概率统计（5）经验回归、独立性检验讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦概率统计核心考点，系统整合经验回归（变量相关关系、样本相关系数、回归模型及残差分析）与独立性检验（列联表、等高条形图、检验步骤）两大模块，按概念理解到综合应用的逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建知识网络，突破模型构建与数据推断难点。 讲义突出分层教学特色，基础层设概念辨析题（如相关系数比较、独立性检验判断），提升层融入2018全国二卷等真题，通过散点图分析培养数学眼光，借助回归模型构建发展数学思维，设置即时反馈练习保障复习效率，助力学生提升数据处理与统计推断能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

概 率 统 计（5） 经验回归，独立性检验 一，经验回归方程 1．变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)相关关系的分类：正相关和负相关． (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关． 2．样本相关系数 (1)r＝ (2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 3．一元线性回归模型 (1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程， 其中计算公式（最小二乘法） 其中为样本中心，回归直线必过该点 (2) 残差：观测值减去预测值，称为残差． (3) 二，独立性检验 1.、列联表列联表：一般地，假设两个分类变量和，它们的取值为，其样本频数列联表(也称为列联表)为 合计 合计 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数。 2.等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果. 3.独立性检验的一般方法 （1）根据题目信息，完善列联表； （2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。 （3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值； （4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 考点一 经验回归概念理解 1.（河南郑州一中2024届考前全真模拟）对三组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数依次是，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.（湖南省湘东教学联盟2026届高三上学期11月联考）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 3.（多选）（河北省沧州市2026届高三上学期一模）下列说法正确的是（    ） A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C．样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 4.（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 5.（广东广州华南师大附中2024年5月月考）（多选）使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（    ） 1 5 7 12 16 20 2 9 12 29 63 101 A．使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数 B．通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C．在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右 D．在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人 6.（多选）（福建省福州市2024-2025学年高三第四次质量检测）有一组成对样本数据，设．由这组数据得到新成对样本数据．利用一元线性回归模型，根据最小二乘法，下列结论一定正确的是（   ）附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．相关系数，决定系数（其中）． A．两条经验回归直线都过点 B．两条经验回归直线的截距相同 C．两组数据的相关系数相同 D．两组数据的决定系数相同 考点二 经验回归综合 1.（2018全国二）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 2.（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）（1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计； （2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述． 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万） 4 9 14 18 25 令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量． 3.（2024·辽宁·模拟预测）土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存储和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 细菌百万个 70 80 90 100 110 120 130 140 真菌百万个 8.0 10.0 12.5 15.0 17.5 21.0 27.0 39.0 其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近． (1)求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； (2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望. 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 4.（2024·浙江温州·二模）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4 (1)用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元） 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③ 考点三 独立性检验概念理解 1.（多选）（陕西省汉中市2026届高三第一次教学质量检测考试数学）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 2.（2023·山东聊城·统考二模）（多选）某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（    ） A．该平台女性主播占比的估计值为0.4 B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7 C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名 D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6 考点四 独立性检验综合 1.（2025年新课标1）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2.（四川省成都市多校2026届高三上学期第一次联合诊断性考试）某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ (2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 3.（贵州省安顺市2025届高三第六次监测考试）飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表: 性别 飞盘运动 合计 不爱好 爱好 男 6 16 22 女 4 24 28 合计 10 40 50 (1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因. 附:，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 4.（吉林长春东北师大附中2024届五模）某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1： 表1： 序号 数学 物理 1 144 95 2 130 90 3 124 79 4 120 85 5 110 69 6 107 82 7 103 80 8 102 62 9 100 67 10 98 75 11 98 68 12 95 77 13 94 59 14 92 65 15 90 57 16 88 58 17 85 70 18 85 55 19 80 52 20 75 54 (1)数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀. （i）完成如下列联表； 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 不优秀 合计 （ii）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ (2)从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2： 表2： 数学成绩 130 110 100 85 75 物理成绩 90 69 67 70 54 如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关. （i）求样本相关系数； （ii）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数） 参考公式：（1）样本相关系数. （2）经验回归方程；. （3），其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 概 率 统 计（5） 经验回归，独立性检验 一，经验回归方程 1．变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)相关关系的分类：正相关和负相关． (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关． 2．样本相关系数 (1)r＝ (2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 3．一元线性回归模型 (1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程， 其中计算公式（最小二乘法） 其中为样本中心，回归直线必过该点 (2) 残差：观测值减去预测值，称为残差． (3) 二，独立性检验 1.、列联表列联表：一般地，假设两个分类变量和，它们的取值为，其样本频数列联表(也称为列联表)为 合计 合计 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数。 2.等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果. 3.独立性检验的一般方法 （1）根据题目信息，完善列联表； （2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。 （3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值； （4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 考点一 经验回归概念理解 1.（河南郑州一中2024届考前全真模拟）对三组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数依次是，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】解：由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故， 图二两个变量成负相关，且线性相关性较强，故，图三两个变量线性相关性较弱，故， 所以； 2.（湖南省湘东教学联盟2026届高三上学期11月联考）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 【答案】BD 【分析】A选项与B选项由相关系数判断；C选项由卡方的检验判断；D选项由决定系数判断. 【详解】A选项：在经验回归方程中，斜率参数，只能说明使用频次与年龄正相关，但相关系数不是0.2，故A错误； B选项：样本相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，，说明两个变量正线性相关，且相关程度很强，故B正确； C选项：根据小概率值的独立性检验，计算得到，没有充分证据证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误； D选项：决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好． 3.（多选）（河北省沧州市2026届高三上学期一模）下列说法正确的是（    ） A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C．样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 【答案】BD 【分析】应用线性相关系数、残差图与独立性检验的知识，决定系数一一检验即可. 【详解】利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，因此A错误； 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此B正确； 线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此C选项错误； 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D选项正确； 4.（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 【答案】BCD【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误； 对B：，则其第80百分位数是，故B正确； 对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确； 对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设， 则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.4. 5.（广东广州华南师大附中2024年5月月考）（多选）使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（    ） 1 5 7 12 16 20 2 9 12 29 63 101 A．使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数 B．通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C．在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右 D．在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人 【答案】BD【详解】根据散点图可知模型二的拟合效果更好，拟合效果越好决定系数越大， 所以使用回归模型一拟合的决定系数小于使用回归模型二的决定系数，所以A错误，B正确； 因为模型二的的拟合效果好，预报更准确，根据已知：， ，所以，将代入经验回归方程，有，所以C错误，D正确. 6.（多选）（福建省福州市2024-2025学年高三第四次质量检测）有一组成对样本数据，设．由这组数据得到新成对样本数据．利用一元线性回归模型，根据最小二乘法，下列结论一定正确的是（   ）附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．相关系数，决定系数（其中）． A．两条经验回归直线都过点 B．两条经验回归直线的截距相同 C．两组数据的相关系数相同 D．两组数据的决定系数相同 【答案】CD 【分析】对A，根据回归直线经过样本中心点，求出新成对样本数据的样本中心点判断；对B，利用公式求出回归直线的截距判断；对C，利用公式求新成对样本数据的相关系数比较即可；对D，利用公式求新成对样本数据的决定系数，可以作出判断. 【详解】对于A，因为， ，所以新成对样本数据过点，故A错误； 对于 B，因为， 所以新成对样本数据的回归直线的截距为，故B错误； 对于 C，因为新成对样本数据的相关系数 ， 所以两组数据的相关系数相同，故C正确； 对于D，因为新成对样本数据的决定系数 ， ， 其中，， 所以， 所以两组数据的决定系数相同，故D正确 考点二 经验回归综合 1.（2018全国二）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1； 利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元； 根据模型②：=99+17.5t，计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；． 利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元； （2）模型②得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的， 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些， 从2010年到2016年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型②的预测值更可靠些． 2.（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）（1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计； （2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述． 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万） 4 9 14 18 25 令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】（1）参数的最小二乘估计为. （2）关于的经验回归方程为，预测2025年该品牌新能源汽车的销售量为34.4万辆. 【分析】（1）列式子计算残差平方和，得到一个关于的二次函数，当处在对称轴位置时，有最小值，从而得到参数的最小二乘估计； （2）利用（1）中结论和（2）的数据，求出，得到经验回归方程为，利用题设条件，转化为与的关系式，将代入，即可求出2025年的预测销量. 【详解】（1） ， 要使残差平方和最小，当且仅当，所以参数的最小二乘估计为. （2）由题知，， 所以 ， ， 所以，所以， 所以，，所以， 当时，（万）， 故关于的经验回归方程为，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆． 3.（2024·辽宁·模拟预测）土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存储和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 细菌百万个 70 80 90 100 110 120 130 140 真菌百万个 8.0 10.0 12.5 15.0 17.5 21.0 27.0 39.0 其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近． (1)求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； (2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望. 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【详解】（1）由于，故， 令，则， ， 则，， 故，则关于的经验回归方程为； （2）由已知图表可知从第1组到第8组的真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比依次为： ，， 故样本中比值位于内的组数有4组，则X的可能取值为：， 则,， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 则 4.（2024·浙江温州·二模）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4 (1)用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元） 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③ 【详解】（1） ∴回归方程为： （2）2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益（万元） ，，得 ∴其在上递增，上递减 考点三 独立性检验概念理解 1.（多选）（陕西省汉中市2026届高三第一次教学质量检测考试数学）某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 【答案】BD 【分析】先补全列联表的未知数值，再通过样本频率验证概率类选项，利用独立性检验的卡方公式计算统计量，结合临界值判断变量关联程度. 【详解】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的； 40岁以上且周平均使用时间超过4小时的； 40岁以上的总计为， 故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的. 选项A：，A错误； 选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72， 总样本数120，概率为，B正确； 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 18 72 40岁以上 18 30 48 总计 72 48 120 ， 因， 故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关. 所以C选项错误，D选项正确. 2.（2023·山东聊城·统考二模）（多选）某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（    ） A．该平台女性主播占比的估计值为0.4 B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7 C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名 D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6 【答案】AC【详解】A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为， 青年人人数为，中年人人数为， 由图2可以看出青年人中女性人数为，中年人中女性人数为， 其他人群中，女性人数为，故该平台女性主播占比的估计值为，A正确； B选项，中年人中男性人数为， 故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为，B错误； C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为， 故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名，C正确； D选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件， 则，，，D错误. 考点四 独立性检验综合 1.（2025年新课标1）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 2.（四川省成都市多校2026届高三上学期第一次联合诊断性考试）某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ (2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）（ⅰ）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”，由全概率公式计算可得；（ⅱ）由条件概率公式计算可得. 【详解】（1）提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于； （2）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”， （ⅰ）依题意，， ， 由全概率公式得：； （ⅱ）取出的是次品，则它是从第一批次的产品中取出的概率为： ． 3.（贵州省安顺市2025届高三第六次监测考试）飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表: 性别 飞盘运动 合计 不爱好 爱好 男 6 16 22 女 4 24 28 合计 10 40 50 (1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因. 附:，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【分析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可； (2)先求 再根据数表对应判断相关性即可，对比两次的值可以得出结论说明原因. 【详解】（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 ， 按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人. 随机变量的取值为:. , , 随机变量的分布列为 随机变量的数学期望. （2）零假设为:爱好飞盘运动与性别无关联. 根据列联表重的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联. 列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联. 所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断结论发生了变化. 4.（吉林长春东北师大附中2024届五模）某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1： 表1： 序号 数学 物理 1 144 95 2 130 90 3 124 79 4 120 85 5 110 69 6 107 82 7 103 80 8 102 62 9 100 67 10 98 75 11 98 68 12 95 77 13 94 59 14 92 65 15 90 57 16 88 58 17 85 70 18 85 55 19 80 52 20 75 54 (1)数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀. （i）完成如下列联表； 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 不优秀 合计 （ii）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ (2)从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2： 表2： 数学成绩 130 110 100 85 75 物理成绩 90 69 67 70 54 如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关. （i）求样本相关系数； （ii）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数） 参考公式：（1）样本相关系数. （2）经验回归方程；. （3），其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）（i） 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 3 1 4 不优秀 2 14 16 合计 5 15 20 （ii）零假设：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联. 依据的独立性检验，推断不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联. （2）（i）由题意， 所以 （ii）由题意， 所以，所以经验回归方程为， 当时，，所以物理成绩约为81分. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $