专题05 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识重难点题型专训（49大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题05 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识重难点题型专训（49大题型+20道拓展培优） 题型一 五点法画正弦函数的图象 题型二 y=Asinx+B的图象 题型三 含绝对值的正弦函数的图象 题型四 正弦函数图象的应用 题型五 求sinx的函数的单调性 题型六 利用正弦型函数的单调性求参数 题型七 比较正弦值的大小 题型八 解正弦不等式 题型九 求含sinx(型)函数的定义域 题型十 求含sinx(型)函数的值域和最值 题型十一 由正弦(型)函数的值域(最值)求参数 题型十二 求正弦(型)函数的奇偶性 题型十三 求含sinx的函数的奇偶性 题型十四 由正弦(型)函数的奇偶性求参数 题型十五 由正弦函数的奇偶性求函数值 题型十六 求正弦(型)函数的最小正周期 题型十七 求含sinx的函数的最小正周期 题型十八 由正弦(型)函数的周期性求值 题型十九 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 题型二十 正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 题型二十一 利用正弦函数的对称性求参数 题型二十二 正弦函数对称性的其他应用 题型二十三 求sinx型三角函数的单调性 题型二十四 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 题型二十五 求含sinx(型)的二次式的最值 题型二十六 五点法画余弦函数的图象 题型二十七 y=Acosx+B的图象 题型二十八 余弦函数图象的应用 题型二十九 求含cosx的函数的单调性 题型三十 求cosx型三角函数的单调性 题型三十一 利用余弦函数的单调性求参数 题型三十二 比较余弦值的大小 题型三十三 解余弦不等式 题型三十四 求含cosx型的函数的定义域 题型三十五 求cosx(型)函数的值域 题型三十六 求含cosx的二次式的最值 题型三十七 求cosx(型)函数的最值 题型三十八 由cosx(型)函数的值域(最值)求参数 题型三十九 求余弦(型)函数的奇偶性 题型四十 求含cosx的函数的奇偶性 题型四十一 由余弦(型)函数的奇偶性求参数 题型四十二 由余弦函数的奇偶性求函数值 题型四十三 求余弦(型)函数的最小正周期 题型四十四 求含cosx的函数的最小正周期 题型四十五 由余弦(型)函数的周期性求值 题型四十六 求cosx(型)函数的对称轴及对称中心 题型四十七 cosx(型)函数的对称轴与单调性、最值的关系 题型四十八 利用cosx(型)函数的对称性求参数 题型四十九 cosx(型)函数对称性的其他应用 知识点一 正弦函数、余弦函数 1.正弦曲线和余弦曲线． 2.奇函数、偶函数的定义和图象特征. 3.函数单调性的定义及图象特征. 知识点二 正弦函数、余弦函数的性质 1.定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］， 2.值域 1）值域 因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］. 2）最值 正弦函数y=sinx,x∈R ①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1. 余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1. 3.周期性 由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx (k∈Z)知： 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 4.奇偶性 由sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx 可知：y＝sinx为奇函数,其图象关于原点O对称； y＝cosx为偶函数，其图象关于y轴对称. (5)单调性 从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出： 当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1. 当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数， 其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 【经典例题一 五点法画正弦函数的图象】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 1．（2022高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课前预习）在正弦函数，的图像上，起关键作用的“五点”为 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）如何画函数，的简图？ 【经典例题二 y=Asinx+B的图象】 【例2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数在上至多有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·北京·期中）设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·上海·课后作业）用“五点法”作函数在上的图象时，应取的五个点依次为 ､ ､ ､ ､ . 3．（2024高一上·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数，的简图： 【经典例题三 含绝对值的正弦函数的图象】 【例3】（22-23高一上·山西运城·期末）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 1．（22-23高三上·福建·阶段练习）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是 . 3．（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象. 【经典例题四 正弦函数图象的应用】 【例4】（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）若函数在上有3个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数，若关于的方程恰有三个不同的解，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的零点. 【经典例题五 求sinx的函数的单调性】 【例5】（2024·四川·模拟预测）设，均为锐角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数为减函数，且值为负数的区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）函数，的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）观察正弦函数的函数图象，你能写出在上的单调区间吗？ 【经典例题六 利用正弦型函数的单调性求参数】 【例6】（24-25高三上·广东广州·阶段练习）若函数在区间上是减函数，且，，，则（    ） A． B．1 C． D．2 1．（2022·陕西榆林·模拟预测）若函数在区间上单调递减，则可取的最大整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，求x的值. 【经典例题七 比较正弦值的大小】 【例7】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）定义在上的函数满足的对称轴为，且在区间上单调递增，已知、是钝角三角形中的两锐角，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．以上情况均有可能 2．（2024高一下·上海·专题练习）设，，，则，，的大小关系为 按由小到大顺序排列 3．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和. 【经典例题八 解正弦不等式】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·北京·三模）“为锐角三角形”是“，，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在内，不等式的解集是 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）不等式，，求不等式的解集． 【经典例题九 求含sinx(型)函数的定义域】 【例9】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 . 3．（22-23高一下·江西宜春·阶段练习）（1）计算：； （2）求的定义域． 【经典例题十 求含sinx(型)函数的值域和最值】 【例10】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知命题，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 1．（24-25高三上·上海·开学考试）已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 3．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【经典例题十一 由正弦(型)函数的值域(最值)求参数】 【例11】（24-25高三上·湖南·阶段练习）函数在（）内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·上海·随堂练习）正弦曲线在内最高点坐标为 ． 3．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)用“五点法”作法函数在上的简图；    (2)函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【经典例题十二 求正弦(型)函数的奇偶性】 【例12】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象关于（    ） A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线对称 1．（2024高二下·云南·学业考试）下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数的定义域为，且满足，，则可以是 ．（写出一个即可） 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3). 【经典例题十三 求含sinx的函数的奇偶性】 【例13】（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（23-24高二下·四川成都·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 【经典例题十四 由正弦(型)函数的奇偶性求参数】 【例14】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．（湖北省云学部分重高中联盟2025届高三上学期10月联考（一模）数学试卷）若是偶函数，则实数的值为 . 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知函数的图像关于原点对称，求． 【经典例题十五 由正弦函数的奇偶性求函数值】 【例15】（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则 ． 3．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为． (1)已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值； (2)在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 【经典例题十六 求正弦(型)函数的最小正周期】 【例16】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 1．（2023高三上·广西·学业考试）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，则的最小正周期为 ． 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于． (1)求函数的解析式及最小正周期： (2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围． 【经典例题十七 求含sinx的函数的最小正周期】 【例17】（23-24高一上·湖北孝感·期末）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．周期为 1．（22-23高三·全国·对口高考）已知函数关于此函数的说法正确的序号是（    ） ①为周期函数；                   ②有对称轴； ③为的对称中心；          ④. A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的周期为 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)试判断是否为周期函数？若是，直接写出的最小正周期． 【经典例题十八 由正弦(型)函数的周期性求值】 【例18】（湖北省云学部分重高中联盟2025届高三上学期10月联考（一模）数学试卷）已知函数，对任意的，都有成立，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）“”是“最小正周期为”的（   ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高三下·北京·开学考试）若函数的零点为，其中，，则 ； . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（其中常数）的最小正周期为2，求ω的值. 【经典例题十九 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心】 【例19】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且.则函数的图象的一个对称轴可以为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）写出一个同时具有下列性质的函数 ． a．是偶函数        b．不存在对称中心 c．存在最小正周期，且最小正周期为2 3．（24-25高一上·全国·课前预习）正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？ 【经典例题二十 正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系】 【例20】（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·北京·期中）函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 2．（2024·天津和平·一模）若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为 . 3．（23-24高一上·四川巴中·阶段练习）已知函数． (1)求的对称轴和单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【经典例题二十一 利用正弦函数的对称性求参数】 【例21】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·四川雅安·期中）函数对任意x都有，则等于（    ） A．2或0 B．或2 C．0 D．或0 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 . 3．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有. (1)求解析式； (2)若函数在上有两个零点，，求的值. 【经典例题二十二 正弦函数对称性的其他应用】 【例22】（24-25高二上·湖南·开学考试）已知函数图象的两个相邻对称中心为，，则（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高一上·江苏无锡·期末）若关于的方程在内有两个不同的解，，的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖南·开学考试）写出一个同时具有下列性质的函数的解析式： . ①不是常函数 ②的最小正周期为2 ③不存在对称中心 3．（2022高三·全国·专题练习）已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数. (1)求的表达式； (2)若关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得的所有解的和记为，求的所有可能取值及相应的的取值范围. 【经典例题二十三 求sinx型三角函数的单调性】 【例23】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．曲线关于直线对称 C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称 1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数与，则下列说法错误的是（    ） A．与存在相同的对称轴 B．与存在相同的对称中心 C．与的值域相同 D．与在上有相同的单调性 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数在的单调递减区间是 3．（2022高二上·新疆·学业考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 【经典例题二十四 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域】 【例24】（2022·福建宁德·模拟预测）已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·上海·期中）已知k是正整数，且，则满足方程的k有 个. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用正弦（型）函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与. 【经典例题二十五 求含sinx(型)的二次式的最值】 【例25】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知关于的方程在上有解，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·北京·期中）已知线段AB的长为4，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，其中∥（如图）则这个梯形的周长的最大值为（　　） A．8 B．10 C． D．以上都不对 2．（21-22高一下·浙江湖州·阶段练习）函数的值域为 . 3．（23-24高一下·北京·期中）求函数的值域. 【经典例题二十六 五点法画余弦函数的图象】 【例26】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 1．（2023高三·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）余弦函数的图象 （1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将的图象向左平移 单位. （2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是 ， ， ， ， . 3．（23-24高一上·陕西西安·期末）用五点作图法画出的图象． 【经典例题二十七 y=Acosx+B的图象】 【例27】（22-23高三上·上海黄浦·阶段练习）函数图象上关于坐标原点对称的点有对，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．无数 1．（23-24高一上·北京东城·期末）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 2．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，关于x的方程在上有四个不同的解，且.若恒成立，则实数k的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）作出函数，的大致图像. 【经典例题二十八 余弦函数图象的应用】 【例28】（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知函数，若函数图象上关于原点对称的点恰有3对，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河南·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象与直线的交点的横坐标为 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的定义域、值域吗？ 【经典例题二十九 求含cosx的函数的单调性】 【例29】（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在内，函数和都是增函数的区间是 . 3．（23-24高一·全国·课堂例题）正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数吗？正弦函数在第一象限是增函数吗？ 【经典例题三十 求cosx型三角函数的单调性】 【例30】（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则函数的单调递减区间为 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的单调减区间. 【经典例题三十一 利用余弦函数的单调性求参数】 【例31】（2024·贵州·模拟预测）若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 1．（23-24高二下·河南新乡·期末）若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 【经典例题三十二 比较余弦值的大小】 【例32】（23-24高一下·四川成都·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·四川绵阳·期中）设，则大小关系（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是 .（填编号） ① ② ③ ④ 3．（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小： (1)与； (2)cos1与sin2． 【经典例题三十三 解余弦不等式】 【例33】（23-24高一下·河北承德·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）命题“，都有”的否定为（ ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 2．（2022高三·全国·专题练习）在内，不等式的解集是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在内，求使成立的x的取值范围. 【经典例题三十四 求含cosx型的函数的定义域】 【例34】（2024高一上·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川自贡·一模）函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海静安·期中）函数的定义域是 . 3．（24-25高二·上海·假期作业）求函数的定义域. 【经典例题三十五 求cosx(型)函数的值域】 【例35】（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的值域为（   ）． A． B． C． D． 1．（24-25高二上·山东日照·开学考试）设，且，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 【经典例题三十六 求含cosx的二次式的最值】 【例36】（23-24高一下·四川成都·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数，值域是 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）求函数，的值域． 【经典例题三十七 求cosx(型)函数的最值】 【例37】（2023·上海杨浦·模拟预测）设关于、的表达式，当、取遍所有实数时，（    ） A．既有最大值， 也有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值， 也无最小值 1．（22-23高一下·全国·课后作业）若函数，则函数的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 . 3．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值． 【经典例题三十八 由cosx(型)函数的值域(最值)求参数】 【例38】（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知函数，若关于的方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁·开学考试）函数的定义域是 ． 3．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）设函数． (1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围． 【经典例题三十九 求余弦(型)函数的奇偶性】 【例39】（24-25高三上·北京·阶段练习）下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·四川泸州·期中）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）正弦函数是 函数，余弦函数是 函数． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 【经典例题四十 求含cosx的函数的奇偶性】 【例40】（2024·云南大理·模拟预测）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）下列函数在定义域内是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·陕西咸阳·开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 【经典例题四十一 由余弦(型)函数的奇偶性求参数】 【例41】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数为奇函数，判断函数的奇偶性，并说理. 【经典例题四十二 由余弦函数的奇偶性求函数值】 【例42】（2022高二下·河北·学业考试）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 2．（2023·上海杨浦·一模）函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 3．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，则 【经典例题四十三 求余弦(型)函数的最小正周期】 【例43】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．1 D．2 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数，直线和点是的一组相邻的称轴和对称中心，且在区间上单调递减，则 ． 3．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)求函数在上的单调区间． 【经典例题四十四 求含cosx的函数的最小正周期】 【例44】（23-24高一下·湖北十堰·期末）函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）余弦函数的周期为 ，最小正周期为 .余弦型函数的最小正周期为 . 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域D，并写出函数的值域； (2)证明该函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间． 【经典例题四十五 由余弦(型)函数的周期性求值】 【例45】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则的值等于（　　） A． B． C． D． 1．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）若方程在区间上有5个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是 ， ．（只需写出一组） 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（其中常数）的最小正周期为，求ω的值． 【经典例题四十六 求cosx(型)函数的对称轴及对称中心】 【例46】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）曲线的一条对称轴的方程可以为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数，且为偶函数，则 ，图象的对称中心为 ， 3．（24-25高一上·全国·课前预习）类比正弦函数的对称轴和对称中心，写出余弦函数的对称轴和对称中心. 【经典例题四十七 cosx(型)函数的对称轴与单调性、最值的关系】 【例47】（2021·安徽·模拟预测）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在上单调递减 D．是的一条对称轴 1．（22-23高一下·湖南·阶段练习）设函数，给出下列结论： ①的一个周期为 ②的图像关于直线对称 ③的图像关于点对称 ④在单调递减 其中所有正确结论的编号是（    ）． A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 2．（23-24高三上·北京密云·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的值可能是3；    ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减；    ④图象的对称轴可能是. 其中所有正确结论的序号是 . 3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的对称轴方程； (2)当时，求函数的值域． 【经典例题四十八 利用cosx(型)函数的对称性求参数】 【例48】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ． 3．（22-23高一下·四川广安·阶段练习）设函数，图象的一个对称中心是． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 【经典例题四十九 cosx(型)函数对称性的其他应用】 【例49】（2025·江苏苏州·模拟预测）考虑函数，记函数，其中为的整数部分，定义为在上满足的根的个数，则以下说法正确的有（    ） A．的值域为 B． C．为周期函数当且仅当为有理数 D．对成立 1．（2022·湖北·模拟预测）下列函数与的图象关于原点对称的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·课后作业）函数，的图象和直线围成的一个封闭的平面图形的面积是 ． 3．（2023·河南·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及最大值； (2)当时，求的所有解之和． 1．（2021高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东茂名·期中）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）在中，下列命题中正确的是（    ） A．为常数 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若三角形是锐角三角形，则 8．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）下列正确的是（    ） A．若都是第一象限角，且，则 B．的最小正周期是 C．的最小值为 D．的图象与轴有四个交点，且为偶函数，则的所有实根之和为4 9．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设函数，则（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．有最大值 D．是增函数 10．（23-24高一下·云南昆明·期末）函数，，，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为单调函数 B．，使得有三个零点 C．，使得有最大值 D．，使得的值域为 11．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 . 12．（20-21高一·全国·课后作业）函数的最小正周期是 ． 13．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）函数的最小值为 . 14．（23-24高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则函数的单调递减区间为 . 15．（23-24高一下·北京门头沟·期中）当时，函数的最小值为 ． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）设． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)试判断是否为周期函数？若是，直接写出的最小正周期． 17．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数的最小正周期是． (1)求的对称轴方程． (2)求在上的最值及其对应的x的值． 18．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时的所有值的集合： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 19．（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小： (1)与； (2)cos1与sin2． 20．（2023·河南·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及最大值； (2)当时，求的所有解之和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识重难点题型专训（49大题型+20道拓展培优） 题型一 五点法画正弦函数的图象 题型二 y=Asinx+B的图象 题型三 含绝对值的正弦函数的图象 题型四 正弦函数图象的应用 题型五 求sinx的函数的单调性 题型六 利用正弦型函数的单调性求参数 题型七 比较正弦值的大小 题型八 解正弦不等式 题型九 求含sinx(型)函数的定义域 题型十 求含sinx(型)函数的值域和最值 题型十一 由正弦(型)函数的值域(最值)求参数 题型十二 求正弦(型)函数的奇偶性 题型十三 求含sinx的函数的奇偶性 题型十四 由正弦(型)函数的奇偶性求参数 题型十五 由正弦函数的奇偶性求函数值 题型十六 求正弦(型)函数的最小正周期 题型十七 求含sinx的函数的最小正周期 题型十八 由正弦(型)函数的周期性求值 题型十九 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 题型二十 正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 题型二十一 利用正弦函数的对称性求参数 题型二十二 正弦函数对称性的其他应用 题型二十三 求sinx型三角函数的单调性 题型二十四 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 题型二十五 求含sinx(型)的二次式的最值 题型二十六 五点法画余弦函数的图象 题型二十七 y=Acosx+B的图象 题型二十八 余弦函数图象的应用 题型二十九 求含cosx的函数的单调性 题型三十 求cosx型三角函数的单调性 题型三十一 利用余弦函数的单调性求参数 题型三十二 比较余弦值的大小 题型三十三 解余弦不等式 题型三十四 求含cosx型的函数的定义域 题型三十五 求cosx(型)函数的值域 题型三十六 求含cosx的二次式的最值 题型三十七 求cosx(型)函数的最值 题型三十八 由cosx(型)函数的值域(最值)求参数 题型三十九 求余弦(型)函数的奇偶性 题型四十 求含cosx的函数的奇偶性 题型四十一 由余弦(型)函数的奇偶性求参数 题型四十二 由余弦函数的奇偶性求函数值 题型四十三 求余弦(型)函数的最小正周期 题型四十四 求含cosx的函数的最小正周期 题型四十五 由余弦(型)函数的周期性求值 题型四十六 求cosx(型)函数的对称轴及对称中心 题型四十七 cosx(型)函数的对称轴与单调性、最值的关系 题型四十八 利用cosx(型)函数的对称性求参数 题型四十九 cosx(型)函数对称性的其他应用 知识点一 正弦函数、余弦函数 1.正弦曲线和余弦曲线． 2.奇函数、偶函数的定义和图象特征. 3.函数单调性的定义及图象特征. 知识点二 正弦函数、余弦函数的性质 1.定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］， 2.值域 1）值域 因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］. 2）最值 正弦函数y=sinx,x∈R ①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1. 余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1. 3.周期性 由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx (k∈Z)知： 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 4.奇偶性 由sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx 可知：y＝sinx为奇函数,其图象关于原点O对称； y＝cosx为偶函数，其图象关于y轴对称. (5)单调性 从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出： 当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1. 当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数， 其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 【经典例题一 五点法画正弦函数的图象】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将化为分段函数，按五点法作图列出五点即可. 【详解】， 按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 故第三个点的坐标是， 故选：C. 1．（2022高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与的关系进行判断即可． 【详解】与对应五点的横坐标相同，则五点法对应五点的横坐标， 故选：A． 2．（24-25高一上·上海·课前预习）在正弦函数，的图像上，起关键作用的“五点”为 . 【答案】 ，，，， 【分析】根据“五点法”作图，直接写出答案即可. 【详解】，，，， 3．（24-25高一上·全国·课前预习）如何画函数，的简图？ 【答案】答案见解析 【详解】我们发现，在函数，的图象上， 以下五个点： 在确定图象形状时起关键作用. 描出这五个点，，的图象形状就基本确定了. 因此，在精确度要求不高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图. 【经典例题二 y=Asinx+B的图象】 【例2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数在上至多有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数零点的分布情况求解即可. 【详解】时， 因为函数在上至多有一个零点， 故解得 故选：D. 1．（23-24高一下·北京·期中）设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，再利用正弦型函数的最值再结合其最小正周期的公式逐项分析即可. 【详解】，显然， 对A，由图知，根据，则，则，则， 则其最小正周期，其最小值应为，则A中图象满足题意； 对B，显然因为不恒为0，则B错误； 对C，由图知，根据A可知，但图中其最小正周期小于，故矛盾，故C错误； 对D，由图知，则，则， 则其最小正周期，但由图易知其最小正周期大于，故矛盾，则D错误； 故选：A. 2．（21-22高一下·上海·课后作业）用“五点法”作函数在上的图象时，应取的五个点依次为 ､ ､ ､ ､ . 【答案】 【分析】根据正弦函数的“五点”，即可代换求出． 【详解】由的“五点”即可知，函数在上应取的五个点为，，，，． 故答案为：，，，，． 3．（2024高一上·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数，的简图： 【答案】作图见解析 【分析】根据题意，结合三角函数的五点作图法，列表、描点、连线，即可求解. 【详解】解：列表 0 0 1 0 0 0 描点，连线，如图所示： 【经典例题三 含绝对值的正弦函数的图象】 【例3】（22-23高一上·山西运城·期末）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由题意可得，两个函数有公共对称轴，分别做出两个函数图像，结合图像即可得到结果. 【详解】   函数的图像与函数的图像有公共对称轴，分别做出两个函数的图像如图所示， 由图像可知，两个函数共有12个交点，且关于直线对称，则所有交点的横坐标之和为. 故选：C 1．（22-23高三上·福建·阶段练习）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数与的图象进行判断. 【详解】， 如图所示， 要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数图象的交点个数求参数的取值范围，较简单，画出函数的图象是关键. 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】在同一坐标系内画出与的图像，利用数形结合去求的取值范围 【详解】 则单调递增区间为，，单调递减区间为，， 又， 又函数的图像与仅有两个不同交点， 则的取值范围是 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【分析】分析函数为偶函数，所以只需要画出时的图象，关于轴对称即可. 【详解】当时，与的图象完全相同， 又，所以为偶函数， 故图象关于轴对称，其图象如图所示： . 【经典例题四 正弦函数图象的应用】 【例4】（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可. 【详解】因为，所以， 令，则方程有2个根， 所以，解得， 则的取值范围是． 故选：B 1．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）若函数在上有3个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在上零点的个数，讨论的范围，分别确定在上零点的个数，进一步确定的范围，进而可得答案. 【详解】令，则或， 由得， 当时，，在上没有零点， 则在上应有3个零点，所以， 即，与联立得； 当时，在上有1个零点， 在上，因为，所以， 所以有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 在上应有1个零点， 所以，即，与联立得， 综上得的取值范围是.故C正确. 故选：C. 2．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数，若关于的方程恰有三个不同的解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用单调性求得方程的解的个数，再对方程的根的分布进行分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】注意到在上递增，相应值域为；在上递增，相应值域为； 在上递减，相应值域为；在上递增，相应值域为. 故方程的解的个数. 若关于的方程仅有一个根（不计重数），则，从而或. 同时根据题目条件，该根必须落入，验证知，都不满足条件； 若关于的方程没有根， 则原方程关于的方程必定无根，不满足条件； 若关于的方程有两个不同的根，则，得. 同时根据题目条件，两根要么分别属于和（不计顺序），要么分别属于和（不计顺序）. 直接解出两根，. 若，则，且. 从而不满足条件. 所以只可能，而，，故. 若两根分别属于和（不计顺序），由于，故这等价于. 由于，，故又等价于，即. 而当，即时，必有，故 . 所以此时条件等价于，即； 若两根分别属于和（不计顺序）， 则或者是方程的根，或者是方程的根. 若是方程的根，代入得，解得，与矛盾； 若是方程的根，代入得，解得. 此时直接计算得，，满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对分类讨论方法的运用，需要做到不重不漏，方可求得正确答案. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的零点. 【答案】或 【分析】根据题意，解方程，求出的值，由函数零点的定义分析即可得答案. 【详解】根据题意，对于函数，则， 即，解得：或， 故函数的零点为或 【经典例题五 求sinx的函数的单调性】 【例5】（2024·四川·模拟预测）设，均为锐角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】，均为锐角，正弦函数在上单调递增， 因此，所以“”是“”的充要条件. 故选：C 1．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数为减函数，且值为负数的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象与性质判定选项即可. 【详解】由的图象与性质可知时，函数单调递减，且函数值为负数. 故选：C 2．（2023高三·全国·专题练习）函数，的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 【答案】 和 【分析】根据题意，由正弦函数的单调区间，即可得到结果. 【详解】因为，且函数的单调递增区间为，， 令，则单调递增区间为，令，则单调递增区间为， 且函数的单调递增区间为，， 令，则单调递减区间为. 故答案为：和； 3．（24-25高一上·全国·课前预习）观察正弦函数的函数图象，你能写出在上的单调区间吗？ 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】根据图象直接求解即可. 【详解】由图我们发现，区间正好是正弦函数的一个周期， 其中单调递增区间为，单调递减区间为. 【经典例题六 利用正弦型函数的单调性求参数】 【例6】（24-25高三上·广东广州·阶段练习）若函数在区间上是减函数，且，，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】化简，由题意求得和，两式相减，得到，进而求得的值. 【详解】由函数， 因为，所以， 又因为在区间上是减函数， 所以，， 两式相减，可得，因为，所以. 故选：C. 1．（2022·陕西榆林·模拟预测）若函数在区间上单调递减，则可取的最大整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用正弦函数图象性质可知其单调减区间都在半个周期内，得出不等关系解不等式可得结论. 【详解】由正弦函数单调性可知，解得； 此时可取的整数值为1，2； 因此可取的最大整数值为2. 故选：B 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】确定，根据正弦函数的递增区间求出的范围，结合正弦函数的周期性求出的范围可得答案. 【详解】当时，不具备单调性， 当时，， 若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减， 可得，因为在上是单调递增的， 所以在上不可能单调递减，所以不成立， 于是. 若函数在区间上单调递增，则 ，， 若函数在区间上单调递增，则 ，， 因为，所以时，， 综上所述，. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，求x的值. 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质确定x的值. 【详解】，因为，所以. 【经典例题七 比较正弦值的大小】 【例7】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式可得，，根据正弦函数单调性可得，根据切弦互化结合正、余弦函数值的有界性分析可得，即可得结果. 【详解】因为，， 且在内单调递增，则，即， 又因为，则， 综上所述：. 故选：C. 1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）定义在上的函数满足的对称轴为，且在区间上单调递增，已知、是钝角三角形中的两锐角，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．以上情况均有可能 【答案】A 【分析】 首先可得为偶函数，再推得，即可得到的周期为，从而得到在上的单调性，再由诱导公式及正弦函数的性质判断，即可得解. 【详解】由题意知的对称轴为，可得的对称轴为， 即有，函数为偶函数， 又，则，可得， 即为函数的的周期， 又在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，可得在上单调递减， 由、是钝角三角形中两锐角，可得，即有， 则，即为，则. 故选：A. 2．（2024高一下·上海·专题练习）设，，，则，，的大小关系为 按由小到大顺序排列 【答案】 【分析】利用正弦函数的单调性，即可判断，，的大小． 【详解】由， ，， 当时，单调递增，且，， 则，故． 故答案为． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和. 【答案】(1). (2) 【分析】(1)利用正弦函数在上的单调性比较大小； (2)利用正弦函数在在上的单调性比较大小. 【详解】（1）因为， 正弦函数在区间上是增函数, 所以. （2）， ，又， 正弦函数在区间上是增函数, 所以，即. 【经典例题八 解正弦不等式】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题 【详解】在[0，2π]上，函数的定义域满足， 即，结合图象，知道． 故选：B. 1．（2024·北京·三模）“为锐角三角形”是“，，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据诱导公式及正弦函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】充分性： 因为为锐角三角形， 所以，即， 所以， 同理可得，， 故充分性得证； 必要性： 因为，所以， 因为，所以， 若，则， 若，则，所以， 综上，， 同理， 所以为锐角三角形， 必要性得证， 综上所述，为充分必要条件. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在内，不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出正弦函数的图象，再结合图象求解不等式. 【详解】画出，的草图如下：    当时，由，得，又， 观察图象，当时， 所以不等式的解集是. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）不等式，，求不等式的解集． 【答案】 【分析】利用三角不等式的解法进行求解即可. 【详解】由，则， 因为不等式在上的解集为， 所以当时，不等式的解集为． 【经典例题九 求含sinx(型)函数的定义域】 【例9】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，即， 又，故，即定义域为. 故选：C. 1．（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】由条件可得，，解得， 所以函数定义域为. 故答案为： 3．（22-23高一下·江西宜春·阶段练习）（1）计算：； （2）求的定义域． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据诱导公式化简求值即可； （2）由诱导公式以及正弦型函数的基本性质可求得原函数的定义域. 【详解】解：（1）原式 . （2）因为， 由题意可得，可得，解得，， 所以，函数的定义域为. 【经典例题十 求含sinx(型)函数的值域和最值】 【例10】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知命题，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】先判断出命题的真假，再结合命题的否定的概念可得结论． 【详解】，，因此恒成立，命题为真，则为假， 由正弦函数性质知命题为假，则为真， 故选：C． 1．（24-25高三上·上海·开学考试）已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】注意到当时，在上的最小值为，最大值为1； 在上的最小值为，最大值为1，但不满足，这个形式，故①错误； 又注意到当时，在上，当时，取最小值，时，取最大值； 在上，当时，取最小值，时，取最大值；满足且，故②正确. 故选：B 2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】我们可以通过对已知等式进行变形，将表示成一个关于或的函数，再根据函数的性质求出最小值. 【详解】，我们可以将其变形为. 可得，即，那么. 当时，. 设，，则. 根据二倍角公式，， 则. 由辅助角公式（其中）， 这里，，则，其最小值为. 当时，同理可得的最小值也是. 故答案为： 3．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 【经典例题十一 由正弦(型)函数的值域(最值)求参数】 【例11】（24-25高三上·湖南·阶段练习）函数在（）内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过取特殊值排除验证即可. 【详解】当时，此时 ， ，，不满足存在，使得，故排除A,D 当时，此时， ，， ， ，，此时不满足题意，故排除C 综上所述B正确 故选：B 1．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得周期为，根据周期公式可得.将不等式恒成立的范围化为的解集的子集，即可构造不等式求得结果. 【详解】，由题意可得相邻最低点距离个周期，即，， 由得：，， 即， 所以， ，， 即，，解得：. 故选：C. 2．（24-25高一·上海·随堂练习）正弦曲线在内最高点坐标为 ． 【答案】 【分析】令，解出即可得解. 【详解】令，，所以，故所求为． 故答案为：. 3．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)用“五点法”作法函数在上的简图；    (2)函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）利用“五点法”作出图象即可； （2）转化两个函数的图象在上有两个交点，作出图象可得答案. 【详解】（1） 0 0 1 0 0 2 1 2 3 2    （2）由，得， 即两个函数的图象在上有两个交点， 因为，所以，    若两个函数的图象在上有两个交点， 则，解得. 所以实数的取值范围是. 【经典例题十二 求正弦(型)函数的奇偶性】 【例12】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象关于（    ） A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线对称 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性的定义可判断是奇函数，即可求解. 【详解】记，定义域为, 所以，所以是奇函数， 故图象关于原点对称， 故选：B 1．（2024高二下·云南·学业考试）下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意奇偶性的性质和定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，故A错误； 对于选项BC：可知，均为奇函数，故BC错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且，所以为偶函数，故D正确； 故选：D. 2．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数的定义域为，且满足，，则可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据条件确定函数的奇偶性和周期性，再结合三角函数的性质可写出答案. 【详解】由题意：函数的定义域为，且，所以为奇函数； 又，所以是以2为周期的周期函数； 所以的解析式可以为：. 故答案为：（答案不唯一） 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 【分析】（1）根据奇函数的定义分析判断； （2）根据偶函数的定义分析判断； （3）先求出函数的定义域，再根据奇偶函数的定义域关于原点对称分析判断即可. 【详解】（1）令， 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. （2）令， 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为偶函数. （3）因为的定义域为，即， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数. 【经典例题十三 求含sinx的函数的奇偶性】 【例13】（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性单调性与函数值符号确定函数的图象. 【详解】由，得，所以的定义域为. 又， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故B错误； 因为，所以当时，，所以， 且在定义内为增函数，故A，D错误. 对C：符合函数的定义域，奇偶性，单调性，故C正确. 故选:C 1．（23-24高二下·四川成都·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数为奇函数排除选项CD；由时的函数值即可判断得解. 【详解】令函数，显然， 因此函数是上的奇函数，图象关于原点对称，CD不满足； 当时，，B不满足，A符合题意. 故选：A 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】设，判断函数的奇偶性求解即可. 【详解】设， 的定义域为， ， 是奇函数， ，， ， . 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)奇函数；理由见解析 (2)偶函数；理由见解析 (3)偶函数；理由见解析 (4)非奇非偶函数；理由见解析 【分析】先求出函数的定义域，求出，然后利用函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 则为奇函数. （2）函数的定义域为， ， 则为偶函数. （3）函数的定义域为， ， 则为偶函数 （4）函数的定义域为， ，所以不是奇函数 ，，则，则不是偶函数， 所以非奇非偶函数. 【经典例题十四 由正弦(型)函数的奇偶性求参数】 【例14】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由，列出方程，求出的值. 【详解】由题意，函数的定义域为， 因为， 所以， 因为函数为奇函数， 所以， 所以， 所以， 所以. 经验证符合条件. 故选：A. 1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的奇偶性，得到关于的方程，找到满足条件的值即可. 【详解】是奇函数，则只需， 所以， 所以时，. 故选：D. 2．（湖北省云学部分重高中联盟2025届高三上学期10月联考（一模）数学试卷）若是偶函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由函数是偶函数，则，代入计算并验证即可求出. 【详解】函数是偶函数，则, , 化简可得. 当时，则 所以，则， 所以函数是偶函数，则. 故答案为： 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知函数的图像关于原点对称，求． 【答案】 【分析】首先化简函数，再利用函数的对称性，代入，即可求解. 【详解】， 因为函数图象关于原点对称， 所以当时，， 解得：. 【经典例题十五 由正弦函数的奇偶性求函数值】 【例15】（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【分析】根据可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】利用的奇偶性建立方程，求解参数即可. 【详解】若函数为奇函数，故有， 可得，解得， 此时，， 显然成立，故是奇函数，故A正确. 故选：A 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】令，得到，求得，结合，即可求解. 【详解】令，则， 因为， 所以函数为奇函数，可得， 则 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为． (1)已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值； (2)在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】 （1）根据题意得到，代入求解即可； （2）画出的图象，数形结合得到实数的取值范围； （3）由题意得到，分或，两种情况，得到对应的值. 【详解】（1），且当时，， 故； （2），当时，， ……， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ……， 画出的图象如下： 设当时，，即， 解得或， 因为，所以， 对任意，都有，故 故实数的取值范围是， （3）假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数， 即，， 因为的值域为，而， 故，解得或， 当时，，故， 当时，，故， 综上，或. 【点睛】 方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 【经典例题十六 求正弦(型)函数的最小正周期】 【例16】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】由诱导公式将函数化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为， ，所以函数是最小正周期为. 又因为，所以函数是奇函数. 故函数是最小正周期为的奇函数. 故选：C 1．（2023高三上·广西·学业考试）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的周期判断即可. 【详解】因为的最小正周期为, 所以的最小正周期也为. 故选：A. 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，则的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】的最小正周期为， 故答案为： 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于． (1)求函数的解析式及最小正周期： (2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围． 【答案】(1);. (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和诱导公式化简可得的解析式，由已知条件求得函数的最小值为，计算即可得解； （2）原问题转化为在区间上有两个不同解，再根据正弦函数的图象与性质，得解. 【详解】（1）函数 函数的最小正周期为， 因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于， 所以函数的最小值为， 所以，解得， 所以. （2）由，知， 因为，所以， 由于在区间上有两个不同解，所以，即. 【经典例题十七 求含sinx的函数的最小正周期】 【例17】（23-24高一上·湖北孝感·期末）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．周期为 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义和周期函数定义可判断正误. 【详解】根据题意，函数，其定义域为， 有， 则A、C错误，B正确； 又由，则的周期不是，D错误. 故选：B. 1．（22-23高三·全国·对口高考）已知函数关于此函数的说法正确的序号是（    ） ①为周期函数；                   ②有对称轴； ③为的对称中心；          ④. A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由三角函数的性质及，分别对各选项进行验证，即可得出结论. 【详解】由函数， ①，可得为周期函数，故①正确； ②由，， 故，是偶函数，故有对称轴正确，故②正确； ③为偶数时，，为奇数时, ， 故不为的对称中心，故③不正确； ④因为，可得正确，故④正确. 下面用数学归纳法证明：． 当时，，不等式成立； 假设当，不等式成立，即， 那么，当时， ，不等式也成立， 综上，． 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的周期为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质及函数图象的变换判断即可. 【详解】因为正弦函数的最小正周期为， 的图象是由的图象关于轴翻折，再向上平移一个单位得到， 翻折和平移时周期不变，所以的周期为． 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)试判断是否为周期函数？若是，直接写出的最小正周期． 【答案】(1) (2)该函数为奇函数 (3) 【分析】（1）由对数函数的定义域可知，结合正弦函数的性质解不等式即可得答案； （2）由函数奇偶性定义直接验证即可； （3）由正弦函数的最小正周期能直接推出答案. 【详解】（1）∵， ∴， ∴，， ∴该函数的定义域为 ． （2）由（1）知定义域关于原点对称， 又 ， ∴该函数为奇函数． （3）由于的最小正周期为， ， 即为周期函数，最小正周期． 【经典例题十八 由正弦(型)函数的周期性求值】 【例18】（湖北省云学部分重高中联盟2025届高三上学期10月联考（一模）数学试卷）已知函数，对任意的，都有成立，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可知函数的最小正周期，在利用最小正周期公式运算求解. 【详解】因为，即，可得， 可知函数的最小正周期， 且，即，解得. 故选：D. 1．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）“”是“最小正周期为”的（   ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用正弦函数周期性计算，结合充分条件及必要条件定义判定即可得. 【详解】若最小正周期为， 则有，即， 故“”是“最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（22-23高三下·北京·开学考试）若函数的零点为，其中，，则 ； . 【答案】 【分析】由题意可得，再由最小正周期公式即可求出，再令，即可求出. 【详解】由函数的零点为， 可得，所以，解得：， 再令，则，， 因为，所以. 故答案为：；. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（其中常数）的最小正周期为2，求ω的值. 【答案】 【分析】根据最小正周期公式求解即可. 【详解】因为函数（其中常数）的最小正周期为2， 所以，解得：. 【经典例题十九 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心】 【例19】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】构造奇函数，利用函数的平移，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】设，由于， 故为R上的奇函数，则的图象关于原点对称． 又，所以的图象关于对称， 即，由，所以， 故选：A． 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且.则函数的图象的一个对称轴可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得函数的一个对称轴，再由的周期为，即可得到结果. 【详解】由题设有，且可知. 故，所以的一个对称轴为. 又的周期为，故其另一个对称轴为. 故选：B. 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）写出一个同时具有下列性质的函数 ． a．是偶函数        b．不存在对称中心 c．存在最小正周期，且最小正周期为2 【答案】 【分析】根据是偶函数，不存在对称中心，存在最小正周期，且最小正周期为2写出. 【详解】由题意可知，是偶函数，不存在对称中心，存在最小正周期，且最小正周期为2， 所以满足题意. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？ 【答案】有， 【分析】根据正弦函数的性质判断求解. 【详解】有， 【经典例题二十 正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系】 【例20】（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的对称性与最值之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：，，， 均不是最值，故ABC错误； ，为最大值，可知为函数图象的一条对称轴方程，故D正确. 故选：D. 1．（22-23高一下·北京·期中）函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】B 【分析】根据选项，采用代入法，判断选项. 【详解】A.，所以函数不关于直线对称，故A错误； B. ，所以函数关于直线对称，故B正确； C. ，所以函数不关于点对称，故C错误； D. ，所以函数不关于点对称，故D错误； 故选：B 2．（2024·天津和平·一模）若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分别分析和的零点个数求解即可，同时要注意重根问题的检验. 【详解】当，设，， 则为开口向上的二次函数，， ①当，有唯一解，此时， ，此时有三个解，且均不为3，符合题意； ②当，无解，故区间上恰有4个零点， 则，解得，符合题意； ③当，的对称轴，且， （i）当，，此时有两个解：2和5，，此时有三个解，且与的解2，5不重合，不合题意， （ii）当，且，此时有两个解，且均属于，， 若有2个解，故，解得，则，舍去； （iii）若有3个解，故，解得， 若此时有2个解，则必须有1个重根， 下面检验重根情况：，则，的3个解为， 且，，， 故重根可能为，，. 令，，解得， 当重合，若，则（）， 解得，满足题意； 若，则，即，无解； 若，，即，无解； 当重合，若，则，解得（舍去）； 若，则，解得，符合题意； 若，则，即，无解，舍去； （iv）当，，此时有1个解， 设为m，则，，故，解得， 又，综合得， 同理（iii）的分析，，， 此时有三个解，且与的解不重合，符合题意， 综上所述：或或 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题，关键是根据二次函数特征讨论判别式及区间端点与5的关系. 3．（23-24高一上·四川巴中·阶段练习）已知函数． (1)求的对称轴和单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)对称轴为，单调递增区间为 (2) 【分析】(1)将看成整体，然后求函数对称轴时，令，求出即可，同样求函数的单调递增区间时，因为，所以令，求出其范围即可. (2)由题意知：，同样利用整体思想，只需满足，然后求不等式的解集. 【详解】（1）解：因为， 由，得， 所以函数的对称轴为； 令，得， 所以的单调递增区间为. （2）由可得，, 所以, 解得,即不等式的解集为. 【经典例题二十一 利用正弦函数的对称性求参数】 【例21】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的对称轴方程，根据题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由函数（）， 令，即， 因为（）在区间上恰好有3条对称轴， 显然当时，为内最左侧的对称轴， 故，解得， 即的取值范围是， 故选：C 1．（23-24高三上·四川雅安·期中）函数对任意x都有，则等于（    ） A．2或0 B．或2 C．0 D．或0 【答案】B 【分析】由确定为对称轴，即可求解. 【详解】因为函数对任意x都有， 可知该函数图象关于直线对称， 又因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以或2. 故选：B． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，解得，即， 因为在上是增函数，则， 所以函数的增区间包含， 令，得， 所以，所以故的取值范围为. 故答案为： 3．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有. (1)求解析式； (2)若函数在上有两个零点，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的对称性求周期求参，再根据最值求参即可得出解析式； （2）根据零点结合对称性得出参数值，再应用解析式求函数值. 【详解】（1）由题对任意，都有，故当时，取得最大值. 因为在是单调函数，且的图象关于点对称， 所以得，所以 又因为函数在时取得最大值，所以，， 即，.因为，所以， 所以：. （2）因为，令，则 在内的图象如图所示，    由题函数在有两个零点，， 即与在内有两个交点，， 数形结合可得：，，即， 所以. 【经典例题二十二 正弦函数对称性的其他应用】 【例22】（24-25高二上·湖南·开学考试）已知函数图象的两个相邻对称中心为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两相邻对称中心的距离为周期的一半及周期公式求得，再代入正弦函数的中心对称结论列式，根据求解即可. 【详解】由图象的两个相邻对称中心为，， 可得，所以，故， 又，则，结合，得. 故选：A. 1.（23-24高一上·江苏无锡·期末）若关于的方程在内有两个不同的解，，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原问题等价于在内有两个不同的解，，利用正弦函数的性质可求得，进而可得答案． 【详解】在内有两个不同的解，， 等价于在内有两个不同的解，， ，则 依题意，得 ，解得， 所以. 故选：B 2．（24-25高三上·湖南·开学考试）写出一个同时具有下列性质的函数的解析式： . ①不是常函数 ②的最小正周期为2 ③不存在对称中心 【答案】（不唯一） 【分析】根据函数所具有的性质，结合正弦函数的性质，即可确定答案. 【详解】根据题中函数需满足的条件，可取函数为正弦型函数， 即可取，其图象为： 结合图象可知满足题意， 故答案为：（不唯一） 3．（2022高三·全国·专题练习）已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数. (1)求的表达式； (2)若关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得的所有解的和记为，求的所有可能取值及相应的的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）结合诱导公式利用对称性求出时，根据题干条件即可求解； （2）将方程解的问题转化为函数交点问题，数形结合，根据对称性求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又当时，函数，所以. （2）作函数的图象如图所示， 显然，若有解，则． ①若有两解，； ②若有三解，； ③若有四解，； ④若有两解，. 综上所述，当或时，有两解，； 当时，有三解，； 当时，有四解，. 【经典例题二十三 求sinx型三角函数的单调性】 【例23】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．曲线关于直线对称 C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称 【答案】B 【分析】将化简，根据正弦函数的性质求解判断即可. 【详解】， 对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，D，因为的对称轴为，，故B正确，D错误； 对于C，因为的对称中心为，，故C错误. 故选：B. 1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数与，则下列说法错误的是（    ） A．与存在相同的对称轴 B．与存在相同的对称中心 C．与的值域相同 D．与在上有相同的单调性 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的对称轴方程和对称中心坐标，结合正弦型函数的值域性质、单调性逐一判断即可. 【详解】对于，令，得的对称轴为， 令，得的对称轴为，显然与有相同的对称轴，A正确； 对于，令，得的对称中心为， 令，得的对称中心为， 由得， 显然不存在整数使成立，故与没有相同的对称中心，B错误； 对于C，与的值域显然均为，C正确； 对于D，当时 由在上递增， 由在上递减， 由在上递增， 由在上递减， 与均在上单调递增，在上单调递减，D正确. 故选：B 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数在的单调递减区间是 【答案】和 【分析】，求得在的单调递增区间即可. 【详解】， 故的单调递增区间即为的减区间， 由，得， 又，所以或， 所以函数在的单调递减区间是和. 故答案为：和. 3．（2022高二上·新疆·学业考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）（2）根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）函数的最小正周期； （2）令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【经典例题二十四 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域】 【例24】（2022·福建宁德·模拟预测）已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的周期性，分别求出和，即可得结果. 【详解】由题意：， ， 所以. 故选：D 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦函数的单调性，以及正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由正弦函数的性质，可得在上单调递增， 所以，即当时，可得，即充分性成立； 反之：若，可得，所以必要性不成立， 所以是充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知k是正整数，且，则满足方程的k有 个. 【答案】11 【分析】分析得到时满足要求，当时，结合等式左右两边的单调性和特殊值得到只有时，满足要求，结合正弦函数的周期和，得到答案. 【详解】显然时，，满足要求， 当时，先考虑一个周期内， 当时，，故单调递增且大于， 而单调递减且小于，两者不可能相等， 时，单调递减且大于0， ，两者不可能相等， 当时，， 故要想成立， 则， 由周期性知，当时，等式左边为0， 又当时，， 故当时，满足要求， 共11个. 故答案为：11 【点睛】关键点点睛：本题需要先分析得到等式两边的单调性，从而确定只有两者等于0时，才会符合要求，进而结合正弦函数周期性和特殊值得到答案 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用正弦（型）函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据正弦函数的单调性判断正弦值大小； （2）先应用诱导公式化简为同一单调区间，再根据正弦函数的单调性比较函数值即可. 【详解】（1）∵， ∴. （2），， ∵，∴. 从而，即. 【经典例题二十五 求含sinx(型)的二次式的最值】 【例25】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知关于的方程在上有解，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件求出的范围，再结合二次函数求出值域得解. 【详解】方程在上有解，即在上有解， 令，，则，即， 所以. 故选：C 1．（23-24高一下·北京·期中）已知线段AB的长为4，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，其中∥（如图）则这个梯形的周长的最大值为（　　） A．8 B．10 C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】连接AC，设，用表示出周长来，利用二次函数求解. 【详解】连接AC，过C作于E， 因为AB为直径且为，则， 设，则，可得， 则， 又因为ABCD为等腰梯形，则， 故其周长为 ， 所以当，即时，周长取到最大值10. 故选：B. 2．（21-22高一下·浙江湖州·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变换结合换元法转化为二次函数在给定区间上的值域问题，再利用二次函数的性质得到单调性，求解最值，得到原函数值域即可. 【详解】因为，所以， 故，令， 得到，由二次函数性质得在上单调递减， 在上单调递增，所以的最小值为， 而，，故，故原函数值域为. 故答案为： 3．（23-24高一下·北京·期中）求函数的值域. 【答案】 【分析】将函数化简配方，由，利用二次函数的图象与性质，即可得到函数的值域. 【详解】， 因为， 所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 【经典例题二十六 五点法画余弦函数的图象】 【例26】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】A 【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可. 【详解】函数的最小正周期为， 用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象， 所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π. 故选：A 1．（2023高三·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解. 【详解】由“五点法”作图知：令，，，，， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）余弦函数的图象 （1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将的图象向左平移 单位. （2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是 ， ， ， ， . 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一上·陕西西安·期末）用五点作图法画出的图象． 【答案】图象见解析 【分析】通过列表、描点、连线，即可画出的图象. 【详解】列表 0 0 1 0 0 1 作图如下： 【经典例题二十七 y=Acosx+B的图象】 【例27】（22-23高三上·上海黄浦·阶段练习）函数图象上关于坐标原点对称的点有对，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．无数 【答案】B 【分析】将问题转化为两个函数和函数图象交点的个数问题，作出图象，结合图象求解. 【详解】函数与函数的图象关于原点对称, 在同一坐标系内作出和函数的图象, 可从图象确定有四个交点,所以函数图象上 关于坐标原点对称的点有4对, 故选:B. 1．（23-24高一上·北京东城·期末）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ） A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点 C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点 【答案】B 【分析】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像，根据交点的个数直接判断即可. 【详解】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像如图示： 根据图像，进行判断： 对于A：当t=2时，有一个交点，故A错误； 对于B：当或时，有1个交点，故B正确； 对于C：当，有2个交点，当，有1个交点，故C错误； 对于D：当，有1个交点，故D错误. 故选：B 2．（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，关于x的方程在上有四个不同的解，且.若恒成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出函数的图象，根据图象的对称性得出，令得，则，代入，求实数k的取值范围即可. 【详解】画出函数的图象，如图所示： 当时，； 当时，，当时取等号. 由，， 由图易知，当时，方程无解， 故只有时才有四个不相同的解，且. 由，解得或， 由余弦函数的性质知，关于直线对称，则， 由，即①，解得或， 从而， 令得，则， 故等价于， 故，恒成立， 所以（当且仅当时取得最小值），所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）作出函数，的大致图像. 【答案】答案见解析 【分析】运用五点法，结合余弦函数画图步骤画图即可. 【详解】解：由五点法列表得： 0 0 1 0 大致图像如下图所示： 【经典例题二十八 余弦函数图象的应用】 【例28】（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知函数，若函数图象上关于原点对称的点恰有3对，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由时，函数的图象与函数的图象关于原点对称，转化为与的图象至少有3个交点，作出函数的图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，函数， 则时，函数的图象与函数的图象关于原点对称， 又因为时，， 画出与的图象，如图所示， 要使得与的图象至少有3个交点， 则满足且， 即，可得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：C. 1．（2024·河南·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用函数奇偶性判断，再结合对数函数和特殊值判断即可. 【详解】定义域为，关于原点对称. 且，则函数为奇函数，排除CD. ，由于，则，排除A. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象与直线的交点的横坐标为 . 【答案】或 【分析】根据特殊角的函数值及，得到方程的解，得到交点横坐标 【详解】令，其中，解得或， 故交点的横坐标为或. 故答案为：或 3．（24-25高一上·全国·课前预习）观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的定义域、值域吗？ 【答案】定义域都是R，值域都是． 【详解】观察正弦函数、余弦函数的图象，可得这两个函数的定义域都是R，值域都是． 【经典例题二十九 求含cosx的函数的单调性】 【例29】（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 【答案】C 【分析】根据余弦函数的单调性可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据奇偶性的定义可判断C；根据正弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，在每一个区间上都是减函数， 在第二象限是减函数，故A错误； 对于B，在上是增函数，故B错误； 对于C，， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，在的每一个区间上是增函数， 不能说在第一、四象限内是增函数，故D错误. 故选：C. 1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正余弦函数的性质逐项判断即可求解. 【详解】A．当时，单调递减，单调递减，故A正确； B．当时，单调递减，单调递增，故B错误； C．当时，单调递增，单调递增，故C错误； D．当时，单调递增，单调递减，故D错误； 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在内，函数和都是增函数的区间是 . 【答案】 【分析】分别求出两个函数在的单调增区间，然后求交集即可得解. 【详解】因为在内单调增区间为：， 在内单调增区间为：， 所以在内，函数和都是增函数的区间是. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数吗？正弦函数在第一象限是增函数吗？ 【答案】答案见解析 【详解】正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函数．正弦函数在第一象限不是增函数，在每一个区间上是增函数． 【经典例题三十 求cosx型三角函数的单调性】 【例30】（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由图得到周期与单调递减区间即可. 【详解】由图可知，在区间上单调递减， 由图可知的周期； 故的单调递减区间为，. 故选：D 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解. 【详解】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用整体代换法求出余弦函数的单调递减区间即可. 【详解】由题意知，， 由，得， 令，得，令，则， 即函数的单调递减区间为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的单调减区间. 【答案】. 【分析】提出负号，转化成余弦型函数，结合复合函数单调性，整体代入计算即可. 【详解】解：，. 由， 得，. 当时，，k取其它值，不合题意， 故单调减区间为. 【经典例题三十一 利用余弦函数的单调性求参数】 【例31】（2024·贵州·模拟预测）若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先由求出的范围，然后由余弦函数的单调性建立不等式求解即可. 【详解】，则， 函数在上单调， 所以，解得：， 所以的最大值为. 故选：D 1．（23-24高二下·河南新乡·期末）若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分不同情况进行讨论，得出当时不满足条件，当或时满足条件，当时不满足条件，即得到所求的全部为和，从而得到答案. 【详解】若，则，故不满足条件； 若或，则对有，或. 所以，根据复合函数单调性知在上单调递减，满足条件； 若，则，故不满足条件； 若，则由可知，存在正整数满足. 此时，，从而在上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件. 综上，满足条件的有和. 故选：C. 2．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据辅助角公式将函数进行化简，结合函数的对称性的单调性的性质求出的取值范围，进行求解即可. 【详解】 因为函数关于对称，所以，解得：， 又因为在区间上单调，所以，解得：， 综上，当时，， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 【答案】3 【分析】需要分单调递增和单调递减两种情况来讨论，然后利用三角函数中余弦函数的性质的单调性的应用，集合的对立关系的应用求出的最小值． 【详解】解：当函数严格增时，， 整理得（）． 若函数在上严格增， 则（）， 即，整理得． 当时，；① 当函数严格减时，（）， 整理得（）， 若函数在上严格减， 则（）， 即，整理得， 当时，．② 由于函数在上不单调，且为正整数， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 所以的最小值为3． 【经典例题三十二 比较余弦值的大小】 【例32】（23-24高一下·四川成都·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助泰勒公式，进行适当放缩再比较即可. 【详解】， ， ，则， 因此. 故选：C. 1．（22-23高一下·四川绵阳·期中）设，则大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正、余弦函数的单调性分析判断. 【详解】， 因为，且在时单调递增， 则，即； 且，所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是 .（填编号） ① ② ③ ④ 【答案】①④ 【分析】结合诱导公式，再利用三角函数的单调性即可逐一判断 【详解】对于①，因为， 因为在上单调递增，所以，所以 即，故①正确； 对于②，因为在上单调递减，所以，故②错误； 对于③，因为，， 所以，故③错误； 对于④，， 因为在上单调递减，且，所以， 即，故④正确， 故答案为：①④. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小： (1)与； (2)cos1与sin2． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简后，利用余弦函数在上单调性比较大小即可； （2）利用诱导公式变形后，利用正弦函数在上单调性比较大小即可. 【详解】（1）， ， ∵函数在上是减函数，且， ∴，∴， ∴． （2）∵，∴， ∵在上是减函数， 又，且， ∴，即． 【经典例题三十三 解余弦不等式】 【例33】（23-24高一下·河北承德·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得. 【详解】函数的意义，则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 1．（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）命题“，都有”的否定为（ ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解． 【详解】命题“，都有”的否定是，使得. 故选：B 2．（2022高三·全国·专题练习）在内，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】利用余弦函数的性质即可得解. 【详解】因为在上单调递减，且， 所以在上，由，得； 而在上单调递增，且， 所以在上，由，得； 综上，，即. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在内，求使成立的x的取值范围. 【答案】 【分析】画出函数，利用图象求解即可. 【详解】当时，由，得，解得或. 函数在的图象如下图所示：    由图可知，该不等式的解集为. 【经典例题三十四 求含cosx型的函数的定义域】 【例34】（2024高一上·全国·专题练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数定义域及分式函数定义域可得结果. 【详解】依题意有，即，且， ∴函数的定义域为． 故选：C． 1．（2024·四川自贡·一模）函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性及诱导公式，结合特殊值即可求解. 【详解】由，解得, 所以函数的定义域为, 所以, 所以为偶函数，函数的图象关于轴对称，排除选项B， 而，排除选项C， ，排除选项A， 故选：D. 2．（22-23高一下·上海静安·期中）函数的定义域是 . 【答案】， 【分析】利用三角函数和对数函数性质求出函数定义域. 【详解】要使函数有意义， 则需，即， 当时，， 所以当，解得，， 所以函数的定义域是，. 故答案为：，. 3．（24-25高二·上海·假期作业）求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出答案. 【详解】欲求函数定义域，则由，解得， 解得，取， 可得到定义域为 【经典例题三十五 求cosx(型)函数的值域】 【例35】（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的值域为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弦函数的性质分类去绝对值符号，进而可求值域. 【详解】， 所以函数的值域为. 故选：B. 1．（24-25高二上·山东日照·开学考试）设，且，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用余弦函数的性质，得到，结合三角函数的性质，求得，即可求解. 【详解】根据三角函数的性质知，， ， ， 要使得，可得， 则，，即， 可得， 所以， 当时， 当时，可得， 所以当或时，的最小值等于. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为，值域为 【分析】（1）先将函数进行化简，利用的定义域和值域进行求解； （2）根据指数函数以及三角函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题可得：， 则函数的定义域为，值域为 （2）定义域为， 因为， 所以，即， 所以函数的值域为 【经典例题三十六 求含cosx的二次式的最值】 【例36】（23-24高一下·四川成都·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为，，恒成立为真命题，分离参数，再构造函数，利用二次函数可求得最小值，从而可得结果. 【详解】因为命题p是假命题，所以其否定命题为真命题， 即，恒成立， 所以恒成立， 因为， 而，所以， 所以当时，取得最小值， 所以. 故选：A 1．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可. 【详解】命题“，”是假命题， 则“，”是真命题， 所以有解， 所以， 又， 因为，所以， 即. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数，值域是 . 【答案】 【分析】由题意可得，又，可求值域. 【详解】因为，所以， ， 所以函数，值域是. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）求函数，的值域． 【答案】 【分析】利用换元法，结合余弦函数值域性质、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】 令，， 则，，， 所以在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值10；当时，函数取得最小值2， ∴函数的值域为. 【经典例题三十七 求cosx(型)函数的最值】 【例37】（2023·上海杨浦·模拟预测）设关于、的表达式，当、取遍所有实数时，（    ） A．既有最大值， 也有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值， 也无最小值 【答案】D 【分析】根据，，的范围可以确定，但根据余弦函数取值特点，取不到端点值，用换元方法证明，进而得出答案. 【详解】由，，，易知. 同时，由于是无理数，因此当时，；当时，，故两端均不能取得等号. 补充证明：二元表达式（）可以取到任意接近和的值， 从而该式无最值. ①取，（），则. 对任意，由抽屉原理，存在，使得. 再考虑，使得（由的无理性，两头都不取等）. 则时，，从而，，即证. ②取，（），则. 对任意，由抽屉原理，存在，使得. 再考虑，使得（不取等的理由同上）. 则时，，从而，，即证. 故选：D． 1．（22-23高一下·全国·课后作业）若函数，则函数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】解： ，即 ∴函数的最小值为 故选：A 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 . 【答案】4 【分析】由余弦函数的性质可求最大值. 【详解】当时，， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 3．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值． 【答案】(1)； (2)当时，函数取最小值；时，函数取最大值. 【分析】（1）利用余弦型函数的性质，解不等式可得出函数的单调递增区间； （2）由可求得的取值范围，结合余弦型函数的基本性质可求得的最大值、最小值及其对应的值. 【详解】（1）令，得， 所以函数的单调递增区间是； （2）令，则由可得， 所以当，即时，， 当时，即时，. 即当时，函数取最小值；时，函数取最大值. 【经典例题三十八 由cosx(型)函数的值域(最值)求参数】 【例38】（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知函数，若关于的方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先根据余弦型函数性质求出在上的取值范围及相应单调性情况，再结合与有两个交点，从而可求解. 【详解】由题意知当时，，所以， 当时，单调递增，此时， 当时，单调递减，此时， 所以要使有两个不同实数根， 等价于函数与在及上各有一个交点，所以， 所以的取值范围为，故B正确. 故选：B. 1．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解. 【详解】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 2．（24-25高二上·辽宁·开学考试）函数的定义域是 ． 【答案】， 【分析】直接根据对数函数的定义域及余弦函数的图象求解即可． 【详解】由题意可得，即， 所以，， 故答案为：，． 3．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）设函数． (1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化为求函数的最值，再根据不等式，列式求解； （2）首先换元，转化为关于的二次方程，再利用参变分离为在上有实数解，转化为求函数的值域问题. 【详解】（1）由函数， 令，可得， 因为对一切实数恒成立，即对任意的，恒成立， 又函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，；当时，， 则，解得，所以实数a的取值范围为. （2）由，令， 要使得关于x的方程在有实数解， 即在上有实数解，即在上有实数解， 令，，由， 可当在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当或时，， 则，即实数的取值范围为. 【经典例题三十九 求余弦(型)函数的奇偶性】 【例39】（24-25高三上·北京·阶段练习）下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义、单调性的判断方法进行判断即可． 【详解】解：A．为奇函数，但无意义，不符合题意； B．为偶函数，不符合题意； C．，函数为奇函数，在上递减，符合题意； D．，函数为奇函数，在上递增，不符合题意； 故选：C． 1．（23-24高一下·四川泸州·期中）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数是定义在上的奇函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是非奇非偶函数，B不是； 对于C，函数是R上的偶函数，当时，在上单调递减，C是； 对于D，函数是R上的偶函数，但在上不单调，D不是. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课前预习）正弦函数是 函数，余弦函数是 函数． 【答案】 奇 偶 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 【答案】(1)为奇函数 (2)为偶函数 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义分析即可； （2）根据函数奇偶性的定义分析即可； 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， ， 又 ． 为奇函数． （2）的定义域为，关于原点对称， ， 为偶函数． 【经典例题四十 求含cosx的函数的奇偶性】 【例40】（2024·云南大理·模拟预测）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数奇偶性排除AB选项，C选项，计算出，排除C；D选项，满足奇偶性和，得到答案. 【详解】A选项，，故不是偶函数， 由图可知函数为偶函数，排除A选项； B选项，，可得不是偶函数，排除B； C选项，因为，由图，故排除C选项； D选项，，故是偶函数， 且，满足要求. 故选：D. 1．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）下列函数在定义域内是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的判断方法一一分析即可. 【详解】对A，函数定义域为，当，则其不是奇函数，故A错误； 对B，函数定义域为，显然不关于原点对称，则其不是奇函数，故B错误； 对C，设，函数定义域为，关于原点对称， 且，则其为奇函数，故C正确； 对D，函数定义域为，当，则其不是奇函数，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高三上·陕西咸阳·开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 【答案】 【分析】可设，判断出是奇函数，从而得出的最大值和最小值的和为0，即可求出的值，然后求解． 【详解】函数， 设，，，则是奇函数， 的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为， ． ． 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)奇函数 【分析】（1）根据偶函数的定义分析判断； （2）根据奇偶性的定义和性质举反例说明即可； （3）根据奇函数的定义分析判断. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 所以为偶函数. （2）因为的定义域为， 当，，可知不为奇函数； 当，，当，， 可知不为偶函数； 综上所述：为非奇非偶函数. （3）令，即，解得， 可知的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. 【经典例题四十一 由余弦(型)函数的奇偶性求参数】 【例41】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，再根据诱导公式即可得解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得， 则. 故选：A. 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数定义的抽象式，采用赋值法求解，再构造满足条件的函数，判断错误选项. 【详解】由为偶函数，得， 由为奇函数，得，即， 则有，于是，即， 因此，函数是周期为4的周期函数， 由，，得，由，，得，B正确； 令，则有， ，即， 定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数， 此时，A错误； ，C错误； ，D错误. 故选：B 2．（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 【答案】（答案不唯一，） 【分析】由正余弦型函数的奇偶性，结合诱导公式列式求解即得. 【详解】函数为奇函数，则， 所以符合条件的一个的取值可以为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数为奇函数，判断函数的奇偶性，并说理. 【答案】偶函数，理由见解析 【分析】求出，分k为偶数、k为奇数讨论可得答案. 【详解】偶函数，理由如下， 由题意知中，， ，， ①当k为偶数时，，，故为偶函数； ②当k为奇数时，，，故为偶函数. 综上，为偶函数. 【经典例题四十二 由余弦函数的奇偶性求函数值】 【例42】（2022高二下·河北·学业考试）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中的解析式，先求出，再求即可. 【详解】由题意知，，， 所以. 故选：B 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用求解． 【详解】因为， 故，而，故， 故选：B. 2．（2023·上海杨浦·一模）函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 【答案】 【分析】 由函数在R上单调增得出，再由函数图像关于原点对称得出，即可得出答案. 【详解】当时，在上必有增有减，不合题意， 故，此时，为常值函数，由其图像关于原点对称， 所以，所以或，故满足条件的数对为， 故答案为：. 3．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，则 【答案】0 【分析】根据题意得到关于对称，根据余弦函数的性质可得到，代入函数即可得到答案 【详解】因为是定义在上的奇函数，故关于对称， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为：0 【经典例题四十三 求余弦(型)函数的最小正周期】 【例43】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据给定的函数，利用余弦型函数的周期公式计算即得. 【详解】函数的最小正周期是. 故选：D 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于AD，根据图象变换和周期公式分析判断，对于BC，根据周期公式分析判断. 【详解】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确． 故选：D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数，直线和点是的一组相邻的称轴和对称中心，且在区间上单调递减，则 ． 【答案】 【分析】根据题意求出周期，从而求出，又因为且在区间上单调递减从而求出，再由，即可求解. 【详解】根据题意可得周期，所以，所以， 则时单调递减，即， 又因为在区间上单调递减，所以 则，解得：， 又因为，所以， 又因为，解得， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)求函数在上的单调区间． 【答案】(1)最小正周期为π，最大值为； (2)单调递减区间为和，单调递增区间为． 【分析】（1）根据三角函数恒等变换公式和辅助角公式化简原式，即可求出答案； （2）先计算出原式单调区间，再代入取值范围. 【详解】（1）因为 ； 所以函数的最小正周期为，函数的最大值为； （2）设，解得． 所以函数的单调递减区间是， 又因为， 所以分别取和1，取交集可得在上的单调递减区间为和． 设，解得． 所以函数的单调递增区间是， 又因为， 所以取，取交集可得在上的单调递增区间为． 【经典例题四十四 求含cosx的函数的最小正周期】 【例44】（23-24高一下·湖北十堰·期末）函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【分析】运用周期性定义和奇偶性定义验证即可． 【详解】因为，所以， 所以，则是偶函数. 因为，， 所以是周期为的偶函数. 故选：A. 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 易得两函数的定义域都是，即可判断③；根据偶函数的定义即可判断②；根据正余弦函数的周期性即可判断③；根据正余弦函数的值域及单调性即可判断④. 【详解】函数，的定义域都是，关于原点对称，故③错误； 因为， 所以函数为偶函数， 因为， 所以函数为偶函数，故①正确； 因为， 所以是以为周期的周期函数， 因为， 所以是以为周期的周期函数，故②正确； 因为，所以，即， 因为，所以，即，故④错误， 所以正确的个数有个. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）余弦函数的周期为 ，最小正周期为 .余弦型函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据余弦函数、余弦型函数的周期性可得结果. 【详解】余弦函数的周期为，最小正周期为， 函数的最小正周期为. 故答案为：；；. 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域D，并写出函数的值域； (2)证明该函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间． 【答案】(1)， (2)证明见解析，，． 【分析】（1）由，结合余弦函数的性质可求出定义域和值域； （2）根据函数奇偶性的定义判断，根据周期的定义可求出最小正周期，由的增区间结合定义域可求出函数的增区间. 【详解】（1）由得，，． 则函数的定义域D为， 函数的值域为； （2）因为定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数． 因为， 即2π是的一个周期， 假设T为的一个周期，且， 则对定义域D内的任意一个x恒成立， 取，则， 即，即， 因为，所以， 则不成立， 所以假设不成立，故2π是的最小周期， 因为的单调增区间为，， ，在上为增函数， 结合定义域D可得函数的单调增区间为 ，． 【经典例题四十五 由余弦(型)函数的周期性求值】 【例45】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的周期性，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由题意可得. ∵，，，， ，， ∴ ， ∴ . 故选：A. 1．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）若方程在区间上有5个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，把方程的根转化成两个图象的交点问题，确定出的范围，求解即可． 【详解】解：， ， 令， 要使在有5个不相等的实数根， ， 解得：， 故选：D． 2．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是 ， ．（只需写出一组） 【答案】 【分析】根据余弦函数的周期性当时，满足题意. 【详解】若，则， 当时，，， 故可取， 故答案为：，答案不唯一 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（其中常数）的最小正周期为，求ω的值． 【答案】 【分析】根据题意结合余弦型函数的最小正周期公式运算求解. 【详解】因为，由题意可得，解得. 【经典例题四十六 求cosx(型)函数的对称轴及对称中心】 【例46】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）曲线的一条对称轴的方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由余弦型函数的对称轴方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，得， 当时，对称轴方程为， 所以曲线的一条对称轴的方程可以为． 故选：B 1．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件，结合余弦型函数的周期公式可求，再根据余弦型性质求函数的对称轴即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 所以， 所以， 令，， 可得，， 所以函数的对称轴为，， 结合选项考虑令，化简可得， 所以取，此时对称轴方程为. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）函数，且为偶函数，则 ，图象的对称中心为 ， 【答案】 / 【分析】根据条件，利用的性质，得到，结合，即可得到；从而得到，再利用的性质，即可求出结果. 【详解】因为为偶函数， 则，得到， 又，所以， 得到， 由，得， 所以图象的对称中心为， 故答案为：， 3．（24-25高一上·全国·课前预习）类比正弦函数的对称轴和对称中心，写出余弦函数的对称轴和对称中心. 【答案】； 【分析】由余弦函数图象可得. 【详解】由余弦函数的图象可知， 其对称轴方程是，对称中心的坐标是.    【经典例题四十七 cosx(型)函数的对称轴与单调性、最值的关系】 【例47】（2021·安徽·模拟预测）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在上单调递减 D．是的一条对称轴 【答案】D 【分析】利用周期函数的定义，计算，判断选项；根据三角函的最值，判断选项；根据，化简函数，并判断函数的单调性；利用对称性的定义判断，判断选项. 【详解】 是的一个周期，故A错误； 要使，即，即 ，显然不成立，故B错误； 当时，， 在上先增后减，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查判断含绝对值三角函数的性质，本题的关键是利用周期，对称，最值的定义，根据选项，代入定义，判断选项. 1．（22-23高一下·湖南·阶段练习）设函数，给出下列结论： ①的一个周期为 ②的图像关于直线对称 ③的图像关于点对称 ④在单调递减 其中所有正确结论的编号是（    ）． A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题根据余弦型函数的性质直接求解即可. 【详解】①：的最小正周期为：即，所以①正确； ②：的对称轴为：，即，，所以②正确； ③：的对称中心的横坐标为：，即，，所以对称中心为：，，当时③正确； ④：的单调递减区间为：，即，，所以④错误. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数的图像与性质，是中档题. 2．（23-24高三上·北京密云·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的值可能是3；    ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减；    ④图象的对称轴可能是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】由题意，结合角的范围可得，求出的范围可判断①，利用三角函数的周期公式可判断②，利用三角函数的性质可判断③④. 【详解】函数， ， ， 函数在区间上有且仅有3个对称中心， 则， ，即的取值范围是， 而，故①正确； 周期，由， 得， ， 的最小正周期可能是，故②正确； ， ， ， ， 又， 在区间上单调递减，故③正确； 当，即， 又， ， 当时，， 当时，，故④不正确. 故答案为：①②③. 3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的对称轴方程； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由三角函数为偶函数，求出，再由对称轴间距解出，得到函数表达式，再代入即可； （2）由余弦函数的单调性可求得结果. 【详解】（1）因为函数为偶函数， 所以，又，所以， 所以， 因为函数图象的两相邻对称轴间的距离为，所以最小正周期为， 所以，所以， 所以， ，解得. （2）因为，所以， 由余弦函数的单调性可知， 所以值域为. 【经典例题四十八 利用cosx(型)函数的对称性求参数】 【例48】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由的图象关于原点对称，可求得，再利用充分必要条件的概念判断即可. 【详解】的图象关于原点对称，为奇函数， 因为为的真子集， “函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 1．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得. 【详解】由，得， 由的图象在区间上恰有一个对称中心，得， 所以. 故选：C 2．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数图像的性质，代入对称中心，求得，由此最小值即可求解. 【详解】的图象关于点对称， ，即， 令，可得的最小值为． 故答案为： 3．（22-23高一下·四川广安·阶段练习）设函数，图象的一个对称中心是． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据余弦函数的图象及性质求解即可. 【详解】（1）∵图象的一个对称中心是， ∴， ∴，，即，， 又∵， ∴. （2）由（1）得函数， ∴，， 即，； 故的单调递增区间为，． 【经典例题四十九 cosx(型)函数对称性的其他应用】 【例49】（2025·江苏苏州·模拟预测）考虑函数，记函数，其中为的整数部分，定义为在上满足的根的个数，则以下说法正确的有（    ） A．的值域为 B． C．为周期函数当且仅当为有理数 D．对成立 【答案】B 【分析】对于A，直接给出作为反例即可；对于B，根据定义，将命题转化为求方程在上的解的个数，再用余弦函数的性质即可；对于C，直接说明和或者都是周期函数或者都不是周期函数即可；对于D，利用余弦函数的单调性证明即可. 【详解】对于A，显然当时有，故A错误； 对于B，根据定义，是方程在上的解的个数. 而，故意味着，即. 由于是整数，故，从而是方程在上的解的个数. 又因为，故该方程等价于或，这在上的全部解构成的集合是，共个解，故B正确； 对于C，由于（二者函数值相等或同时没有定义），故和或者都是周期函数，或者都不是周期函数. 所以或者时不是周期函数，或者时是周期函数，无论哪种情况，都能导致C选项错误； 对于D，该选项等价于，对任意，方程在上都有解. 而，故等价于或，即或. 由于恒成立，故方程等价于或，即或.. 但当时，有，； 当时，有； 当时，有； 当时，有. 从而原方程在上无解，从而，故D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用余弦函数的对称性和单调性，以及对取整函数定义的理解. 1．（2022·湖北·模拟预测）下列函数与的图象关于原点对称的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令与关于原点对称，根据即可求对称函数解析式. 【详解】令，与关于原点对称，则， 所以. 故选：C 2．（22-23高一·全国·课后作业）函数，的图象和直线围成的一个封闭的平面图形的面积是 ． 【答案】 【分析】作出函数图象，利用补形法，可以将所求封闭的平面图形，转化为一个边长分别为2和的矩形，可求面积. 【详解】根据题意作图如下：    由余弦函数的性质可知，图形与，与分别是两组对称图形， 则有，，阴影部分面积等于矩形的面积， 根据图形可知：，，矩形的面积为. 即封闭图形的面积为. 故答案为：. 3．（2023·河南·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及最大值； (2)当时，求的所有解之和． 【答案】(1)最小正周期为，最大值为； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再根据周期公式及余弦函数的性质即可得答案； （2）由，可得，作出在上的图象，求出在上对称轴为，根据对称性即可得答案. 【详解】（1）解: ， 故函数的最小正周期， 的最大值为； （2）解：令，则， 画出在上的图象，    可知在上有4个解，设为，， 令， 则为图象的对称轴方程， 当时，是的一条对称轴， 则． 1．（2021高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“五点法”作图，只需令2x＝0，，π，，2π，即可解得答案. 【详解】由“五点法”作图知：令2x＝0，，π，，2π， 解得x＝0，，，，π，即为五个关键点的横坐标， 故选：B. 2．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先求出、的解析式，再根据正弦函数的性质求出使是偶函数且是奇函数时的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，则， ， 若是奇函数，则，解得， 若是偶函数，则，解得， 所以若是偶函数且是奇函数，则， 所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立； 由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立， 所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A 3．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，再由指数、对数函数的单调性得出大小，得出答案. 【详解】由，且在内单调递减， 则，即， 所以，，， 所以， 故选：C 4．（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解. 【详解】由题意可知：为函数的对称轴， 则，则， 对于选项A：令，解得，不合题意； 对于选项B：令，解得，符合题意； 对于选项C：令，解得，不合题意； 对于选项D：令，解得，不合题意； 故选：B. 5．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整体法求解的根，即可根据三个零点列不等式求解. 【详解】令,则，进而可得或， 因此的非负零点有， 要使得在上恰有3个零点，则，解得， 故选：C 6．（23-24高一下·广东茂名·期中）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABD 【分析】画出函数，的图象，再利用数形结合判断交点个数. 【详解】首先画出函数，的图象，    当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；当时，有1个交点；当时，有0个交点. 故选：ABD 7．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）在中，下列命题中正确的是（    ） A．为常数 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若三角形是锐角三角形，则 【答案】AD 【分析】利用三角形的内角和性质并结合诱导公式和三角函数的性质一一分析即可. 【详解】对A，，所以A正确； 对B，或，所以或，所以B错误； 对C，，所以，所以或， 所以或， 当时，如时，不存在，所以C错误； 对D，若为锐角三角形，则，所以， 所以， 所以，所以D正确． 故选：AD. 8．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）下列正确的是（    ） A．若都是第一象限角，且，则 B．的最小正周期是 C．的最小值为 D．的图象与轴有四个交点，且为偶函数，则的所有实根之和为4 【答案】BD 【分析】根据三角函数的终边相同的角与特殊三角函数值举例说明，即可判断A；根据三角函数图象的周期性、对称性可判断B；根据正弦函数的值域，结合复合函数求最值，即可判断C；根据函数的对称性、奇偶性、零点即可判断D． 【详解】对于A：若都是第一象限角，且，例如，但是，故A错误； 对于B：由于函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期是，故B正确； 对于C：函数，故时，函数的最小值为，故C错误； 对于D：因为为偶函数，所以，则函数关于直线对称， 又函数的图象与轴有四个交点，即函数的零点分别为，不妨设， 由于，则，故， 则方程的所有实根之和为4，故D正确； 故选：BD． 9．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设函数，则（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．有最大值 D．是增函数 【答案】ABC 【分析】根据奇偶性的定义可判定A，根据三角函数的周期性可判定B，根据复合函数的单调性可判定C、D. 【详解】对于A，因为的定义域为， 又，所以是偶函数，A选项正确． 对于B，易知， 所以是的一个周期，B选项正确． 对于C，易知，所以，所以有最大值，C选项正确． 对于D，因为在区间单调递减，在上单调递增， 所以在区间单调递减，D选项错误． 故选：ABC 10．（23-24高一下·云南昆明·期末）函数，，，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为单调函数 B．，使得有三个零点 C．，使得有最大值 D．，使得的值域为 【答案】AC 【分析】根据题意得，区间长度为.对于，采用赋值法验证即可；对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，与题干中的区间长度矛盾，即可判断；对于，当时，可得有最大值，即可判断；对于，根据，得，解三角函数不等式即可判断. 【详解】，，. 对于，不防令，则，此时单调递减，故正确； 对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为， 而，故不存在使上述区间长度为，故错误； 对于，当时，取得最大值，，使得有最大值，故正确； 对于，由，得， ， 又，故不存在，使得的值域为，故错误. 故选：. 11．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】由奇函数的性质，可知得.经检验满足题意 故答案为： 12．（20-21高一·全国·课后作业）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】求出函数的周期，再由函数与图象间的关系即可得解. 【详解】函数的最小正周期， 函数的图象是函数在x轴上方的不动，将x轴下方的图象关于x轴翻折得到的， 于是得函数的最小正周期是函数的最小正周期的一半，即， 所以函数的最小正周期是. 故答案为： 13．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】换元法，得到关于的二次函数，再结合二次函数图象，即可求出最小值. 【详解】令，， ， 结合二次函数图象知，当，即，时，有最小值， 所以. 故答案为： 14．（23-24高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用整体代入法求单调递减区间，然后结合定义域可得答案. 【详解】由解得， 因为，所以的单调递减区间为. 故答案为： 15．（23-24高一下·北京门头沟·期中）当时，函数的最小值为 ． 【答案】// 【分析】利用平方关系将函数化为关于的二次函数，结合二次函数性质可解. 【详解】， 令，则， 因为，所以，即， 由二次函数性质可知，当时，. 故答案为： 16．（24-25高一上·全国·课后作业）设． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)试判断是否为周期函数？若是，直接写出的最小正周期． 【答案】(1) (2)该函数为奇函数 (3) 【分析】（1）由对数函数的定义域可知，结合正弦函数的性质解不等式即可得答案； （2）由函数奇偶性定义直接验证即可； （3）由正弦函数的最小正周期能直接推出答案. 【详解】（1）∵， ∴， ∴，， ∴该函数的定义域为 ． （2）由（1）知定义域关于原点对称， 又 ， ∴该函数为奇函数． （3）由于的最小正周期为， ， 即为周期函数，最小正周期． 17．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数的最小正周期是． (1)求的对称轴方程． (2)求在上的最值及其对应的x的值． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）由最小正周期可得，以为整体，结合正弦函数对称轴运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数的性质求解即得. 【详解】（1）因为函数的最小正周期是，且， 则，即， 令，解得， 所以的对称轴方程为. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可得，则 当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值1. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时的所有值的集合： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）利用的最大最小值即可求解； （2）由于，结合二次函数的值域求解即可； （3）利用的最大最小值即可求解； （4）由于，结合二次函数的值域求解即可. 【详解】（1）当时，即时，函数取的最小值，最小值为； 当时，即时，函数取的最大值，最大值为； 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为5，取最大值时对应的取值的集合为 （2）， 因为，所以当时，即时，函数取最小值，， 当时，即时，函数取最大值，， 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为3，取最大值时对应的取值的集合为 （3）因为， 所以当时，取最小值，， 当时，取最大值，， 综上，，取最小值时对应的取值集合为， ，取最大值时对应的取值集合为 （4）， 因为，所以当时，即时，函数取最小值，， 当时，即或时，函数取最大值，， 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为，取最大值时对应的取值的集合为 19．（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小： (1)与； (2)cos1与sin2． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简后，利用余弦函数在上单调性比较大小即可； （2）利用诱导公式变形后，利用正弦函数在上单调性比较大小即可. 【详解】（1）， ， ∵函数在上是减函数，且， ∴，∴， ∴． （2）∵，∴， ∵在上是减函数， 又，且， ∴，即． 20．（2023·河南·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及最大值； (2)当时，求的所有解之和． 【答案】(1)最小正周期为，最大值为； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再根据周期公式及余弦函数的性质即可得答案； （2）由，可得，作出在上的图象，求出在上对称轴为，根据对称性即可得答案. 【详解】（1）解: ， 故函数的最小正周期， 的最大值为； （2）解：令，则， 画出在上的图象，    可知在上有4个解，设为，， 令， 则为图象的对称轴方程， 当时，是的一条对称轴， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $$