专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心知识点，先通过基底概念、分解唯一性构建平面向量基本定理框架，再延伸至正交分解、坐标运算（线性运算、数量积、共线垂直判定），形成从几何表达到代数量化的完整学习支架。 资料以9大题型（基底辨析、用基底表示向量等）为主线，例题搭配变式题，强化从具体情境抽象向量关系的数学眼光，通过参数求解、最值问题培养逻辑推理的数学思维，助力教师课中分层教学，学生课后可借实例巩固坐标运算，弥补知识盲点。

专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 基底的概念及辨析】 1 【题型2 用基底表示向量】 2 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 3 【题型4 平面向量基本定理的应用】 4 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 7 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 8 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 8 【题型8 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题】 9 【题型9 向量坐标运算的几何应用】 10 知识点1 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-2】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                     ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式1-3】（24-25高一下·河南郑州·期中）设是平面内两个不共线的向量，则以下不可作为该平面内一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·山东青岛·期末）在中，，为的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·甘肃·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（24-25高一下·天津静海·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【题型4 平面向量基本定理的应用】 【例4】（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【变式4-2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【变式4-3】（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． (1)用，表示． (2)求． (3)若，求的值． 知识点2 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 【例5】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·广东东莞·月考）平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【变式6-1】（24-25高一下·贵州安顺·期末）已知向量，，若⊥，则与的夹角为（   ） A．45° B．135° C．30° D．60° 【变式6-2】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【变式6-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量． (1)求； (2)求向量与的夹角的大小； (3)若向量满足，求实数的值． 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式7-1】（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【变式7-2】（24-25高一下·湖南永州·期末）已知，，. (1)若，求λ的值； (2)当k为何值时，？ 【变式7-3】（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值． 【题型8 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题】 【例8】（24-25高一下·安徽合肥·月考）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【变式8-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    【题型9 向量坐标运算的几何应用】 【例9】（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【变式9-3】（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 基底的概念及辨析】 1 【题型2 用基底表示向量】 4 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 6 【题型4 平面向量基本定理的应用】 8 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 13 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 14 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 16 【题型8 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题】 18 【题型9 向量坐标运算的几何应用】 21 知识点1 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【解答过程】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于D，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【解答过程】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ， ，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                     ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【解答过程】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高一下·河南郑州·期中）设是平面内两个不共线的向量，则以下不可作为该平面内一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，若向量不共线，则可作为该平面内一组基底，由此对各选项加以判断即可. 【解答过程】对于A，若共线，则存在唯一实数，使，则， 因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立， 所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以A错误， 对于B，因为，所以， 所以共线，所以不可作为该平面内一组基底，所以B正确， 对于C，若共线，则存在唯一实数，使，则， 因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立， 所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以C错误， 对于D，若共线，则存在唯一实数，使，则， 因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立， 所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以D错误， 故选：B. 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【解答过程】由图知， . 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一下·山东青岛·期末）在中，，为的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平行四边形法则结合已知条件表示出向量即可. 【解答过程】由题如图所示： 因为为的中点，，， 所以 ， 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量基本定理得到答案. 【解答过程】点是的中点，， ． 故选：D． 【变式2-3】（24-25高一下·甘肃·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图形，利用向量的线性运算即可求得. 【解答过程】由图知，. 故选：C. 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【解答过程】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，所以． 故选：A． 【变式3-1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【解答过程】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一下·天津静海·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【解题思路】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【解答过程】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C. 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【解题思路】由得，进而，最后利用平面向量基本定理即可求解. 【解答过程】由四边形为平行四边形，为的中点，知，且， 所以，则． 因为， 所以，，所以． 故选：C． 【题型4 平面向量基本定理的应用】 【例4】（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【解答过程】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解答过程】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【解答过程】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 【变式4-3】（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． (1)用，表示． (2)求． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用向量基本定理得到； （2），利用向量数量积运算法则得到，并得到，，利用向量余弦夹角公式得到； （3）由向量基本定理得到，由向量共线定理的推论得到，得到答案. 【解答过程】（1） （2）， ， 其中 ， ， ； （3）， 三点共线，∴设，即， 故， ∴，， ， . 知识点2 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 【例5】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断. 【解答过程】由，，，得， 所以. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据坐标运算求解即可. 【解答过程】因为，所以， 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【解答过程】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高一下·广东东莞·月考）平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由四边形为平行四边形可得，利用平面向量的坐标运算，计算即可. 【解答过程】由题意，设， 四边形为平行四边形， ， 则， 即，解得， 故. 故选：A. 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】A 【解题思路】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解. 【解答过程】， . 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一下·贵州安顺·期末）已知向量，，若⊥，则与的夹角为（   ） A．45° B．135° C．30° D．60° 【答案】A 【解题思路】根据两向量垂直得到方程，求出，进而得到，，利用向量夹角余弦公式进行求解. 【解答过程】因为⊥，所以，解得， ，， 设与的夹角为，则， 所以. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【解题思路】（1）直接由数量积的坐标运算公式计算即可求解； （2）根据向量线性运算和模的坐标计算公式求解即可； （3）根据向量线性运算和数量积的坐标计算公式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 【变式6-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量． (1)求； (2)求向量与的夹角的大小； (3)若向量满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用向量的数量积的坐标公式计算即得； （2）利用向量的夹角公式计算即得； （3）利用向量相等构造方程求得，即得结果. 【解答过程】（1）由向量，得. （2）由向量，得， 又，于是， 而，所以. （3）依题意，即， 于是，解得. 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【解答过程】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【解答过程】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 【变式7-2】（24-25高一下·湖南永州·期末）已知，，. (1)若，求λ的值； (2)当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数量积坐标运算； （2）根据共线向量的坐标公式计算. 【解答过程】（1）由题可知，，， ，， 解得； （2）由，得， ， ， ， . 【变式7-3】（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据向量平行的坐标表示即可列方程求解； （2）根据向量垂直的坐标表示以及数量积的运算律，即可化简求解. 【解答过程】（1）由于， 若，则满足， 解得； （2）与垂直，则， 即， 故， 化简可得，解得或. 【题型8 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题】 【例8】（24-25高一下·安徽合肥·月考）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【解答过程】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，    ，设，， 因此有 因为， 所以有， 而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值， 所以的取值范围是， 故选：B. 【变式8-1】（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答. 【解答过程】在正六边形中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则点， 因此， 因为，则， 于是得点，又点是内（包括边界）的一个动点， 显然点P在直线及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式8-2】（2025·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围. 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系： 则，所以， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 【变式8-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    【答案】 【解题思路】建立直角坐标系，确定向量坐标，根据得到，，根据得到，变换，计算得到答案. 【解答过程】由题意，易知不为，建立如图所示坐标系，    设点，，，， ，，， ，，即， ，， ，， 故，即， 设， 当三点共线时，在直线的异侧，故，则， 则，即， 故，即， 解得或（舍去）； 故答案为：． 【题型9 向量坐标运算的几何应用】 【例9】（25-26高二上·河北邢台·开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故．    故选：D． 【变式9-1】（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C.    【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【解答过程】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 【变式9-3】（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得 ，然后利用平方非负求解即可. 【解答过程】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得 ； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $