专题9.3 向量的数量积（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

本讲义聚焦向量的数量积核心知识点，从物理功的概念引入，系统梳理定义、性质、运算律及常用结论，延伸至夹角、垂直关系、向量模的计算等应用，构建从概念理解到实际运用的完整学习支架。 资料以8大题型分类，例题与变式题结合窗花、正六边形等传统文化情境，培养数学眼光。通过辨析推理训练数学思维，几何应用题目提升用数学语言表达现实问题的能力。课中助教师系统授课，课后变式题助学生巩固查漏。

专题9.3 向量的数量积（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 平面向量数量积的定义及辨析】 3 【题型2 求向量的数量积及其最值】 4 【题型3 求投影向量】 4 【题型4 向量夹角（夹角余弦值）的计算】 5 【题型5 垂直关系的向量表示】 5 【题型6 求向量的模】 6 【题型7 已知模求参数】 7 【题型8 向量数量积的几何应用】 8 知识点1 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中θ是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 我们规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3)； (4)； (5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边 等号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用勾股定理、余弦定理等方法求解. 【题型1 平面向量数量积的定义及辨析】 【例1】（24-25高一下·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（24-25高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-2】（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（ 　） A． B． C． D． 【题型2 求向量的数量积及其最值】 【例2】（24-25高一下·陕西渭南·期末）设向量，的夹角为，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式2-1】（24-25高一下·北京·期中）已知向量和的夹角为，且，，则等于（   ） A．12 B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·广东·月考）窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-3】（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 求投影向量】 【例3】（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，则在上的投影数量为（   ） A． B． C．2 D． 【变式3-2】（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，满足，，且向量，的夹角为60°，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【题型4 向量夹角（夹角余弦值）的计算】 【例4】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【题型5 垂直关系的向量表示】 【例5】（24-25高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式5-2】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【变式5-3】（24-25高一下·江苏·月考）如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 【题型6 求向量的模】 【例6】（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高三下·广东惠州·月考）已知平面向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 【变式6-2】（24-25高一下·河南三门峡·月考）如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一下·四川遂宁·期末），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【题型7 已知模求参数】 【例7】（2025·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 【变式7-1】（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式7-2】（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 【变式7-3】（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【题型8 向量数量积的几何应用】 【例8】（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，是这6个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【变式8-1】（24-25高一下·贵州毕节·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一·全国·假期作业）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.    【变式8-3】（24-25高一下·广西南宁·月考）如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)判断的形状； (2)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 向量的数量积（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 平面向量数量积的定义及辨析】 3 【题型2 求向量的数量积及其最值】 5 【题型3 求投影向量】 7 【题型4 向量夹角（夹角余弦值）的计算】 8 【题型5 垂直关系的向量表示】 10 【题型6 求向量的模】 12 【题型7 已知模求参数】 14 【题型8 向量数量积的几何应用】 15 知识点1 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中θ是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 我们规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3)； (4)； (5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边 等号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用勾股定理、余弦定理等方法求解. 【题型1 平面向量数量积的定义及辨析】 【例1】（24-25高一下·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③. 【解答过程】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确，④错误， 故选：D. 【变式1-1】（24-25高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【解答过程】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平面向量数量积的定义即可判断. 【解答过程】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 【变式1-3】（2025高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量的数量积及向量加法法则，逐项分析判断即得. 【解答过程】，当且仅当共线时取等号，A错误； 由向量加法的三角形法则知，，当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误； 是与共线的向量，是与共线的向量，因此与不一定相等，C错误； ，因此，D正确. 故选：D. 【题型2 求向量的数量积及其最值】 【例2】（24-25高一下·陕西渭南·期末）设向量，的夹角为，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【解答过程】. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一下·北京·期中）已知向量和的夹角为，且，，则等于（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量数量积公式得到答案. 【解答过程】. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一下·广东·月考）窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的线性运算将化为、、表示，再根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【解答过程】依题意得，，，， 所以， ， 所以 ． 故选：B． 【变式2-3】（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先设，将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律求出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【解答过程】设，因为，所以. 因为，所以. 则， 因为， . 所以. 令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为. 故选：D. 【题型3 求投影向量】 【例3】（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可. 【解答过程】由于向量，满足，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，则在上的投影数量为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据在上的投影数量为，代入计算求解即可． 【解答过程】由在上的投影数量为． 故选：A． 【变式3-2】（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，满足，，且向量，的夹角为60°，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据投影向量定义计算即可. 【解答过程】因为，，且向量，的夹角为60°， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意得，故根据数量积定义、投影向量定义即可求解． 【解答过程】由题意可知，，得到，即， 所以， 则向量在向量上的投影向量是． 故选：B． 【题型4 向量夹角（夹角余弦值）的计算】 【例4】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【解答过程】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【解答过程】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】两边平方展开后化简得到关于的方程，解方程即可. 【解答过程】由两边平方得，，所以． ， 故选：C． 【变式4-3】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角. 【解答过程】由，可得， 又， 所以解得：， 所以， 又所以， 所以与的夹角为． 故选：C. 【题型5 垂直关系的向量表示】 【例5】（24-25高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入计算即可求出. 【解答过程】因为，，， 所以. 因为，所以， 所以. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用投影向量的定义推出，利用向量垂直的充要条件列式并化简，整理成关于的方程，求解即得. 【解答过程】因向量在向量上的投影向量为， 可得，即①， 由可得， 又，故可得：， 因是非零向量，故，解得. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解； （2）根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解. 【解答过程】（1）因为，，，则， 又因为，所以． （2）因为，则， 可得， 即，解得. 【变式5-3】（24-25高一下·江苏·月考）如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】(1)利用向量的线性运算和数量积运算可判断垂直； (2) 利用向量的线性运算和数量积运算，即可求值. 【解答过程】（1） 由 因为正方形的边长为，所以有： ， 所以，即； （2）由， 因为正方形的边长为，所以有： ， 即. 【题型6 求向量的模】 【例6】（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【解答过程】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 【变式6-1】（24-25高三下·广东惠州·月考）已知平面向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果. 【解答过程】因为，所以，即， 因为，所以， ，又， 所以. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一下·河南三门峡·月考）如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果. 【解答过程】由题意得，，， ∵若是边的中点，是边的中点， ∴， ∴①＋②得，， ∴ ， ∴，故. 故选：D. 【变式6-3】（24-25高一下·四川遂宁·期末），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，先求，再利用向量的模长公式可得即可求解. 【解答过程】设，则， ， 当时取等，所以的最大值是. 故选：C. 【题型7 已知模求参数】 【例7】（2025·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 【答案】D 【解题思路】根据条件将两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可. 【解答过程】，即， 解得或. 故选：D. 【变式7-1】（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】由题意，，由得，进而可得. 【解答过程】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)-4 (2)或3. 【解题思路】（1）代入向量数量积的定义，即可求解； （2）根据模长，转化为向量数量积的运算，即可求解. 【解答过程】（1）由向量，的夹角为，且， 得. （2）由（1）知，，由，得，即， 整理得，解得或， 所以的值是或3. 【变式7-3】（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)或. 【解题思路】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. 【题型8 向量数量积的几何应用】 【例8】（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，是这6个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【解题思路】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【解答过程】 过C作交延长线于E点，则， 因为6个正六边形边长均为2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一下·贵州毕节·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用平面向量数量积的几何意义可解问题. 【解答过程】过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示： 其中，故， 当点在线段上时，取最小值， 此时，， 当点在线段上时，取最大值， 此时， ， 综上所述，. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高一·全国·假期作业）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.    【答案】 【解题思路】根据向量的加减法化简，结合模长及数量积的运算律计算求解. 【解答过程】如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. 【变式8-3】（24-25高一下·广西南宁·月考）如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)判断的形状； (2)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)最小值， 【解题思路】（1）根据数量积求出后可判断三角形形状； （2）结合向量的线性运算可得，故可求向量和的模； （3）设，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求的最小值. 【解答过程】（1），， 则，即， 故为等边三角形. （2）当时，、为边的三等分点， 设为中点，且， 所以， 故. （3）设， 当时，、、为边的四等分点， ， 设，其中，则， ， 所以 ， 当且仅当即时，取最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $