第5单元 啤酒生成中的数学——比例（知识清单）数学青岛版五四制五年级下册

该小学数学比例单元知识清单系统梳理了比例的意义、基本性质、解比例、正反比例及应用等核心内容，构建了从概念理解到实际解题的递进式学习支架，涵盖基础定义、性质应用到综合题型的完整知识范畴。 清单通过“概念解析+易错点提示+分类题型”三维架构呈现知识体系，如明确标注“比与比例的区别”等易错点，细化正反比例“找关联量-判变化方向-定比值/乘积”的判断步骤，培养学生的推理意识和模型意识。设计了“按比例分配解题三步骤”等实用工具，例题与练习题配套，不同基础学生可针对性练习，教师可直接用于课堂教学或分层辅导，提升教学效率。

第5单元 啤酒生成中的数学——比例 单元知识清单讲义 一、比例的意义和基本性质 1. 比例的意义 定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 例：因为 （两个比的比值都是 ），所以 是比例。 组成比例的条件：两个比的比值必须相等。 2. 比例的各部分名称 在比例 中， 和 叫做 外项， 和 叫做 内项。 例：比例 中，外项是 和 ，内项是 和 。 3. 比例的基本性质 性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（简称“外项积=内项积”）。 字母表示：若 （或 ），则 。 应用：判断两个比是否能组成比例；解比例；改写比例。 二、解比例 1. 定义 根据比例的基本性质，求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解比例的步骤 （1）根据比例的基本性质，把比例转化为方程（外项积=内项积）； （2）解方程求出未知项的值。 例：解比例 解： （外项积=内项积） 三、正比例和反比例 1. 正比例 意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 关系式： （一定），其中 是常数。 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 举例：速度一定时，路程和时间成正比例（ ，速度一定）。 2. 反比例 意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 关系式： （一定），其中 是常数。 图像：反比例关系的图像是一条曲线（双曲线）。 举例：路程一定时，速度和时间成反比例（ ，路程一定）。 3. 正反比例的判断方法 （1）找两种相关联的量； （2）看两种量的变化方向（同向变化可能成正比例，反向变化可能成反比例）； （3）判断比值一定还是乘积一定：比值一定→正比例；乘积一定→反比例。 四、比例的应用 1. 按比例分配 意义：把一个数量按照一定的比来进行分配，叫做按比例分配。 解题步骤： （1）先求出总份数； （2）求出各部分量占总量的几分之几； （3）用总量乘各部分量对应的分率，求出各部分量。 例：用 厘米的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是 ，求长方体的体积。 解：总份数 ，一份长度 厘米（长方体棱长和=4×(长+宽+高)） 长： 厘米，宽： 厘米，高： 厘米 体积： 立方厘米 2. 用比例解决实际问题 步骤： （1）判断题目中两种量成正比例还是反比例； （2）设未知量为 ，根据比例关系列出比例式； （3）解比例并检验。 例：一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，5小时行驶多少千米？ 解：速度一定，路程和时间成正比例 设5小时行驶 千米， 五、易错点与注意事项 1.区分“比”和“比例”：比是表示两个数相除（如 ），比例是表示两个比相等的式子（如 ）。 2.正反比例的区别：正比例是“商一定”，反比例是“积一定”，注意“一定”的量必须是不变的常数。 3.按比例分配时，注意总量是否对应所有部分的和（如长方体棱长和对应4条长+4条宽+4条高）。 题型1：比例的意义 【例1】16的因数有( )，选取其中4个组成一个比例是( )。 【练1】已知25×4＝20×5，根据比例的基本性质，写出一组比例( )。 题型2：比例的基本性质 【例2】在一个比例中，已知两个外项积为，其中一个内项是最小的质数，另一个内项是( )。 【练2】已知x可以和3、8、12组成比例，那么x最大是( )，最小是( )。 题型3：解比例 【例3】解比例。 ①                                ② 【练3】解比例。 6.75∶x＝2.25∶0.5                  3∶0.6＝10∶x                     题型4：比例的应用 【例4】同学们在某一天同一时刻分成三组进行测量活动，并记录下一些数据（见表格）。学校旗杆的实际高度是多少米？（用比例知识进行解答） 实际高度（米） 影子长度（米） 木棍 1 0.25 小明同学 1.6 0.4 学校旗杆 ？ 4.22 【练4】一铁路隧道长2000米，一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道用了1分钟，整列火车完全在隧道内的时间是40秒。求火车的车长及其行驶的速度。 题型5：正、反比例的意义及辨识 【例5】油菜籽的出油率一定，榨出菜籽油的质量与所需油菜籽的质量成( )比例。如果油菜籽的出油率是42%，要榨油2100千克，需要油菜籽( )千克。 【练5】如果a＝5b，那么a和b成( )比例。如果＝b，那么a和b成( )比例。 题型6：正比例图像的认识 【例6】下图描述了某游泳池进水管打开后的进水情况，按图中的速度给这个游泳池注水750m3，一共需要（    ）分钟。 A．25 B．50 C．75 D．150 【练6】甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如下图。 (1)从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 (2)甲车行驶3小时，行驶的路程是( )千米。乙车行驶2小时，行驶的路程是( )千米。 (3)如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距( )千米。 题型7：正比例的应用 【例7】榨油厂用500千克大豆可以榨出60千克大豆油。照这样计算，用8吨大豆可以榨出多少吨大豆油？（用比例解） 【练7】随着科技的发展和人们网络购物次数的增长，越来越多的购物平台用智能机器人来处理客户订单，已知1台智能机器人30分钟能处理40个订单，照这样的速度，1台智能机器人12小时能处理多少个订单？（用比例解答） 题型8：反比例的应用 【例8】一列火车从甲城开往乙城，如果速度是120千米/小时，5小时到达，如果速度是150千米/小时，几小时可到达？（用比例知识解答） 【练8】小明每天都是同一时刻从家里出发，如果每分钟走70米，能在上课前5分钟到校，如果每分钟走45米，就要迟到5分钟。小明家到学校的路程是多少米？（用比例解答） 1．下面各种情况下，两种相关联的量成反比例关系的是（    ）。 A．小明的年龄和体重 B．钢笔的单价是20元/支，购买的数量和总价 C．长不变，长方形的面积与这个长方形的宽 D．圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高 2．2∶m＝n∶7，则m和n成（    ）；若，那么a和b成（    ）。 A．正比例； 反比例 B．反比例；正比例 C．反比例；不成比例 D．无法判断 3．下面各种情况下，两种相关联的量不成正比例关系的是（    ）。 A．小明的年龄和体重 B．钢笔的单价是20元/支，购买的数量和总价 C．长不变，长方形的面积与这个长方形的宽 D．圆锥的高一定，圆锥的底面积和体积 4．一个长方形办公场地铺方砖，如果用边长为40厘米的方砖，需要200块，如果改用边长是5分米的，需要（    ）块。 A．16 B．128 C．160 D．1600 5．小芳把边长3厘米的正方形，按2∶1的比放大，放大后正方形的面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．18 C．24 D．36 6．从48的因数中选出4个合数组成一个比例是( )。 7．甲数的等于乙数的（甲、乙两数均不为0），则乙数与甲数的最简整数比是( )。 8．测量小组测量教学楼的影子长是22.5米，同时量得附近一个3米高的篮球架的影子长是4.5米，教学楼高( )米。 9．截至2024年6月25日，神舟十八号航天员在轨生活2个月，约占计划驻留时间（约6个月）的( )，根据这个分数写出一个比例：( )。 10．如果，则x和y成( )比例；如果，那么x和y成( )比例。 11．圆的周长和它的半径( )；圆的面积和它的半径( )。（填“成正比例、成反比例或不成比例”） 12．如果甲数的75%和乙数的相等（甲数、乙数均不为0），那么乙数∶甲数＝( )∶( )。 13．如果4a＝5b，那么a∶b＝( )∶( )，a相当于b的( )%。 14．解方程或比例。                     14－3.2＝7.6 15．解方程（解比例）。 80%x＋＝         23∶46＝x∶9              ∶＝x∶ 16．泰山集团是2020年东京奥运会柔道比赛馆地毯供应商。比赛和训练场馆共需612块地毯，5天做了170块，照这样的速度，其余的还需几天做完？（用比例解） 17．某天下午5时，科学小组成员同时测得两棵树的高度与它们的影子长度，还测得一幢楼房的影子长度，数据如下，这幢楼房高多少米？（用比例的知识解） 物体 一幢楼房 一棵大树 一棵小树 实际高度 ？ 3米 2米 影子长度 54米 4.5米 3米 18．某车间要生产一批零件，如果每天铸造300个，完成任务要用18天，如果每天完成360个，可以提前几天完成任务？（用比例的知识解答） 19．一个平行四边形的面积是24m2，用x和y表示它的底和高．x与y成什么比例关系？如果把它们的关系用图象表示出来，那么它的图象是一条直线吗？ 20．为了测量出学校旗杆的高度，同学们找来了一根长8分米的木棍立在旗杆旁，发现木棍的影长是6分米，同时又发现旗杆的影长是7.5米，你能求出旗杆的高度吗？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5单元 啤酒生成中的数学——比例 单元知识清单讲义 一、比例的意义和基本性质 1. 比例的意义 定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 例：因为 （两个比的比值都是 ），所以 是比例。 组成比例的条件：两个比的比值必须相等。 2. 比例的各部分名称 在比例 中， 和 叫做 外项， 和 叫做 内项。 例：比例 中，外项是 和 ，内项是 和 。 3. 比例的基本性质 性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（简称“外项积=内项积”）。 字母表示：若 （或 ），则 。 应用：判断两个比是否能组成比例；解比例；改写比例。 二、解比例 1. 定义 根据比例的基本性质，求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解比例的步骤 （1）根据比例的基本性质，把比例转化为方程（外项积=内项积）； （2）解方程求出未知项的值。 例：解比例 解： （外项积=内项积） 三、正比例和反比例 1. 正比例 意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 关系式： （一定），其中 是常数。 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 举例：速度一定时，路程和时间成正比例（ ，速度一定）。 2. 反比例 意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 关系式： （一定），其中 是常数。 图像：反比例关系的图像是一条曲线（双曲线）。 举例：路程一定时，速度和时间成反比例（ ，路程一定）。 3. 正反比例的判断方法 （1）找两种相关联的量； （2）看两种量的变化方向（同向变化可能成正比例，反向变化可能成反比例）； （3）判断比值一定还是乘积一定：比值一定→正比例；乘积一定→反比例。 四、比例的应用 1. 按比例分配 意义：把一个数量按照一定的比来进行分配，叫做按比例分配。 解题步骤： （1）先求出总份数； （2）求出各部分量占总量的几分之几； （3）用总量乘各部分量对应的分率，求出各部分量。 例：用 厘米的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是 ，求长方体的体积。 解：总份数 ，一份长度 厘米（长方体棱长和=4×(长+宽+高)） 长： 厘米，宽： 厘米，高： 厘米 体积： 立方厘米 2. 用比例解决实际问题 步骤： （1）判断题目中两种量成正比例还是反比例； （2）设未知量为 ，根据比例关系列出比例式； （3）解比例并检验。 例：一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，5小时行驶多少千米？ 解：速度一定，路程和时间成正比例 设5小时行驶 千米， 五、易错点与注意事项 1.区分“比”和“比例”：比是表示两个数相除（如 ），比例是表示两个比相等的式子（如 ）。 2.正反比例的区别：正比例是“商一定”，反比例是“积一定”，注意“一定”的量必须是不变的常数。 3.按比例分配时，注意总量是否对应所有部分的和（如长方体棱长和对应4条长+4条宽+4条高）。 题型1：比例的意义 【例1】16的因数有( )，选取其中4个组成一个比例是( )。 【答案】 1，2，4，8，16 2∶1＝16∶8 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，从16的因数中选取4个数，两两组成比，求出比值，比值相等的比的可以组成比例。 【详解】16的因数有：1，2，4，8，16； 2∶1＝2÷1＝2 16∶8＝16÷8＝2 比值相等，可以组成比例是2∶1＝16∶8。（答案不唯一） 【练1】已知25×4＝20×5，根据比例的基本性质，写出一组比例( )。 【答案】20∶25＝4∶5 【分析】比例的两内项之积等于两外项之积，25×4＝20×5中，即可将等式左边的25和4看作两内项，等式右边的20和5看作外项，据此可得出答案。 【详解】20∶25＝4∶5 已知25×4＝20×5，根据比例的基本性质，写出一组比例20∶25＝4∶5。（答案不唯一） 题型2：比例的基本性质 【例2】在一个比例中，已知两个外项积为，其中一个内项是最小的质数，另一个内项是( )。 【答案】 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。已知两个外项积为，所以两个内项积也为。 确定最小的质数：最小的质数是2，即其中一个内项是2。求另一个内项：根据“一个内项＝内项积÷另一个内项”，用÷2得到另一个内项，据此解答。 【详解】明确内项积：因为外项积为，所以内项积也是； 确定已知内项：最小的质数是2，即一个内项为2； 计算另一个内项：÷2＝×＝； 另一个内项是。 【练2】已知x可以和3、8、12组成比例，那么x最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 2 【分析】根据比例的基本性质，内项积等于外项积，则x最大为8×12÷3＝32；最小是3×8÷12＝2。据此解答即可。 【详解】8×12÷3 ＝96÷3 ＝32 3×8÷12 ＝24÷12 ＝2 则x最大是32，最小是2。 题型3：解比例 【例3】解比例。 ①                                ② 【答案】①x＝9.6；②x＝6 【分析】①根据比例的基本性质，先把比例化为方程：2x＝6.4×3，两边再同时除以2； ②根据比例的基本性质，先把比例化为方程：0.6x＝×2.4，两边再同时除以0.6。 【详解】①     解：2x＝6.4×3 2x＝19.2 x＝19.2÷2 x＝9.6 ②∶0.6＝x∶2.4 解：0.6x＝×2.4 0.6x＝3.6 x＝3.6÷0.6 x＝6 【练3】解比例。 6.75∶x＝2.25∶0.5                  3∶0.6＝10∶x                     【答案】x＝1.5；x＝6； x＝2； 【分析】（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，利用等式的性质2，方程左右两边同时除以2.25，解出方程； （2）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，利用等式的性质2，方程左右两边同时除以3，解出方程； （3）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，利用等式的性质2，方程左右两边同时除以3，解出方程； （4）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，利用等式的性质2，方程左右两边同时除以，解出方程。 【详解】6.75∶x＝2.25∶0.5 解：2.25x＝6.75×0.5 2.25x＝3.375 x＝3.375÷2.25 x＝1.5 解：3x＝1.5×12 3x＝18 x＝18÷3 x＝6 3∶0.6＝10∶x 解：3x＝0.6×10 3x＝6 x＝6÷3 x＝2 解： 题型4：比例的应用 【例4】同学们在某一天同一时刻分成三组进行测量活动，并记录下一些数据（见表格）。学校旗杆的实际高度是多少米？（用比例知识进行解答） 实际高度（米） 影子长度（米） 木棍 1 0.25 小明同学 1.6 0.4 学校旗杆 ？ 4.22 【答案】16.88米 【分析】根据题意以及表格中的数据，可得出等量关系：木棍的影子长度∶木棍的实际长度＝学校旗杆的影子长度∶学校旗杆的实际长度，据此列出比例方程，并求解。 【详解】解：设学校旗杆的实际高度是米。 0.25∶1＝4.22∶ 0.25＝1×4.22 0.25＝4.22 ＝4.22÷0.25 ＝16.88 答：学校旗杆的实际高度是16.88米。 【练4】一铁路隧道长2000米，一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道用了1分钟，整列火车完全在隧道内的时间是40秒。求火车的车长及其行驶的速度。 【答案】长是400米，车速是40米/秒 【分析】设火车的长度为x米，一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道用了一分钟（即60秒），所行的路程为（2000＋x）米，则速度为米/秒；整列火车完全在隧道内的时间是40秒，所行的路程为（2000－x）米，则速度为米/秒，由于火车的速度是不变的，＝解方程即可求得火车的长度，进而求得火车的速度。 【详解】解：设火车的车长是x米。 1分钟＝60秒 ＝ 60×（2000－x）＝40×（x＋2000） 120000－60x＝40x＋80000 120000－60x＋60x＝40x＋80000＋60x 120000＝100x＋80000 120000－80000＝100x＋80000－80000 100x＝40000 100x÷100＝40000÷100 x＝400 车速：（400＋2000）÷60 ＝2400÷60 ＝40（米/秒） 答：火车的车长是400米，车速是40米/秒。 题型5：正、反比例的意义及辨识 【例5】油菜籽的出油率一定，榨出菜籽油的质量与所需油菜籽的质量成( )比例。如果油菜籽的出油率是42%，要榨油2100千克，需要油菜籽( )千克。 【答案】 正 5000 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）油菜籽的出油率是42%的意思是，榨出菜籽油的质量占所需油菜籽质量的42%，把所需油菜籽的质量看作单位“1”，单位“1”未知，用榨出菜籽油的质量除以42%，求出需要油菜籽的质量。 【详解】（1）榨出菜籽油的质量∶所需油菜籽的质量＝油菜籽的出油率（一定） 比值一定，则榨出菜籽油的质量与所需油菜籽的质量成（正）比例。 （2）2100÷42% ＝2100÷0.42 ＝5000（千克） 如果油菜籽的出油率是42%，要榨油2100千克，需要油菜籽（5000）千克。 【练5】如果a＝5b，那么a和b成( )比例。如果＝b，那么a和b成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；如果两种关系都不满足，则这两种量不成比例；据此解答。 【详解】根据a＝5b可得：a∶b＝5，a和b的比值一定，所以a和b成正比例； 根据＝b可得：ab＝12，a和b的乘积一定，所以a和b成反比例。 如果a＝5b，那么a和b成正比例。如果＝b，那么a和b成反比例。 题型6：正比例图像的认识 【例6】下图描述了某游泳池进水管打开后的进水情况，按图中的速度给这个游泳池注水750m3，一共需要（    ）分钟。 A．25 B．50 C．75 D．150 【答案】C 【分析】从图像可知，进水量与时间的图像是一条经过原点的直线，说明进水量与时间的比值是一个定值，所以进水管的进水量与时间成正比例关系。由图像可知，1分钟进水量为10立方米，根据“时间＝进水量÷进水速度”，可计算注水750立方米所需时间。 【详解】（分） 按图中的速度给这个游泳池注水750m，一共需要75分钟。 故答案为：C 【练6】甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如下图。 (1)从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 (2)甲车行驶3小时，行驶的路程是( )千米。乙车行驶2小时，行驶的路程是( )千米。 (3)如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距( )千米。 【答案】(1)正 (2) 270 120 (3)750 【分析】（1）甲车行驶的路程与时间的图象是一条经过原点的直线，是正比例图象，说明甲车行驶的路程与时间的比值一定，即甲车行驶的路程与时间成正比例。 （2）从图中找出甲车3小时行驶的路程，乙车2小时行驶的路程。 （3）由上一题的数据，根据“速度＝路程÷时间”，分别求出甲车、乙车的速度；再根据相遇问题中“路程＝速度和×相遇时间”，求出两地的距离。 【详解】（1）从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成（正）比例。 （2）甲车行驶3小时，行驶的路程是（270）千米。乙车行驶2小时，行驶的路程是（120）千米。 （3）甲车的速度：270÷3＝90（千米/时） 乙车的速度：120÷2＝60（千米/时） （90＋60）×5 ＝150×5 ＝750（千米） 如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距（750）千米。 题型7：正比例的应用 【例7】榨油厂用500千克大豆可以榨出60千克大豆油。照这样计算，用8吨大豆可以榨出多少吨大豆油？（用比例解） 【答案】0.96吨 【分析】由题意可知，出油率一定，则大豆的质量和大豆油的质量成正比例关系，据此列比例解答即可。 【详解】解：设可以榨出x千克的大豆油。 8吨＝8000千克 60∶500＝x∶8000 500x＝60×8000 500x＝480000 x＝480000÷500 x＝960 960千克＝0.96吨 答：用8吨大豆可以榨出0.96吨大豆油。 【练7】随着科技的发展和人们网络购物次数的增长，越来越多的购物平台用智能机器人来处理客户订单，已知1台智能机器人30分钟能处理40个订单，照这样的速度，1台智能机器人12小时能处理多少个订单？（用比例解答） 【答案】960个 【分析】设1台智能机器人12小时能处理x份订单，工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例，据此列比例解答即可。 【详解】30分钟小时 解：设1台智能机器人12小时能处理x个订单。 0.5x＝40×12 0.5x＝480 0.5x÷0.5＝480÷0.5 答：1台智能机器人12小时能处理960个订单。 题型8：反比例的应用 【例8】一列火车从甲城开往乙城，如果速度是120千米/小时，5小时到达，如果速度是150千米/小时，几小时可到达？（用比例知识解答） 【答案】4小时 【分析】根据路程＝速度×时间，甲地到乙地的路程一定，即速度×时间的乘积相等，那么速度和时间成反比例关系，据此解答。 【详解】解：设x小时可以到达。 150×x＝120×5 150x＝600 150x÷150＝600÷150 x＝4 答：4小时可以到达。 【练8】小明每天都是同一时刻从家里出发，如果每分钟走70米，能在上课前5分钟到校，如果每分钟走45米，就要迟到5分钟。小明家到学校的路程是多少米？（用比例解答） 【答案】1260米 【分析】根据题意得：小明家到学校的路程一定，路程＝速度×时间，路程一定，即速度与时间的乘积一定，则小明的速度和所用时间成反比例。可设小明准时到达学校需要x分钟，则上课前5分钟到校用时分钟，迟到5分钟用时，据此根据关系式列出方程解出答案。 【详解】路程＝速度×时间，小明家到学校路程一定，则他的速度和所用时间成反比例。设小明准时到达学校用时x分钟，则可列出方程： 则小明家到学校有： （米） 答：小明家到学校的路程是1260米。 1．下面各种情况下，两种相关联的量成反比例关系的是（    ）。 A．小明的年龄和体重 B．钢笔的单价是20元/支，购买的数量和总价 C．长不变，长方形的面积与这个长方形的宽 D．圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高 【答案】D 【分析】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 【详解】A．小明的年龄和体重没有直接关系，不成比例； B．总价÷数量＝单价（一定），单价一定，就是购买的数量和总价的商一定，则购买的数量和总价成正比例； C．长方形的面积÷宽＝长（一定），长一定，就是长方形的面积与它的宽的商一定，则长方形的面积与这个长方形的宽成正比例； D．圆柱的底面积×高＝圆柱的体积（一定），体积一定，就是圆柱的底面积和高的积一定，则圆柱的底面积和高成反比例。 故答案为：D 2．2∶m＝n∶7，则m和n成（    ）；若，那么a和b成（    ）。 A．正比例； 反比例 B．反比例；正比例 C．反比例；不成比例 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积；一个乘数＝积÷另一个乘数；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【详解】因为2∶m＝n∶7，所以（一定），则m和n成反比例。 因为，所以（一定），则a和b成正比例。 故答案为：B 3．下面各种情况下，两种相关联的量不成正比例关系的是（    ）。 A．小明的年龄和体重 B．钢笔的单价是20元/支，购买的数量和总价 C．长不变，长方形的面积与这个长方形的宽 D．圆锥的高一定，圆锥的底面积和体积 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系，据此分析。 【详解】A．小明的年龄和体重不成比例关系； B．总价÷数量＝单价，钢笔的单价是20元/支，购买的数量和总价成正比例关系； C．长方形的面积÷宽＝长，长不变，长方形的面积与这个长方形的宽成正比例关系； D．圆锥的体积÷底面积＝高×3，圆锥的高一定，圆锥的底面积和体积成正比例关系。 两种相关联的量不成正比例关系的是小明的年龄和体重。 故答案为：A 4．一个长方形办公场地铺方砖，如果用边长为40厘米的方砖，需要200块，如果改用边长是5分米的，需要（    ）块。 A．16 B．128 C．160 D．1600 【答案】B 【分析】正方形面积＝边长×边长，设如果改用边长5分米的方砖铺地，需要x块砖，根据方砖面积×块数＝办公场地面积（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设如果改用边长5分米的方砖铺地，需要x块砖，则有： 40厘米＝4分米 （5×5）x＝（4×4）×200 25x＝16×200 25x＝3200 25x÷25＝3200÷25 x＝128 如果改用边长是5分米的，需要128块。 故答案为：B 【点睛】关键是理解反比例的意义，积一定是反比例关系。 5．小芳把边长3厘米的正方形，按2∶1的比放大，放大后正方形的面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】把边长3厘米的正方形，按2∶1的比放大，也就是把正方形的边长扩大到原来的2倍，据此求出放大后的边长，进而根据正方形的面积公式，求出放大后正方形的面积。 【详解】3×2＝6（厘米） 6×6＝36（平方厘米） 放大后正方形的面积是36平方厘米。 故答案为：D 【点睛】本题考查了图形的放大和缩小的方法，以及正方形面积公式的应用。 6．从48的因数中选出4个合数组成一个比例是( )。 【答案】4∶6＝8∶12（答案不唯一） 【分析】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数；表示两个比相等的式子叫作比例；先按顺序列举出48的所有因数，再找出其中的合数，最后根据比例的意义写出比例，据此解答。 【详解】48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，其中合数有4、6、8、12、16、24、48，4∶6＝4÷6＝，8∶12＝8÷12＝，则4∶6＝8∶12。（答案不唯一） 7．甲数的等于乙数的（甲、乙两数均不为0），则乙数与甲数的最简整数比是( )。 【答案】 15∶16 【分析】根据题意，可知数量关系：甲数×＝乙数×，由比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，把甲数与作为内项，乙数与作为外项，据此得到乙数∶甲数＝∶，再化简比即可。 【详解】由甲数×＝乙数×，可得：乙数∶甲数＝∶ ∶ ＝÷ ＝× ＝ ＝15∶16 因此，乙数与甲数的最简整数比是15∶16。 8．测量小组测量教学楼的影子长是22.5米，同时量得附近一个3米高的篮球架的影子长是4.5米，教学楼高( )米。 【答案】15 【分析】同一时间同一地点，物体的实际高度与其影子的长度成正比例关系，即实际高度与影长的比值一定，教学楼的高度∶教学楼的影子长度＝篮球架的高度∶篮球架的影子长度，据此列出比例式求出教学楼的高度。 【详解】解：设教学楼高x米。 x∶22.5＝3∶4.5 4.5x＝22.5×3 4.5x＝67.5 x＝67.5÷4.5 x＝15 所以，教学楼高15米。 9．截至2024年6月25日，神舟十八号航天员在轨生活2个月，约占计划驻留时间（约6个月）的( )，根据这个分数写出一个比例：( )。 【答案】 2∶6＝1∶3 【分析】求在轨生活时间占计划驻留时间的几分之几，用在轨生活时间÷计划驻留时间即可；表示两个比相等的式子叫作比例，据此写出一个比例即可。 【详解】2÷6＝ 1÷3＝，则2÷6＝1÷3，即2∶6＝1∶3。 截至2024年6月25日，神舟十八号航天员在轨生活2个月，约占计划驻留时间（约6个月）的，根据这个分数写出一个比例：2∶6＝1∶3（答案不唯一）。 10．如果，则x和y成( )比例；如果，那么x和y成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例；若它们的乘积一定，则它们成反比例。 【详解】因为，所以xy＝2×3＝6，x和y的乘积一定，则x和y成反比例；因为，则，也就是x和y的比值一定，则x和y成正比例。 【点睛】本题考查正反比例的判定，明确正反比例的定义是解题的关键。 11．圆的周长和它的半径( )；圆的面积和它的半径( )。（填“成正比例、成反比例或不成比例”） 【答案】 成正比例 不成比例 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例；如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，得出结论。 【详解】由C＝2πr可知，C÷r＝2π（一定），商一定，那么圆的周长和它的半径成正比例； 由S＝πr2可知，S÷r＝πr（不一定），商不一定，那么圆的面积和它的半径不成比例。 【点睛】掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。 12．如果甲数的75%和乙数的相等（甲数、乙数均不为0），那么乙数∶甲数＝( )∶( )。 【答案】 9 8 【分析】根据甲数的75%和乙数的相等（甲数、乙数均不为0），得数量关系式：甲数×75%＝乙数×，利用比例性质进而解决问题。 【详解】甲数×75%＝乙数×（甲数、乙数均不为0），利用比例性质得： 乙数∶甲数＝75%∶ 乙数∶甲数＝∶ 乙数∶甲数＝9∶8 【点睛】此题考查的是比例性质的应用，掌握两外项积等于两内项积是解题关键。 13．如果4a＝5b，那么a∶b＝( )∶( )，a相当于b的( )%。 【答案】 5 4 125 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，所以a∶b＝5∶4；a相当于b的百分之几，就是把b看作单位“1”，5÷4×100%＝125%。 【详解】5÷4×100%＝125% a∶b＝5∶4，a相当于b的125%。 【点睛】掌握比例的基本性质以及理清把“相当于”后面的数看作单位“1”是解题的关键。 14．解方程或比例。                     14－3.2＝7.6 【答案】x＝；x＝126；x＝2 【分析】根据比例的基本性质：内项积＝外项积，得出，再根据等式的基本性质2，将等式的两边同时除以，最后根据除以一个分数相当于乘以这个分数的倒数得出结果； 根据比例的基本性质得出0.8x＝18×5.6，再利用等式的基本性质2，将等式的两边同时除以0.8即可； 根据减法算式中减数＝被减数－差，得出3.2x＝14－7.6，再根据等式的基本性质2将等式的两边同时除以3.2即可。 【详解】 解： 解： 14－3.2＝7.6 解：3.2x＝14－7.6 3.2x＝6.4 x＝6.4÷3.2 x＝2 15．解方程（解比例）。 80%x＋＝         23∶46＝x∶9              ∶＝x∶ 【答案】x＝；x＝4.5；x＝ 【分析】80%x＋＝，根据等式的性质1，方程两边同时减去，再根据等式的性质2，方程两边同时除以80%即可。 23∶46＝x∶9，解比例，原式化为：46x＝23×9，再根据等式的性质2，方程两边同时除以46即可。 ∶＝x∶，解比例，原式化为：x＝×，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 【详解】80%x＋＝ 解：80%x＋－＝－ 80%x＝－ 80%x＝ 80%x÷80%＝÷80% x＝÷ x＝× x＝ 23∶46＝x∶9 解：46x＝23×9 46x＝207 46x÷46＝207÷46 x＝4.5 ∶＝x∶ 解：x＝× x＝ x÷＝÷ x＝×5 x＝ 16．泰山集团是2020年东京奥运会柔道比赛馆地毯供应商。比赛和训练场馆共需612块地毯，5天做了170块，照这样的速度，其余的还需几天做完？（用比例解） 【答案】13天 【分析】总块数－做了的块数＝剩余的块数，设其余的还需x天做完，根据相应块数∶对应天数＝每天做的块数（一定），列出正比例算式解答即可。 【详解】解：设其余的还需x天做完。 （612－170）∶x＝170∶5 442∶x＝170∶5 170x＝442×5 170x÷170＝2210÷170 x＝13 答：其余的还需13天做完。 17．某天下午5时，科学小组成员同时测得两棵树的高度与它们的影子长度，还测得一幢楼房的影子长度，数据如下，这幢楼房高多少米？（用比例的知识解） 物体 一幢楼房 一棵大树 一棵小树 实际高度 ？ 3米 2米 影子长度 54米 4.5米 3米 【答案】36米 【分析】因为，，可知影子长度与物体高度成正比例，设这幢楼房高米，根据楼房影子长度∶楼房高度＝大树影子长度∶大树高度，据此列比例并求解即可。 【详解】因为，，所以影子长度与物体高度成正比例。 解：设这幢楼房高米。 答：这幢楼房高36米。 18．某车间要生产一批零件，如果每天铸造300个，完成任务要用18天，如果每天完成360个，可以提前几天完成任务？（用比例的知识解答） 【答案】3天 【分析】这批零件的总个数是一定，每天铸造的个数多，则完成任务的天数就少，每天铸造的个数少，则完成任务的天数就多，且每天铸造的个数×完成任务的天数＝这批零件的总个数（一定），因此每天铸造的个数与完成任务的天数成反比例关系。设每天完成360个，则需要天完成，根据反比例关系可得方程：360×＝300×18，解出方程后，再用18天减去球场的实际完成天数，即可求出可以提前几天完成任务，据此解答。 【详解】解：设每天完成360个，则需要天完成。 360×＝300×18 360＝5400 ＝5400÷360 ＝15 18－15＝3（天） 答：可以提前3天完成任务。 19．一个平行四边形的面积是24m2，用x和y表示它的底和高．x与y成什么比例关系？如果把它们的关系用图象表示出来，那么它的图象是一条直线吗？ 【答案】x与y成反比例关系，如果把它们的关系用图象表示出来，那么它的图象不是一条直线。 【分析】根据平行四边形的面积=底×高，即xy=24，可判断底和高的关系；再根据它们的关系判断出图象的形状。 【详解】因为xy=24，是乘积一定，所以y与x成反比例关系；如果把它们的关系用图象表示出来，那么它的图象是一条曲线。 20．为了测量出学校旗杆的高度，同学们找来了一根长8分米的木棍立在旗杆旁，发现木棍的影长是6分米，同时又发现旗杆的影长是7.5米，你能求出旗杆的高度吗？ 【答案】10米 【详解】解：设旗杆的高度为x米 8：6=x:7.5 x=10 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $