期末复习专题11 线段的垂直平分线（3知识点+8大题型+思维导图+过关检测） 2025-2026学年人教版八年级数学上册期末备考冲刺

该初中数学期末复习讲义以线段的垂直平分线为核心，通过思维导图系统构建知识体系，知识梳理部分清晰呈现定义、性质定理、逆定理及尺规作图三大要点，用步骤解析和要点诠释突出重难点，形成“概念-定理-应用”的逻辑脉络。 讲义亮点在于8大题型的分层设计，如线段垂直平分线性质应用（典例1结合三角形周长计算）、尺规作图（题型5作线段垂直平分线）等，培养学生推理能力与空间观念。过关检测涵盖选择、填空、解答题，基础题巩固知识，综合题提升思维，助力不同层次学生发展，为教师实施精准复习提供有力支持。

期末复习专题11 线段的垂直平分线 （3知识点+8大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 线段垂直平分线的性质】 1 【题型2 线段垂直平分线的判定】 3 【题型3 互逆命题】 7 【题型4 互逆定理】 9 【题型5 作已知线段的垂直平分线】 11 【题型6 作垂线】 13 【题型7 画对称轴】 16 【题型8 求对称轴条数】 19 知识梳理 要点一、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法 求作线段AB的垂直平分线. 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点诠释： (1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点五、尺规作图 作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”. 题型精讲 【题型1 线段垂直平分线的性质】 【典例1】．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【跟随训练1】．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，的垂直平分线交边于点E，的垂直平分线交边于点F，若，则的周长为（   ） A．16 B．24 C．28 D．30 【跟随训练2】．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·全国·月考）如图，在中，已知，垂直平分，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 线段垂直平分线的判定】 【典例2】．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【跟随训练1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为 ． 【跟随训练2】．（25-26八年级上·山西大同·月考）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 【题型3 互逆命题】 【典例3】．（25-26八年级上·吉林·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，，则 B．直角都相等 C．同位角相等，两直线平行 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【跟随训练1】．（25-26八年级上·天津·期中）已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【跟随训练3】．（25-26九年级上·北京昌平·月考）写出一个初中数学中的真命题，满足其逆命题也是真命题 ． 【题型4 互逆定理】 【典例4】．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【跟随训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 【跟随训练2】．（24-25八年级下·山东德州·月考）下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【跟随训练3】．（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【题型5 作已知线段的垂直平分线】 【典例5】．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，某地由于居民增多，要在公路l上增加一个公共汽车站P，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站P建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(请保留作图痕迹，并写出理由)？ 【跟随训练1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知一块草地，现要在边上修建一处凉亭，使凉亭到点B的距离和凉亭到点C的距离相等．请你利用尺规作图法在边上找出凉亭P所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型6 作垂线】 【典例6】．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）经过已知直线上一点，作直线的垂线．保留作图痕迹，不写作法． 【跟随训练1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【跟随训练2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，线段，．求作：，使，，． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，M为的边上一点，请用尺规作图，在边上找到一点N，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型7 画对称轴】 【典例7】．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【跟随训练1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知两点A，B．求作：直线l，使点A，B关于l对称．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【跟随训练2】．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图． (1)哪些图形是轴对称图形？你是怎样判断的？ (2)请把轴对称图形的对称轴画出来． 【题型8 求对称轴条数】 【典例8】．（黑龙江省鸡西市2025--2026学年上学期六年级1月期末数学试卷）下面图形中，图（　　）的对称轴条数最少 A． B． C． D． 【跟随训练1】．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形中，只有一条对称轴的是（   ）. A．   B．   C．   D．   【跟随训练2】．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）下面图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）圆是最美的图形．圆的线条明快、简练、均匀、对称，无论是古人，还是今人，都对圆有着特殊的亲切情感．你知道圆有多少条对称轴吗？（   ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 思维导图 过关检测 1．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，若，为内一定点，点在上，点在上，当的周长取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南漯河·期中）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，连接，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．四边形的面积为 5．（25-26八年级上·海南海口·月考）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．两直线平行，同位角相等 D．全等三角形的周长相等 6．（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 7．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，在中，，，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹，可得 ． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．若，则 ． 11．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则 ． 12．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点．作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 13．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，平分，交于点，点，分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 14．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇，的距离要相等，发射塔到两条高速公路和的距离要相等． ①连接，作线段的垂直平分线； ②作的平分线交于点； 则点就是所要修建的电视信号发射塔． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 15．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，垂直平分，交B于点E，交于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，求的长． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 17．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点． (1)求证：垂直平分． (2)若，求证：． 18．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）小南对发声物体的振动实验做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等 测量方案 如图1，在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小南用发声物体靠近小球A时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点B作于点D；当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点 测量示意图 任务一 求证：； 任务二 经测量，得知点B到点D的距离是7cm，细绳的长是15cm，求的长． 拓展应用 如图3，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交、于点F、G，且若，，则的长为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题11 线段的垂直平分线 （3知识点+8大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 线段垂直平分线的性质】 1 【题型2 线段垂直平分线的判定】 3 【题型3 互逆命题】 7 【题型4 互逆定理】 9 【题型5 作已知线段的垂直平分线】 11 【题型6 作垂线】 13 【题型7 画对称轴】 16 【题型8 求对称轴条数】 19 知识梳理 要点一、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法 求作线段AB的垂直平分线. 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点诠释： (1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点五、尺规作图 作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”. 题型精讲 【题型1 线段垂直平分线的性质】 【典例1】．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，则． 【详解】解：∵直线为的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：B． 【跟随训练1】．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，的垂直平分线交边于点E，的垂直平分线交边于点F，若，则的周长为（   ） A．16 B．24 C．28 D．30 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【详解】本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是关键．由垂直平分线的性质可得，，的周长可转化为的长度． 【解答】解：由垂直平分线的性质定理可得：，， ∴， ∴的周长为24． 故选：B． 【跟随训练2】．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是关键．根据作图得到垂直平分，进而得到，得到，再根据三角形的内角和，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ， ， ， ， ； 故选：A． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·全国·月考）如图，在中，已知，垂直平分，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 由可得，再由垂直平分可得，推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． 故选：B． 【题型2 线段垂直平分线的判定】 【典例2】．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理推理，即可解题． 【详解】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． 故选：C． 【跟随训练1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线判定及性质，三角形外角的性质，利用等腰三角形 “三线合一” 及等角对等边，结合三角形外角性质推导边的关系是解题的关键． 由，，得垂直平分，故；结合角的和差与外角性质，得，得出，由即可得出． 【详解】解：∵，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟随训练2】．（25-26八年级上·山西大同·月考）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的判定、作已知线段的垂直平分线、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了尺规作图和直角三角形的性质，解题的关键就是根据作图法则得出直角三角形.根据辅助线作法得出，然后直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵根据作图法则可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)24 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分； （3）首先确定，结合易得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积为24． 【题型3 互逆命题】 【典例3】．（25-26八年级上·吉林·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，，则 B．直角都相等 C．同位角相等，两直线平行 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、求一个数的平方根、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是理解逆命题的定义，属于中考常考题型． 逆命题是以原命题的条件为结论，原命题的结论为条件的命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解： A的逆命题为：若，则且，但时，a和b不一定都大于0， ∴ A的逆命题是假命题； B的逆命题为：相等的角都是直角，但相等的角不一定是直角， ∴ B的逆命题是假命题； C的逆命题为：两直线平行，同位角相等， ∴ C的逆命题是真命题； D的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，但平方相等的两个实数不一定相等， ∴ D的逆命题是假命题． 故选：C． 【跟随训练1】．（25-26八年级上·天津·期中）已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题的真假及其逆命题的真假．需逐一判断每个命题的原命题和逆命题是否均为真命题． 【详解】解：原命题若，则，当时，命题不成立，原命题是假命题； 逆命题若，则，当时，命题不成立，逆命题是假命题； 故命题①不符合题意； 原命题若，则，，命题成立，原命题是真命题； 逆命题若，则，当时，也可能是，逆命题是假命题； 故命题②不符合题意； 原命题若，，则，根据有理数的加法法则可知原命题是真命题； 逆命题若，则，，当，时，也成立，逆命题是假命题； 故命题③不符合题意； 原命题直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的性质可知原命题是真命题； 逆命题三角形的两锐角互余，这个三角形是直角三角形，根据三角形内角和定理可知逆命题也是真命题； 故命题④符合题意． 原命题与逆命题均为真命题的个数是． 故选：A． 【跟随训练2】．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了逆命题的定义，掌握互逆命题的定义是解题的关键．找出原命题的题设和结论，交换后即可得逆命题． 【详解】解：原命题的题设：三角形是直角三角形，结论：两个锐角互余， 交换题设和结论后，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 【跟随训练3】．（25-26九年级上·北京昌平·月考）写出一个初中数学中的真命题，满足其逆命题也是真命题 ． 【答案】两直线平行，同位角相等 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题考查了逆命题与真命题的知识，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的逆命题． 根据学过的真命题解答即可． 【详解】解：两直线平行，同位角相等是真命题，它的逆命题为：同位角相等，两直线平行也是真命题． 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 【题型4 互逆定理】 【典例4】．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 【跟随训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 【答案】B 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定为真，因此不一定是定理；只有逆命题为真时，才是逆定理． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定为真，∴ A错误； ∵定理的逆命题如果为真，就是逆定理，∴ B正确； ∵真命题的逆命题不一定为真，∴ 不一定有逆定理，∴ C错误； ∵并不是所有的定理都有逆定理，∴ D错误， 故选B． 【跟随训练2】．（24-25八年级下·山东德州·月考）下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】互逆定理、全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是命题与定理，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，判断正误，得出结论． 【详解】解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是等腰三角形有两个角相等，逆命题正确，存在逆定理； ②全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不正确，不存在逆定理； ③同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题正确，存在逆定理； 综上，存在逆定理的是①③，一共2个， 故选：C． 【跟随训练3】．（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 【题型5 作已知线段的垂直平分线】 【典例5】．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，某地由于居民增多，要在公路l上增加一个公共汽车站P，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站P建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(请保留作图痕迹，并写出理由)？ 【答案】见详解 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，正确掌握垂直平分线的性质是解题关键．作线段的垂直平分线，由垂直平分线的性质可知，垂直平分线上的点到A，B的距离相等． 【详解】解：连接，作的垂直平分线与直线l交于P， ∵是线段的垂直平分线， ∴点P到A，B的距离相等， ∴这个公共汽车站应建在P点处，才能使到两个小区的路程一样长． 【跟随训练1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与作线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：∵在中，为直角，在边上确定一点P，使点P到点A和点C的距离相等， ∴只需要做线段的垂直平分线即可， A、作图痕迹是线段的垂直平分线，符合题意； B、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； C、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； D、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； 故选：A． 【跟随训练2】．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 【详解】解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：D． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知一块草地，现要在边上修建一处凉亭，使凉亭到点B的距离和凉亭到点C的距离相等．请你利用尺规作图法在边上找出凉亭P所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据现要在边上修建一处凉亭，使凉亭到点B的距离和凉亭到点C的距离相等，即作出的垂直平分线，与的交点，为点P，故，即可作答． 【详解】解：如图，点即为凉亭的位置． 【题型6 作垂线】 【典例6】．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）经过已知直线上一点，作直线的垂线．保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图作垂线，根据题意，按照作垂线的方法即可得到结果，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图所示即为所求． 【跟随训练1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作垂线(尺规作图) ，解题关键是掌握作垂线(尺规作图)． 以P为圆心大到P到的距离为半径作圆弧，交于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在下方作圆弧，两圆弧交于点C，连线，，以此求解． 【详解】解：如图，，直线即为所求作． 【跟随训练2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，线段，．求作：，使，，． 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是掌握过已知点作已知直线的垂线的尺规作图方法． 作射线，在射线上取，过作，以为圆心，为半径画弧交于，连接，即为所求． 【详解】解：如图，作射线，在射线上取，过作，以为圆心，为半径画弧交于，连接，即为所求． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，M为的边上一点，请用尺规作图，在边上找到一点N，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，作线段的垂直平分线交于点，连接，即为所作，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键 【详解】解：如图，点即为所作， 由作图可得，线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴是以为底边的等腰三角形． 【题型7 画对称轴】 【典例7】．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画对称轴 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 【跟随训练1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知两点A，B．求作：直线l，使点A，B关于l对称．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、画对称轴 【分析】本题考查了画对称轴，作已知线段的垂直平分线，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用尺规作出的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，直线l即为所求作． 【跟随训练2】．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画对称轴 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质，是解题的关键： （1）连接，画出线段的垂直平分线即可； （2）根据角的和差关系和轴对称图形的性质，进行推导即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：连接， 则， ∵和关于直线对称，和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图． (1)哪些图形是轴对称图形？你是怎样判断的？ (2)请把轴对称图形的对称轴画出来． 【答案】(1)（1）、（4）是轴对称图形 (2)见解析 【知识点】轴对称图形的识别、画对称轴 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）根据轴对称图形的概念即可求解； （2）根据对称轴的概念即可作图． 【详解】（1）解：根据轴对称图形的概念可得（1）、（4）是轴对称图形； （2）解：对称轴如图所示： 【题型8 求对称轴条数】 【典例8】．（黑龙江省鸡西市2025--2026学年上学期六年级1月期末数学试卷）下面图形中，图（　　）的对称轴条数最少 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题主要考查对称轴条数；逐一判断各图形的对称轴条数，找出对称轴条数最少的即可． 【详解】解：A．有4条对称轴； B．有3条对称轴； C． 有2条对称轴； D． 有6条对称轴； 故选：C． 【跟随训练1】．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形中，只有一条对称轴的是（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】求对称轴条数、轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴数量判断．熟悉轴对称图形的定义和性质是解题的关键． 轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴，根据定义进行判断即可． 【详解】选项：图形沿竖直和水平方向的各一条直线对折后可重合，有条对称轴，选项不符合题意； 选项：两个等圆相交，有条对称轴（过两圆圆心的直线、过两圆交点的直线），选项不符合题意； 选项：圆内接正方形，有条对称轴（正方形的两条对角线、两组对边的垂直平分线），选项不符合题意； 选项：大小不同的两圆相切，只有条对称轴（过两圆圆心的直线），选项符合题意． 故选：． 【跟随训练2】．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）下面图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是它的对称轴． 先根据对称轴的定义确定各图形对称轴的条数，进而完成解答． 【详解】 解：有4条对称轴； 有3条对称轴； 有2条对称轴； 有2条对称轴； 所以对称轴数量最多的是． 故选：A． 【跟随训练3】．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）圆是最美的图形．圆的线条明快、简练、均匀、对称，无论是古人，还是今人，都对圆有着特殊的亲切情感．你知道圆有多少条对称轴吗？（   ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴数量问题．圆是轴对称图形，任何经过圆心的直线都是它的对称轴，因此有无数条对称轴． 【详解】解：∵ 经过圆心的直线是圆的对称轴，且存在无数条经过圆心的直线， ∴ 圆有无数条对称轴． 故选：D． 思维导图 过关检测 1．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据是的垂直平分线，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，若，为内一定点，点在上，点在上，当的周长取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，得到，，，，的周长，当点、在线段上时，的周长取得最小值，证明，得到，同理可得，，再证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∴的周长， ∴当点、在线段上时，的周长取得最小值， ∵，， ∴，， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·河南漯河·期中）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，游戏公平要求凳子到三个顶点距离相等，即该点为三边垂直平分线的交点，到顶点距离相等． 【详解】∵ 游戏公平需凳子到A、B、C三点距离相等， ∴ 需一点到三角形三个顶点距离相等， ∵ 三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等， ∴ 凳子应放在三边垂直平分线的交点． 故选：A． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，连接，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个知识点是关键；由线段垂直平分线的判定可判定选项A，由等腰三角形的性质可判定选项B、C，由三角形面积即可判定选项D． 【详解】解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故选项A正确； ∵，， ∴， 故选项B正确； ∵，，， ∴，， ∴， 即， 故选项C正确； 设交于点O，如图， ∵， ∴四边形的面积为：， 故选项D错误， 故选：D． 5．（25-26八年级上·海南海口·月考）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．两直线平行，同位角相等 D．全等三角形的周长相等 【答案】C 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、同位角相等两直线平行、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是写出原命题的逆命题． 分别写出原命题的逆命题后再判断正误即可． 【详解】解：对于A，逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，相等的角不一定是对顶角； 对于B，逆命题“若，则”是假命题，时a与b可能互为相反数； 对于C，逆命题“同位角相等，两直线平行”是真命题，这是平行线的判定定理； 对于D，逆命题“周长相等的三角形全等”是假命题，周长相等的三角形不一定全等； 故选：C． 6．（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 7．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，在中，，，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的判定与性质以及角所对的直角边等于斜边一半，直接利用线段垂直平分线的判定与性质得出的长，再利用角所对直角边等于斜边一半得出答案． 【详解】解：由题意可得：直线垂直平分线段， 则， ∵，， ∴． 故选：B． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图的识别与基本性质，涉及垂直平分线的定义、性质与尺规作图痕迹的理解，解题的关键是通过观察尺规作图的痕迹，正确判断所作线段的性质，特别是线段垂直平分线的判定与性质（垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等），并能识别出图形中哪些结论是必然成立的，从而找出错误的说法． 【详解】解：根据作图痕迹判断出， 是的垂直平分线， 选项A、∵是的垂直平分线，∴，选项A正确，不符合题意； 选项B、∵是的垂直平分线，垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，∴，选项B正确，不符合题意； 选项C、错误，符合题意； 选项D、∵是的垂直平分线，∴，选项D正确，不符合题意； 故选C． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹，可得 ． 【答案】53 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图，直角三角形的两锐角互余．根据作图痕迹知，再利用直角三角形的两锐角互余求角度即可． 【详解】解：根据作图痕迹知， ∴， ∵， ∴， 故答案为：53． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．若，则 ． 【答案】/ 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】先根据等腰三角形性质求出底角，再由作图得出线段垂直平分线，连接相关线段，利用角度关系和直角三角形性质求解． 【详解】解：连接 ， ∵ ， ∴ 由作图可知， 是 的垂直平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴ 解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 11．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查垂线的基本作图，与三角形的高有关的计算． 根据基本作图，可得，利用三角形的面积计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点．作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据题意可得直线是线段的垂直平分线，从而得出，，结合题意可得的周长． 【详解】解：∵分别以点和点为圆心，以大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线．直线交于点，连接， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，平分，交于点，点，分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、垂线段最短 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点作于，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即得，即得到，可知当三点共线且时，的值最小，最小值即为的长，再利用三角形的面积求出的值即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线且时，的值最小，最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇，的距离要相等，发射塔到两条高速公路和的距离要相等． ①连接，作线段的垂直平分线； ②作的平分线交于点； 则点就是所要修建的电视信号发射塔． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求 15．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，垂直平分，交B于点E，交于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段的垂直平分线的性质，推导出，，得到，即可解答； （2）先推导出，继而求出，即，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 17．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点． (1)求证：垂直平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形，角平分线的定义，关键是判定，掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理． （1）判定，推出，，得到A、D都在线段的垂直平分线上，即可证明垂直平分 （2）由含度角的直角三角形的性质推出，，得到，即可证明 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ，分别是和的高， ， ， ∴， ，， 、D都在线段的垂直平分线上， 垂直平分 （2）证明：∵平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 18．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）小南对发声物体的振动实验做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务． 课题 发声物体的振动实验的探究 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等 测量方案 如图1，在支架横杆上的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小南用发声物体靠近小球A时，如图2，小球从摆动到位置，此时过点B作于点D；当小球摆动到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点 测量示意图 任务一 求证：； 任务二 经测量，得知点B到点D的距离是7cm，细绳的长是15cm，求的长． 拓展应用 如图3，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交、于点F、G，且若，，则的长为______． 【答案】任务一：证明详见解析； 任务二：； 拓展应用： 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了同角的余角，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 利用同角的余角相等，即可得证； 证明≌，得到，利用线段的和差关系进行求解即可； 延长ED至H，使得，连接HC，GB，GC，可证明≌得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，≌得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】任务一： 证明：， ， ， ； 任务二： 解：，， 在和中， ， ≌， ， 拓展应用： 解：如图3，延长ED至H，使得，连接HC，GB，GC， 是AC的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， 内错角相等，两直线平行， ， ， 垂直平分BC，， ，，， ，是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 又， ， ≌， ，， ， 故答案为： 试卷第1页，共3页 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