寒假作业04 角的平分线（巩固培优）八年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 角的平分线 【知识点1 作已知角的平分线】 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【知识点2 角的平分线的性质】 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【知识点3 角的平分线的判定】 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 角平分线的性质的应用】 1．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的周长为24，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 3．如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　） A．4.5 B．5 C．7 D． 4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为2a，3a，4a，三角形的三条角平分线将△ABC分为三个三角形，若△ABO的面积为30，则△ABC的面积为（　　） A．180 B．155 C．150 D．135 5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F． （1）证明：PE＝PF． （2）若∠BPC＝115°，连接AP，求∠EAP的度数． 6．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， （1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数； （2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积． 【题型2 与角的平分线有关的作图题】 7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E．作射线AE与边BC交于点D．若∠C＝38°，则∠ADC的度数为（　　） A．116° B．120° C．128° D．142° 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G．则CG的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 9．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，∠A＝60°， （1）若∠BDC＝100°，求∠ABC的度数； （2）尺规作图：作：∠ABC的角平分线BE与CD相交于点E，直接写出∠BEC的度数． （作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法） 10．如图，已知△ABC，过点A的直线l∥BC． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）． （2）若（1）中所作的角平分线与直线l交于点D．求证：AB＝AD． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，连接BD，并延长至点E，连接AE，使AE＝AB． （1）作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE＝∠ACF． 【题型3 角平分线的判定】 12．如图，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，BE＝CF，DF⊥AC于点F，且DB＝DC．求证：AD是∠BAC的平分线． 13．如图，∠ABC的平分线与∠ACN的平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠CAM的平分线． 14．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P． 求证：（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）△ABC的三条角平分线交于一点． 15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD，垂足为E，BD＝ED，求证：CD平分∠ACE． 16．已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC． 【题型4 角平分线的性质与判定综合】 17．如图，CD是∠ACE的平分线．DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E． （1）求证：AF＝BE； （2）若BC＝3cm，AC＝5cm，求CE的长． 18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝9，AD＝8，CD＝10，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 19．如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． （1）求证：OC平分∠MON； （2）若AD＝6，BO＝8，求AO的长． 20．如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求证：AE平分∠CAF； （2）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 21．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E． （1）如图（1），若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数； （2）如图（2），连接AD，求证：AD平分∠CAM； （3）如图（2），若△ABC周长为20，求BE的长． 22．如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【题型5 多结论问题】 23．如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，点E在BC的延长线上，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B、∠DAC、∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．如图，在△ABC中（∠C＞∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列结论：①；②；③若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab．④若AB＝BC，则∠AFB＝90°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 27．定义：两组邻边对应相等的四边形为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，请利用尺规（无刻度的直尺和圆规），在筝形ABCD中找一点P，连接PB、PD，使折线BPD将筝形ABCD的面积等分（保留作图痕迹，不写作法）． 28．阅读以下材料，并解决问题 定义：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”． （1）如图2，∠EDG＝72°，∠FDG＝24°，判断射线DF是不是∠EDG的“巧分线”，并说明理由； （2）以下说法正确的是　 　 ；（请填出所有正确的序号） ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； ②一个角的“巧分线”是这个角的平分线； ③一个角的“巧分线”的个数不唯一． （3）如图3，已知∠MPN＝α，射线PQ是∠MPN的“巧分线”，且∠NPQ＝2∠MPQ．求作∠MPN的一条巧分线PH（不与PQ重合），并直接用含α的代数式表示∠QPH．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．不写作法）． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 角的平分线 【知识点1 作已知角的平分线】 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【知识点2 角的平分线的性质】 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【知识点3 角的平分线的判定】 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 角平分线的性质的应用】 1．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由角平分线的性质可得，DF＝DE＝3，由题意知，计算求解即可． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝3， ∴DF＝DE＝3， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝18， ∴， ∴， 整理得，AB， 解得AB＝7． 则AB的长为7， 故选：B． 2．如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的周长为24，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，根据角平分线的性质可得EG＝EF＝ED＝3，然后根据△ABC的面积＝△ABE的面积+△BEC的面积+△AEC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G， ∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB， ∴EF＝ED＝3， ∵CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC， ∴ED＝EG＝3， ∵△ABC的周长为24， ∴△ABC的面积 ＝△ABE的面积+△BEC的面积+△AEC的面积 AB•EFBC•EDAC•EG EF（AB+BC+AC） 3×24 ＝36， 故选：C． 3．如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　） A．4.5 B．5 C．7 D． 【分析】作PN⊥OB，根据角平分线的性质求出PN，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：作PN⊥OB于N， ∵OP平分∠AOB，PF⊥OA，PN⊥OB， ∴PF＝PN＝3.5， ∵S△ODPOP×DHOD×PN， ∴8×DH4×3.5， 解得，DH， 故选：D． 4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为2a，3a，4a，三角形的三条角平分线将△ABC分为三个三角形，若△ABO的面积为30，则△ABC的面积为（　　） A．180 B．155 C．150 D．135 【分析】过点O作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，由角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，再根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：如图，过点O作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F， ∵AO、BO、CO是△ABC的三条角平分线， ∴OE＝OF＝OD， ∵△ABO的面积为30，AB＝2a， ∴， ∴a•OD＝30， ∴△ABC的面积＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝135， 故选：D． 5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F． （1）证明：PE＝PF． （2）若∠BPC＝115°，连接AP，求∠EAP的度数． 【分析】（1）过点P作PD⊥BC于D，可得PD＝PE＝PF； （2）可得BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的平分线，则∠EAP可求出． 【解答】（1）证明：过点P作PD⊥BC于D， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC， ∴根据角平分线的性质得，PD＝PE，PD＝PF， ∴PE＝PF（等量代换）； （2）解：∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴AP平分∠BAC， ∵∠BPC＝115°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝180°﹣115°＝65°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝130°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝50°． ∴∠EAP∠BAC50°＝25°． 6．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， （1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数； （2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠COB的度数； （2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，再根据角平分线的性质得到OE＝OF＝2，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40° ∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°， ∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°； （2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图， ∵∠ABC＝60°，OB＝4 ∴∠OBD＝30°， ∴ODOB＝2， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴OE＝OF＝OD＝2， ∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC 2×AB2×AC2×BC ＝AB+BC+AC， 又∵△ABC的周长为16， ∴S△ABC＝16． 【题型2 与角的平分线有关的作图题】 7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E．作射线AE与边BC交于点D．若∠C＝38°，则∠ADC的度数为（　　） A．116° B．120° C．128° D．142° 【分析】利用三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质求解． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝38°， ∴∠BAC＝90°﹣38°＝52°， ∴∠BAD＝∠DAC＝26°， ∴∠ADC＝∠B+∠ABD＝90°+26°＝116°． 故选：A． 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G．则CG的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】由作图过程可知，射线AG为∠BAD的平分线，可得∠BAG＝∠DAG．由平行线的性质得∠DAG＝∠AGB，可得∠BAG＝∠AGB，则BG＝AB＝6，即可得CG＝BC﹣BG＝4． 【解答】解：由作图过程可知，射线AG为∠BAD的平分线， ∴∠BAG＝∠DAG． ∵AD∥BC， ∴∠DAG＝∠AGB， ∴∠BAG＝∠AGB， ∴BG＝AB＝6， ∴CG＝BC﹣BG＝4． 故选：C． 9．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，∠A＝60°， （1）若∠BDC＝100°，求∠ABC的度数； （2）尺规作图：作：∠ABC的角平分线BE与CD相交于点E，直接写出∠BEC的度数． （作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法） 【分析】（1）由三角形的外角性质得∠ACD＝40°．再由角平分线定义得∠ACB＝2∠ACD＝2×40°＝80°，进而利用三角形的内角和定理即可得解； （2）依据角平分线的尺规作图方法，即可得出△ABC的角平分线BE与CD相交于点E；依据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠BEC的度数． 【解答】解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ACD， ∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝40°． ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACB＝2∠ACD＝80°， ∴在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝40°． （2）尺规作图，如图所示； ∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠，， ∴， ∴∠BEC＝180﹣（∠EBC+∠ECB）＝120°． 10．如图，已知△ABC，过点A的直线l∥BC． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）． （2）若（1）中所作的角平分线与直线l交于点D．求证：AB＝AD． 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由角平分线的定义和平行线的性质可证明∠ABD＝∠ADB，则可证明AB＝AD． 【解答】（1）解：如图，作出∠B的平分线，射线BD即为所求； （2）证明：∵直线l∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， 由（1）知：BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，连接BD，并延长至点E，连接AE，使AE＝AB． （1）作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE＝∠ACF． 【分析】（1）根据角平分线的作法作出AF即可； （2）由AB＝AC，AE＝AB，得到AE＝AC，根据角平分线的定义可得∠EAF＝∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠ACF． 【解答】（1）解：如图，AF即为所求； （2）证明：连接CF， 由条件可知AE＝AC， ∵AF是∠EAC的平分线， ∴∠EAF＝∠CAF， 在△AEF和△ACF中， ∵， ∴△AEF≌△ACF（SAS）， ∴∠E＝∠ACF， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠E， ∴∠ABE＝∠ACF． 【题型3 角平分线的判定】 12．如图，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，BE＝CF，DF⊥AC于点F，且DB＝DC．求证：AD是∠BAC的平分线． 【分析】先证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），得到DE＝DF，再根据角平分线的判定即可求证． 【解答】证明：由题意可得：DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∵BE＝CF，DB＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD是∠BAC的平分线． 13．如图，∠ABC的平分线与∠ACN的平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠CAM的平分线． 【分析】根据常见辅助线作法“见角平分线作垂线”可过点D作DE⊥BM，DG⊥AC，DF⊥BN，利用角平分线的性质定理得到线段相等关系，再根据角平分线的判定定理即可证明AD是∠CAM的平分线． 【解答】证明：如图，过点D作DE⊥BM，DG⊥AC，DF⊥BN，垂足分别为E，G，F． ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF（角平分线的性质）． 又∵CD平分∠ACN， ∴DG＝DF（角平分线的性质）， ∴DE＝DG（等量代换）， ∴AD是∠CAM的平分线． 14．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P． 求证：（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）△ABC的三条角平分线交于一点． 【分析】（1）作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，由角平分线的性质，可得PD＝PE，PE＝PF，即可证得结论； （2）由（1）可知PD＝PF，根据角平分线的判定即可证得结论． 【解答】证明：（1）作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F， ∵△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， ∴根据角平分线的性质可得，PD＝PE，PE＝PF， 即PD＝PE＝PF， 所以点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）根据（1）可知PD＝PF， 又∵PD⊥AB，PF⊥AC， ∴点P在∠BAC的角平分线上， 又∵△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 所以△ABC的三条角平分线交于一点． 15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD，垂足为E，BD＝ED，求证：CD平分∠ACE． 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，根据DB⊥AB证得BD＝FD，进而证得ED＝FD，根据角平分线定理证明即可． 【解答】证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F， ∵∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线， ∴DB⊥AB，BD＝FD， ∵BD＝ED， ∴ED＝FD， ∵CE⊥AD，DF⊥AC， ∴CD平分∠ACE． 16．已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC． 【分析】（1）根据角平分线和三角形内角和定理得到∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2α﹣2β，∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β，即可得到结论； （2）过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H，根据角平分线的性质得到OF＝OG，OG＝OH，则OF＝OH．根据角平分线的判定即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴设，∠， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣2β， ∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β， ∴； （2）过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H， ∵BE平分∠ABC， ∴OF＝OG， ∵CD平分∠ACB， ∴OG＝OH， ∴OF＝OH（等量代换）． ∴OA平分∠BAC． 【题型4 角平分线的性质与判定综合】 17．如图，CD是∠ACE的平分线．DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E． （1）求证：AF＝BE； （2）若BC＝3cm，AC＝5cm，求CE的长． 【分析】（1）连接AD，BD，根据角平分线的性质和HL证明Rt△ADF和Rt△BDE全等，进而解答即可； （2）根据AF＝BE，得出方程解答即可． 【解答】（1）证明：连接AD，BD， ∵PD垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∵DE⊥BC，DF⊥AC，CD平分∠ACE， ∴∠AFD＝∠BED＝90°，DE＝DF， 在Rt△ADF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△BDE（HL）， ∴AF＝BE； （2）解：在Rt△CDF与Rt△CDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△CDE（HL）， ∴CE＝CF， 设CE＝CF＝x， 则BE＝BC+CE＝（3+x）cm，AF＝AC﹣CF＝（5﹣x）cm， ∵AF＝BE， ∴5﹣x＝3+x， ∴x＝1， ∴CE＝1cm． 18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝9，AD＝8，CD＝10，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 【分析】（1）根据垂直得到∠AFE＝90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE＝140°，再根据∠BAE＝∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数； （2）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，进而得到EG＝EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出EH＝3，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△ABE的面积． 【解答】（1）解：∵EF⊥AB， ∴∠F＝90°（垂直的定义）， ∵∠AEF＝50°， ∴∠BAE＝∠F+∠AEF＝90°+50°＝140°， ∵∠BAE＝∠BAD+∠CAD，∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAD＝140°﹣100°＝40°， 则∠CAD的度数为40°； （2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H， ∵∠AEF＝50°， ∴由（1）可知，∠EAF＝∠CAD＝90°﹣50°＝40°， ∴AE平分∠FAD， ∵EF⊥AF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH（等量代换）， ∵EG⊥AD，EH⊥BC， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ACD＝18， ∴S△ADE+S△CDE＝18， ∴， ∵AD＝4，CD＝8，EG＝EH， ∴， ∴EH＝3， ∴EF＝3， ∵AB＝6， ∴， 所以△ABE的面积为9． 19．如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． （1）求证：OC平分∠MON； （2）若AD＝6，BO＝8，求AO的长． 【分析】（1）证明Rt△ADC≌Rt△BEC，可得CD＝CE，结合已知即可证得结论； （2）由Rt△ADC≌Rt△BEC，可得AD＝BE，从而可得OE，证明Rt△ODC≌Rt△OEC，可得OD＝OE，从而可得AO的长． 【解答】（1）证明：由条件可知∠CDA＝∠CDO＝90°，∠CEB＝∠CEN＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL）， ∴CD＝CE， 又∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴OC平分∠MON． （2）解：由条件可知AD＝BE， ∵AD＝6，BO＝8， ∴OE＝OB+BE＝OB+AD＝14， 在Rt△ODC和Rt△OEC中， ， ∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）， ∴OD＝OE， ∴OA＝OD+AD＝OE+AD＝14+6＝20， ∴AO的长为20． 20．如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求证：AE平分∠CAF； （2）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 【分析】（1）作EL⊥AC于点L，EM⊥BA交BA的延长线于点M，由∠ABC的平分线交AD于点E，EH⊥BD于点H，得EM＝EH，∠CHE＝90°，而∠CEH＝50°，求得∠DCE＝40°，由∠ACB＝100°，求得∠ACD＝80°，则∠ACE＝∠DCE＝40°，则EL＝EH，所以EM＝EL，即可证明AE平分∠CAF． （2）由S△ACDAC•ELCD•EH＝24，且EL＝EH＝EM，得AC•EMCD•EM＝24，因为AC+CD＝16，所以16EM＝24，求得EM＝3，而AB＝10，则S△ABEAB•EM＝15． 【解答】（1）证明：作EL⊥AC于点L，EM⊥BA交BA的延长线于点M， ∵点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，EH⊥BD于点H， ∴EM＝EH，∠CHE＝90°， ∵∠CEH＝50°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝40°， ∵∠ACB＝100°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝80°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝40°＝∠DCE， ∴CE平分∠ACD， ∴EL＝EH， ∴EM＝EL， ∴点E在∠CAF的平分线上， ∴AE平分∠CAF． （2）解：∵S△ACD＝S△ACE+S△DCEAC•ELCD•EH＝24，且EL＝EH＝EM， ∴AC•EMCD•EM＝24， ∴EM（AC+CD）＝24， ∵AC+CD＝16， ∴16EM＝24， ∴EM＝3， ∵AB＝10， ∴S△ABEAB•EM10×3＝15， ∴△ABE的面积为15． 21．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E． （1）如图（1），若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数； （2）如图（2），连接AD，求证：AD平分∠CAM； （3）如图（2），若△ABC周长为20，求BE的长． 【分析】（1）根据角平分线定义设∠ABD＝∠CBD＝α，∠ACD＝∠NCD＝β，则∠ABC＝2α，∠ACN＝2β，根据三角形外角性质得∠ACN＝∠ABC+∠BAC，∠NCD＝∠CBD+∠BDC，即2β＝68°+2α，β＝α+∠BDC，由此即可得出∠BDC＝β﹣α＝34°的度数； （2）过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AM于点H，根据角平分线性质得DH＝DE，DF＝DH，进而得DH＝DF，再根据角平分线性质即可得出结论； （3）先依据“HL”判定Rt△BDH和Rt△BDE全等得BH＝BE，同理可判定Rt△CDF和Rt△CDE全等，Rt△ADF和Rt△ADH全等得CF＝CE，AF＝AH，则AC＝CE+AH，再根据△ABC的周长为20得AB+BC+AC＝20，进而得AB+BC+CE+AH＝20，即BE+BH＝20，据此即可得出BE的长． 【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACN， ∴设∠ABD＝∠CBD＝α，∠ACD＝∠NCD＝β， ∴∠ABC＝2α，∠ACN＝2β， ∵∠ACN是△ABC的外角， ∴∠ACN＝∠ABC+∠BAC， ∵∠BAC＝68°， ∴2β＝68°+2α， ∴β﹣α＝34°， ∵∠NCD是△BCD的外角， ∴∠NCD＝∠CBD+∠BDC， ∴β＝α+∠BDC， ∴∠BDC＝β﹣α＝34°； （2）证明：过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AM于点H，如图2所示： ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACN，DE⊥BN于E， ∴DH＝DE，DF＝DH， ∴DH＝DF， ∴点D在∠CAM的平分线上， ∴AD平分∠CAM； （3）解：过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AM于点H，如图3所示： 在Rt△BDH和Rt△BDE中， ， ∴△BDH≌Rt△BDE（HL）， ∴BH＝BE， 同理：Rt△CDF≌Rt△CDE（HL），Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴CF＝CE，AF＝AH， ∴CF+AF＝CE+AH， 即AC＝CE+AH， ∵△ABC的周长为20， ∴AB+BC+AC＝20， ∴AB+BC+CE+AH＝20， ∴BE+BH＝20， ∵BH＝BE， ∴BE＝BH＝10． 22．如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据△ADC的面积为14得CF＝4，由此得CF＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE得BE＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE是线段BH的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC和△DAC全等得HC＝CD，据此即可得出结论． 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 【题型5 多结论问题】 23．如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，点E在BC的延长线上，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B、∠DAC、∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】利用角平分线的性质解答即可． 【解答】解：①∵点P到BE、BD的距离相等， ∴点P在∠B的平分线上，正确，符合题意； ②∵点P到BD、AC的距离相等， ∴点P在∠DAC的平分线上，正确，符合题意； ③∵点P到BE、AC的距离相等， ∴点P在∠ECA的平分线上，正确，符合题意； ④∵点P到BE、BD、AC的距离都相等， ∴恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三条平分线的交点，正确，符合题意， 故选：A． 24．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 25．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用角平分线的定义得到∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，则∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），再根据三角形内角和定理得到180°﹣∠BOC（180°﹣∠A），则可对①进行判断；根据平行线的性质得到∠AEF＝∠EBC，然后利用OB平分∠EBC得到∠EBO∠EBC，则可对②进行判断；利用互余和∠OCB＝∠OCD可对③进行判断；根据角平分线的性质得到O点到AE的距离等于m，然后利用三角形面积公式可对④进行判断． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴180°﹣∠BOC（180°﹣∠A）， ∴∠BOC＝90°∠A，所以①正确； ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠EBC， 而OB平分∠EBC， ∴∠EBO∠EBC， ∴∠EBO∠AEF，所以②正确； ∵OD⊥AC于D， ∴∠ODC＝90°， ∴∠DOC+∠OCD＝90°， ∵OC平分∠BCD， ∴∠OCB＝∠OCD， ∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确； ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等， ∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m， ∴S△AEFAE•mAF•mm（AE+AF）mn，所以④正确． 故选：D． 26．如图，在△ABC中（∠C＞∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列结论：①；②；③若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab．④若AB＝BC，则∠AFB＝90°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③错误，利用等腰三角形的三线合一可判断④正确． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C， ∴ABCBAC＝90°C， ∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠OBAABC，∠OABBAC， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OBA+∠OAB）＝180°﹣（90°C）＝90°C， 故①正确； ∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠FBCABC，∠OABBAC， ∵OD⊥BC， ∴∠EOD＝90°﹣∠OED， ∴∠EOD＝90°﹣（∠ABC+∠OAB） ＝90°﹣（∠ABCBAC） ＝90°（∠ABC+∠BAC+∠ABC） CABC C﹣∠FBC，故②正确； 作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∵∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，OD＝a， ∴OM＝ON＝OD＝a， ∵AB+BC+CA＝b， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC AB•OMBC•ODAC•ON （AB+BC+AC）•OD b•a ab， 故③错误； ∵AB＝BC，BF平分∠ABC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°，故④正确； ∴正确的序号为①②④； 故选：B． 27．定义：两组邻边对应相等的四边形为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，请利用尺规（无刻度的直尺和圆规），在筝形ABCD中找一点P，连接PB、PD，使折线BPD将筝形ABCD的面积等分（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】利用三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形即可作出图形． 【解答】解：如图， 作出AC的中点P，连接BP、DP，折线B﹣P﹣D将筝形ABCD面积二等分． 证明：在△ABC中， ∵P为AC边中点， ∴AP＝CP， ∴S△APB＝S△CPBS△ABC， 同理：S△APD＝S△CPDS△ADC， ∵S△ABC＝S△ADC， ∴S△APD+S△APB＝S△CPB+S△CPD， 即四边形ABPD 的面积＝四边形BCDP 的面积， ∴折线B﹣P﹣D将筝形ABCD面积二等分． 28．阅读以下材料，并解决问题 定义：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”． （1）如图2，∠EDG＝72°，∠FDG＝24°，判断射线DF是不是∠EDG的“巧分线”，并说明理由； （2）以下说法正确的是　 　 ；（请填出所有正确的序号） ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； ②一个角的“巧分线”是这个角的平分线； ③一个角的“巧分线”的个数不唯一． （3）如图3，已知∠MPN＝α，射线PQ是∠MPN的“巧分线”，且∠NPQ＝2∠MPQ．求作∠MPN的一条巧分线PH（不与PQ重合），并直接用含α的代数式表示∠QPH．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．不写作法）． 【分析】（1）根据”巧分线”的定义，计算相关角的度数并判断； （2）结合”巧分线”和角平分线的定义，逐一分析选项； （3）根据”巧分线”的定义画出射线PH，并推导∠QPH的表达式． 【解答】解：（1）射线DF是∠EDG的“巧分线”，理由如下： ∵∠FDG＝24°，∠EDG＝72°， ∴∠EDF＝∠EDG﹣∠FDG＝72°﹣24°＝48°． ∵∠EDF＝2∠FDG（48°＝2×24°），符合“巧分线”的定义， ∴射线DF是∠EDG的“巧分线”； （2）①角的平分线会将角分成两个相等的角，此时“一个角（原角）是另一个角（平分后的角）的两倍”，符合“巧分线”定义，故①正确； ②“巧分线”只需满足一个角是另一个角的两倍，不一定平分角（如72°被分成48°和24°），故②错误； ③一个角的“巧分线”可能有多种分法（如60°的角可以分成40°和20°，或30°和30°），个数不唯一，故③正确． 故答案为：①③； （3）分两种情况： 如图，PH是∠MPN的一条巧分线，此时PH是∠QPN的角平分线， ∵射线PH是∠MPN的“巧分线”， ∴2∠HPN＝∠HPM， ∵∠HPN+∠HPM＝α， ∴3∠HPN＝α， ∴， ∴； 如图，PH是∠MPN的一条巧分线，此时PH是∠MPN的角平分线， ∵射线PH是∠MPN的“巧分线”， ∴∠MPN＝2∠MPH＝α， ∴， ∴； 综上，或． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $