3.7 二次函数与方程、不等式的关系(含二次函数图象-【中考档案A版】2026年中考数学配套PPT课件

该初中数学课件聚焦二次函数与方程、不等式关系核心考点，覆盖抛物线平移与轴对称变换、解析式确定、与x轴交点及不等式解集等中考高频内容，通过“考点梳理+真题分析”对接中考要求，归纳平移变换“左加右减”等常考题型及解题模型。 课件亮点在于“真题精讲+技巧点拨”模式，如2024泰安中考二次函数结论判断题，通过推理能力分析对称轴与系数关系，结合“待定系数法求解析式”等突破方法，提升学生运算能力与模型意识，助力学生掌握答题技巧，为教师提供系统复习框架，高效提升冲刺效果。

第一部分 教材考点复习 第七节 二次函数与方程、不等式的关系 四维智学系列丛书 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点一 二次函数图象的平移变换 例1 抛物线的函数解析式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为( ) A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3 C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1 C 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [思路点拨] 首先将x轴、y轴的平移转化为抛物线的平移，再利用二次函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”求解. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [方法技巧] 抛物线平移类问题的解法 抛物线y=ax2+bx+c的平移,由于只是移动了抛物线的位置,而抛物线的形状、开口方向都没有发生改变，所以二次项系数a的值不变,改变的只是一次项系数b和常数项c的值.解答抛物线的平移类问题，首先应把抛物线的解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k,然后根据抛物线顶点的变化得出平移后的解析式;也可以根据“左加右减，上加下减”的规律来解答. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 1.将抛物线y=(x+1)2+1平移，使平移后得到抛物线y=x2+6x+6,则需将原抛物线( ) A.先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C.先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 B 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 2.[新定义]若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”.现将抛物线C1:y=(x-2)2-4向右平移m(m>0)个单位长度后得到新的抛物线C2,若(4,n)为“平衡点”,则m的值为( ) A.2 B.1 C.4 D.3 C 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点二 抛物线的轴对称变换 例2 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线，其关于y轴对称，AB∥x轴，AB=4 cm,最低点C在x轴上，高CH=1 cm,BD=2 cm,则右轮廓线DFE所在抛物线的解析式为 (不用写x的取值范围). y=(x-3)2 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [方法技巧] 将抛物线y=a(x-h)2+k沿x轴翻折后得到的抛物线与原抛物线关于x轴对称,所以两抛物线顶点的横坐标相同,纵坐标和a都互为相反数,即翻折后的抛物线为y=-a(x-h)2-k;将抛物线y=a(x-h)2+k沿y轴翻折后得到的抛物线与原抛物线关于y轴对称,所以两抛物线顶点的纵坐标和a不变,横坐标互为相反数,即翻折后的抛物线为y=a(x+h)2+k. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 举例：如图①②. ① ② 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点三 确定二次函数的解析式 例3(2023·西宁中考节选)如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(6,0)，与y轴交于点B(0,-6)，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x=1. (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解:(1)设直线l的解析式为y=mx+n(m≠0)， 把A，B两点的坐标代入解析式，得解得 ∴直线l的解析式为y=x-6. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0). ∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴y=a(x-1)2+k. 把A，B两点的坐标代入解析式，得解得 ∴抛物线的解析式为y=(x-1)2-=x2-x-6. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [方法技巧] 确定二次函数解析式的步骤 (1)根据条件设解析式：对于二次函数y=ax2+bx+c，若系数a，b，c中有一个未知，则代入图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入图象上任意两点坐标;若三个都未知，则根据下表所给点的坐标选择适当的解析式: 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 已知 所设解析式 顶点+其他点 y=a(x-h)2+k 与x轴的两个交点+其他点 y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴的一个交点+对称轴+其他点 任意三个点 y=ax2+bx+c (2)代入点坐标：将已知点坐标代入相应解析式中，得到关于待定系数的方程(组). (3)求解:解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的解析式. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过坐标原点O，且顶点为A(2,-4).求抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-4， 将O(0,0)代入得4a-4=0，解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=(x-2)2-4=x2-4x. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 4.如图，抛物线y=ax2-x+c与x轴交于A(-1,0)，B(4,0)两点，顶点为P.求抛物线的解析式及点P的坐标. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：∵抛物线y=ax2-x+c与x轴交于A(-1,0)，B(4,0)两点，∴解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. 而y=x2-x-2= 2-， ∴点P的坐标为 . 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 5.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)，B(1,0)两点，求b,c的值. 解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)，B(1,0)两点，∴解得 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y=-x2+bx+c经过点A(-3,-1)，与y轴交于点B(0,2).求抛物线的解析式. 解：将A(-3,-1)，B(0,2)代入y=-x2+bx+c， 得解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+2. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称.求该抛物线的解析式. 解:∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x=1对称，∴解得 ∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点四 二次函数与方程的关系 例4(2022·潍坊中考)抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为( ) A.- B. C.-4 D.4 [思路点拨] 根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到一元二次方程x2+x+c=0的根的判别式等于0,即可求出c的值. B 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 8.(2022·青岛中考)已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m为常数，m>0)的图象经过点P(2,4). (1)求m的值； (2)判断二次函数y=x2+mx+m2-3的图象与x轴交点的个数，并说明理由. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)∵二次函数y=x2+mx+m2-3的图象经过点P(2，4)，∴4=4+2m+m2-3，即m2+2m-3=0， 解得m1=1，m2=-3. 又∵m>0，∴m=1. (2)与x轴有两个交点.理由如下： 由(1)知，二次函数的解析式为y=x2+x-2. ∵Δ=b2-4ac=12+8=9>0， ∴二次函数y=x2+x-2的图象与x轴有两个交点. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 9.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1x2=3,那么二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象可能是( ) A B C D C 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 10.已知抛物线y=x2-mx-3与x轴交于A,B两点，且AB=4,则m的值为( ) A.2 B.-2 C.±2 D.±4 C 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点五 二次函数与不等式的关系 例5 如图是二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是( ) A.-1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜-1 D.x＜-1或x＞5 D 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [思路点拨] 求不等式ax2+bx+c<0的解集就是指抛物线在x轴下方部分对应的自变量的值.由图可知抛物线与x轴的一个交点为(5,0)，利用二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(-1,0)，进而解决问题. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 例6 二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是( ) A.x≤2 B.x≤0 C.-3≤x≤0 D.x≤-3或x≥0 C 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [思路点拨] 求不等式ax2+bx+c≥2的解集就是求抛物线在直线y=2上及其上方部分对应的自变量的值.观察图象可知，抛物线的对称轴为直线x=－.当y=2时,x=0或x=-3,进而可得不等式的解集.注意不等号含等号. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 11.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是( ) A.x＞-3 B.x＜1 C.-3＜x＜1 D.x＜-3或x＞1 D 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 12.若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a(x-2)2+b(x-2)+c＜0的解集为( ) A.x＜1或x＞3 B.x＞3 C.x＜-1 D.x＜3或x＞5 D 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 13.已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … -1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当y<5时，x的取值范围是 . 0<x<4 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 14.(2024·潍坊模拟)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-2,0)，B(6,0)，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论,不正确的为( ) A.b2-4ac＞0 B.4a+b=0 C.当y>0时，-2<x<6 D.a+b+c<0 C 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [五年山东中考真题] 【基础篇】 1.(2025·东营中考)如图①，在矩形ABCD中，BC=4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE=x，CF=y，图②是点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图象，则AB的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 A 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 2.(2024·泰安中考)如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0一定有一个根在-2和-1之间；③方程ax2+bx+c-=0一定有两个不相等的实数根；④b-a<2.其中，正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 3.(2024·日照中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(-1,0)，对称轴为直线x=2.对于下列结论：①abc<0；②a+c=b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为(x+1)(x-5)；④当m>-9a时，关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根.其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 【加强篇】 4.(2024·济南中考)如图①，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP.设点P的运动时间为t(s)，DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图②所示.有以下四个结论： 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 ①AB=3； ②当t=5时，y=1； ③当4≤t≤6时，1≤y≤3； ④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2(t1<t2)分别对应y1和y2，若t1+t2=6，则y1>y2. 其中正确结论的序号是( ) A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④ ① ② D 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 【拓展篇】 5.(2024·东营中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A.abc<0 B.a-b=0 C.3a-c=0 D.am2+bm≤a-b(m为任意实数) D 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [个性化提优] 【基础篇】 6.(2025·滨州二模)已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表，有以下五个结论： x … -1 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 m 3 … ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=1；③m的值为-1；④图象经过第一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的.上述结论中正确的是( ) A.①②④ B.①②⑤ C.②③④ D.③④⑤ A 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 7.(2024·泰安中考)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米. 450 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 x -4 -3 -1 1 5 y 0 5 9 5 -27 【加强篇】 8.(2024·烟台中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： 下列结论：①abc>0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；③当-4<x<1时，y的取值范围为0<y<5；④若点(m,y1)，(-m-2,y2)均在二次函数图象上，则y1=y2；⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<-2或x>3.其中正确结论的序号为 . ①②④ 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 【拓展篇】 9.(2025·青岛二模)如图，已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,-4)，则下列结论中错误的是( ) A.b2>4ac B.ax2+bx+c≥-6 C.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1 D.若点(0,m)，(-7,n)在抛物线上，则m>n D 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 $