2.3一元二次方程根的判别式 教案 2025-2026学年湘教版数学九年级上册

该教案聚焦一元二次方程根的判别式，通过公式法解三个方程回顾求根公式，引导学生观察被开方数与根的关系，搭建从求根公式到判别式的学习支架，衔接旧知与新知。 特色是引导学生自主探究发现判别式与根的关系，培养数学眼光中的抽象能力，含参问题变式训练发展推理意识，综合应用等腰三角形周长问题体现模型意识，分层作业满足差异需求，助力学生逻辑思维提升，为教师提供清晰教学路径与分层指导策略。

课题 2.3一元二次方程根的判别式 授课时间 2025.09.15 教学目标 1.理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握判别式与一元二次方程根的情况之间的关系； 2.能够利用判别式不解方程判断一元二次方程的根的情况，能够根据根的情况确定参数的取值范围； 3.通过观察、归纳、推理等方式，引导学生自主探究判别式与根的关系，培养逻辑思维能力和数学建模意识； 4.激发学生对数学符号与图形关系的兴趣，体会数学的简洁性与逻辑美，增强解决实际问题的信心. 教学 重点 判别式与一元二次方程根的情况之间的关系. 教学 难点 含参数的一元二次方程中，利用判别式确定参数的取值范围. 教学准备 课件 教学　方法 讲授法、讨论法、练习法 课型 新授课 教学课时 1课时 教学 过程 一、温故知新，问题导引 用公式法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）. 教师：巡视指导，关注学生求解过程，特别是求根公式的应用是否规范. 学生完成后，集体订正，回顾解一元二次方程的步骤：一化、二定、三求、四判、五代. 教师提问： 1.我们是用什么公式来解这些方程的？（回顾求根公式：） 2.请大家仔细观察求根公式的结构，你认为公式中哪个部分最为关键，直接决定了方程根的性质和个数？为什么？（引导学生聚焦被开方数） 3.如果这个部分的值是正数、零或负数，分别会对根产生什么影响？（启发学生进行初步猜想） 二、探究新知，明确关系 学生活动：同桌交流，将三个方程的的值与求出的根的情况进行对比，尝试用自己的语言描述发现的规律，交流后请学生代表分享发现. 根据学生回答，师生共同完成板书，清晰呈现对应关系： 方程（1）：>0→两个不相等的实数根 方程（2）：=0→两个相等的实数根 方程（3）：<0→没有实数根 教师总结：大家通过计算发现，这个式子的值，就像一个“预判官”，在不解方程的情况下，就能提前告诉我们根的“命运”.它不仅联系着我们学过的求根公式，也为我们后续学习二次函数与x轴的交点问题埋下了伏笔.今天，我们就来正式认识这个威力强大的“预判官”——根的判别式. 教学 过程 概念生成：我们就把叫做一元二次方程的根的判别式，用一个希腊字母（德尔塔）来表示，即： 教师追问：根据刚才的发现，谁能用这个新符号，完整地总结出根的情况判别法则？ 学生活动：集体口述或个别回答，师生共同完善并板书核心关系： 判别式的情况 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 教师补充： 方程有实数根 三、应用新知，深化理解 教师：“现在，我们请出这位‘预判官’，来快速解决一些问题.” 例1：不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况： （1）；（2）；（3）. 学生：独立完成，并说明判断依据。 教师：引导学生先将方程化为一般式，再确定a、b、c，计算，最后下结论，强调解题规范性。 例2：k取何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根. 教师提问：方程有两个相等的实数根，意味着满足什么条件？→列出关于k的方程。 变式1：若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 变式2：k取何值时，关于x的方程kx2-2x+1=0有实数根. 学生活动：先独立完成，再小组讨论，最后小组代表展示. 教师提问： 1.变式1和变式2的要求有何不同？（两个不等的实根vs有实根） 2.对于kx2-2x+1=0，在使用判别式前，我们首先要考虑什么？（二次项系数k可能为0的情况，渗透分类讨论思想） 3.“有实根”包含了哪几种情况？对应的Δ条件是什么？（≥0） 设计意图：引导学生辨析“有两个不等实根”与“有实根”的区别，总结含参问题的解题步骤：①先看二次项系数；②再列判别式不等式（或方程）. 四、综合应用，勾连体系 1.关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是. 2.不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）；（2）；（3）. 3.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图像可能是（ ）. 学生：限时独立完成，巩固基础. 教师：针对性讲评，特别是第3题将方程根的判别与一次函数图像性质联系，体现知识交叉. 教学 过程 拓展提升：在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长. 学生活动：独立思考并尝试解答，再小组交流讨论，最后集体展示汇报. 教师提问： 1.题目的核心条件是什么？它直接对应判别式的哪种情况？（有两个相等实根→Δ=0） 2.由Δ=0，我们可以求出哪个量？（求出b的值） 3.求出b后，如何确定三角形的周长？需要考虑什么数学原理？（三角形三边关系定理，分类讨论哪两边是腰） 设计意图：此题综合了方程、代数、几何知识，是典型的跨知识点问题，体现了大单元教学的理念. 五、反思提炼，升华认知 教师提问： 1.今天我们认识了哪位重要的“新朋友”？（根的判别式） 2.它是如何发挥“预判官”作用的？（的符号与根的情况一一对应） 3.在请它帮忙判断含参方程的根时，我们需要注意什么？（两大关键：二次项系数不为零、准确列出判别式条件） 作业　设计 A：P45“习题B组”T4；B：P45“习题B组”T3；C：P45“练习”T2. A：当t取什么值时，关于x得一元二次方程， （1）有实数根；（2）没有实数根. B：不解方程，利用判别式判断方程的根的情况. C：不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： （1）；（2）；（3）. 板书 设计 一元二次方程根的判别式 求根公式 判别式的情况 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 方程有实数根 注意要点：1.前提：一元二次方程→；2.含参：先讨论二次项系数，再列条件 教学 反思 本节课构建了“复习求解——问题引领——探究发现——归纳定义——应用迁移”的教学路径，符合学生的认知规律，充分体现了学生的主体地位。 以三个具体方程作为导入素材，让学生在实践中回顾旧知，通过精心设计的问题链，学生亲身经历了从已有知识（求根公式）中发现问题、提炼核心（判别式）、并自主归纳规律的过程，实现了知识的主动建构，有效激发了学习兴趣和探究欲。这种处理方式，使得“判别式”概念的引入自然流畅，不再是冰冷的符号灌输，而是学生自己“发现”的结论，知识的形成过程得到了充分体现，后续教学中，将继续鼓励学生通过观察和思考来建构新知。 在典例和变式教学中，通过小组讨论和教师追问，有效突破了含参讨论这一难点。通过将判别式与函数图像、几何问题相联系，初步渗透了方程与函数、数与形的大单元整体思想，为后续学习铺设了桥梁。未来可考虑引入简单的几何画板演示，动态展示二次函数图像与x轴交点个数随变化的过程，进一步增强直观感知。 学科网（北京）股份有限公司 $