5.1直角三角形的性质定理(2) 教学设计 2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形30°角所对直角边与斜边数量关系及逆定理，通过复习直角三角形两锐角互余等旧知搭建学习支架，衔接新知探究。 以问题驱动引导学生构造中点连线、用轴对称证明性质，结合轮船触礁实际问题与双证法例析，发展逻辑推理与几何直观，培养应用意识，助力学生深化理解，便于教师高效教学。

5.1直角三角形的性质定理（2） 教学设计 课题 5.1直角三角形的性质定理（2） 单元 第五章 学科 数学 年级 八年级上 教材分析 直角三角形是在学习了等腰三角形、等边三角形后又一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还具有许多特殊的性质，为解决直角三角形的有关计算与证明提供了依据，也为后面学习解直角三角形奠定基础。 核心素养 能力培养 1. 通过创设问题，‌引导学生独立思考、‌自主探索、学生操作实验、‌推理论证等的过程中，‌发展数学抽象、‌逻辑推理、‌直观想象等数学思想； 2. 掌握如何将复杂的几何问题转化为代数问题，‌通过计算和推理来解决问题，‌有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。 教学目标 1. 掌握直角三角形中30°角所对直角边与斜边的数量关系； 2. 理解直角三角形中直角边是斜边的一半，那这条直角边所对的角等于30°的几何意义； 3. 学会通过直角三角形的特殊性质解决一些简单的实际问题. 教学重点 掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，及直角三角形中直角边是斜边的一半，那这条直角边所对的角等于30° 教学难点 把实际问题中的数学知识及相关的条件提取出来并通过直角三角形的特殊性质解决一些简单的实际问题. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 （新知导入） 1.直角三角形的两个锐角_________； 2.有两个角__________的三角形是直角三角形； 3.直角三角形的性质定理:______________ _____________________________________ 学生回顾上节课所学内容，回答老师提出的问题。 通过巩固学生上节课所学的知识点，提高学生对知识点的理解和应用能力。为新课打下基础。 新知探究 【思考】 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，如果∠A = 30°，那么直角边 BC 与斜边AB有怎样的数量关系？ 如图，取斜边AB的中点D，连接CD. 根据直角三角形的性质定理得，CD =AB = BD，于是△DBC是等腰三角形.由于∠ACB = 90°， ∠A = 30°，因此∠B = 60°. 于是△DBC是等边三角形，因此BC = BD = AB. 由此可得： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试 例 2 在 A岛周围 20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？（已知≈ 1. 732） 分析 如图 ，取轮船航向所在的直线为OB. 过点 A作AD ⊥ OB，垂足为D. AD的长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险 解 如图 ，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD ⊥ OB，垂足为D，连接AO.在Rt△AOD中，AO =海里，∠AOD = 30°， 于是AD=AO =×=≈ 25. 98（海里）因为AD ≈ 25. 98 > 20， 所以轮船由西向东航行不会有触礁危险. 例3 如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90°，若BC =AB，求证：∠A = 30° 证明 （方法一） 如图 ，取斜边 AB 的 中点D，连接CD. 因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以CD =AB = BD.因为BC =AB， 所以BC = BD = CD， 即△BDC为等边三角形. 于是∠B = 60°. 因为∠A + ∠B = 90°，所以∠A = 30° （方法二） 如图，延长BC到F，使CF = BC，连接AF 因为∠BCA = 90°，BC = CF, 所以AC垂直平分BF， 于是 AB = AF（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又BC =AB，BC = CF =BF， 所以BF = AB， 因此BF = AB = AF，即△ABF是等边三角形 所以∠B = 60°， 因此∠CAB = 90°- ∠B = 30° 由此得出：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 学生独立思考，动手操作，经历探索的过程，进而发现结论。 学生分析讨论后，师生共同完成解题步骤，进一步巩固学生本节课的所学内容。 创设情景，引导学生探究从一般到特殊的情景，借助于教具，模型，教学手段，使学生得到直观的感性认识。 让学生概况结论，可以培养学生的概括能力。 通过例题提升，使学生能运用所学知识点和技能解决问题，同时为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性。 课堂练习 1.如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，垂足为点D，∠A = 30°. 求证：AB = 4BD. 证明： 因为∠A = 30°，CD ⊥ AB，∠ACB = 90° 所以∠B=60°，2BD=BC，AB=2BC（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 所以AB=4BD 2.如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD = 2AB，沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在 BC 上（如图中的点 A′），折痕交AB于点 G，那么∠ADG等于多少度？ 解 因为AD = 2AB，所以A`D=2CD， 因为∠C=90°所以∠CA`D=30°（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°） 在四边形ABCD中BC//AD，所以∠ADA`=∠CA`D（两直线平行，内错角相等） 所以∠ADG=(∠ADA`=∠CA`D) 学生通过课堂练习巩固本节课所学的知识点。 通过设置课堂练习，进一步检测学习效果，做到“堂堂清”。 课堂小结 1.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 教师引导学生归纳本节所学知识，进一步复习巩固新知识。 注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会。 课后练习 1.必做题：教科书P162页习题——学而时习之3-5 2.选做题：教科书P163页习题——温故而知新7-8 对本节课所学知识点进行练习，提高了学生对知识点的理解和掌握。提供给学生不同难度的习题，使学生充分掌握本节课所学的知识点。 通过巩固学生课堂所学的知识点，提高学生对知识点的理解和应用能力。让学生通过实践掌握理论知识，促进学生自主学习能力和探究精神。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $