2025-2026学年人教版九年级 数学期末复习习题

九年级数学期末复习习题集 一、单选题 1．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像的对称轴是直线 B．顶点坐标 C．当，取得最大值，且最大值为6 D．图像开口向上 2．如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知一坡面的坡度，则坡角的度数为（   ）． A． B． C． D． 4．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 6．如图，在中，，点B在圆上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 （第2题） （第3题） （第6题） （第7题） 8．以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C． D． 9．图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．如图，在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，，分别是的中点，连接，若，则的值为 （    ） A． B．2 C． D． 11．如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ） A．4 B． C．6 D． 12．如图，是的外接圆，．过点O作的垂线交于点D，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． （第9题） （第10题） （第11题） （第12题） 13．如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，且交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 17．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 （第13题） （第14题） （第15题） （第18题） 19．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 21．如图，在中，，，与交于点O，下列结论：其中正确结论的个数是（   ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 22．如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D．    （第19题） （第20题） （第21题） （第22题） 23．如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是 A．当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形 B．当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP=30° D．当∠ACP=30°时，ΔPBC是直角三角形 二、填空题 25．若，则的最大值是 ． 26．在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 27．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ． 28．如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ． （第23题） （第24题） （第27题） （第28题） 29．如图，中，、两个顶点在x轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴下方作 的位似图形 并把 的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 30．已知与是抛物线上的两点，且．若，则与的大小关系是 ． 31．若函数与的图象交于点，则的值为 ． 32．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ． 33．如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，的三个顶点分别在、、上，与交于点，如果，，那么的长是 ． 34．已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ． 三、解答题 35．计算：(1) (2)． 36．综合与实践 为践行五育融合，落实劳动教育，引导学生在劳动实践中树立正确的劳动观点和劳动态度，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米，米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式； 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求出函数的最大值，并写出函数的一条性质．请你解答此问题． 37．材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 38．自《义务教育课程方案》和课程标准（2022版）发布以来，河南省各地区学校积极响应劳动教育课程改革，开展多种形式劳动教育．为便于劳动实践活动，某校要建一个如图所示的矩形菜园，其中一边靠墙，另外三边用总长为36米的篱笆围成．已知墙长25米．若设矩形菜园的边长为x米，矩形菜园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的矩形菜园面积最大？最大面积是多少？ 39．已知二次函数（m是常数）． (1)若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； (2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； (3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 40．已知二次函数． (1)求证：二次函数的图象必过点； (2)若该函数图象与x轴有两个交点，求证：． 41．如图，是的直径，点D是线段延长线上一点，过点D的直线与相切于点C，过线段上一点E作的垂线交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 42．如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 43．如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 44．小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 45．如图，点A，B，C在上，，以，为边作． (1)当经过圆心O时（如图1），求的度数； (2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 46．如图，在和中，是边上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 47．如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 48．【问题背景】（1）如图①，，连接、，求证：． 【问题探究】（2）如图②，，，，连接、，若的延长线经过点，则______；______． 【拓展应用】（3）如图③，在和中，，，与交于点，点在边上．若，，则的长为______． 49．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 50．已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《九年级数学期末复习习题集》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A D C A A B B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B B B A A C A C C A 题号 21 22 23 24 答案 B A A C 1．C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；根据二次函数顶点式的性质，a的符号决定开口方向，h和k确定顶点坐标和对称轴，然后问题可求解． 【详解】解：由二次函数可知：，开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当，取得最大值，且最大值为6； ∴选项A、B、D错误；C正确； 故选C． 2．A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； ∴； 故选A． 3．C 【分析】本题主要考查坡度坡角，根据坡度即为坡角的正切值求解即可． 【详解】解：∵， ∴坡角． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 5．D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 6．C 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形． 在优弧任取一点，连接，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形对角互补可知． 【详解】解：如图，在优弧任取一点，连接， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了解三角形的应用-坡度坡角的问题，理解坡比的含义是解题关键，根据直角三角形的关系可得，代入即可求解． 【详解】解：在中，迎水坡的长度为17米，其坡角为 ∴，即 故选：A ． 8．A 【分析】本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或． 位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 【详解】解：∵ 位似中心O为原点，位似比为2， ∴ 点的对应点坐标满足：或 ， ∴ 坐标为或， 故选A． 9．B 【分析】本题考查图形的位似：连接，三条直线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图： 与位似，则位似中心是点N， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定定理和性质，以及勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 先证明，利用相似三角形性质推出，进而求出，再结合线段中点性质，以及勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得， ∴在中，， ∴，解得， ∵分别是的中点， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∴． 故选：B． 11．B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 12．B 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质． 连接，则是四边形的内接四边形，则与互补，从而求得，根据垂径定理得到垂直平分，从而，进而求得，即可解答． 【详解】    连接，则是四边形的内接四边形， ∴， ∵经过圆心O，且， ∴垂直平分， ∴， ∴． 故选：B． 13．B 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 14．A 【分析】由正方形性质可求出的长，进而求出的长，证，利用相似三角形对应边成比例可求得、的长，证，得，根据线段的和差求得的长即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ，， 又， ， 又，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键． 15．A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 16．C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 17．A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 18．C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．联立求得点的坐标为，由点E为中点，求得点E的坐标为，由平移的性质求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：联立得，解得（舍去负值）， ∴，则， ∴点的坐标为， ∵点E为中点， ∴点E的坐标为， 由题意得，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故选：C． 19．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键． 开口向下得到；对称轴在轴的右侧得到a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方得到0，所以；当时，得到，即；对称轴为直线，可得时，即；利用对称轴得到，而，则，所以；开口向下，当有最大值，得到，即． 【详解】解：开口向下，， 对称轴在轴的右侧，、异号，则， 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴，所以①正确； 当时，，即， 即，所以②不正确； 因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点在和之间， 则时，， 即，所以③正确； 因为对称轴为直线，则，而， 则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值； 当时，， 则， 即，所以⑤错误． 故①③④正确，共3个． 故选：C． 20．A 【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论． 连接，根据直径所对圆周角可得，由同弧所对圆周角相等可求出度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵， ∴， ， 故选：A． 21．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，则结论②错误；证出，根据相似三角形的性质可得①错误，③正确；再根据相似三角形的性质可得，则，根据三角形的面积公式可得④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则结论②错误； 又∵， ∴， ∴，，，则结论①错误，③正确； ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等， ∴，则结论④正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 22．A 【分析】连接, 根据等腰三角形的性质得到, 根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论. 【详解】连接, ∵, ∴ ∴, ∵, ∴是等边三角形,    ∴ , ∵，, ∴, ， ∴, ∵, ， ， 即的半径为 ， 故选: . 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键. 23．A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 24．C 【分析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断 【详解】当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，所以根据等边三角形的性质，BP垂直平分AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA=PC，即ΔAPC是等腰三角形，判断A 正确； 当ΔAPC是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO⊥AC，判断B正确； 当PO⊥AC时，若点P在劣弧AC上，则∠ACP=30°，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，∠ACP=60°，则∠ACP=60°，判断C错误； 当∠ACP=30°时，∠ABP=∠ACP=30°，又∠ABC=60°，从而∠PBC=30°；又∠BPC=∠BAC=60°，所以，∠BCP=90°，即ΔPBC是直角三角形，判断D正确． 故选C． 25． 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 26． 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 利用非负数的性质和三角函数，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， 且，， ∴ ，， ，． ，都是锐角， ∴，， 在中，． 故答案为：． 27． 【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，    ∵正六边形对边互相平行，且内角为， ∴    过点作于， ∴ 设正六边形的边长为1，则，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 28． 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 29．/ 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键，根据位似图形对应点到位似中心横坐标的长度等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：设点的横坐标为， 则、间的横坐标的长度为， 、间的横坐标的长度为， ∵放大到原来的2倍得到， ∴， 解得：， 故答案为． 30． 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质, 根据二次函数的性质，由于，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，点离对称轴越近，函数值越大． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 因为， 所以抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值， 由已知，可知点A比点B离对称轴更近， 因此． 故答案为：． 31． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求代数式的值，由交点坐标满足两个函数解析式，可得和，进而代入表达式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 32．12 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 33．5 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．分别过点作，交于点，根据平行线分线段成比例，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长与的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，分别过点作，交于点， 则， 由题意得：，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：5． 34．/ 【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． 二次函数开口向上，顶点横坐标为．根据顶点与的位置关系，分三种情况讨论最小值点，并令最小值为求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为，开口向上． ∵当时，抛物线的最小值为， 当时，y随x的增大而增大， ∴，y取得最小值， ∴， 解得，不满足． 当时，，y取得最小值， ∴， 解得或，均不满足． 当时，y随x的增大而减小， ∴，y取得最小值， ∴． 解得，满足． 综上，． 故答案为：． 35．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂以及零指数的运算法则； （1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及零指数进行计算即可求解； （2）根据零指数，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．（1）；（2）函数最大值为，当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1，不妨设抛物线的解析式为，根据题意，得于是得到，代入解析式解方程组解答即可． （2）利用待定系数法，求得直线的解析式为：，根据抛物线的解析式，结合点M的横坐标为m，可设点，则，则 ，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1， 设抛物线的解析式为， 根据题意，得， 故，， 代入解析式，得，解得， ， 故抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为． 设点，则， 则 ， ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，函数有最大值，最大值为， 函数的一条性质为：当时，随的增大而减小． 37． （1）关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）销售单价应定为元或元； （3）销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数与一次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据题意列出关于的函数解析式以及关于的函数解析式即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】解：（1）由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件， 日销量， 由材料一可得，销售单价不低于元， 由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数． 的取值范围为，且为正整数． 日销售利润， 关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）由题意得，当时，即， 整理得，即， 解得，， ， 销售单价应定为元或元， 答：销售单价应定为元或元； （3）， 且为正整数， 当或时，最大， 当时，（元）， 当时，（元）， 最大利润为元， 答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元． 38．(1)， (2)当时，满足条件的矩形菜园面积最大，最大面积为162平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）矩形菜园的边长为米，则边长为米，进而根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据墙长25米，进而得出自变量x的取值范围； （2）根据配方法化为顶点式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形菜园的边长为米， ∴边长为米， ∴， 自变量x的取值范围是； （2）解：， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当时，满足条件的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米． 39．(1)①；②2 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握其图像性质是解题的关键． （1）将代入得到二次函数，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标，验证顶点坐标是否在二次函数上即可； （3）由（2）可知该二次函数开口向下，对称轴为，根据当时，总有，说明当时，随的增大而减小，据此解答即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数， ①该函数的顶点坐标为， 故答案为：； ②由①知该函数的顶点坐标为， 由于， 则当时，该函数的最大值为2， 故答案为：2； （2）证明：二次函数， 则顶点坐标为， 将代入得， 因此，不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； （3）解：由（2）可知该二次函数的顶点坐标为， 当时，总有， 则当时，随的增大而减小， 由于该二次函数开口向下，对称轴为， 则， 故答案为：． 40．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的综合应用． （1）将代入求出即可； （2）根据根与系数的关系和根的判别式得到，，代入计算即可． 【详解】（1）证明：当时， ， 即二次函数的图象必过点； （2）证明：∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，， 且， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴． 41．(1)见解析 (2)7 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，而，则，再根据等边对等角以及三角形的外角性质即可证明； （2）先证明，求出，再证明，最后由线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵过点D的直线与相切于点C， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 42．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键． 43． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 44． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握正切的定义是解题的关键．过点作于，过点作于，根据正切的定义分别求出，，计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， ，，， 得矩形，矩形， ，， 在中，，， 则， ， 在中，，， 则， ， ， 在中，，， 则， ， ， 答：楼与的高度差约为． 45．(1) (2) 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出； （2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出， 说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵经过圆心O， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴； （2）解：连接、，如图所示： ∵与相切， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 46．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据得出，进而根据两边成比例夹角相等，证明即可； （2）根据（1）的结论，得出，代入已知条件即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得 ． 47． 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 48．（1）见解析；（2）；；（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键： （1）根据相似三角形的性质，得到，，进而得到，即可得证； （2）根据等边对等角，得到，相似三角形的性质，得到，，进而得到，证明，进行求解即可； （3）先证，得出，再证，得到，解直角三角形，得到，进而得到，再证明，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：；45； （3）∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴，即， 在中，， ∴ ∴， ∵． ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 49．（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明后即可求解； （2）过点C作，交的延长线于点H，证明后即可求证； （3）过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，证明，得到，由三角函数设，则，由勾股定理可得，得到，，，利用面积法可得，即可求解． 【详解】解：（1）设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）如图，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 即； （3）如图所示，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， 设， 则， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 50．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解； （2）若，则二次函数，则抛物线开口向下，然后根据当时，即可求证； （3）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分①若对称轴在直线左侧时，即，②若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，则有二次函数解析式为， 由条件可得， 解得：， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）证明：若，则二次函数， ∴抛物线开口向下， ∵函数图象与轴有两个交点，且， ∴当时，， ， ∴； （3）解：∵当时，；当时，， ∴抛物线开口向上， ， ①如图，若对称轴在直线左侧时，即， ∵当时，；当时，， ∴当，取最小值， ， ∴此时不符合题意； ②如图，若对称轴在直线右侧时， ∴当时，，当，取最小值， ∵函数图象经过点， ∴，， ∴，即，， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $