第03讲 二元一次方程 二元一次方程组和它的解 解二元一次方程组（寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第03讲 二元一次方程 二元一次方程组和它的解 解二元一次方程组 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二元一次方程 1. 二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 分析： · 核心要素：两个未知数（通常用x、y表示）；未知数的项的次数为1（如xy的次数是2，不符合要求）；整式方程（分母不含未知数）。 · 示例：2x + 3y = 5是二元一次方程；x² + y = 1（未知数x的次数为2）、1/x + y = 2（分式方程）均不是。 2. 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 分析： · 解的形式：通常表示为（x=a，y=b）的形式，其中a、b为常数。 · 解的个数：二元一次方程有无数个解，因为给定一个未知数的值，可求出另一个未知数的对应值（如方程x + y = 3，当x=0时y=3；x=1时y=2，以此类推）。 3. 二元一次方程的一般形式 ax + by = c（其中a、b、c是常数，且a≠0，b≠0）。 分析： · a和b不能同时为0，否则方程变为0x + 0y = c，若c≠0则无解，若c=0则不是二元一次方程。 · 示例：3x - 2y = 7可化为一般形式，其中a=3，b=-2，c=7。 知识点2 ：二元一次方程组和它的解 1. 二元一次方程组的定义 由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 分析： · 组成条件：方程组中每个方程都是二元一次方程；共含有两个未知数。 · 标准形式： （其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为常数，且a₁、b₁不同时为0，a₂、b₂不同时为0）。 2. 二元一次方程组的解 二元一次方程组中所有方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 分析： · 公共解的含义：同时满足方程组中每个方程的未知数的值。 · 解的形式：仍表示为（x=a，y=b），需代入每个方程验证左右两边是否相等。 · 解的个数：一般情况下，二元一次方程组有唯一解；特殊情况（如两方程表示同一条直线）有无数解；若两方程表示平行直线（斜率相等且截距不同）则无解。 3. 检验方程组的解 将一组未知数的值代入方程组中的每个方程，若所有方程左右两边都相等，则该组值是方程组的解；否则不是。 示例：检验（x=2，y=1）是否为方程组 的解。 · 代入第一个方程：2 + 1 = 3，左边=右边； · 代入第二个方程：2×2 - 1 = 3，左边=右边； · 故（2，1）是该方程组的解。 知识点3 ： 解二元一次方程组 1. 代入消元法（代入法） 定义：通过将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解的方法。 步骤： （1）变形：从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示（如用x表示y，或用y表示x）； （2）代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4）回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值； （5）写解：用“”的形式写出方程组的解。 . 加减消元法（加减法） 定义：通过将方程组中两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解的方法。 步骤： （1）变形：使方程组中某一个未知数的系数绝对值相等（若系数不相等，可通过乘以适当的数实现）； （2）加减：若系数符号相反，则将两个方程相加；若系数符号相同，则将两个方程相减，消去该未知数，得到一个一元一次方程； （3）求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4）回代：将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值； （5）写解：用“”的形式写出方程组的解。 核心思想：消元（化二元为一元），体现“转化”的数学思想。 【题型1 二元一次方程的定义】 例1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 例2．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 变式1．已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ． 变式2．已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 变式3．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【题型2 二元一次方程的解】 例1．已知是方程的解，则的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 例2．下列四组数值中，是二元一次方程解的是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知是二元一次方程的解，则的值是 ． 变式2．若二元一次方程的解为非负整数，则满足条件的解共有 组． 变式3．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【题型3 二元一次方程组的定义与解】 例1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 例2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为 ． 变式2．方程组的解的情况是 ． 变式3．已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【题型4 二元一次方程组求参】 例1．已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 例2．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 变式1．若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为 变式2．若是方程组的解，则 ． 变式3．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【题型5 二元一次方程组的解法——代入消元法】 例1．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（　　） A． B． C． D． 例2．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 变式1．将方程变形：若用含y的式子表示x，则 ． 变式2．由，得到用表示的式子为 ． 变式3．解方程组：． 【题型6 二元一次方程组的解法——加减消元法】 例1．已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B．-3 C．0 D．4 例2．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 变式1．若关于，的方程组为则的值是 ． 变式2．若二元一次方程组的解满足，则 ． 变式3．解方程组 (1) (2) 【题型7 二元一次方程中的相反解与相同解】 例1．已知方程组中的，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．已知关于x．y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 变式2．已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 变式3．已知关于的方程组与方程组的解相同，求的值． 【题型8 二元一次方程（组）中的整数解】 例1．关于，的方程组的解是整数，则整数的个数为（） A．个 B．个 C．个 D．个 例2．二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 变式1．关于x，y的方程组，下列说法正确的是 （填序号）． ①x，y，m的和为定值； ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数． 变式2．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为 ． 变式3．定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 【题型9 二元一次方程（组）中的新定义运算】 例1．关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 例2．对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（   ） A．2， B．2，1 C．，1 D．， 变式1．定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则 ． 变式2．对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 变式3．定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【题型10 二元一次方程组中的整体思想】 例1．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 例2．已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知二元一次方程组的解为，那么的解为 ． 变式2．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 变式3．阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 1．若方程是关于，的二元一次方程，则、的值分别是（） A．， B．， C．， D．， 2．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 3．用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 4．若是方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 6．已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 7．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★= ． 8．已知关于，的二元一次方程组，则的值为 ． 9．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是 ． 10．若是二元一次方程组的解，则 ． 11．解下列方程组： (1)； (2)． 12．已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解 13．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 14．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 15．（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得， 所以原方程组的解是 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组： （3）已知满足方程组，求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二元一次方程 二元一次方程组和它的解 解二元一次方程组 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二元一次方程 1. 二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 分析： · 核心要素：两个未知数（通常用x、y表示）；未知数的项的次数为1（如xy的次数是2，不符合要求）；整式方程（分母不含未知数）。 · 示例：2x + 3y = 5是二元一次方程；x² + y = 1（未知数x的次数为2）、1/x + y = 2（分式方程）均不是。 2. 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 分析： · 解的形式：通常表示为（x=a，y=b）的形式，其中a、b为常数。 · 解的个数：二元一次方程有无数个解，因为给定一个未知数的值，可求出另一个未知数的对应值（如方程x + y = 3，当x=0时y=3；x=1时y=2，以此类推）。 3. 二元一次方程的一般形式 ax + by = c（其中a、b、c是常数，且a≠0，b≠0）。 分析： · a和b不能同时为0，否则方程变为0x + 0y = c，若c≠0则无解，若c=0则不是二元一次方程。 · 示例：3x - 2y = 7可化为一般形式，其中a=3，b=-2，c=7。 知识点2 ：二元一次方程组和它的解 1. 二元一次方程组的定义 由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 分析： · 组成条件：方程组中每个方程都是二元一次方程；共含有两个未知数。 · 标准形式： （其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为常数，且a₁、b₁不同时为0，a₂、b₂不同时为0）。 2. 二元一次方程组的解 二元一次方程组中所有方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 分析： · 公共解的含义：同时满足方程组中每个方程的未知数的值。 · 解的形式：仍表示为（x=a，y=b），需代入每个方程验证左右两边是否相等。 · 解的个数：一般情况下，二元一次方程组有唯一解；特殊情况（如两方程表示同一条直线）有无数解；若两方程表示平行直线（斜率相等且截距不同）则无解。 3. 检验方程组的解 将一组未知数的值代入方程组中的每个方程，若所有方程左右两边都相等，则该组值是方程组的解；否则不是。 示例：检验（x=2，y=1）是否为方程组 的解。 · 代入第一个方程：2 + 1 = 3，左边=右边； · 代入第二个方程：2×2 - 1 = 3，左边=右边； · 故（2，1）是该方程组的解。 知识点3 ： 解二元一次方程组 1. 代入消元法（代入法） 定义：通过将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解的方法。 步骤： （1）变形：从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示（如用x表示y，或用y表示x）； （2）代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4）回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值； （5）写解：用“”的形式写出方程组的解。 . 加减消元法（加减法） 定义：通过将方程组中两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解的方法。 步骤： （1）变形：使方程组中某一个未知数的系数绝对值相等（若系数不相等，可通过乘以适当的数实现）； （2）加减：若系数符号相反，则将两个方程相加；若系数符号相同，则将两个方程相减，消去该未知数，得到一个一元一次方程； （3）求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4）回代：将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值； （5）写解：用“”的形式写出方程组的解。 核心思想：消元（化二元为一元），体现“转化”的数学思想。 【题型1 二元一次方程的定义】 例1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1．据此逐项判断即可． 【详解】解：A：，含两个未知数，但含未知数的项的次数为2，不是一次方程； B：，含两个未知数，但次数均为2，不是一次方程； C：，含两个未知数x和y，次数均为1，是二元一次方程； D：，含两个未知数，但y在分母，不是二元一次方程． 故选：C． 例2．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义， 根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的系数都不能为零，但本题中y的系数已为，故只需x的系数即可保证为二元一次方程． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，且y的系数， ∴x的系数， 解得. 故选：D． 变式1．已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，未知数x和y的次数必须均为1，且系数不为零以确保两个变量都存在，据此建立等式和不等式求解，即可解题． 【详解】解：由二元一次方程的定义，得，， 解得或，且． 综上所述，． 故答案为：． 变式2．已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）逐一判断各方程即可得到答案． 【详解】解：①中，项的次数为2，不符合定义； ②是整式方程，含有两个未知数，且未知数的次数均为1，符合定义； ③不是整式方程，不是二元一次方程； ④中项的次数为2，不符合定义； ⑤整理后为，是整式方程，且含有未知数的项的次数均为1，符合定义． 故答案为：②⑤． 变式3．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 【题型2 二元一次方程的解】 例1．已知是方程的解，则的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 例2．下列四组数值中，是二元一次方程解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将每个选项的x和y值代入方程，验证是否成立． 【详解】解：选项A：，不是二元一次方程的解； 选项B：，不是二元一次方程的解； 选项C：，不是二元一次方程的解； 选项D：，是二元一次方程的解． 故选：D． 变式1．已知是二元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握定义是解题的关键．将二元一次方程的解代入方程，得到，然后通过代数变形，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：4． 变式2．若二元一次方程的解为非负整数，则满足条件的解共有 组． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，解题关键是通过变形用一个未知数表示另一个未知数，再结合非负整数的限制条件逐一验证取值． 将方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据非负整数的条件确定未知数的可能取值． 【详解】解：由方程 ，解得 ． ∵，为非负整数， ∴必须是的倍数且，． 当时，，符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，符合； 当时，，为负数，不符合． ∴满足条件的解有组． 故答案为：． 变式3．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)11 (2) (3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案； （2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可； （3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； （3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 【题型3 二元一次方程组的定义与解】 例1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可. 【详解】解：A选项：方程组中含有三个未知数， 不是二元一次方程组， 故A选项不符合题意； B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故B选项不符合题意； C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故C选项不符合题意； D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是， 是二元一次方程组， 故D选项符合题意． 故选：D． 例2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 变式1．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 变式2．方程组的解的情况是 ． 【答案】 无解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 通过比较两个方程即可得到结论． 【详解】解：对于方程组 ， 观察两个方程，左边均为 ，但右边分别为 和 ， 由于 ，因此方程组矛盾，无解． 故答案为：无解． 变式3．已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【答案】(1)和是是方程的解 (2)和是是方程的解 (3)是方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可； （2）同（1）求解即可； （3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解． 【详解】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解， ∴只有是方程组的解． 【题型4 二元一次方程组求参】 例1．已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解 将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵，是方程组的解， ∴代入得：， ∴． 代入得：， ∴． ∴． 故选：D． 例2．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程求出y，再代入求■． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 故选：A． 变式1．若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将二元一次方程的解代入方程，得到关于的方程，通过求解一元一次方程得到的值． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 解得． 故答案为：． 变式2．若是方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，求整式的值，将方程组的解代入原方程组，得到两个关于和的方程，然后将两个方程相加，即可求出的值． 【详解】将，代入方程组， 得， 将方程①和方程②相加，得， 即． 故答案为：． 变式3．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 【题型5 二元一次方程组的解法——代入消元法】 例1．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为， 故选：B． 例2．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． 根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可． 【详解】解：A、由得，，该选项正确，不符合题意； B、由得，，该选项错误，符合题意； C、由得，，该选项正确，不符合题意； D、由得，，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 变式1．将方程变形：若用含y的式子表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键；把看作已知数，根据等式的性质求出即可． 【详解】解：由原方程， 移项得， 两边同时除以5，得，即； 故答案为． 变式2．由，得到用表示的式子为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数”是解本题的关键． 通过移项和系数化为1，将原方程变形为用x表示y的形式。 【详解】解：由原方程， 移项得， 两边同时乘以，得， 化简得。 故答案为：． 变式3．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． 利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解： 将①代入②，得， 则，即， 解得． 将代入①，得． 所以原方程组的解是． 【题型6 二元一次方程组的解法——加减消元法】 例1．已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B．-3 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过加减消元法，直接计算的值，即可． 【详解】解：， 得：， ， 故； 故选A． 例2．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 变式1．若关于，的方程组为则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过将方程组的两个方程相加，进行整体运算，直接求出代数式的值 【详解】解：给定方程组 ，将①和②相加，得， 即． 故答案为：6． 变式2．若二元一次方程组的解满足，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 先求解二元一次方程组，得到x和y的值，再代入中求出k． 【详解】解： 将得：， 将③与②相加：， 即， 解得， 将代入②得：， 即， 解得， 所以方程组的解为， 则， 代入得：， 解得． 故答案为：． 变式3．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）令，得，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得 ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 【题型7 二元一次方程中的相反解与相同解】 例1．已知方程组中的，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x与y互为相反数,得到x+y=0，即y=-x，代入方程组即可求出m的值． 【详解】由题意得：x+y=0，即y=-x， 代入方程组得： ， 解得：m=3x=4， 故选D． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 例2．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 变式1．已知关于x．y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】由方程组的解互为相反数，得到，代入方程组计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程组得： 解得：， 所以， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 变式2．已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【详解】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 变式3．已知关于的方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及同解问题，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组，再根据两个方程组同解，得到关于a、b的方程组，求解即可计算求值． 【详解】解： ，得 解得 把代入①，得 解得 把代入得 ，得，即 把代入③，得 解得 ． 【题型8 二元一次方程（组）中的整数解】 例1．关于，的方程组的解是整数，则整数的个数为（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先解方程组求出的值，根据和都是整数求出或或或，求出的值，再代入求出，再逐个判断即可; 【详解】 得： 解得： 把代入②得： 解得： 方程组的解为整数 均为整数 或或或 解得：， 当时，，不是整数，舍去； 当时，，是整数，符合； 当时，，是整数，符合； 当时，，不是整数，舍去； 故选：C. 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的含参问题，准确的解出方程组并且列出整数解的情况是求解本题的关键. 例2．二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案． 【详解】解：对方程组， ②－①×2，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：C． 变式1．关于x，y的方程组，下列说法正确的是 （填序号）． ①x，y，m的和为定值； ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 先按照解二元一次方程组的一般步骤，解方程组，求出x，y，再求出，从而判断①的正误；根据①中求出的，x为整数，判断是否为整数，再判断m，y是否为整数，从而判断②的正误；根据①中求出的，y为整数，判断m，x是否为整数，从而判断③的正误即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ， 把代入①得： ， ， ， ①的说法正确； ，x为整数， 为整数， 当时，也是整数， 当x为整数时，m和y不一定为整数， ②的说法错误； ，y为整数， 为整数， 为整数， ， 也是整数， ③的说法正确； 综上可知：说法正确的是①③， 故答案为：①③． 变式2．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， ①②得， 解得， 为整数，为整数， ， 的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组． 变式3．定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)③④ (2) (3)2或3 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，求出，，然后判断即可； （2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可； （3）根据已知条件中的新定义，把方程换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故①不符合题意； ②， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故②不符合题意； ③化为：， ， ， ∴， ∴是“阶梯方程”，故③符合题意； ④， ， ，， ∴， ∴是“阶梯方程”，故④符合题意， 故答案为：③④； （2）解：∵， ∴， ∴变为：， ， ， ∵等式a为任意数时都成立， ∴， 由②得：， 把代入①得：， ∴这组解为：； （3）解：∵， ∴， ∴方程组化为， 由②得：，③代入①得： ， ， ， ， ， 把代入③得：， ∵y为整数， ∴或， 解得：或或2或3， ∵，， ∴或2或3， 当时，，此情况不存在； 当时，； 当时，； ∴a的整数值为：2或3． 【题型9 二元一次方程（组）中的新定义运算】 例1．关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据运算定义可得：，解方程即可得到，则问题随之得解． 【详解】∵，， ∴根据运算定义可得：， 解得方程得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及定义新运算等知识，理解新运算的含义以及掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． 例2．对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（   ） A．2， B．2，1 C．，1 D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算与二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的解法（代入消元法等）是解题的关键．根据新运算的定义，将不同、值代入运算式，得到关于、的二元一次方程组，再求解方程组得出、的值 ． 【详解】解：由题意可得 ． 由，可变形为 （通过移项，用含的式子表示，为代入消元做准备 ）． 把代入中，得到 （代入消元，将二元一次方程转化为一元一次方程 ）． 展开括号： ． 合并同类项： ． 移项可得：，即 ． 解得 ． 把代入，得 ． 故选：A 变式1．定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用；根据新定义运算，建立关于a、b的二元一次方程组，求出a、b后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解方程组，得：， 所以， 故答案为：4． 变式2．对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据新定义列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y，再求其和即可． 【详解】解：由新定义，得， ①，得③， ②③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴． 故答案为：． 变式3．定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 【题型10 二元一次方程组中的整体思想】 例1．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 例2．已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．将方程组变形为，根据关于x，y的方程组的解是，得到，解之即可． 【详解】解：方程组变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴，解得：， 故选：B． 变式1．已知二元一次方程组的解为，那么的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法． 通过变量代换，将原方程组化为与已知方程组相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：设，则原方程组化为：， 整理得：， 令，则：， ∵该方程组与已知方程组形式相同，且已知解为， ∴， 所以，解得， ，解得， 故原方程组的解为． 故答案为：． 变式2．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 变式3．阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 1．若方程是关于，的二元一次方程，则、的值分别是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握“二元一次方程需满足含两个未知数、未知数的次数均为1且未知数的系数不为0”是解题的关键．根据二元一次方程的定义，分析未知数的次数和系数的限制条件，进而求解、的值． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴的系数，且的次数， 解得， ∴，， 故选：C． 2．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程，因此只需验证第二个方程的值是否匹配． 【详解】解：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程， 将代入各选项的第二个方程： ∵对于选项A：，不满足； 对于选项B：，不满足； 对于选项C：，满足； 对于选项D：，不满足． ∴只有选项C以为解． 故选：C． 3．用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过加减消元法消去未知数x，将两个方程相减即可． 【详解】解：得： 即   ∴．   故选：B． 4．若是方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的一个解， ∴， 解得， 故选：． 5．已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（   ） A．x为奇数，y是偶数 B．x为偶数，y是奇数 C．x为偶数，y是偶数 D．x为奇数，y是奇数 【答案】B 【分析】此题考查的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，根据奇偶数的性质一一验证即可得出答案． 【详解】解：．当x为奇数，y是偶数时，则p为奇数，q为奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为偶数，y是奇数时，则为偶数偶数偶数，为偶数奇数奇数，与题干符合，故该选项符合题意； ．当x为偶数，y是偶数时，则p为偶数，q为偶数，与题干不符，故该选项不符合题意； ．当x为奇数，y是奇数时，则为奇数偶数奇数，与题干不符，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的概念， 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1，且 的系数不能为零的整式方程，据此作答即可． 【详解】解：∵是关于 和 的二元一次方程， ∴ ，， ∴a=−2， 故答案为：． 7．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，熟练掌握“方程组的解满足方程组中的每一个方程”是解题的关键．利用方程组的解满足方程组中的方程，将已知的值代入对应的方程，求解的值． 【详解】解：∵方程组的解为，且， ∴将代入，得， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 8．已知关于，的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 通过将第二个方程减去第一个方程，直接得到的值． 【详解】解：由方程组， 由②①得： ， ， ， ． 故答案为． 9．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数．将给定的解代入二元一次方程，通过求解一元一次方程得到的值，即可作答． 【详解】解：依题意，将代入方程，得， 即， 移项得， 解得， 故答案为 10．若是二元一次方程组的解，则 ． 【答案】2023 【分析】本题考查二元一次方程组的解以及已知式子的值求代数式的值，解题关键在于熟练掌握加减消元法； 先把解代入方程组，然后利用加减消元法得到的值，再整体代入即可． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 得：， ∴， 故答案为：2023． 11．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， 则方程组的解为． （2）解：方程组整理得：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， 则方程组的解为． 12．已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解 【答案】(1)或或 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）将方程变形为用表示的形式，结合为正整数的条件，确定的取值范围，再代入求出对应的． （2）根据给定的方程组的解，构造一个二元一次方程，使该解满足这个方程． 【详解】（1）解：由方程，得． 当时，； 当时，； 当时，． 故方程所有的正整数解为或或 （2）解：∵把代入式子，得， ∴满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解及方程组的解，掌握用一个未知数表示另一个未知数，结合正整数条件确定取值、构造满足特定解的二元一次方程是解题的关键． 13．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 14．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 15．（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得， 所以原方程组的解是 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组： （3）已知满足方程组，求的值． 【答案】（1）（2）（3）15 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （2）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （3）先将①式进行变形化简，再利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解：（1）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 则原方程组的解为； 故答案为：； （2）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得，解得， 则原方程组的解为； （3） 由①，得， 化简，得③ 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 所以． 42 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $