专题07 统计与概率12大题型（高效培优期末专项训练）高一数学上学期人教B版2019

专题07 统计与概率12大题型 考点01分层抽样 考点02统计图的分析 考点03平均数、中位数、众数在具体数据中的应用 考点04极差、方差、标准差在具体数据中的应用 考点05百分位数在具体数据中的应用 考点06频率分布直方图的相关计算 考点07用样本平均数和样本方差估算总体 考点08事件关系的判断 考点09简单古典概型的计算 考点10互斥与对立 考点11事件独立性的判断 考点12独立事件概率的计算 考点01分层抽样 1．某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】B 【详解】A，B产品产量之比为，型号的产品有40件 B型号的产品有60件， ． 故选：B． 2．一支田径队有男运动员人，女运动员人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设女运动员抽取的人数为，由分层抽样得，解得. 故选：B. 3．（多选）某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为，为了了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则下列结论正确的是（   ） A．样本中有60名女生 B．样本容量为132 C．高一学生共有1430人 D．高一有720名男生 【答案】ABD 【详解】依题意可得，解得，则样本容量为，男生数为，抽取了（名）女生． 4．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为（   ） A．40 B．70 C．110 D．150 【答案】A 【详解】依题意，中卷录取的比率为：， 故会试录取人数为400时，中卷录取人数为. 故选：A. 5．学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为，，.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取 人. 【答案】 【详解】由分层抽样可得应从书法类兴趣小组抽取人， 故答案为：. 考点02统计图的分析 6．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】A 【详解】该组数中位数为，70百分位数为，所以，故. 故选：A. 7．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 【答案】A 【详解】从统计图中知，85分出现的次数最多，故众数是85； 把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数， 而，故中位数是； 故只有选项A正确； 故选：A． 8．从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为，设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平均数， 数据从小到大排列为：，第五个数为79，第六个数为81，所以中位数， 出现次数最多的是众数，所以众数， 所以. 故选：C. 9．（多选）已知一组数据共有6个数，其中5个数为2，1，4，1，0.下列叙述正确的是（   ） A．这组数据的标准差一定不为0 B．这组数据的众数一定不为3 C．这组数据的中位数一定小于平均数 D．这组数据的极差可能小于平均数 【答案】AB 【详解】对于A，若这组数据的标准差为0，根据标准差的公式， 可得每个数应均与平均数相等，显然不是，故A正确； 对于B，这组数据中没有3，所以众数一定不为3，故B正确； 对于C，这组数据的中位数与平均数不确定，故C错误； 对于D，设这组数据的第6个数为，若，则平均数为，极差为，可得； 若，平均数为，极差为4，可得； 若，则平均数为，极差为，，综上可得极差不可能小于平均数，故D错误. 故选：AB. 10．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 . 【答案】 【详解】设丢失的数据为，则这七个数的平均数为，众数为， 因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，分以下几种情况讨论： 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得. 综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为. 故答案为：. 考点03平均数、中位数、众数在具体数据中的应用 11．已知某9个数的平均数为5，方差为.现又加入一个新数5，此时这10个数的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵， ∴，解得. 故选：B 12．（多选）已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法不正确的是（   ） A．极差是5 B．众数不等于平均数 C．方差是 D．分位数是3 【答案】ABC 【详解】将，从小到大排列，得. 对于，由已知样本数据的最大值为，最小值为，所以极差为，故不正确； 对于，样本数据的众数为，平均数为，所以众数等于平均数，故不正确； 对于，方差为，故不正确； 对于，因为，所以分位数是第6个数，即，故正确. 故选：ABC. 13．（多选）一组数据的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意可得，，，，. 故选：AD 14．已知数据均为整数且互不相等，若该组数据的平均数、中位数、极差均为4，则这组数据的方差为 ． 【答案】2 【详解】不妨设．因为这组数据的平均数、中位数均为4，所以． 因为这组数据的极差为4，所以这组数据只能是2，3，4，5，6， 方差为 故答案为：2. 15．已知15个数，，  ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，，  ，的方差为 ． 【答案】 【详解】由题意知，，， 所以，所以剩余的10个数的平均数为． 根据方差公式， 得，， 即，， 所以， 所以剩余的10个数的方差为． 故答案为：． 考点04极差、方差、标准差在具体数据中的应用 16．已知一组数据：的平均数为.则该组数据的分位数为（   ） A．11.5 B．12 C．12.5 D．13 【答案】C 【详解】由题意平均数：，解得：， 则这组数按从小到大排列为：，共个， 则， 所以第百分位数为， 故选：C. 17．样本数据，，，，，，，的第百分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，将样本数据按从小到大顺序排列为，，，，，，，， 由于，所以该组数据的第百分位数为. 故选：D 18．若数据3，5，6，8，9，，18，21的上四分位数为15，则的值为（    ） A．12 B．15 C．21 D．22 【答案】A 【详解】因为， 若，则，解得，若，则上四分位数为，不合题意， 若，则上四分位数为不合题意， 故选：A. 19．为了解某校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的第三四分位数为（   ） A．51 B．58 C．59 D．58.5 【答案】B 【详解】第三四分位数，即75百分位数，， 故将10名学生体重从小到大排序，选取第8个数作为第三四分位数，即58. 故选：B 20．（多选）一组数据、、、、，满足，若去掉、后组成一组新数据，则新数据与原数据相比（    ） A．极差变小 B．平均数变小 C．第百分位数变小 D．方差变小 【答案】AD 【详解】对于A选项，原数据的极差为，新数据的极差为， 因为，，则，由不等式的基本性质可得， 故极差变小，A对； 对于B选项，不妨取， 则原数据的平均数为，新数据的平均数为， 此时，原数据和新数据的平均数不变，B错； 对于C选项，对于原数据，因为，则原数据的第百分位数为， 对于新数据，因为，故新数据的第百分位数为， 由不等式的性质可得，故第百分位数变大，C错； 对于D选项，去掉两个数据、后，极差变小，样本数据波动性变小，故方差变小，D对. 故选：AD. 21．样本数据5，5，6，7，9的80百分位数为 【答案】8 【详解】因为， 故数据5，5，6，7，9的80百分位数应是第4个数与第5个数的平均数， 即. 故答案为：8. 考点05百分位数在具体数据中的应用 22．胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.胡晓按每次通话的时间长短进行分组（每组为左闭右开），画出了频率分布直方图. 以下说法正确的是（  ）（多选） A．手机通话时长在区间的次数为9 B．手机通话时长的众数为2.5 C．手机通话时长的平均数为11.6 D．手机通话时长在10分钟以上的频率为0.5 【答案】ABC 【详解】对于A，手机通话时长在区间的次数为，故A正确； 对于B，手机通话时长的众数为，故B正确； 对于C，手机通话时长的平均数为 ，故C正确； 对于D，手机通话时长在10分钟以上的频率为，故D错误. 故选：ABC. 23．（多选）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 【答案】ABD 【详解】对于A，由频率分布直方图可得， 解得，故A正确； 对于B，成绩在内的人数为人，B正确； 对于C，90分以上的频率为，故估计有的学生获一等奖，故C错误； 对于D，上四分位数即为第百分位数， 而前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故名学生成绩的上四分位数为分， 故选：ABD. 24．抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．    【答案】 【详解】因为频率分布直方图中所有矩形面积之和为， 则有，解得， 评分的平均数为. 故答案为：；. 25．某校60名同学数学竞赛的成绩（满分：100分）均在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，若从这60名参赛者中随机选取1人，试估计其成绩在的概率为 ．    【答案】0.05 【详解】由图可知，，解得， 成绩在的频率为，以频率为概率估计概率为0.05． 故答案为：0.05 26．对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元． (1)求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式； (2)为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以及季度用水量的第75百分位数． 【答案】(1)； (2)，季度用水量的第75百分位数为． 【分析】 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 所以与之间的函数关系式为. （2）由（1）知，当时，，即季度用水量超过的占， 结合频率分布直方图知，解得． 设第分位数为， 因为季度用水量低于的所占比例为，低于的占， 所以第分位数在内，故，解得， 即季度用水量的第分位数为． 27．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b. (1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数； (2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值． 【答案】(1)a=0.15.b=0.06，众数为4.5吨. (2)5.8 【分析】 【详解】（1）由题意可得 . 解得，. 由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数为吨. （2）因为前6组的频率和为， 前5组的频率和为. 所以，由，解得， 所以估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准． 28．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是（单位：厘米），样本数据分组为. (1)求出的值； (2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量的数值； (3)根据频率分布直方图提供的数据及（2）中的条件，求出样本中身高位于的人数. 【答案】(1)； (2)； (3)人. 【分析】 【详解】（1）由题意，解得. （2）设样本中身高小于100厘米的频率为，则. 而，故. （3）样本中身高位于的频率， 身高位于的人数（人）. 考点06频率分布直方图的相关计算 29．用抽签法抽取的一个容量为10的样本的平均数为12，方差为6，用随机数表法抽取的一个容量为20的样本的平均数为15，方差为9，则样本的方差为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【详解】由题知的平均数为， 则所求方差. 故选：B. 30．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 【答案】 【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为， 则样本中所有员工的体重的方差， 所以样本中所有员工的体重的方差为. 故答案为： 31．已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为 ，方差为 ． 【答案】 【详解】由已知可得平均数为， 方差为， 故答案为：，. 32．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的众数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 【答案】(1) (2)众数为75，平均数为74 (3)总平均数为60，总方差为23 【分析】 【详解】（1）各组小矩形的面积之和为1， ， . （2）由频率分布直方图可知：众数为75， 平均数为. 故估计样本成绩的众数为75，平均数为74. （3）由图可知，成绩在的人数为，成绩在的人数为， 故两组成绩合并后的总平均数为， 总方差为. 考点07用样本平均数和样本方差估算总体 33．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 34．对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为（　　） A．样本空间 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】C 【详解】解：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1，2，3，4，5，6， 所以在掷一枚骰子的试验中，出现零点是不可能事件， 故选：C． 35．如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（    ） A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮 C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮 【答案】C 【详解】由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮. 故选：C. 36．现有10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品.有以下事件：从这10个产品中任意抽取4个产品，①4个产品都是正品；②至少有1个次品；③4个产品都是次品；④至少有1个正品.其中随机事件为 ，不可能事件为 ，必然事件为 .（填序号） 【答案】 ①② ③ ④ 【详解】10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品.，从中任意抽取4个产品，则至少有一个是正品，故④为必然事件，而不可能4个产品都是次品，故③为不可能事件，可能会4个产品都是正品，可能会至少有1个次品，所以①②是随机事件 故答案为：①②；③；④ 考点08事件关系的判断 37．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【答案】B 【详解】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选：B. 38．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A表示事件“点数大于3”，B表示事件“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】表示“点数为2”， 表示“点数5”， 表示“点数为3或2或1或4或6”， 表示“点数为1或3或4或5或6”， 故选：B 39．（多选）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，“点数大于3”，“点数大于2”，显然，A正确； 对于B，“点数为4”，“点数大于3”，，B正确； 对于C，由A选项知，，则，C错误； 对于D，“点数大于2”，“点数不大于2”，显然不能同时发生，则，D正确. 故选：ABD. 40．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确； 对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况： 两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故，故C正确； 对于D，由于，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确． 故选：ABC 41．（多选）同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的随机事件不可能是（    ） A．第一枚掷出5点，第二枚掷出2点 B．第一枚掷出3点，第二枚掷出3点 C．第一枚掷出1点，第二枚掷出2点 D．第一枚掷出6点，第二枚掷出2点 【答案】ABC 【详解】因为记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为， 所以第一枚掷出5点，第二枚掷出2点时，， 第一枚掷出3点，第二枚掷出3点时，， 第一枚掷出1点，第二枚掷出2点时，， 第一枚掷出6点，第二枚掷出2点时，， 所以表示的随机事件不可能是A,B,C，可能是D. 故选：ABC 42．（多选）从个女生和个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：“至少有一个是女生”，“至少有一个男生”，“恰有一个男生”，“两个都是女生”，“恰有一个女生”.下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．， 【答案】AD 【详解】对于A，事件均为：“选出的两个人是个男生和个女生”，则，A正确； 对于B，事件：“选出的两个人是个男生和个女生或者个女生”，事件：“选出的两个人是个男生和个女生或者个男生”，则，B错误； 对于C，事件包含的样本点都不相同，则，C错误； 对于D，事件包含的样本点都不相同，则； 事件：“选出的两个人是个男生和个女生或者个男生”；事件：“选出的两个人是个女生”，则包含了样本空间中所有的样本点，，D正确. 故选：AD. 考点09简单古典概型的计算 43．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：共3组， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A. 44．从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】60名女生中，偏理科与偏文科的人数比为， 所以分层抽样抽取6人，偏理科的人数为，设为， 偏文科的人数为，设为， 故随机抽取3人，一共有以下情况， ， ， ，共20种情况， 其中至少有2人偏理科的情况为 ， ， 共16种情况，所以随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是. 故选：D 45．若将，，，，这个数字不重复填入如下表格中，有个表格中数字不能确定，用字母，，，表示，但可以确定为奇数，则的概率为 ． 【答案】 【详解】由已知数组的所有情况有，，，，，，，，，，，， 对应实数对的所有情况有，，，，，，，，，，，，共种， 其中满足的有，，，，共种， 所以满足的概率， 故答案为：. 46．一个袋子中有4个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．已知取出的2个球都是红球的概率为，那么 ． 【答案】6 【详解】设事件“两次取出的都是红球”，则. 因为，所以， 所以，解得． 故答案为：6. 47．一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】 【详解】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示． 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“电路是通路”等价于，，且，至少有一个是1， 所以. 所以. 48．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了 100名候选者的面试成绩并分成五组:第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数及中位数(保留一位小数)； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自不同组的概率. 【答案】(1)，；平均数：；中位数约为. (2) 【分析】 【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，则， 解得，又因，解得. 故候选者面试成绩的平均数为：； 因前2组的频率之和为，前3组的频率之和为， 故中位数在第3组，设为，依题意，，解得； （2）由图知，第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为， 第五组志愿者人数为1，设为，从这5人中选出2人，所有情况有共10种， 其中选出的两个来自不同组的情况有共4种，故选出的两个来自不同组的概率为. 考点10互斥与对立 49．金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 【答案】C 【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有： （1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213）， （1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314）， （2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224）， （1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种， 其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，. 由可得A与C不是对立事件，选项A错误. ，C与D不相互独立，选项B错误. ，A与D相互独立，选项C正确. 由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误. 故选：C. 50．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（   ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是对立事件 C．事件与事件是互斥事件 D．事件与事件是互斥事件 【答案】D 【详解】解：由题意可知：所以基本事件为： ， ； ；， 所以，，， 对于A，因为，而，故错误； 对于B，因为， 所以事件与事件不是对立事件，故错误； 对于C，因为， 则， 所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 对于D，因为，， 所以， 所以事件与事件是互斥事件，故正确. 故选：D. 51．（多选）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是11”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与对立 【答案】AC 【详解】解：因为， ， ， ， 所以，所以与互斥，故选项A正确； ， 所以与不互斥，故选项B错误； ，所以与C不互斥，故选项D错误； ，所以， 所以与独立，故选项C正确； 故选：AC 52．（多选）10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（   ） A．恰有1件次品 B．至多有1件次品 C．至少有1件次品 D．都是正品 【答案】AD 【详解】10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件， 在A中，“恰有1件次品”与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件，故A正确； 在B中，“至多有1件次品”与事件“1件正品2件次品”是对立事件，故B错误； 在C中，“至少有1件次品”与事件“1件正品2件次品”能同时发生，不是互斥事件，故C错误； 在D中，“都是正品”与事件“1件正品2件次品”互斥不对立，故D正确. 故选：AD 53．（多选）将颜色分别为红、绿、白的3个小球随机分给甲、乙、丙三个人，每人1个，则（   ） A．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”互斥 B．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”互斥 C．事件“甲分得红球，乙分得绿球”的对立事件是“丙分得红球或绿球” D．事件“甲分得红球，乙分得绿球”发生的概率是 【答案】AB 【详解】试验的样本空间(甲红,乙绿,丙白),(甲红,乙白,丙绿),(甲绿,乙白,丙红),(甲绿,乙红,丙白),(甲白,乙绿,丙红),(甲白,乙红,丙绿)， 对于A，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”不可能同时发生，它们互斥，A正确； 对于B，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”不可能同时发生，它们互斥，B正确； 对于C，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”可以同时不发生，它们不对立，C错误； 对于D，样本空间共有6个样本点，事件"甲分得红球，乙分得绿球"发生的概率是，D错误. 故选：AB. 考点11事件独立性的判断 54．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】D 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 55．已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（    ） A．与相互独立且 B．与不相互独立且 C．与相互独立且 D．与不相互独立且 【答案】C 【详解】由题设，，， 所以事件与事件相互独立； 由概率的性质，有. 故选：C 56．若事件 、 满足 ，则 与 的关系是（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．互斥且相互独立 【答案】C 【详解】因为，. 又因为 ，所以有 ， 所以事件 与 相互独立，不互斥也不对立. 故选：B. 57．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第1枚为正面”，事件B是“第2枚为正面”，事件C是“2枚结果相同”，则事件A与B，A与C，B与C中相互独立的事件有（   ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【详解】由题意，．故，即事件A与B，A与C，B与C中相互独立的事件有3对． 58．（多选）设样本空间含有等可能的样本点，记事件，事件，事件，则下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C互斥 【答案】AD 【详解】对于A，，因为，则， 所以，即事件A与事件B相互独立，故A正确； 对于B，，所以，而， 所以，故B错误； 对于C，，所以事件A与事件B不互斥，故C错误； 对于D，，所以事件A与事件C互斥，故D正确； 故选：AD. 59．某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件不相互独立，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因为，即只摸次球， 红包总金额不高于元，即为元或元， 从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为元的概率为，为元的概率为， 故甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率为. （2）当时，“甲员工获得的红包总金额为元或元或元”， 因为，所以. 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 所以； 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 因为，所以， 所以， 所以事件不相互独立. 考点12独立事件概率的计算 60．在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 【答案】 【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥， 所以， 故答案为：. 61．甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． (1)求恰好比赛3局后甲获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件， 所以，则， 所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为. （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则， 因为， 且， 所以， 即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为. 62．甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设事件表示甲发球甲获胜，事件表示乙发球甲获胜； 事件表示甲发球乙获胜，事件表示乙发球乙获胜； 可知. 则第二局比赛结束后乙获胜，即； （2）第四局比赛结束后甲获胜，则第四局一定是甲获胜，前三局甲胜2局，乙胜1局， 则事件概率为； （3）第六局比赛结束后甲获胜，则第六局一定是甲获胜，前面五局中甲获胜3句，乙获胜2局，则事件概率为 ； 则第六局比赛结束后甲获胜的概率为. 63．小林和小郑都参加英语口语面试，小林通过的概率为，小林和小郑都能通过的概率为，并且在面试过程中小林与小郑互不影响． (1)求小郑通过的概率； (2)求小林、小郑恰有一人通过的概率； (3)求小林、小郑中至少有一人不通过的概率． 【答案】(1)小郑通过的概率为. (2)小林、小郑恰有一人通过的概率为. (3)小林、小郑中至少有一人不通过的概率为. 【详解】（1）设事件A为“小林通过”，事件B为“小郑通过”，则事件A、B为独立事件: ，， 所以， 故小郑通过的概率为：. （2）小林、小郑恰有一人通过分两种情况：①小林通过且小郑未通过；②小郑通过且小林未通过.则： ， 故小林、小郑恰有一人通过的概率为：. （3）小林、小郑中“至少有一人不通过”为“两人同时通过”的对立事件，即： 故小林、小郑中至少有一人不通过的概率为：. 64．小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 【答案】(1)． (2)． 【分析】 【详解】（1）记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件， 所以，即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为． （2）记“小张在两轮比赛中答对题”为事件， “小胡在两轮比赛中答对题”为事件， “在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件， 所以，， ，， 所以， 即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 统计与概率12大题型 考点01分层抽样 考点02统计图的分析 考点03平均数、中位数、众数在具体数据中的应用 考点04极差、方差、标准差在具体数据中的应用 考点05百分位数在具体数据中的应用 考点06频率分布直方图的相关计算 考点07用样本平均数和样本方差估算总体 考点08事件关系的判断 考点09简单古典概型的计算 考点10互斥与对立 考点11事件独立性的判断 考点12独立事件概率的计算 考点01分层抽样 1．某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．200 2．一支田径队有男运动员人，女运动员人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为，为了了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则下列结论正确的是（   ） A．样本中有60名女生 B．样本容量为132 C．高一学生共有1430人 D．高一有720名男生 4．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为（   ） A．40 B．70 C．110 D．150 5．学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为，，.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取 人. 考点02统计图的分析 6．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 7．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 8．从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为，设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知一组数据共有6个数，其中5个数为2，1，4，1，0.下列叙述正确的是（   ） A．这组数据的标准差一定不为0 B．这组数据的众数一定不为3 C．这组数据的中位数一定小于平均数 D．这组数据的极差可能小于平均数 10．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 . 考点03平均数、中位数、众数在具体数据中的应用 11．已知某9个数的平均数为5，方差为.现又加入一个新数5，此时这10个数的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 12．（多选）已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法不正确的是（   ） A．极差是5 B．众数不等于平均数 C．方差是 D．分位数是3 13．（多选）一组数据的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（   ） A． B． C． D． 14．已知数据均为整数且互不相等，若该组数据的平均数、中位数、极差均为4，则这组数据的方差为 ． 15．已知15个数，，  ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，，  ，的方差为 ． 考点04极差、方差、标准差在具体数据中的应用 16．已知一组数据：的平均数为.则该组数据的分位数为（   ） A．11.5 B．12 C．12.5 D．13 17．样本数据，，，，，，，的第百分位数为（    ） A． B． C． D． 18．若数据3，5，6，8，9，，18，21的上四分位数为15，则的值为（    ） A．12 B．15 C．21 D．22 19．为了解某校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的第三四分位数为（   ） A．51 B．58 C．59 D．58.5 20．（多选）一组数据、、、、，满足，若去掉、后组成一组新数据，则新数据与原数据相比（    ） A．极差变小 B．平均数变小 C．第百分位数变小 D．方差变小 21．样本数据5，5，6，7，9的80百分位数为 考点05百分位数在具体数据中的应用 22．胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.胡晓按每次通话的时间长短进行分组（每组为左闭右开），画出了频率分布直方图. 以下说法正确的是（  ）（多选） A．手机通话时长在区间的次数为9 B．手机通话时长的众数为2.5 C．手机通话时长的平均数为11.6 D．手机通话时长在10分钟以上的频率为0.5 23．（多选）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 24．抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．    25．某校60名同学数学竞赛的成绩（满分：100分）均在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，若从这60名参赛者中随机选取1人，试估计其成绩在的概率为 ．    26．对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元． (1)求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式； (2)为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以及季度用水量的第75百分位数． 27．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b. (1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数； (2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值． 28．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是（单位：厘米），样本数据分组为. (1)求出的值； (2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量的数值； (3)根据频率分布直方图提供的数据及（2）中的条件，求出样本中身高位于的人数. 考点06频率分布直方图的相关计算 29．用抽签法抽取的一个容量为10的样本的平均数为12，方差为6，用随机数表法抽取的一个容量为20的样本的平均数为15，方差为9，则样本的方差为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 30．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 31．已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为 ，方差为 ． 32．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的众数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 考点07用样本平均数和样本方差估算总体 33．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 34．对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为（　　） A．样本空间 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件 35．如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（    ） A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮 C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮 36．现有10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品.有以下事件：从这10个产品中任意抽取4个产品，①4个产品都是正品；②至少有1个次品；③4个产品都是次品；④至少有1个正品.其中随机事件为 ，不可能事件为 ，必然事件为 .（填序号） 考点08事件关系的判断 37．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 38．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A表示事件“点数大于3”，B表示事件“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（    ） A． B． C． D． 39．（多选）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（   ） A． B． C． D． 41．（多选）同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的随机事件不可能是（    ） A．第一枚掷出5点，第二枚掷出2点 B．第一枚掷出3点，第二枚掷出3点 C．第一枚掷出1点，第二枚掷出2点 D．第一枚掷出6点，第二枚掷出2点 42．（多选）从个女生和个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：“至少有一个是女生”，“至少有一个男生”，“恰有一个男生”，“两个都是女生”，“恰有一个女生”.下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．， 考点09简单古典概型的计算 43．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． B． C． D． 44．从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 45．若将，，，，这个数字不重复填入如下表格中，有个表格中数字不能确定，用字母，，，表示，但可以确定为奇数，则的概率为 ． 46．一个袋子中有4个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．已知取出的2个球都是红球的概率为，那么 ． 47．一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 48．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了 100名候选者的面试成绩并分成五组:第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数及中位数(保留一位小数)； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自不同组的概率. 考点10互斥与对立 49．金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 50．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（   ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是对立事件 C．事件与事件是互斥事件 D．事件与事件是互斥事件 51．（多选）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是11”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与对立 52．（多选）10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为（   ） A．恰有1件次品 B．至多有1件次品 C．至少有1件次品 D．都是正品 53．（多选）将颜色分别为红、绿、白的3个小球随机分给甲、乙、丙三个人，每人1个，则（   ） A．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”互斥 B．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”互斥 C．事件“甲分得红球，乙分得绿球”的对立事件是“丙分得红球或绿球” D．事件“甲分得红球，乙分得绿球”发生的概率是 考点11事件独立性的判断 54．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 55．已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（    ） A．与相互独立且 B．与不相互独立且 C．与相互独立且 D．与不相互独立且 56．若事件 、 满足 ，则 与 的关系是（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．互斥且相互独立 57．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第1枚为正面”，事件B是“第2枚为正面”，事件C是“2枚结果相同”，则事件A与B，A与C，B与C中相互独立的事件有（   ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 58．（多选）设样本空间含有等可能的样本点，记事件，事件，事件，则下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C互斥 59．某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 考点12独立事件概率的计算 60．在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 61．甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． (1)求恰好比赛3局后甲获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 62．甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 63．小林和小郑都参加英语口语面试，小林通过的概率为，小林和小郑都能通过的概率为，并且在面试过程中小林与小郑互不影响． (1)求小郑通过的概率； (2)求小林、小郑恰有一人通过的概率； (3)求小林、小郑中至少有一人不通过的概率． 64．小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $