2.1 一次方程(组)及其应用-【中考档案A版】2026年中考数学配套PPT课件

该初中数学中考复习课件系统覆盖一次方程（组）的解、解法及应用等核心考点，严格对接中考说明，分析考点权重，如应用题作为重难点占比突出，归纳解的定义辨析、方程求解、实际应用等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“精讲巧练+命题研究”模式，融入近五年山东中考真题，通过“鸡兔同笼”建模、方程求解纠错等实例，培养学生用数学眼光观察问题、用数学思维推理的能力，助力学生掌握解题技巧，教师可依此高效规划复习，提升冲刺效果。

第一部分 教材考点复习 第一节 一次方程(组)及其应用 四维智学系列丛书 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 A 考点一 一次方程(组)的解的定义 【例 1 】 (2023·永州中考)若关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为( ) A.3 B.-3 C.7 D.-7 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 1.已知是二元一次方程组的解，则m-n的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 D 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 2.已知是二元一次方程组的解，则2m-n的算术平方根为( ) A.4 B.2 C.-2 D.±2 3.已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b-5的值为 . B 1 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点二 一元一次方程的解法及其应用 例 2 [纠错改错]以下是圆圆解方程-＝1的解答过程. 解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)＝1. 去括号，得3x+1-2x+3＝1. 移项、合并同类项，得x＝-3. 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：有错误.正确的解答过程如下： 去分母，得3(x+1)-2(x-3)＝6. 去括号，得3x+3-2x+6＝6. 移项、合并同类项，得x＝-3. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 4.若x＝2是关于x的一元一次方程ax-2＝b的解，则3b-6a+2的值是( ) A.-8 B.-4 C.8 D.4 5.[数学文化]《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”设鸡有x只，可列方程为( ) A.4x+2(94-x)＝35 B.4x+2(35-x)＝94 C.2x+4(94-x)＝35 D.2x+4(35-x)＝94 D B 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 6.某百货超市经销甲、乙两种服装,甲种服装每件进价为50元,售价为80元;乙种服装每件售价为120元,可盈利50%. (1)乙种服装每件进价为 元. (2)若该超市同时购进甲、乙两种服装共40件,总进价为2 750元,求该超市销售完这批服装共盈利多少元. 80 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)设购进甲种服装x件,则购进乙种服装(40-x)件. 根据题意，得50x+80(40-x)=2 750,解得x=15， ∴(80-50)x+(120-80)(40-x)=(80-50)×15+(120-80)×(40-15)=1 450. 答:该超市销售完这批服装共盈利1 450元. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3)在元旦当天,超市实行“每满100元减30元”的优惠促销(比如:某顾客购物120元,他只需付款90元).张先生上午买了一件标价为320元的羽绒服，到了晚上八点后,超市又推出:先打折,再参与“每满100元减30元”的让利活动,他发现现在购买反而要多付4.4元.问该超市晚上八点后推出的让利活动是先打多少折后再进行满减活动? 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3)∵张先生上午购买的羽绒服的费用为320-3×30=230(元)， 晚上八点后购买要多付4.4元, ∴晚上八点后让利活动的价格在200~300元范围内. 设该超市晚上八点后推出的让利活动是先打y折后再进行满减活动， 根据题意，得320×-2×30-4.4=230,解得y=9.2. 答:该超市晚上八点后推出的让利活动是先打九二折后再进行满减活动. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点三 解方程组 例3 (1)(2025·潍坊中考)解方程组： (1) 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)解方程组： [思路点拨] 先把方程组中的第2个方程去分母，然后根据未知数系数的特点选择合适的方法求解. (2) 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 7.用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是( ) A.①×2-② B.②×(-3)-① C.①×(-2)+② D.①-②×3 8.已知二元一次方程组则x-y的值为 . D 1 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 9.已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 . 10.已知方程组的解也是关于x，y的方程ax+y＝4的一个解，则a的值为 . -1 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 11.解方程组： (1)   解：(1)整理方程组，得 ①+②，得6x＝12，解得x＝2. 将x＝2代入①，得6-2y＝8，解得y＝-1， ∴方程组的解为 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2) (2) ①×3+②，得10x-5＝0，解得x＝. 把x＝代入①，得y＝，∴方程组的解为 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (3) (3) 由①得y=3x-8.③ 把③代入②，得5(3x-8-1)=3(x+5),解得x=5. 把x=5代入③,得y=7,∴方程组的解为 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 12.若关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y>4,求k的取值范围.   k>1 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 13.若关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，求k的取值范围.   k≥8. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 14.若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y>-，求满足条件的m的所有正整数值.     解： ①+②，得3(x+y)＝-3m+6，∴x+y＝-m+2. ∵x+y>-，∴-m+2>-，解得m<， ∴满足条件的m的所有正整数值为1，2，3. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 考点四 一次方程(组)的应用(重难点) 例4 某小区购买酒精和消毒液两种消毒物资供居民使用，第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每桶30元，消毒液每桶20元，共花费600元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每桶价格分别下降了20%和10%，因此只花费了510元. (1)求每次购买酒精和消毒液分别多少桶.     精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)现有280元，若按照第二次购买的单价再次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的3倍，则最多能购买酒精多少桶？     精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设每次购买酒精x桶，消毒液y桶， 根据题意，得解得 答：每次购买的酒精和消毒液分别是10桶、15桶. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)设能购买消毒液m桶，则能购买酒精3m桶. 根据题意，得30(1-20%)·3m+20(1-10%)·m≤280， 解得m≤3.∵m为正整数，∴m最大为3，此时3m=9. 答：最多能购买酒精9桶. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 对点练习 15.[数学文化](2025·山东中考)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为( ) A. B. C. D.   D 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 16.五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大、小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次可以满载游客46人,则1艘大船与1艘小船一次可以满载游客的人数为( ) A.30 B.26 C.24 D.22 B 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 17.有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于或等于60元、90元，付款时分别减20元、30元.小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 元. 85或100 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 18.(2024·德州中考)解方程组： 解： ①×2，得2x-y=4，③ ②-③，得4y=8，解得y=2， 把y=2代入①，得x-=2，解得x=3， ∴方程组的解为 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 19.(2024·江西中考)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm. (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本. (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆放多少本？ 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设书架上数学书有x本，则语文书有(90-x)本. 根据题意，得0.8x+1.2(90-x)＝84，解得x＝60， ∴90-x＝30. 答：书架上数学书有60本，语文书有30本. (2)设数学书还可以摆放m本， 则10×1.2+0.8m≤84，解得m≤90. 答：数学书最多还可以摆放90本. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 20.某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品的总费用为360元. (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元(列方程或方程组求解)； (2)该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得的总利润w(元)与m(件)的函数解析式.   精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设A商品每件进价为x元，B商品每件进价为y元， 根据题意，得解得 答：A商品每件进价为100元，B商品每件进价为60元. (2)由题意，得w=(150-100)m+(80-60)(80-m) =50m+1 600-20m=30m+1 600. 精讲巧练·授技巧 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [五年山东中考真题] 【基础篇】 1.(2024·日照中考)我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”其大意为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得(注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺)( ) A 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 A. B. C. D. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 2.(2024·威海中考)《算法统宗》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井.若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是( ) C 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 A. B. C. D. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 3.(2024·滨州中考)解方程：=. 解：去分母，得2(2x-1)=3(x+1). 去括号，得4x-2=3x+3. 移项、合并同类项，得x=5. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 4.(2024·泰安中考)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各多少个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组为根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为( ) D 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 【加强篇】 5.(2025·烟台中考)某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为( ) A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 A 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 6.(2024·山东中考)根据以下对话，给出下列三个结论： 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 ①1班学生的最高身高为180 cm； ②1班学生的最低身高小于150 cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170 cm. 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ C 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 7.(2025·山东中考)山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径.某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型.已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米. (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y(米)与注水时间x(小时)之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)y=6x+5. (2)根据题意，得0.4(6x+5)×0.3=4.2，解得x=5. 答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 【拓展篇】 8.(2024·济南中考)近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A，B两种光伏车棚，已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元. (1)求修建一个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元. (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元， 根据题意，得解得 答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚(20-m)个，修建A种和B种光伏车棚共投资W万元， 根据题意，得m≥2(20-m)，解得m≥，且m为整数， W=3m+2(20-m)=m+40. ∵1>0， ∴W随m的增大而增大， ∴当m=14时，W取得最小值，此时W=14+40=54(万元). 答：修建A种光伏车棚14个时，可使投资总额最少，最少投资总额为54万元. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 [个性化提优] 【加强篇】 9.(2024·东营中考)随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车.新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元； (2)经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次.公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元.为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元， 由题意得解得 答：购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买B型新能源公交车每辆需80万元. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)设购买A型公交车a辆，则购买B型公交车(10-a)辆，该线路的年均载客总量为w万人次，由题意得60a+80(10-a)≤650，解得a≥7.5. ∵a≤10，∴7.5≤a≤10. ∵a是整数，∴a=8，9，10. w=70a+100(10-a)=-30a+1 000. ∵-30<0，∴w随a的增大而减小， ∴当a=8时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为-30×8+1 000=760(万人次), ∴10-8=2(辆), ∴购买方案为购买A型新能源公交车8辆，B型新能源公交车2辆，此时线路的年均载客总量最大，最大为760万人次. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 10.(2025·烟台中考)2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元. (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.     命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 解：(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元， 根据题意，得解得 答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元、80元. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 (2)设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40-m)盏. 根据题意，得m≤(40-m)，解得m≤10. 设购买费用为n元， 根据题意，得n=60m+80(40-m)=-20m+3 200. ∵-20<0，∴当m取得最大值时，n取得最小值， ∴m=10，40-m=40-10=30， 即购买甲种路灯10盏，乙种路灯30盏，所需费用最少. 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 【拓展篇】 11.如图，按照程序图计算，若输入正整数x时，输出的结果是161，则输入的x的值可能是 . 1，5，17，53 命题研究·赢中考 专业 专注 地方中考 | 让每个孩子的人生都出彩 $