专题12 数列通项与求和考法全归纳17大题型（专题专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题12 数列通项与求和考法全归纳 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01用与关系求通项公式 题型02已知用累加法求通项公式 题型03已知用累乘法求通项公式 题型04已知用求通项公式 题型05已知用求通项公式 题型06已知用求通项公式 题型07已知用求通项公式 题型08已知用求通项公式 题型09已知用求通项公式 题型10已知用求通项公式 题型11构造常数列求通项公式 题型12直接证明等差数列或等比数列 题型13分组求和 题型14奇偶并项求和 题型15裂项相消求和 题型16错位相减求和 题型17利用周期求和 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．（用与关系求通项公式）（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，. (1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式； (2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析，或 (2) 【分析】（1）由与的关系求得数列通项公式； （2）由（1）得到，借助等差数列的前项和公式求得. 【详解】（1）令，则， 由得，解得或， 因为，则， 两式相减得， 化简得， 因式分解得， 由已知，故. 所以是公差为3的等差数列. 当时，数列的通项公式为， 当时，数列的通项公式为. （2）满足条件的数列有两个： 数列1：，即1，4，7，10，13，… 数列2：，即2，5，8，11，14，… 将这两项合并后按升序排列，得到：1，2，4，5，7，8，10，11，13，… 所以数列是所有不能被3整除的正整数数列， 所以数列的通项公式为 当为偶数时，设，则 ，将代入得， 当为奇数时，设，，则 ， 将代入得， 因此. 2．（用与关系求通项公式）（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列前项和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可得；根据已知等式可得，由前项和与通项之间关系可得，由此可得； （2）求得后，采用错位相减法可求得结果； （3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得：，； ， ， 当且时，， ，则； 当时，，满足； 综上所述：. （2）由（1）得：， ， ， ， . （3）当为奇数时，；当为偶数时，； ，均为递增数列，，，， 的前项中，包含数列的前项和数列的前项， 的前项和为. 3．（累加法求数列通项公式）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可； （2）由裂项相消法求和即可． 【详解】（1）令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． （2）由 ， 知 ． 4．（累乘法求数列通项公式）（25-26高三上·河南·月考）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件列出，使用累乘法即可求数列的通项公式； （2）使用错位相减计算数列的前项和. 【详解】（1）当时，， 又因为，即对也成立，所以． （2）①， ②， ①-②得： ， 所以． 5．（已知用求通项公式）（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）根据（1）可得，再利用等比数列求和公式分析证明； （3）根据（1）结合二项式定理求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解. 【详解】（1）因为，则， 且，则， 可知数列是首项和公比均为2的等比数列， 可得，所以. （2）由（1）可知，，则， 可得. 又因为， 所以. （3）由（1）可知，，则. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 设为数列的前项和， 可得 . 所以数列的前项和为. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于根据结合二项展开式整理，并讨论奇偶项求数列的通项公式. 6．（已知用求通项公式）（25-26高三上·河北·月考）数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变为，然后利用等差数列的定义求解通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）将两边同时除以得， 则是首项为，公差为的等差数列， 由，得. （2）由（1）可得①， 则②， ①-②得，， ， 即. 7．（已知用求通项公式）（2025高三·北京·专题练习）已知数列中，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前n项积，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）法一：根据题意得，即是以为首项，以为公比的等比数列，利用累加法求通项公式； 法二：根据题意得，利用构造法得 ，即可求通项公式； （2）令，利用导数可得当，则，进而可以得证. 【详解】（1）法一：因为，即， ， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， ， ； 法二： ，则， ， 又， 是以为首项，以为公比的等比数列， 则 （2）由题意， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 则对恒成立， 所以当， ， 又故. 8．（已知用求通项公式）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 故， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故. （2）由（1）得， 所以 . 9．（构造常数列求通项公式）（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)证明：是常数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用的关系作差变形，并验证首项证明即可； （2）利用第一问的结论，先计算，由等差数列的求和公式计算，再根据裂项求和法计算即可. 【详解】（1）已知数列的前项和为. 当时，. 当时，，∴. 当时，， ∴， 即， ∴， 当时也符合上式，∴数列是常数列. （2）由（1）知，∴，∴， ， ∴. 10．（直接证明等差数列或等比数列）（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：为等比数列； (2)设，证明：； (3)设，且数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分析可知，对任意的，且，可得出，变形得出，结合等比数列的定义即可证得结论成立； （2）利用（1）中的结论求出数列的通项公式，分析可知数列是各项均为正数的单调递减数列，分、两种情况，由结合数列的单调性即可证得结论成立； （3）由不等式的性质得出，利用错位相减法求出数列的前项和，可得出，由结合不等式的传递性可证得结论成立. 【详解】（1）因为数列满足，且，可得， 由，得，可得， 由，得，可得，， 以此类推可知，对任意的，且，所以， 所以，可得， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. （2）由（1）可得，所以，故， 易知数列是各项均为正数的单调递减数列， 因为，所以， 当时，， 当时，，所以， 所以，对任意的，， 综上所述，. （3）因为， 所以， 令①， 可得②， ①②得， 所以，故，故对任意的，. 11．（分组求和）（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求数列的通项公式. （2）利用分组求和法求和. 【详解】（1）当时，， 当时，，， 两式相减得，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 故. （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 12．（裂项相消求和）（2025·河北·模拟预测）已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用等式变形，可以得到等差数列递推关系，从而问题得证； （2）利用裂项法来求和，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 由，两边同时除以可得：， 两边再同时乘以可得：， 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）由（1）可得：，则， 即， 所以. 13．（错位相减求和）（2025·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明； （2）由第（1）问是等比数列，是等差数列可以解出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出前项和. 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）解：由（1）可得，， 所以． ① ② ①②得 ， 所以． 01用与关系求通项公式 14．（2025·湖南永州·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用的关系求的通项公式； （2）由题设写出的通项公式，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）当时，，得， 当时，，得，整理得， 所以从开始成公比为3的等比数列，则. 综上，； （2）由（1）得， 当时，， 当时，， 则， 两式相减，得， 所以也满足该式， 故. 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求m的值及的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把等比数列的前项和公式形式为（为常数，为公比），再通过与的关系求解即可； （2）先借助(1)代入知，借用“等差数列×等比数列”型数列，再用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，， 又因为是等比数列，所以，解得； 所以的通项公式为． 故；． （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 16．（2025·四川成都·一模）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用与的关系求解，即当时，，将式子中的换成，计算出的值；当时，，将式子中的换成，计算得到，从而得到是等差数列，利用等差数列的通项公式求出，继而得到，将代入求出； （2）求出，设，求出，利用裂项相消法求和，放缩法得到证明. 【详解】（1）， 当时，，，，，， 当时，， ，， 是等差数列，公差，首项为， ， ，，， 验证时也成立，； （2），，， 设，，，， . 17．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】（1）分析可知数列为常数列，即可得数列的通项公式，根据前n项和与通项公式之间的关系可得数列的通项公式； （2）由（1）可知：，利用裂项相消法求，进而分析证明. 【详解】（1）因为，可得， 即， 可知数列为常数列，则，所以； 又因为，则有： 若，可得； 若，则， 两式相减得； 且符合上式，所以. （2）由（1）可知：， 可得， 显然，所以. 18．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对题干条件化简，求出前项和为与的关系式，再利用关系式求出通项公式. （2）先求出数列的通项公式，根据列项求和法求出的值. 【详解】（1）由题意得， 所以，又数列是各项都是正数的数列，， 所以，， 当时，有， 所以， 所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 裂项得，证毕. 02已知用累加法求通项公式 19．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 【答案】． 【分析】由递推关系式，利用累加法即可求解. 【详解】由， 得， ， ， … ， ． 对这个式子求和得，而也满足该式， 所以． 20．（25-26高三上·湖北·月考）设数列的前项和为，，且，. (1)求； (2)求最小的正整数，使得. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用累加法求的通项公式，进而求出的通项公式； （2）利用分组求和求得数列的前项和，再根据的递增性质和、的取值进行判断. 【详解】（1）由题意，， 用累加法可得 利用等比数列求和公式得 而当时，，满足上式. 故，化简得 故. （2）因为，所以. 利用等比数列求和公式得 . 由于，因此随着的增大，也增大. 当时，. 当时，. 因此当时，.所以整数的最小值为，使得. 21．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 【答案】 【分析】累加法来求解数列的通项公式，即通过将从到的式子累加，消去中间项，从而得到与的关系，进而求出. 【详解】， ， ， ， … ， 累加得： ， 所以． 03已知用累乘法求通项公式 22．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 【答案】 【分析】通过累乘法来求数列的通项公式. 【详解】已知， 则， ， 已知，由， 故数列的通项为：. 23．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 【答案】 【分析】，累乘法进行求解. 【详解】因为， 所以， 故， 24．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 【答案】． 【分析】利用累乘法来求通项公式，即的关系，逐步化简得出通项公式. 【详解】当时，， ， 所以当时，． 经检验，也满足上式， 所以. 25．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由作差得到，即，再由累乘法计算可得； （2）记，利用分组求和法及并项求和法计算可得. 【详解】（1）因为， 当时，， 两式相减得，即， 所以，所以， 累乘得， 即，又，所以， 又也满足上式，所以. （2）记， 所以 . 26．（25-26高三上·湖北·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：利用累乘法求解； 解法二：利用构造法求解； （2）利用裂项相消法求出，进而可得答案． 【详解】（1）解法一：累乘法 依题意：， 当时，； 当时，符合，故. 解法二：构造法 依题意：，则数列为常数数列， 则. （2）， 故， 由题意，， 故满足条件的最大整数的值为8. 04已知用求通项公式 27．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系. (1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若，求. 【答案】(1)证明见解析， (2)3 【分析】（1）首先由，得：，然后根据等比数列的定义即可证明. （2）首先通过裂项相消法求解数列的前项和为，然后通过已知条件解方程即可求解. 【详解】（1）， ，因为 所以 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列. 可得： 即： （2）由（1）得，. 则， 所以. ， 由， 得， 所以，解得. 28．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）由构造法可得数列是等比数列，写出其通项公式后即可得解； （2）运用裂项相消法进行求和； （3）由题可得，求出其前项和后，根据数列单调性及特殊值法即可得解. 【详解】（1）由，变形可得， 因为，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 故， 即. （2）因为，由（1）知，， 所以， 故 . （3）由（1）知， 则， 设 ， ， 数列单调递增. 令 当时，， 当时，， 所以，使得不等式成立的最小正整数的值为10. 29．（25-26高三上·广东广州·月考）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，若对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由得，两式作差，再结合等比数列的定义可证； （2）构造等比数列，再利用等比数列的通项公式即可； （3）先求证数列为递增数列，再通过导函数求证，利用放缩法可得，再计算，即可求出. 【详解】（1）因，则， 两式作差得， 因，则，则， 由递推关系可知，数列各项均不为零，故， 则数列是等比数列； （2）因，则，又， 结合以上递推关系可知，数列各项均不为零，故， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，则； （3）由（2）可知，， 令， 则， 因，则，即，则数列为递增数列， 下面求证：， 令，则， 则在上单调递增，则，即，得证； 下面求证：， 因，则， 则 ， 因，则， 故若对恒成立，则， 又，则b的最小值为. 30．（25-26高三上·上海·月考）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)写出的具体展开式，并求其值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)； 【分析】（1）根据已知递推关系式和等比数列定义可证明结论； （2）利用等比数列通项公式可推导求得； （3）根据等比数列的求和公式计算可求得结果. 【详解】（1），， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得：，. （3）因. . 05已知用求通项公式 31．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 32．（2025高三上·湖北孝感·专题练习）数列满足：，，． (1)求数列的通项公式. (2)数列满足：，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得，可求通项公式； （2）利用分组求和法可求数列的前项和． 【详解】（1）因为，所以， 又， 故数列是以3为首项，公比是的等比数列； 所以 ，； （2）由（1）得 ， 则 ． 06已知用求通项公式 33．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题意求出，代入计算为常数，所以数列为等比数列，根据等比数列通项公式求出通项公式，减去便可得到的通项公式. （2）将的通项公式代入，求出数列的通项公式，利用错位相减法求出. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以， 则. （2）由（1）知， 所以， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以. 34．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用错位相减法求出前项和；②由①的结论，结合已知分离参数，构造新数列，利用不等式确定最大项即可. 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 35．（25-26高三上·辽宁·月考）已知数列满足，. (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，为的前项和. （i）求； （ii）若，恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)证明见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）将两边同时除以，令，利用数学归纳法证明，从而可得结果； （2）（i）由错位相减法计算可得结果；（ii）化简可得，令，计算可得，分析为奇数和为偶数时的单调性可知当时，有最小值，求出从而得到的最大值. 【详解】（1）由题意知， 令，则， 由，可得， 所以对任意，，即， 所以数列是常数列， 所以. （2）（i），则， ， 所以， 所以. （ii）由题意知，即. 令，则， 当为奇数时，，所以单调递减， 当为偶数时，，所以单调递增. 所以当时，有最小值，且， 所以的最大值为. 36．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列中，，，令 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，根据等差数列通项公式求法计算即可； （2）由（1）可得，根据错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）由，得， 令，得， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，即. （2）由（1）可得， ， ， 两式相减可得， 化简可得， 所以. 37．（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列满足，且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2)证明见解析，； (3) 【分析】（1）根据已知条件令即可求解； （2）利用等差数列的定义可证得结论成立，并确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （3）利用错位相减法可求得． 【详解】（1），，； （2），∴，， 即，又， ∴数列是等差数列，且该数列首项为，公差为， ∴，，∴． （3）① ①－②得：， ∴． 07已知用求通项公式 38．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求的通项公式． 【答案】 【分析】是一个线性非齐次的递推式，其标准形式为，通过构建新数列将其转化为标准形式，，由特征方程为解出两个根，结合题给条件运算最终得出的通项公式. 【详解】由题意得， 化为． 构建新数列，且， 转化为：． 由特征方程得两根， 则的通项为：． 由初始值得 解得：， 则， 所以， 即． 当时，； 当时，，满足题意. 所以. 39．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，()，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】利用累加法以及特征根法都可以求 【详解】解法1：待定系数——累加法 由， 得，且． 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是． 把，，，，代入，得 ， ， ， … ． 把以上各式相加，得 ， 所以． 解法2：特征根法 数列的特征方程是． 不妨设两根为，， 则． 又，，于是 得 故． 40．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 【答案】 【分析】由已知可得，令，可得，从而得数列是等比数列，求得，即有，即可得是等比数列，求出其首项和公比，可得，即可得． 【详解】解：因为， 所以， 令， 则， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 即， 所以． 41．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知数列满足，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及其前项和. 【答案】(1)证明见详解； (2)； 【分析】（1）把条件变形为，结合，，可证明结论； （2）由（1）可得，利用累加法可得：当时，，即可求得的通项公式，继而利用公式法分组求和可求得. 【详解】（1）因为， 则， 又， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可得， 当时， ， 又满足上式，则. ， 即. 42．（25-26高三上·河南·月考）已知数列中，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设点，，.当为等腰三角形时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】周（1）由等比数列的定义即可证明； （2）由（1）得，再由累加法即可求出数列的通项公式； （3）设是的三个顶点.分别讨论，和是顶角， 由等腰三角形中的垂直关系求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知得，且. 所以是首项为1，公比为的等比数列； （2）由（1）得， 所以，，……，，， 由累加法得. 所以，所以，且符合上式，故数列的通项公式为； （3）设是的三个顶点. ①若是顶角，设点为边的中点，则. 当为等腰三角形时，，则，即，显然不成立，故舍去； ②若是顶角，设点为边的中点，则. 由题意得，则.当为等腰三角形时，，则，显然不成立，故舍去； ③若是顶角，设点为边的中点，则. 当为等腰三角形时，，则. 整理得，即，故，解得. 综上，当为等腰三角形时，的值为1. 43．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）由题可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，然后由累加法可得答案； （2）原题等价于有解，然后由判别式可判断是否存在k. 【详解】（1）由得，． 于是数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以， 当时，有． 于是，，，…，，， 叠加得，， 又当时，也适合． 所以，． （2）假设存在，使成等比数列，由（1）知，， 由得，， 整理得，． 由可知， 当时，，又当时，，当时，， 当时，，所以，当时，存在，使成等比数列． 08已知用求通项公式 44．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，且满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】等式两边同除，构造等比数列求出，带入求和公式利用放缩法裂项相消证明即可. 【详解】因为，且满足，显然对任意，， 等式两边同除以得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，解得， 所以 ． 45．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知． (1)求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可； （2）利用导数证明，进而得到， 可得，累加即可证. 【详解】（1）由，又由题意知，， 左右同时除以得， 所以，则， 故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得； （2）令函数，求导得， 在上单调递增，，即， 取，则，于是， 由（1）知，, ， 所以. 46．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知数列满足，，，. (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)记，求的前项和为. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由已知两边同除以，得，再由构造法得，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出； （2）将数列的通项公式代入，化简得，利用裂项相消法求出． 【详解】（1）因为，，， 所以，，在两边同除以， 得，所以， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. 所以时， ， 当时，适合上式， 所以，， ； （2）因为 ， 所以 . 09已知用求通项公式 47．（25-26高三上·四川成都·期中）已知数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实提炼为一个不等式___________，并证明这个不等式成立；若恒成立，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）取倒数后，利用待定系数法及等比数列定义可得数列是等比数列，即可得其通项公式，即可得解； （2）利用糖水浓度公式结合作差法可得不等式及其证明，再借助该不等式将进行适当放缩后，结合等比数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）因为，所以， 设，所以，解得， 所以，又， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）“糖水加糖更甜”提炼为“若，则”， 证明：， ， ； 当时，由“糖水加糖更甜”不等式可得， 则当时，有，即， 当时，， 又，所以正整数的最小值为2. 48．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】（1）对已知数列的递推公式两边取倒数，根据等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）可得，利用分组求和法及等比数列的前项和公式可得，可得为递增数列，由即可求解. 【详解】（1）， 是以1为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得，即， 所以， 所以， 因为， 所以为递增数列，又. 所以满足的最小正整数为10. 49．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据数列递推式化简得，将其转化成，利用等比数列的定义即可证得结论； （2）根据（1）推得的等比数列写出通项公式，再利用分组求和法与等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）因为，所以， 则． 又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）的结论，可知，即， 则 ． 50．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，.求的通项公式. 【答案】 【分析】将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以， 故， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故. 51．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知数列中，， (1)求数列的前项和； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用取倒数的方法化简等式，再利用构造法可得数列为等比数列，利用等比数列求和公式，可得答案； （2）根据指数函数以及反比例函数的单调性，由复合函数的单调性可得数列的单调性，可得答案. 【详解】（1）由，取倒数可得，令， 化简可得，则，解得， 由，则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，可得， 则. （2）由（1）可得，则，由，则，， 由函数在上单调递减，当时，， 则在上单调递增，当时，， 由在上单调递减，则在上单调递减， 所以. 52．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析的最值； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 令，解得， 可知当时，；当时，， 所以的最小值为. （3）因为，，， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， ， 所以. 10已知用求通项公式 53．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式. （2）由（1）确定数列前50项中数列的项数，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）由，，得，则， 即，又，于是，而， 所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，. （2）由（1）知，数列，都是递增数列， ，即， 因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项， 所以. 54．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 【答案】 【分析】通过对已知递推公式进行变形，构造新数列，再通过取对数将新数列转化为等比数列，从而求出原数列的通项公式. 【详解】，， ，， ， 令，， 则，，， 令，则，， 数列是首项为，公比为的等比数列， ．， 则， ，． 55．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，求数列的通项． 【答案】 【分析】构造，再两边取对数，得到递推式，再求解得，即可求解． 【详解】由题意有 则， 则当时，， 又，则， 所以， 所以， 当时，也满足上式， 故． 11构造常数列求通项公式 56．（2025·全国·一模）设数列满足. (1)求并证明：； (2)证明： 【答案】(1)；证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知递推公式得出是常数列，再计算化简证明； （2）根据单调性结合累加法计算证明即可. 【详解】（1）因为数列满足， 所以,， 所以， 所以是常数列，所以， 所以； （2）因为，所以,所以， 因为都大于零，所以可逐步推出, 所以,所以是单调递增数列， 所以， 所以,, 即， 以上个式子累加计算得，所以， 所以,, 所以，所以. 57．（25-26高三上·广东惠州·期中）已知正项数列满足且， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求（表示不超过的最大整数）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据常数列的性质进行求解即可； （2）利用放缩法，结合等比数列前项和公式、题中定义进行求解即可. 【详解】（1）由，得，可知数列是常数列， 所以，所以，所以； （2）由（1）可得，则， 显然， 由于， 故，且， 故，. 58．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦的和差角公式得，从而有，再由，即可求解； （2）利用三角函数的性质，得，即可求解. 【详解】（1）因为 ， 又，则， 而，则，因此， 所以数列为常数列． （2）由（1）知，由，得数列是以6为周期的周期数列，令， 则 ， 所以数列的前2025项和 ． 59．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若为的前项和，求时的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由题意通过构造可得，从而可求解. （2）结合（1）可得，从而可得，再分情况讨论为奇偶时，再结合分组并项，从而可求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. （2）由（1）可得， 所以， 当为偶数时： ； 当为奇数且时： . 当时，，满足该前项和公式， 所以 当为奇数时，恒成立，故时为偶数， 所以有，即，当时，， 当时，， 故的最小值为4. 60．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3)12182 【分析】（1）构造数列为等比数列，通过等比数列通项公式即可求的通项公式； （2）易知是常数列，即可求的通项公式； （3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求. 【详解】（1）由可得，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）方法一：由已知得，所以， 所以，又， 等式两边同时相乘，可得， 得，该式对也成立. 故. 方法二：由可知是常数列， 所以， 即. （3）设在的前100项中，来自的有项. 若第100项来自，则应有， 整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自，则应有，整理可得. 易知在时单调递增， 当时，，不满足题意，当时，，满足题意， 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自， 所以. 12直接证明等差数列或等比数列 61．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列的首项，且满足（）. (1)证明：数列为等比数列； (2)若（），求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将递推公式配凑成，即可； （2）由（1）求得，由分组求和、错位相减法求和即可. 【详解】（1）证明：由， 得，，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， （2）由（1）知数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以， 故， 所以 ， 设① 所以② ①－②得：. 所以，又， 所以. 62．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合，记的元素个数为. （ⅰ）求； （ⅱ）设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）当，代入条件，可求得，当时，根据，可得，进而可得，根据等比数列的定义，即可得证. （2）（ⅰ）由（1）知，根据条件，分析可得，所以.（ⅱ）根据错位相减求和法，计算即可得答案. 【详解】（1）由题意得，当，，解得， 因为①，所以② 由①-②得，， 整理得，所以， 因为， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）（ⅰ）由（1）知，， 所以， 因为且，所以， 所以. （ⅱ）由题意得 ① 两边同时乘以3 ② ①-②得 解得， 故数列的前项和. 63．（25-26高三上·山东淄博·期中）在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项积为，求和. 【答案】(1)证明见解析，； (2)，. 【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证；再利用构造法求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再结合等差数列前项和公式列式计算出指定积. 【详解】（1）在数列中，由，得，而， 是以9为首项，3为公比的等比数列； 因此，即，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得， 所以， . 64．（2025·广东清远·一模）设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由与间关系结合题意可得，，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法，分组求和法可得答案. 【详解】（1）由题，， 当时，， ，又， 所以， 所以是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1），， 则. 设数列，且，其前n项和为， 则， ， 两式相减可得， ， 则； 再设数列，且，其前n项和为， 则， 从而. 65．（2025·浙江台州·一模）设数列满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到与的关系，再根据等差数列的定义证明； （2）先根据（1）的结果求出的表达式，进而得到的表达式，然后通过作差法比较与的大小， 判断数列的单调性，从而求出最大项. 【详解】（1）将两边同乘以， 得，即， 又，因此，是以1为公差，1为首项的等差数列. （2）由（1）得， 因此，， . 当时，，得，即. 又因为，所以， 即当时，， 所以的最大项是. 66．（2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且． (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知得，结合等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得，，进而有，根据新定义及分组求和、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）由，可得， 又， 所以与均为等比数列； （2）由（1）知，，所以， 则，， . 67．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 【答案】(1)证明见解析；； (2). 【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式； （2）根据错位相减法直接求数列的前项和. 【详解】（1）由，得， 因为是正项数列，所以，即，又， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以，即. （2）由（1）知，所以. 所以， 即， ， 所以 ， 所以. 13分组求和 1．（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系化简可得，利用等比数列通项公式求法计算即可求解； （2）求得，利用分组求和即可求解. 【详解】（1）当时，由题意可知， 因为，即， 当时，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）可得， 所以， 当时，， 当， ， 因为， 所以， 综上，. 2．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）由错位相减法可得结果； （3）分和两种情况求和计算结果. 【详解】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2）， 设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得：， 所以； （3）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，，则， 当时，， 则 ， 综上：. 3．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根． (1)求； (2)设，求数列的前21项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解； （2）由分组求和法、裂项相消即可求解. 【详解】（1）因为是关于的方程的两个根， 所以． 所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列． 因此． （2）由（1）知，对于方程， 由韦达定理得，即． 所以 ． 所以 ． 4．（2025·河南·模拟预测）已知等比数列满足，且是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列的通项公式结合等差中项公式求解即可得答案； （2）利用分组求和及等比数列的求和公式求解可得答案. 【详解】（1）设的公比为， 因为是的等差中项，所以， 又，所以解得 所以. （2）由（I）可得该数列为，，，，，，，， 则. 5．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项的和． 【答案】(1), (2) 【分析】(1)根据等差数列通项公式和前n项和的公式,求出公差,在求出等比数列公比,求出两个数列的通项公式. (2)采用分组求和的方式,分为两个部分,分别求和. 【详解】（1）设等差数列公差为,根据题意得,解得 所以, 可知, 设等比数列的公比为,带入得,解得, 可知. （2）有第一问可知,,则. 分组得 计算, 计算 则. 6．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知，均为等比数列，且，. (1)证明：为定值. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求公比，进而得通项公式，计算即可得证； （2）由，利用分组求和即可求解. 【详解】（1）证明：设数列的公比为，数列的公比为 依题意可得的公比为，的公比为， 所以，， 则，故为定值. （2）由， 故 . 14奇偶并项求和 7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)10170. 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用等比数列定义推理得证. （2）由（1）求出通项公式. （3）由（2），利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）由，，得， 则，而， 所以数列是等比数列. （2）由（1）得，，所以数列的通项公式. （3）由（2）得，， . 8．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【答案】(1)证明见详见 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可； （2）求数列和的通项，进而可得的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n项和即可求解. 【详解】（1）， ， 又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又 构成以为首项，为公比的等比数列 ， ， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 9．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先求出，然后由求经过验证后可得通项公式. （2）根据（1）代入可得，当为偶数时，可看为两两一组，先求出，再利用错位相减求和求得.当为奇数时，因为为偶数项和，所以可利用代入求得. 【详解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）由（1）可得 当为偶数时，， 则， 则， 则 ， 则. 当为奇数时，. 故 10．（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求； (2)若数列满足，求数列的前20项和． 【答案】(1) (2)4212 【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得； （2）先求出，再利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由，，得，解得， 所以． （2）因为，所以， 故 11．（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，结合数列为递减数列可求得、的值，即可得出等比数列的通项公式；推导出，结合可求得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，化简的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，则， 因为数列是等比数列，解得，所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以， ，故. （2）当为奇数时，，令， 则， 所以，， 两个等式作差可得 ， 化简得； 当为偶数时，， 令，则 ， 故. 12．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列的递推关系可得是等比数列，求解即可； （2）先求出的通项公式，然后采用分组转化求和法求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以， 所以，所以， 又因为， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 又时也满足上式，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以 . 13．（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，. (1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式； (2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析，或 (2) 【分析】（1）由与的关系求得数列通项公式； （2）由（1）得到，借助等差数列的前项和公式求得. 【详解】（1）令，则， 由得，解得或， 因为，则， 两式相减得， 化简得， 因式分解得， 由已知，故. 所以是公差为3的等差数列. 当时，数列的通项公式为， 当时，数列的通项公式为. （2）满足条件的数列有两个： 数列1：，即1，4，7，10，13，… 数列2：，即2，5，8，11，14，… 将这两项合并后按升序排列，得到：1，2，4，5，7，8，10，11，13，… 所以数列是所有不能被3整除的正整数数列， 所以数列的通项公式为 当为偶数时，设，则 ，将代入得， 当为奇数时，设，，则 ， 将代入得， 因此. 15裂项相消求和 14．（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意列出方程组，求得，即可写出通项； （2）先求出的表达式，将两个数列的项依次列出，再合并后从小到大排列推得，化简数列的通项，利用裂项相消法计算即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因，可得， 解得， 故； （2）由（1）得，则，则. 因数列的项依次为：，而数列的项依次为：， 将两数列的所有项从小到大排列依次为：，故其通项为. 则， 故数列的前项和为： . 15．（2025·四川泸州·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系列式计算可得，利用等比数列通项公式求解即可； （2）由（1）可得，化简，利用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）已知，当时，有， 用减去，根据， 可得：，即， 当时，， 又，所以，此时，满足， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，即， （2）由（1）可得， 又，所以，化简可得， 则， 所以． 所以数列的前项和为： ． 16．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）分析递推式，利用等比数列的定义证明； （2）通过累加法求通项； （3）利用裂项相消法求和并证明不等式. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以， 即是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知， 当时， . 当时，也成立， 所以的通项公式为； （3）由（2）得， 所以， 所以， 显然是递增数列，所以. 因为，所以， 所以. 17．（2025·山东·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求使得成立的的最大值； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)45 (3) 【分析】（1）利用时结合已知等式得首项，再由代入等式，转化得到是等差数列，进而求出的通项. （2）由求出，再通过与的前项和关系得到的分段表达式，分和讨论的不等式，求解的最大值. （3）写出的分段形式，时对通项进行裂项相消拆分，再分和计算前项和. 【详解】（1）因为，所以，在中令，得.所以 当时，由及，得，所以. 又，所以是首项为3，公差为2的等差数列. .所以. （2）由（1）知（）. 当时，，满足上式，所以， 则（）. 当时，，不满足上式，所以 当时，，显然成立； 当时，有，所以， 又，所以的最大值为45. （3）设， 当时，， 当时， 所以 . 当时，上式也符合， 所以. 18．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，即可证明. 【详解】（1）由题意. 所以数列，其前项和为. 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）， 所以. 19．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算得解. （2）由结合已知推理即得. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）在正项数列中，， 令，得，解得，负值舍去； 令，得，即，则， 所以，负值舍去’ （2）当时，，而，则， 即，又， 所以是首项为2，公差为2的等差数列. （3）由（2）知，可得， 则， 所以. 20．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解； （2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）由， 当时，， 两式相减得，即，① 则，② 由①②整理得，， 所以； 又，则当时，， 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列，且首项为，公差为. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则， 所以. 16错位相减求和 21．（2025·河南·模拟预测）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等比数列通项公式基本量的计算和与的关系即可求解； （2）由错位相减法即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，，得，即， 所以， 由，当时，， 所以，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）得， 则， 两边同时乘以2，得， 两式作差得， 所以 22．（2025·河北邢台·二模）已知数列满足，记． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列定义证明，再分奇数偶数求出通项公式即可； （2）应用错位相减法计算再结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）因为 ， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 所以当为偶数时，； 当为奇数且时， ． 也符合上式． 综上所述， （2）由（1）得，则， 可得， 两式相碱，可得 ． 则． 因为， 所以为递增数列， 则， 所以． 23．（2025·河南许昌·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与关系可得，时，，据此可得通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案. 【详解】（1）当时，，解得或（舍）； 当时，由，得， 所以， 即，整理得， 又的各项均为正数，所以， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减得:， 所以. 24．（2025·海南·模拟预测）记数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当可求出的值，当时，由可得，两式作差可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即， 所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，故. （2）由（1）可得， 所以， 则， 上述两个等式作差得 ， 因此，. 25．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知可得，，代入变形可证结论； （2）由（1）可求得； （3）由（2）可得，利用分组求和法，结合错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 即， 又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知， 所以. （3）由（2）得， 设，其前n项和为， 则， ， 两式相减得， 所以， 所以. 26．（2025·山西·模拟预测）已知数列中，，. (1)求； (2)数列满足，设为数列的前项和，证明：. (3)设，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）观察数列递推公式，分析求倒数再利用构造数列可求得是等比数列，再求等比数列通项公式即可求得. （2）根据求得的通项公式，再用错位相减法求和即可证明. （3）根据（2）求得，假设中任意不同的三项能构成等差数列，利用等差中项的性质，推出矛盾即可证明. 【详解】（1）在数列中，由，得， 则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则，解得. （2）由（1）知， ， ， 两式相减得， 因为，所以. （3）由题. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以，得. 因为，，所以，， 则是2的倍数，除以2余1，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 17利用周期求和 27．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，判断数列的周期性． 【答案】周期数列，最小正周期为6. 【分析】根据给定的递推公式求出各项，总结规律判断即得. 【详解】数列， 则， ， 即，故有， 所以数列是周期数列，最小正周期为6. 28．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，满足，记，求及． 【答案】， 【分析】由递推数列可计算数列前几项，可得数列周期，据此可得答案. 【详解】利用递推关系，经过计算得到数列的前几项为： 由此得数列是周期为6的周期数列． 所以， ，其中. 所以． 29．（2021·江西南昌·二模）已知数列中，，，． （1）求，的值； （2）求的前2021项和． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）根据递推公式，利用代入法进行求解即可； （2）根据递推公式可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可. 【详解】（1）当时，，所以； 当时，，所以； （2）当时，，所以； 由知：，所以，故数列是以4为周期的周期数列， 即，，，， 所以． 30．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知数列满足（）. (1)若，，请写出该数列的前6项，并求出该6项的和； (2)设数列的前n项和为，如果，，求； (3)若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)前6项分别是，和为0 (2)986 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1），结合，，依次求解出前6项，并求和得到答案； （2）数列以6为周期的周期数列，且，故，求出，并得到； （3）得到，，成等比数列，且公比，若存在，使得，则有，即，而恒成立，故方程无解，得到结论. 【详解】（1）由可得， 故，， ，， 数列的前6项分别是， 前6项的和为； （2）由可得，， ， ，， ， 所以数列以6为周期的周期数列， 且， 由题意 ， 即，解得， 所以. （3）不存在，理由如下： 由题意，，，， 因为（），所以， 所以，，成等比数列，且公比， 所以，， 若存在，使得，则有， 而，则有，即，而， 因此不存在，使得. 31．（2025·江苏·模拟预测）已知数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的通项，其前n项和为，求（用n表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）通过累乘求前项和，再由与的关系得通项； （2）化简后，利用余弦函数的周期性分组，详细计算每个周期内的和，再分三种情况累加剩余项，得到前项和. 【详解】（1）由得，结合， 累乘得 . 当时，， 时符合上式，故. （2）由三角恒等式，得， 结合，故. 因余弦函数周期为，故，即的周期为3. 时，； 时，； 时，. 分3种情况求前项和： ①当（）时，前项分为个周期， 每个周期含（）. 计算一个周期的和： ， 前项和为个周期的和累加： ， 代入，得. ②当（）时，前项是前项加第项（）： ， 代入，得. ③当（）时，前项是前项加第项（）： ， 代入，得. 综上所述，. 1．（2025·海南·模拟预测）设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据探索数列的特点，再求其通项公式. （2）求数列的通项公式，再利用分组求和的方法求其前项和. 【详解】（1）当时，，得. 当时，，所以. 所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 故. （2）由已知得， 所以 . 2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知递推式得，再由等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及已知得，再应用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，则，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，则， 所以； （2）由（1）， 所以， 所以. 3．（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列为等差数列，且，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出的通项公式，由等比数列定义求出的通项公式； （2）利用错位相减求和可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， 解得. 所以. 由数列满足，得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）由（1），得， 则， 则， 两式作差，得 所以. 4．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）变形得，即可证明； （3）根据（2）的结论得，再移项即可. 【详解】（1），. （2）由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即. 5．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造法可求的通项公式； （2）利用参变分离和数列的单调性可求的最大项，从而可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列的首项，可得， 而，故，故， 即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即. （2）若恒成立，即为，即恒成立， 设，可得，. 即数列是单调递减数列，可得， 所以，即实数的取值范围是 6．（2025·辽宁·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式. (1)求及数列的通项公式； (2)令，求数列的前项积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干得到递推公式，可证明数列是公差为1的等差数列，代入可求通项公式； （2）由（1）可知，各项相乘即可求出前n项积. 【详解】（1）由已知， 令代入得，即，解得或（舍去）， 令代入得，即，解得或（舍去）， 已知是各项都为正数的递增数列，且，故从第二项开始每一项都大于1，故， 对式子两边开根号得， 即，整理得，故：， 又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列， 故，所以 （2）因为 所以 故 7．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记为数列的前n项和，且满足，． (1)求； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件判断数列为等差数列并求出其通项公式，进而得到的表达式； （2）利用与的关系求出； （3）对进行裂项相消求和并证明不等式. 【详解】（1）由可知数列是首项为1，公差为1的等差数列， 故，即． （2）当时，， 又因为满足上式，故； （3）， 故，故． 8．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列是等差数列，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质求出公差，再利用等差数列的通项公式即可求解， （2）根据裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）由可得，故公差， 所以， （2）由于， 故 9．（2025·辽宁·二模）已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. （2） ， ， 数列的前项和为. 10．（2025·浙江温州·三模）数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可说明； （2）由（1）可知，从而得到，再由分组求和法及并项求和法计算可得. 【详解】（1）是等比数列，理由如下： 因为，故， 又，故， 因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知，所以， 所以， 所以 ． 1．（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）由（1）可得，，利用作差法可判断单调性，据此可得答案. 【详解】（1）因， 则 即，从而是等比数列； （2）由（1）是以为首项，公比为的等比数列. 则，从而 ，两式相减可得： 则； （3）由（2）， ，又，则. ，当时，易得， 当时，，. 即，当时，，则为递增数列，则. 即. 2．（2025·安徽滁州·二模）在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列． (1)求； (2)若， （ⅰ）求数列的通项公式及前项和； （ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有． 【答案】(1)或 (2)（ⅰ）．；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）方法1：由及，利用等差数列基本量的运算求解即可； 方法2：先求出，然后利用化简得，将已知条件代入求解即可. （2）（ⅰ）与相减得，，利用累乘法得，即可； （ⅱ）由（ⅰ）得，进而求得，累加法结合即可证明. 【详解】（1）方法1：，，， 由或， 于是或，所以或． 方法2：显然，则， 于是，所以， 相减得，即， 所以，，又，，解得或. （2）（ⅰ）当时，，即， 所以，相减整理得，， 所以，，…，，累乘得，， 也满足上式，所以． 所以． （ⅱ），，显然． ， 所以，，…，， 累加得，得证． 3．（2025·贵州·模拟预测）已知数列中，，． (1)求，的值； (2)设，证明是等比数列，并求其通项公式； (3)证明：． 【答案】(1)，． (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合数列的递推关系式，进行计算，即可求得，的值； （2）由，分别化简求得，，得到，得出，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解； （3）由（1）知且，求得，结合，利用等比数列的求和公式，即可得证. 【详解】（1）解：由数列中，，， 可得，. （2）解：由， 可得，， 所以， 因为，所以，即， 又因为，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为． （3）解：由（1）知且，可得， 所以， 又由， 因为显然成立（当且仅当时等号成立），所以， 因此. 4．（2025·福建福州·模拟预测）已知正项数列满足． (1)若，求； (2)若，求的通项公式； (3)记为数列的前项和，若，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式以及附加条件求出，再结合递推公式即可求解. （2）令，可得，结合二倍角公式可引入新数列，，求得的值，并说明唯一即可求解. （3）将原不等式转换为，先证明，可构造函数，利用导数证明不等式，从而即可放缩，再证明，根据三角函数的有界性放缩即可得证. 【详解】（1）由题，，且，又，代入，解得， 所以，，，故． （2）令，则有，即，又，则， 此时不妨令，则，则有，即 讨论周期性对唯一性的影响：不妨令，则 当时，，不合题意，舍去； 当时，符合题意；此时， 同理，唯一，即唯一．即，故． （3）由若，且，则， 联立解得， 原不等式可转化为， 先证明： 由，，由（2）可推，则， 令函数，则， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上有， 所以在上单调递增，又，则， 所以，则， 故 ， 又因为，所以， 证明： 由，则，当且仅当时取等， 所以，故， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是对进行适当的放缩，由此即可顺利得解. 5．（2025·四川成都·一模）记为数列的前项和，已知，且. (1)求，，； (2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分） ①是等比数列；②是等比数列. (3)记为数列的前项和，求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）分别令，可计算出结果； （2）选①依题意得到，然后变形可得；选②依题意（3）得到当时，，然后得到，变形即可； 选择①、②由（2）可知，然后使用错位相减法求和. 【详解】（1）（1）令，得.又，所以. . 令，得.又，所以. 故. （2）若选择①：由已知，得. 故，所以，. 故是首项和公比均为2的等比数列. 若选择②：由已知，.故当时，. 两式相减，得. 化简并整理，得（，且）. 又，，所以. 故是以1为首项，2为公比等比数列. （3）若选择①：由（2）知，，故. 若选择②：由（2）知，，故. 所以. 所以. 则. 两式错位相减，得. 所以， 6．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，． (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）把等差数列的通项公式与等比数列的通项公式代入到条件中，解方程即可. （2）（ⅰ）分类讨论，当为偶数时，错位相减法可求出；当为奇数时，利用可求出. （ⅱ）考虑可以构成三角形的情况，利用“三角形两边之和大于第三边”，分类讨论即可. 【详解】（1）记公差为，公比为， 则，， 故， 则 即， 故，解得，故，． （2）（ⅰ）由， 当为偶数时， ， 而， 两式相减，可得到 ， 故此时； 当为奇数时， ， 于是． （ⅱ）考虑可以构成三角形的情况． 当为奇数时，， ，， 于是， 故要能够以，，为三边构成一个三角形， 则只需即可． 则， 当时，，， 故此时； 当时，显然． 故由为奇数可知此时的最大值为3． 当为偶数时，， ，． 当时，，，，此时显然可构成三角形， 当时，易知， 故只需，即可构成三角形． 而 故当为偶数时，以，，为三边必然构成一个三角形． 综上，的最大值为3． 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为． (1)判断是否成等比数列？并说明理由； (2)证明：，，成等比数列； (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)成等比数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，令，和，依次求出，利用等比数列定义判断即可； （2）由，，成公差为的等差数列，得，即可利用累加法求出，从而可得，，，再利用等比数列定义判断即可； （3）当为奇数时，，，当为偶数时，，，利用放缩法求出数列的前项和为，即可证明. 【详解】（1）当时，成公差为1的等差数列， 则，； 当时，成公差为2的等差数列，则，； 当时，成公差为3的等差数列，则． 所以，，从而，故成等比数列. （2）由，，成公差为的等差数列，得， 可得：，，，，， 累加得 因为，，成公差为的等差数列，所以， ，又因为，，成公差为的等差数列， 所以， 所以，得，，成等比数列． （3）由，由（2）知： 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 故，且对一切正整数，有， 时， ， 综上，． 8．（24-25高二下·四川成都·月考）已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求出与实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用因式分解得出，进而得出等差数列通项公式，再应用计算得出等比数列的通项公式； （2）应用等比数列求和公式及等差数列求和公式分组求和即可求解； （3）应用裂项相消计算得出取得最小值，最后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以，即． 又，所以是首项为7，公差为3的等差数列． 因为，① 所以当时，，② ①-②得也满足． 故的通项公式为的通项公式为． （2）由（1）知，所以 （3）因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意恒成立，所以， 整理得，解得． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式. (2)从下面①②中任选一个作为条件，求数列的前n项和． ①；②． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题设的递推关系可得，故可求的通项公式. （2）根据（1）的结果求出数列的通项，结合错位相减法求①，裂项相减法求②. 【详解】（1）因为①，故得②， ①－②得，得． 在中，令，得， 又，所以，解得，所以， 故，而，故是以2为首项、2为公比的等比数列， 所以． （2）若选①： 由（1）知，所以， 则， ， 两式相减，得：， 所以． 若选②： 由（1）知，所以， 则 ． 10．（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件可求出等差数列的公差的值，结合等差数列的通项公式可求出的表达式，设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等比数列的通项公式； （2）分别利用裂项求和法、错位相减法求出数列的前项中的奇数项、偶数项的和，即可得出； （3）分析可知，集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，、进行讨论，推出矛盾，可得出，然后利用不等式的基本性质可得出解的个数，即可得出数列的通项公式. 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，该数列的公差为， 所以，， 设等比数列的公比为， 由可得，解得，则. （2）当为奇数时，， 设数列奇数项的和为， 则. 当为偶数时，，设数列的偶数项的和为， 则， 可得， 上述两个等式作差得 ， 整理可得， 所以，. （3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数， 若，则，与已知矛盾； 若，则，与已知矛盾，所以，， 又因为， 所以，， 即、、、、，共个解，故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 数列通项与求和考法全归纳 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01用与关系求通项公式 题型02已知用累加法求通项公式 题型03已知用累乘法求通项公式 题型04已知用求通项公式 题型05已知用求通项公式 题型06已知用求通项公式 题型07已知用求通项公式 题型08已知用求通项公式 题型09已知用求通项公式 题型10已知用求通项公式 题型11构造常数列求通项公式 题型12直接证明等差数列或等比数列 题型13分组求和 题型14奇偶并项求和 题型15裂项相消求和 题型16错位相减求和 题型17利用周期求和 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．（用与关系求通项公式）（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，. (1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式； (2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求. 2．（用与关系求通项公式）（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 3．（累加法求数列通项公式）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 4．（累乘法求数列通项公式）（25-26高三上·河南·月考）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（已知用求通项公式）（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 6．（已知用求通项公式）（25-26高三上·河北·月考）数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 7．（已知用求通项公式）（2025高三·北京·专题练习）已知数列中，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前n项积，求证：． 8．（已知用求通项公式）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 9．（构造常数列求通项公式）（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)证明：是常数列； (2)设，求数列的前项和. 10．（直接证明等差数列或等比数列）（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：为等比数列； (2)设，证明：； (3)设，且数列的前项和为，证明：． 11．（分组求和）（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 12．（裂项相消求和）（2025·河北·模拟预测）已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 13．（错位相减求和）（2025·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 01用与关系求通项公式 14．（2025·湖南永州·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求m的值及的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 16．（2025·四川成都·一模）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 17．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 18．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 02已知用累加法求通项公式 19．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 20．（25-26高三上·湖北·月考）设数列的前项和为，，且，. (1)求； (2)求最小的正整数，使得. 21．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 03已知用累乘法求通项公式 22．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 23．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 24．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 25．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 26．（25-26高三上·湖北·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数的值. 04已知用求通项公式 27．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系. (1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若，求. 28．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 29．（25-26高三上·广东广州·月考）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，若对恒成立，求b的最小值． 30．（25-26高三上·上海·月考）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)写出的具体展开式，并求其值. 05已知用求通项公式 31．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 32．（2025高三上·湖北孝感·专题练习）数列满足：，，． (1)求数列的通项公式. (2)数列满足：，求数列的前项和． 06已知用求通项公式 33．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 34．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 35．（25-26高三上·辽宁·月考）已知数列满足，. (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，为的前项和. （i）求； （ii）若，恒成立，求实数的最大值. 36．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列中，，，令 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 37．（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列满足，且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 07已知用求通项公式 38．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求的通项公式． 39．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，()，，求数列的通项公式． 40．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 41．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知数列满足，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及其前项和. 42．（25-26高三上·河南·月考）已知数列中，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设点，，.当为等腰三角形时，求的值. 43．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 08已知用求通项公式 44．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，且满足，求证：． 45．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知． (1)求的通项公式； (2)令，为的前项之积，求证：． 46．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知数列满足，，，. (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)记，求的前项和为. 09已知用求通项公式 47．（25-26高三上·四川成都·期中）已知数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实提炼为一个不等式___________，并证明这个不等式成立；若恒成立，求正整数的最小值． 48．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 49．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 50．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，.求的通项公式. 51．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知数列中，， (1)求数列的前项和； (2)证明：． 52．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 10已知用求通项公式 53．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 54．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 55．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，求数列的通项． 11构造常数列求通项公式 56．（2025·全国·一模）设数列满足. (1)求并证明：； (2)证明： 57．（25-26高三上·广东惠州·期中）已知正项数列满足且， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求（表示不超过的最大整数）. 58．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前项和． 59．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若为的前项和，求时的最小值. 60．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 12直接证明等差数列或等比数列 61．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列的首项，且满足（）. (1)证明：数列为等比数列； (2)若（），求数列的前项和. 62．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合，记的元素个数为. （ⅰ）求； （ⅱ）设，求数列的前项和. 63．（25-26高三上·山东淄博·期中）在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项积为，求和. 64．（2025·广东清远·一模）设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 65．（2025·浙江台州·一模）设数列满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的最大项. 66．（2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且． (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) 67．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 13分组求和 1．（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和. 2．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和． 3．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根． (1)求； (2)设，求数列的前21项和． 4．（2025·河南·模拟预测）已知等比数列满足，且是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 5．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项的和． 6．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知，均为等比数列，且，. (1)证明：为定值. (2)求数列的前项和. 14奇偶并项求和 7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 8．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 9．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 10．（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求； (2)若数列满足，求数列的前20项和． 11．（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 12．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 13．（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，. (1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式； (2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求. 15裂项相消求和 14．（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 15．（2025·四川泸州·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 17．（2025·山东·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求使得成立的的最大值； (3)求数列的前项和. 18．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 19．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和. 20．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和. 16错位相减求和 21．（2025·河南·模拟预测）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 22．（2025·河北邢台·二模）已知数列满足，记． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：． 23．（2025·河南许昌·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 24．（2025·海南·模拟预测）记数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 25．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 26．（2025·山西·模拟预测）已知数列中，，. (1)求； (2)数列满足，设为数列的前项和，证明：. (3)设，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 17利用周期求和 27．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，判断数列的周期性． 28．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，满足，记，求及． 29．（2021·江西南昌·二模）已知数列中，，，． （1）求，的值； （2）求的前2021项和． 30．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知数列满足（）. (1)若，，请写出该数列的前6项，并求出该6项的和； (2)设数列的前n项和为，如果，，求； (3)若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 31．（2025·江苏·模拟预测）已知数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的通项，其前n项和为，求（用n表示）． 1．（2025·海南·模拟预测）设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列为等差数列，且，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 4．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 5．（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 6．（2025·辽宁·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式. (1)求及数列的通项公式； (2)令，求数列的前项积. 7．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记为数列的前n项和，且满足，． (1)求； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，证明：． 8．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列是等差数列，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 9．（2025·辽宁·二模）已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 10．（2025·浙江温州·三模）数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 1．（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 2．（2025·安徽滁州·二模）在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列． (1)求； (2)若， （ⅰ）求数列的通项公式及前项和； （ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有． 3．（2025·贵州·模拟预测）已知数列中，，． (1)求，的值； (2)设，证明是等比数列，并求其通项公式； (3)证明：． 4．（2025·福建福州·模拟预测）已知正项数列满足． (1)若，求； (2)若，求的通项公式； (3)记为数列的前项和，若，证明：． 5．（2025·四川成都·一模）记为数列的前项和，已知，且. (1)求，，； (2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分） ①是等比数列；②是等比数列. (3)记为数列的前项和，求. 6．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，． (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值． 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为． (1)判断是否成等比数列？并说明理由； (2)证明：，，成等比数列； (3)设，数列的前项和为，证明：． 8．（24-25高二下·四川成都·月考）已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求出与实数m的取值范围． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式. (2)从下面①②中任选一个作为条件，求数列的前n项和． ①；②． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 10．（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $