小莹根据海水稻年产量数据，分别在平面直角坐标系中描出表示2017—2021年①号田和②号田年产量情况的点(记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量)，如图. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 小亮认为，可以从y＝kx+b(k>0)，y＝(m>0)，y＝-0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势. (1)小莹认为不能选y＝(m>0)，你认同吗？请说明理由. (2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数解析式. (3)根据(2)中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田的总年产量在哪一年最大？最大是多少？ 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)认同.理由如下： 观察①号田的年产量变化：每年增加0.5 t，成一次函数关系； 观察②号田的年产量变化：经过点(1，1.9)，(2，2.6)，(3，3.1). ∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，∴不是反比例函数关系. 因此小莹认为不能选y=(m>0)是正确的. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)由(1)知，①号田符合y=kx+b(k>0)， 把(1，1.5)，(2，2.0)分别代入，得解得 ∴①号田的函数解析式为y=0.5x+1. 检验：当x=4时，y=2+1=3，符合题意. ②号田符合y=-0.1x2+ax+c， 把(1，1.9)，(2，2.6)分别代入,得解得 ∴②号田的函数解析式为y=-0.1x2+x+1. 检验：当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3)设总年产量为w t， 依题意,得w=-0.1x2+x+1+0.5x+1=-0.1x2+1.5x+2=-0.1(x-7.5)2+7.625. ∵-0.1<0，抛物线的对称轴为直线x=7.5，而x为整数， ∴当x=7或8时，w取最大值，最大值为7.6. 答：①号田和②号田的总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6 t. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 4.(2025·青岛二模)某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件.经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件.设销售单价为x(元)，销售利润为w1(元)，解答下列问题： (1)求销售利润w1与销售单价x的关系式. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致.经过调研，线上每天所获销售利润w2(元)与销售单价x(元)的关系可以近似地用二次函数w2=ax2+700x-15 400来刻画，其图象如图所示.物价部门规定，售价不得高于40元.当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)根据题意得w1=(x-20) =(x-20)(-10x+500)=-10x2+700x-10 000， 故销售利润w1与销售单价x的关系式为w1=-10x2+700x-10 000. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)把(30,2 000)代入w2=ax2+700x-15 400， 得900a+21 000-15 400=2 000，解得a=-4， ∴w2=-4x2+700x-15 400. 设线上和线下的利润之和为w元， 则w=w1+w2=-10x2+700x-10 000+(-4x2+700x-15 400)=-14x2+1 400x-25 400=-14(x-50)2+9 600， ∵-14<0,x≤40，∴当x=40时，w最大，最大值为8 200. 故当售价为40元时，线上和线下的利润之和最大，最大利润为8 200元. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [五年山东中考真题] 【基础篇】 1.(2025·青岛中考)小磊和小明练习打网球.在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出. 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y=ax2+bx+1.8(a，b为常数)图象的一部分，其中y(米)是球的高度，x(米)是球和原点的水平距离，图象经过点(2,3.2)，(4,4.2). 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 信息二：球和原点的水平距离x(米)与时间t(秒)(0≤t≤1.6)之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： t/秒 0 0.4 0.6 … x/米 0 4 6 … (1)求y与x的函数解析式. (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y=-0.02x2+px+m(p，m为常数)图象的一部分，其中y(米)是球的高度，x(米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于或等于1.8时，p的取值范围为 (直接写出结果).   命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+1.8的图象经过点(2,3.2)，(4,4.2)，∴解得 ∴y与x的函数解析式为y=-0.05x2+0.8x+1.8. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)由表格可知当t=0时,x=0， ∴设球和原点的水平距离x(米)与时间t(秒)的关系式为x=kt(k≠0)， 将(0.4,4)代入得0.4k=4，解得k=10，∴x=10t. 对于y=-0.05x2+0.8x+1.8，a=-0.05<0，∴开口向下. 又对称轴为直线x=-=8， ∴当x=8时，ymax=-0.05×82+0.8×8+1.8=5， 此时10t=8，解得t=0.8， ∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3)由题意得当t=1.6时，x=1.6×10=16， ∴y=-0.05×162+0.8×16+1.8=1.8， ∴击球点位置为(16,1.8)， 将(16,1.8)代入y=-0.02x2+px+m， 得-0.02×162+16p+m=1.8，∴m=6.92-16p， ∴y=-0.02x2+px+6.92-16p. ∵当x=2时，y≥1.8， ∴-0.02×22+2p+6.92-16p≥1.8，解得p≤0.36， 故答案为p≤0.36. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 【加强篇】 2.(2024·济宁中考)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示. (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式. (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设这段时间内y与x之间的函数解析式为y=kx+b. ∵图象经过点(100,300)，(120,200)， ∴解得 ∴这段时间内y与x之间的函数解析式为y=-5x+800. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)∵销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，∴x≥100，y≥220， 即解得100≤x≤116. 设获得利润为z，即z=(-5x+800)x-(-5x+800)×80=-5x2+1 200x-64 000， ∴对称轴为直线x=-=-=120. ∵-5<0，即二次函数图象开口向下，x的取值范围是100≤x≤116， ∴在100≤x≤120范围内，z随着x的增大而增大， 即当销售单价x=116时，利润z有最大值， ∴最大利润z=-5×1162+1 200×116-64 000=7 920(元). 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 3.(2024·青岛中考)5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表：   单价/(元/盒) 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天   10x+10 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 第x天的单价与x近似地满足一次函数关 系，已知每天的固定成本为745元. B樱桃园 第x天的利润y2(元)与x的关系可以近 似地用二次函数y2=ax2+bx+25(a≠0) 刻画，其图象如图： 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (1)A樱桃园第x天的单价是 元/盒.(用含x的代数式表示) (2)求A樱桃园第x天的利润y1(元)与x的函数关系式.(利润=单价×销售量-固定成本)  (3)①y2与x的函数解析式是 ； ②求第几天两处樱桃园的利润之和(即y1+y2)最大，最大是多少元？ (4)这15天中，共有 天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．   命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)(-2x+52) (2)由题意，得y1=(-2x+52)(10x+10)-745=-20x2+500x-225. (3)①把(1,495)，(2,905)代入y2=ax2+bx+25中,得解得 ∴y2=-30x2+500x+25. 故答案为y2=-30x2+500x+25. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 ②∵y1=-20x2+500x-225， y2=-30x2+500x+25， ∴y1+y2=-20x2+500x-225-30x2+500x+25 =-50x2+1 000x-200=-50(x-10)2+4 800. ∵-50<0，且1≤x≤15(x为正整数)， ∴当x=10时，y1+y2有最大值，最大值为4 800， ∴第10天两处樱桃园的利润之和(即y1+y2)最大，最大是4 800元. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (4)当y2>y1时，-30x2+500x+25>-20x2+500x-225， ∴10x2<250，∴x2<25，∴1≤x<5， ∴x的正整数解有4个， ∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．故答案为4. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 4.(2023·潍坊中考)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2 m，AB=3 m，AF=BC=1 m，∠A=∠B=90°，∠C=∠F=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大?最大面积是多少? 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 4.解:设MH=x m，如图，过点F作FP⊥MH,垂足为P， 则四边形AMPF为矩形， ∴AF=PM=1 m，HP=(x-1)m， AM=PF. ∵∠AFE=135°, ∴∠PFE=135°-90°=45°, ∴∠FHP=45°，△PFH为等腰直角三角形， ∴PF=HP=(x-1)m， ∴AM=PF=(x-1)m，同理BN=(x-1)m， ∴MN=3-2(x-1)=(5-2x)m， 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 ∴S矩形MNGH=MH·MN=x(5-2x)=-2 2+, 由题意知1≤x≤2，∴当x=时，S矩形MNGH取得最大值， ∴当MH的长度为 m时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是 m2. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [三年山东中考模拟试题] 【加强篇】 5.(2025·青岛二模)近年来，青岛市海域浒苔繁殖问题备受关注，某海域浒苔覆盖面积受水温、光照等因素影响，呈现先增长后衰减的趋势，其生长规律可近似用二次函数模拟.下表是浒苔自然生长的监测数据： 时间t/天 0 10 20 30 覆盖面积S/平方千米 2 17 28 35 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 请根据以上描述解决以下问题： (1)根据表中数据，求出覆盖面积S(平方千米)关于t(天)的二次函数解析式. (2)环保部门规定，当覆盖面积超过10平方千米时，发布预警，请通过计算说明，预警时间预计持续多少天？ (3)当覆盖面积超过10平方千米时，每日投入打捞船进行清理，打捞效率为每天0.1平方千米.请通过计算说明，预警时间将减少多少天？     命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)由题意设S=at2+bt+2，把(10,17)和(20,28)代入得解得 ∴S=-0.02t2+1.7t+2. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)∵10=-0.02t2+1.7t+2， ∴t2-85t+400=0，解得t1=5，t2=80， ∴当覆盖面积超过10平方千米时，5＜t＜80， ∴t2-t1=75，即预警时间持续75天. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3)∵10=-0.02t2+1.7t+2-0.1(t-5)， ∴t2-80t+375=0，解得t1=5，t2=75，∴t2-t1=70， ∴75-70=5，即预警时间将减少5天. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 6.(2025·临沂一模)某网购平台所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋.为了吸引更多顾客，该网购平台采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，每分钟可多销售10袋. (1)当每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？ (2)该网购平台不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到5 500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元. (3)当销售单价为多少元时，每分钟的利润最大，最大利润是多少？ 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设当每袋鳕鱼的售价为x元时，每分钟的销量为150袋， 根据题意，得10(90-x)+100=150，解得x=85. 答：当每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟的销量为150袋. (2)设此时鳕鱼的销售单价为y元， 根据题意得 (y-50) -500=5 500， 解得y1=70,y2=80. ∵让消费者获得最大的利益，∴y=70. 答：此时鳕鱼的销售单价为70元. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3)设鳕鱼的销售单价为a元，每分钟的利润为w元， 根据题意得w=(a-50) =-10a2+1 500a-50 000=-10(a-75)2+6 250. ∵-10<0，∴当a=75时，w取得最大值，最大值为6 250. 答：当销售单价为75元时，每分钟的利润最大，最大利润为6 250元. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 7.(2025·青岛二模)根据以下素材，探索完成任务. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设直线AC的解析式为y=kx+b， 将(15,0)，(30,3)代入，得解得 ∴直线AC的解析式为y=x-3. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c. ∵c=8，∴y=ax2+bx+8. ∵对称轴为直线x=-=10，∴20a=-b. 将(30,11)代入y=ax2+bx+8，得11=900a+30b+8. 即900a+30b-3=0，即300a+10b=1， 把b=-20a代入300a+10b=1，得300a-200a=1， 即100a=1，∴a=，b=-20×=-， ∴所求的解析式为y=x2-x+8. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3)设h=x2-x+8- -2，即h=x2-x+9， ∴当x=21时，h=×212-×21+9=4.41-8.4+9=5.01； 当x=27时，h=×272-×27+9=7.29-10.8+9=5.49. ∵5.01>5，5.49>5， ∴符合安全标准. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 【拓展篇】 8.(2025· 威海二模)某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为80元，试销售一段时间后统计每天的销售量y(件)与售价x(元/件)间的部分数据如下表： 售价x/(元/件) 80 90 100 110 … 销售量y/件 800 600 400 200 … (1)根据表中数据，求出y与x之间满足的函数解析式. (2)物价部门规定单件利润率不得超过15%，售价定为多少元时公司每天获得的利润最大？ 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)根据表格可知y与x之间之间满足一次函数关系，设其解析式为y=kx+b(k≠0)， 选取和代入上式，得 解得 ∴y=-20x+2 400， 经检验，和均满足上式， ∴y与x之间满足的函数解析式是y=-20x+2 400. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)设获利为w元，由题意得w=(-20x+2 400)(x-80)=-20(x-100)2+8 000. ∵物价部门规定单件利润率不得超过15%，售价不低于成本， ∴解得80≤x≤92. ∵a=-20<0， ∴当80≤x≤92时，w随x的增大而增大， ∴售价定为92元时，公司每天获得的利润最大. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [个性化提优] 【基础篇】 9.(2025·陕西中考)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线形，水平横梁AC=16 m，L1的最高点B到AC的距离BO=4 m，L2，L3关于BO所在直线对称.MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数解析式； (2)已知抛物线L3的函数解析式为y=-(x-4)2，NQ= m，求MN的长. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)∵BO=4 m， ∴抛物线L1的顶点B坐标为(0,4)， 设抛物线L1的函数解析式为y=a(x-0)2+4. ∵AC=16 m， ∴结合二次函数的对称性得A(-8,0),C(8,0)， 将C(8,0)代入y=a(x-0)2+4，得0=64a+4， 则a=-，∴y=-x2+4. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)由(1)得抛物线L1的函数解析式为y=-x2+4. ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC，NQ= m，且抛物线L3的函数解析式为y=-(x-4)2， ∴y=yN-yQ=-x2+4- =， 整理得x2-3(x-4)2=24， ∴x2-3x2+24x-48=24， ∴x2-12x+36=(x-6)2=0， 解得x1=x2=6， ∴MN=2×6=12(m). 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 10.(2025·兰州中考)综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题. 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决. 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 生长素浓度 x(标准单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 发芽率 y(%) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 生长素浓度 x(标准单位) 2.7 3 3.3 4 4.2 — 发芽率 y(%) 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 — 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于或等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验. 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的解析式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)观察题中各点的分布规律知，y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 将(0,35)，(1,56)，(2,63)代入，得 解得 ∴该二次函数的解析式为y=-7x2+28x+35. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)当x=0时，y=35， ∴种子自然发芽率为35， ∴当y=35时，-7x2+28x+35=35， 解得x1=0，x2=4， 当y=0时，-7x2+28x+35=0， 解得x1=-1(舍去)，x2=5， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 【加强篇】 11.(2025·烟台二模)某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2 400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3 000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2 600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2 600元？ (2)设商家一次性购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元.在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在(2)的条件下，若企业一次获利不低于11 250元，请直接写出商家需一次性购买数量x的范围. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2 600元， 由题意得3 000-10(x-10)=2 600，解得x=50. 答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2 600元. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)当0≤x≤10时，y=(3 000-2 400)x=600x， 当x=10时，y有最大值，最大值为600×10=6 000； 当10<x≤50时，y= x=-10x2+700x， 即y=-10(x-35)2+12 250； 由于-10<0，当x=35时，y有最大值12 250； 当50<x≤60时，y=(2 600-2 400)x=200x， 当x=60时，y有最大值，最大值为200×60=12 000. 综上，当x=35时，y有最大值12 250. 答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12 250元. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3)当0≤x≤10时，最大值为6 000，不符合题意； 当10<x≤50时，由题意知y=-10x2+700x≥11 250； 考虑二次函数y=-10x2+700x-11 250， 当y=0时，解得x1=25，x2=45， 由二次函数的图象与性质知，当25≤x≤45时，y=-10x2+700x≥11 250； 当50<x≤60时，y=200x≥11 250，解得x≥56.25， 由于x为正整数，且不超过60件，则57≤x≤60. 综上，25≤x≤45或57≤x≤60. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 【拓展篇】 12.[综合与探究](2025·内蒙古中考)问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 外形参数： 如图①，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成.抛物线L1的高度为8 cm，矩形ABCD的边AB=8 cm，BC=6 cm，抛物线L2的高度为4 cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上. ① ② 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 问题解决： 如图②，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴.建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出B，C，D三点的坐标； (2)直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数解析式； (3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15 cm，求此时EF边的长. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)∵矩形ABCD的边AB=8 cm，BC=6 cm， ∴CD=AB=8 cm，AD=BC=6 cm，CD∥AB，BC∥AD， ∴B(8,0)，C(8,6)，D(0,6). 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线L1于点M，交抛物线L2于点Q，交矩形ABCD的边DC,AB于点N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，AP=BP=AB=4，∠DNP=∠APN=90°， ∴四边形DAPN是矩形， ∴NP=AD=6. ∵抛物线L1的高度为8 cm，抛物线L2的高度为4 cm，直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴， 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 ∴MP=MN+NP=8+6=14(cm)，QP=4 cm， ∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M(4,14)，Q(4,-4). 分别设抛物线L1和L2的解析式为y=a1(x-4)2+14，y=a2(x-4)2-4， 将D(0,6)代入y=a1(x-4)2+14， 解得a1=-， 则抛物线L1的解析式为y=-(x-4)2+14=-x2+4x+6. 将A(0,0)代入y=a2(x-4)2-4， 解得a2=， 则抛物线L2的解析式为y=(x-4)2-4=x2-2x. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3)∵装置整体图案为轴对称图形，∴EF⊥MQ，HG⊥MQ. ∵MQ⊥x轴，∴EF∥HG∥x轴. ∵四边形EFGH是矩形，∴HE⊥EF，∴HE⊥x轴，∴xE=xH， 设xE=xH=n， ∴yH=-n2+4n+6，yE=n2-2n， ∴EH=yH-yE=-n2+6n+6=15， 解得n=2或n=6(在对称轴MQ右侧，舍去)，∴xE=2. 由(2)可知xM=xQ=4,∴由抛物线对称性可得EF=2(xM-xE)=4. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 $