第01讲 数列的概念（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

专题01 数列的概念 【人教A版】 模块一 数列的概念 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以 用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. . 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【题型1 观察法求数列通项】 【例1】（25-26高二上·新疆·月考）数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定数列前4项，利用观察法求出通项公式. 【解答过程】依题意， 由此得. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据前5项的规律，分析总结，即可得答案. 【解答过程】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以， 故选：B. 【变式1.2】（25-26高二上·吉林四平·月考）数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数列的定义和规律求解即可. 【解答过程】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 【变式1.3】（25-26高二上·河北石家庄·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【解答过程】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A. 【题型2 判断或写出数列中的项】 【例2】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】C 【解题思路】根据题设，令求参数即可得. 【解答过程】由题设，令，可得， 所以是这个数列的第23项. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高二上·河南·月考）已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是（　　） A．2 B．4 C．8 D．80 【答案】B 【解题思路】根据数列的概念和通项公式进行验证即可. 【解答过程】因为， 所以． 而，， 所以4不是数列的项. 故选：B． 【变式2.2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列，3，，，…，则是该数列的（   ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】C 【解题思路】根据数列的规律，写出通项公式求解. 【解答过程】因为，，，，…， 所以，令，解得. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二下·陕西·期中）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【答案】C 【解题思路】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【解答过程】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C. 【题型3 根据规律填写数列中的某项】 【例3】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】C 【解题思路】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积 ，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积. 【解答过程】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为， 则图形1的面积，图形2的面积， 图形3的面积 ， 图形4的面积 ， 以此类推， 则图形的面积 则第10个图形的面积为． 故选：C. 【变式3.1】（2025高二·全国·专题练习）如果数列，，，，中的每一项都可用如图所示的图形表示出来，那么这个数列的第8项为（   ） A．70 B．92 C．105 D．118 【答案】B 【解题思路】解法1：从数列的项和项之间的关系角度找规律求解即可； 解法2：从图形角度找规律求解即可． 【解答过程】解法1：从1，5，12，22中可以得到规律，后三项是各自前一项依次加，，， 则此数列的第8项应为． 解法2：从图形角度，第二个图形可以看成一个点加上一个正方形数，即； 第三个图形可以看成三角形数“”和正方形数“”的和，即 ． 同理得第四个图形表示的数为 ， 以此类推，可知第八个图表示的数为. 故选：B． 【变式3.2】（24-25高三上·辽宁锦州·期末）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（   ） A．162 B．180 C．200 D．220 【答案】C 【解题思路】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可求解. 【解答过程】由数列前10项的规律可知： 当为偶数时，；当为奇数时， ， 所以， 故选：C. 【变式3.3】（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【答案】C 【解题思路】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解. 【解答过程】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】 【例4】（25-26高二上·安徽·月考）若首项为2的数列满足，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】直接根据递推关系数列的第四项可得结果. 【解答过程】因为，. 当，当， 当. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用求解，并检验. 【解答过程】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D. 【变式4.2】（25-26高二上·天津河北·月考）（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式； （2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【解题思路】根据求解即可. 【解答过程】（1）因为， 当时，， 当时，， 又不满足上式， 所以； （2）因为， 当时，， 当时，， 又满足上式， 所以. 【变式4.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知下面数列的前项和，求的通项公式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）（2）根据的关系即可作差求解， 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 当时，，符合上式， 的通项公式是． （2）当时，， 当时，， 当时，若，则，符合上式；若，则，不符合上式． 当时，的通项公式是； 当时，的通项公式是. 【题型5 累加法、累乘法求数列通项】 【例5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由得到，利用累加法求出，则. 【解答过程】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二下·河南南阳·月考）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【解答过程】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）（1）已知数列满足，，，求数列的通项公式. （2）在数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）先将递推公式化为，再利用累加法求通项公式； （2）先将递推公式化为，再利用累乘法求通项公式. 【解答过程】（1） ， ， 将以上个式子相加，得 ， 即. . 又当时，也符合上式， 故数列的通项公式为. （2）因为，，所以， 所以 又因为当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为. 【变式5.3】（24-25高二下·全国·课后作业）求下列数列的通项公式． (1)已知满足，，求数列的一个通项公式（已知）； (2)已知数列满足，，求数列的一个通项公式． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用累加法求解即可； （2）利用累乘法求解即可. 【解答过程】（1）， ，，，…，． 将以上个等式相加， 得， 即， ，， 而也适合上式，； （2）， ， 则， 又，， 而也适合上式，． 【题型6 求数列的前n项和】 【例6】（2025高三·全国·专题练习）已知为数列的前项和，，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【解题思路】利用求得，进而求得. 【解答过程】当时，，因为，所以． 当时，由得， 两式相减可得，即． 因为，所以，，…，，可得， 所以. 故选：C. 【变式6.1】（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 【答案】C 【解题思路】根据的关系可得，即可通过列举发现周期性，进而可求解. 【解答过程】由可得，故， 由可得 故是周期为3的周期数列，且， 故， 故选：C. 【变式6.2】（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的前项和为，且满足，，求及. 【答案】，. 【解题思路】利用递推关系，可构造出常数数列，即可求得，再次利用递推关系可求得. 【解答过程】时，由，得， ，即， ， 数列是首项为2021的常数列， ，即， 时，， 又满足上式，. 综上，，. 【变式6.3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足， ，求该数列的前100项的和． 【答案】134 【解题思路】根据数列的递推关系求得数列以3为周期，且一个周期的三项之和为4，利用周期性求和即可. 【解答过程】由，， 可得 ，，，，，，， 所以数列以3为周期，且一个周期的三项之和为4， 所以有 ． 模块二 数列的性质 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【题型7 数列的单调性的判断与求参】 【例7】（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用单调数列的定义判断即得. 【解答过程】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【解答过程】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二下·江西南昌·月考）已知数列的通项公式为，且 (1)求的通项公式； (2)判断数列的增减性，并说明理由 【答案】(1) (2)单调递减，理由见解析 【解题思路】（1）利用待定系数法即可求出通项； （2）利用递推作差分析即可判断单调性. 【解答过程】（1）由题意得：，解得，所以； （2）因为， 所以，即是递减数列. 【变式7.3】（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得答案. （2）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得. 【解答过程】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. （2）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 【题型8 数列的最大（小）项】 【例8】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【解题思路】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【解答过程】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在 上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B. 【变式8.1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】设数列的最大项为,由求解. 【解答过程】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B. 【变式8.2】（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 【变式8.3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】(1) (2)第项 【解题思路】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【解答过程】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，  即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 【题型9 数列周期性的应用】 【例9】（25-26高二上·山西·月考）已知数列中，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，得，利用递推公式得数列的周期，利用周期即可求解. 【解答过程】由，得， 又，所以， 所以数列是以3为周期的数列， 故. 故选：C. 【变式9.1】（25-26高二上·福建宁德·期中）在数列中，若，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【解题思路】依次写出，可发现数列是周期为的周期数列.根据周期性，可得. 【解答过程】若，则. 所以. 所以数列是周期为的周期数列. 所以. 故选：C. 【变式9.2】（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（    ） A．4052 B．4053 C．4054 D．4055 【答案】A 【解题思路】根据题意分析可知，数列的一个周期为3，结合周期性运算求解即可. 【解答过程】因为，，， 令，则，即， 且，可得， 可知数列的一个周期为3， 所以. 故选：A. 【变式9.3】（25-26高二上·天津滨海新·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解题思路】根据“冰雹猜想”探讨数列的周期性，再利用该性质求得答案. 【解答过程】在数列中，，， 因此数列是以3为周期的周期数列，而，所以， 故选：D. 一、单选题 1．（25-26高二上·广西·月考）已知数列，则是这个数列的第（    ）项 A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【解题思路】由题可得数列通项公式，据此可得答案. 【解答过程】由题可得数列通项公式为：. 则令. 故选：A. 2．（25-26高二上·河北邢台·月考）在数列中，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】从中解出，由分别求出，，，得到是以3为周期的周期数列，则从而得解. 【解答过程】因为，所以. 因为，所以，，， 所以是以3为周期的周期数列，则. 故选：A. 3．（25-26高二上·河北邢台·月考）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【解答过程】将数列改写为：，，，，，…， 所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由累加法求通项即可得出答案. 【解答过程】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 5．（25-26高二上·江苏连云港·月考）数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设函数，结合题意根据二次函数性质列不等式求解即可. 【解答过程】设函数， 由二次函数性质可知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若数列仅第7项最小，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 6．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据题意求出数列的项，得出是以为周期的数列，从而可解. 【解答过程】数列中，且，， 所以 从而可知数列是以为周期的数列，且， 则. 故选：B. 7．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 8．（2025·河南·三模）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．55 B．58 C．60 D．62 【答案】A 【解题思路】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求. 【解答过程】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴， 又∵; ; ; ; ; , 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据规律写出数列的通项公式判断AB，结合选项求，推出矛盾判断CD. 【解答过程】对于选项A，B，根据题意，数列， 即， 故一个通项公式为或，选项A，B正确， 对于选项C，若，则，矛盾，C错误， 对于选项D，若，则，矛盾，D错误， 故选：AB. 10．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 【答案】ABD 【解题思路】本题根据给定的递推数列逐项递推可求出，从而判断选项A，采用累加法可求出数列的通项公式，再根据二次函数的性质可判断选项B、C、D是否正确. 【解答过程】对于A，当时，，所以， 当时，，故，A项正确； 对于B，由，得当时， ， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以， 由二次函数的性质可知不为递减数列，C项错误； 对于B，因为， 所以当或时，取得最小值，B项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】由条件代入计算，即可判断A，由数列周期性的定义即可判断B，由选项B的周期性代入计算，即可判断CD. 【解答过程】因为，所以， 因为，即，所以，故A正确； 因为，所以， 所以，即，故B正确； 由可知，数列的周期为3，又， 所以，故C错误； ，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知在数列中，，，则 ． 【答案】 【解题思路】首先确定数列的周期，再求值. 【解答过程】，， ，，， 所以数列的周期为3，. 故答案为：. 13．（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【解答过程】若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高二上·天津和平·月考）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是 ． 【答案】 【解题思路】根据进行求解，得到答案. 【解答过程】当时，， 当时， ， 当时，， 故， 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【解答过程】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为 ． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为 ． 16．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据与的关系逐项计算可得前5项； （2）根据与的关系推得，利用累乘法计算即得数列通项. 【解答过程】（1）由且，得，解得， 由且，，得，解得， 由且，，，得，解得， 由且，，，，得，解得； （2）因，当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即，则， 因满足， 故数列的通项公式为. 17．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据与的关系可得，即可求解； （2）利用作商法即可证明. 【解答过程】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 18．（24-25高二下·贵州黔东南·月考）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【答案】(1)； (2)最大项为，最小项为. 【解题思路】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式. （2）由（1）可得数列是单调递增数列，进而求出负数项、正数项对应的n值，再由单调性求出数列中的最大项和最小项. 【解答过程】（1）数列中，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则数列是单调递增数列， 由，得，即当时，，当时，， 而，因此当时，，且数列单调递减，即； 当时，，且数列单调递减，即， 所以数列中的最大项为，最小项为. 19．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足． (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数列前项和与通项的关系来求解数列的通项公式，最后需要检验时的情况是否满足时的通项公式． （2）已知条件得到关于的不等式，通过构造数列，求出数列的最小值，进而确定的取值范围． 【解答过程】（1），则当时，， 当时，，不符合， 所以． （2）因为，，所以，． 令，则， 当时，不妨设的第n项的值最小， 只需令， 解得， 又， 所以的最小值为， 所以，即的取值范围是． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的概念 【人教A版】 模块一 数列的概念 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以 用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. . 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【题型1 观察法求数列通项】 【例1】（25-26高二上·新疆·月考）数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（25-26高二上·吉林四平·月考）数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高二上·河北石家庄·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【题型2 判断或写出数列中的项】 【例2】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【变式2.1】（25-26高二上·河南·月考）已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是（　　） A．2 B．4 C．8 D．80 【变式2.2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列，3，，，…，则是该数列的（   ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【变式2.3】（24-25高二下·陕西·期中）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【题型3 根据规律填写数列中的某项】 【例3】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【变式3.1】（2025高二·全国·专题练习）如果数列，，，，中的每一项都可用如图所示的图形表示出来，那么这个数列的第8项为（   ） A．70 B．92 C．105 D．118 【变式3.2】（24-25高三上·辽宁锦州·期末）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（   ） A．162 B．180 C．200 D．220 【变式3.3】（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】 【例4】（25-26高二上·安徽·月考）若首项为2的数列满足，则（   ） A． B． C． D．1 【变式4.1】（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·天津河北·月考）（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式； （2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式. 【变式4.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知下面数列的前项和，求的通项公式． (1)； (2)． 【题型5 累加法、累乘法求数列通项】 【例5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·河南南阳·月考）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）（1）已知数列满足，，，求数列的通项公式. （2）在数列中，，，求数列的通项公式. 【变式5.3】（24-25高二下·全国·课后作业）求下列数列的通项公式． (1)已知满足，，求数列的一个通项公式（已知）； (2)已知数列满足，，求数列的一个通项公式． 【题型6 求数列的前n项和】 【例6】（2025高三·全国·专题练习）已知为数列的前项和，，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式6.1】（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 【变式6.2】（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的前项和为，且满足，，求及. 【变式6.3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足， ，求该数列的前100项的和． 模块二 数列的性质 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【题型7 数列的单调性的判断与求参】 【例7】（24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【变式7.1】（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7.2】（24-25高二下·江西南昌·月考）已知数列的通项公式为，且 (1)求的通项公式； (2)判断数列的增减性，并说明理由 【变式7.3】（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【题型8 数列的最大（小）项】 【例8】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【变式8.1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8.2】（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【变式8.3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【题型9 数列周期性的应用】 【例9】（25-26高二上·山西·月考）已知数列中，，则（   ） A．3 B． C． D． 【变式9.1】（25-26高二上·福建宁德·期中）在数列中，若，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【变式9.2】（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（    ） A．4052 B．4053 C．4054 D．4055 【变式9.3】（25-26高二上·天津滨海新·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 一、单选题 1．（25-26高二上·广西·月考）已知数列，则是这个数列的第（    ）项 A．13 B．14 C．15 D．16 2．（25-26高二上·河北邢台·月考）在数列中，，，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高二上·河北邢台·月考）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏连云港·月考）数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知数列的前项和为，若，且，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南·三模）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．55 B．58 C．60 D．62 二、多选题 9．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 11．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知在数列中，，，则 ． 13．（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ． 14．（25-26高二上·天津和平·月考）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是 ． 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 16．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 17．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 18．（24-25高二下·贵州黔东南·月考）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 19．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足． (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $