2026年中考数学一轮复习 第03讲 分式及分式方程（讲义）（三大考点、八种题型、分类训练、综合提升）

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式及分式方程”专题，覆盖分式概念性质、运算、方程三大核心考点，采用“知识梳理-例题讲解-变式练习”架构，通过考点梳理（如分式三要素、方程解法）、方法指导（约分通分、验根步骤）、真题训练（2025年各地中考题）突破难点，体现复习系统性与针对性。 亮点是“题型分类+核心素养培养”，设8类题型覆盖分式有无意义、值的条件、运算化简等，结合真题变式训练，培养抽象能力（概念辨析）、运算能力（化简求值）、模型意识（实际应用）。如通过“分式值为0”例题强化关键条件，配合过关检测，助力学生高效提升应考能力，教师可精准把控复习节奏。

2026中考数学一轮复习（知识梳理、题型归纳、分类训练、过关检测） 第03讲 分式及分式方程 知识导航 知识点1 概念和性质 1、 知识梳理 （一）分式的概念 1.分式的定义及三要素 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 A 是分子，B 是分母.三要素：①两个整式②B 中含有字母③形如“ ” 如： 是分式，而下列都不是分式： （1）分母中不含有字母 ；（2） =1 是方程； （3） 分母中不含有字母 ；（4） m.分母中不含有字母 2.分式有意义、无意义的条件 一般地分式有意义的条件是分母不为0，否则就是无意义. 如：有意义的条件是分母 ，即m ;无意义的条件就是m . 3.分式的值为0,为1，为正（负）数，为整数的条件 分式值为0的条件是：A=0，且B. 如若分式 的值为0，则x2-1=0,且x+1 , 所以，x=1； 分式值为-1的条件是：A=-B，且B. 如若分式 的值为1．|x-5|=-（x-5）,且|x-5| 所以，x≤5,且x5，所以，x<5； 分式值为负数的条件是：A、B异号，且B. 如若分式的值为负，则x2+1>0 所以，x为任意实数； 分式值为整数的条件是：A能被B整除，且B. 如若分式的值为整数，则整数x应当满足x2+1是4的约数，4的约数在有理数范围内有1,2,4，所以整数x可以是0，1； 所以，x为任意实数. （2） 基本性质 1.分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 用字母表示为： （C≠0），其中A、B、C是整式． 作用：将分式恒等变形. 2.将分式的分子分母的最高次项化为正数，系数化为整数 例如：(1)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“－”号: ；= (2)利用基本性质将分式的系数化为整系数 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4.约分 约分就是利用分式的基本性质，分子分母同时除以分子分母的公因式，将分式化成最简分式. 约分的步骤：（1）找——公因式 （2）约——分子分母同时除以公因式 约分的类型：（1）分子分母是单项式——直接约分 （2）分子分母是多项式——先因式分解再约分 例如，利用基本性质将分式约分⑴ ⑵ 5.通分 ①根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分. ②这个相同的分母叫做这几个分式的公分母，其中最简的一个叫做最简公分母. ③对比辨析：通分与约分的区别（通分：异分母→同分母，分子分母同乘整式；约分：分式→最简分式，），二者依据均为分式的基本性质. 2、 例题讲解 【题型1】分式有无意义 例1（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 变式练习： 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 2．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围． 【详解】解：要使式子有意义， 即， ∴． 故答案为：． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 【题型2】分式的值 例2（2025·黑龙江·中考模拟）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 且 ． 解 ，得 ， ∴或． 由 ， 得 ． ∴． 故答案为： 变式练习： 1.（2025九年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 【题型3】分式的基本性质 例2（25-26八年级上·辽宁大连·期末）若分式中和的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的性质，理解分式的性质是解题关键． 将扩大后的值代入分式，通过化简判断分式值的变化． 【详解】解：∵当和都扩大到原来的3倍时， ∴新分式为， ∵， ∴分式的值不变． 故选：D． 变式练习： 1．（2025·广东·二模）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是关键； 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：， 分式的值扩大到原来的2倍； 故选B． 2．（25-26八年级上·北京·月考）下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同乘或同除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，原变形错误； B．当时，无意义，原变形错误； C． ，原变形正确； D． 无法通过分式的基本性质变为，原变形错误； 故选：C． 3．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）下列等式，运用分式的基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零数或式子，分式的值不变．根据这一性质，检查各选项是否符合． 【详解】解：A、分子和分母同时加2，不是同时乘以或除以2，不符合题意分式的基本性质，变形错误，不符合题意； B、分子和分母同时平方，不是同时乘以或除以同一个数或式子（不为0），不符合题意分式的基本性质，变形错误，不符合题意； C、当时，式子不成立，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选：D． 知识点2 分式的运算 1、 知识梳理 （一）分式的乘除 1. 分式的乘法 分式乘法法则：，即分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2. 分式的除法 分式除法法则：，即除以分式等于乘其倒数，再按乘法法则计算. 3. 分式的乘方 分式乘方运算法则：(n)为正整数） 关键细节： ①符号处理：举例，总结：负号单独看，指数奇数为负，偶数为正。 ②多项式处理：举例，强调：先因式分解，再将多项式整体乘方，结果为. 4. 分式的乘除混合运算 顺序同有理数的混合运算的顺序. （2） 分式的加减 1. 同分母分式的加法、减法 同分母分式加减法法则：同分母分式相加（减），分母不变，只把分子相加（减）.用字母表示为: 归纳关键提醒： ①分子是多项式时，相加减需加括号（避免符号错误）；如：= ②分母互为相反数时，先统一分母（如：； ③结果需约分（分子分母有公因式时）如：===x+2 2. 异分母分数的加法、减法 异分母分式相加（减），先因式分解分母→找最简公分母→通分（化为同分母分式）→按同分母法则计算→结果化简，: 如：计算时，公分母千万不能认为是（）(x-1),要先因式分解，再确定最简公分母。 3. 零指数幂和负整数指数幂 =(a) 二、例题讲解 【题型4】分式的化简求值与计算 例4（1）（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 例4（2）（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式练习： 1．（2025·山东德州·中考真题）化简：． 【答案】． 【分析】利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 【详解】解： ． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 【题型5】零指数幂和负整数指数幂的计算 例5（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 变式练习： 1.（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 3．（2025·云南·中考真题）计算：． 【答案】8 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 知识点3 分式方程 一、知识梳理 （一）定义 定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 判断的三要素：①含有分母②分母中含有未知数③是方程 如:,所以它不是分式方程; 如:不是,因为前者是整式方程,后者是分式方程;前者未知数的值可以为1,后者不能为1. （二）分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 2.解分式方程的一般步骤：①化②解③验 ①化：方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程； ②解：解这个整式方程； ③验：检验，是否为原方程的解. 3.检验.有两种方法： ①代入最简公分母，如果最简公分母等于0,则方程无解； ②直接代入原方程中，看其是否成立. 4. 分式方程为什么必须要有检验这个环节? 去分母时方程两边同时乘以最简公分母,如果这个公分母的值为0,就会导致原方程无意义,扩大了未知数的取值范围,导致一些解并不适用于原方程. 如:①方程两边同乘(x+5)(x-5)得到整式方程:x+5=10②,解之得x=5.这时我们发现x=5虽然能满足方程②,但x=5时方程①却没有意义.所以这个解必须舍弃. 5.注意事项： (1)去分母的依据是等式的性质，不是分式的基本性质; (2)用分式方程的最简公分母乘方程两边的各项时，不要漏乘没有分母的项 （三）实际应用 1.如何找“相等关系” (1)利用题目中的关键语句寻找相等关系；如“……共多少”，“比……少多少” (3)从生活、生产实际经验中寻找相等关系. 如行程问题：速度=路程×时间；工程问题：工作效率=等等. 2.解题步骤可归纳如下:审→设→列→解→验→答 (1)审清题意，分清已知量和未知量； (2)设未知数； (3)根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程； (4)解方程 (5)验根； (6)答,写出答案. 二、例题讲解 【题型6】分式方程及其解法 例6（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 变式练习： 1．（2024·青海西宁·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查解分式方程，先去分母解整式方程，再验根即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． 2．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 3．（2025·上海·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 【题型7】分式方程的实际应用 例7（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解． 设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率． 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 变式练习： 1．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 2．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 3．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； (2)4种 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 【题型8】其他新题型 1．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·北京海淀·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：为何值时，多项式有一个因式是？ 解：设它的另一个因式为（为常数）， 则 ， 比较两边的系数，得，解得； (1)已知多项式有一个因式是，求的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值 (3)已知是的一个因式，请用待定系数法将分解因式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的乘法，分解因式，分式的加减法等知识，理解题意并正确进行计算是关键； （1）由题意设它的另一个因式为 ，则，再利用多项式的乘法法则展开，比较系数即可求解； （2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解； （3）由题意设它的另一个因式为（为常数），则，再把右边展开，合并同类项，比较系数即可． 【详解】（1）解：设它的另一个因式为 ， 则 比较两边的系数，得， 解得， ； （2）解：， ， ， 比较分子的系数得，解得， ； （3）解：设它的另一个因式为（为常数） 则 ， 比较两边的系数，得，解得， ． 3．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 4．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 过关检测 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（　　） A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．扩大9倍 D．扩大27倍 【答案】A 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．将x和y同时扩大3倍后，计算新分式并与原分式比较，得出变化倍数，即可作答． 【详解】解：∵原分式为，x和y同时扩大3倍后， ∴新分式为， ∴新分式是原分式的3倍， 故分式的值扩大3倍， 故选：A 2．（2025·云南楚雄·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式乘方、分式运算和负整数指数幂等基本运算规则，熟练掌握幂的运算性质、分式加减法则和负整数指数幂的定义是解题关键，根据运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、，故 A错误； B、， 故B正确； C、，故C错误； D、，仅当或时成立，一般情况不相等，故D错误． 故选：B． 3．（2025·内蒙古包头·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是完全平方公式的运算，因式分解，积的乘方，整数指数幂的运算，根据以上运算的运算法则逐一分析判断即可. 【详解】解：A. ，故原计算错误； B. ，正确； C. ，故原计算错误；     D. ，故原计算错误； 故选：B 4．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是关键；根据题意，慢马送信时间为天，速度为里/天；快马送信时间为天，速度为里/天.快马速度是慢马速度的倍，由此列出方程. 【详解】设规定时间为x天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， ∵ 慢马速度为，快马速度为， 且快马速度是慢马速度的倍， ∴ ， 故选A 5．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 6．（2024·重庆·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算法则，根据零指数幂和负整数指数幂即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，将原式根据完全平方公式变形，再将值代入计算即可得出答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶3． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 10．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 11．（2023·福建·中考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即． ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键． 12．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 13．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 14．（2024·甘肃甘南·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的混合运算，求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， 数轴表示为： 15．（2025·四川·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 16．（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 18．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 【答案】（1）4；（2）； 【分析】本题考查了有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值（）、绝对值的性质、分式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握乘方、三角函数、绝对值的基础计算规则，以及分式通分、因式分解、除法变乘法的化简方法，代入求值时准确计算． （1） 先计算乘方；再代入特殊角三角函数值，计算；接着化简绝对值；最后将各项结果进行加减运算． （2）先对括号内通分计算；再将除法转化为乘法（乘以倒数），对分子因式分解（完全平方公式）；然后约分简化分式；最后将代入化简后的式子计算． 【详解】（1） （2）解： 当时，原式 ∴化简结果为，代入求值结果为． 19．（2025·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算． 先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果． 【详解】 当时，原式． 21．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 (2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 22．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026中考数学一轮复习（知识梳理、题型归纳、分类训练、过关检测） 第03讲 分式及分式方程 知识导航 知识点1 概念和性质 1、 知识梳理 （一）分式的概念 1.分式的定义及三要素 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 A 是分子，B 是分母.三要素：①两个整式②B 中含有字母③形如“ ” 如： 是分式，而下列都不是分式： （1）分母中不含有字母 ；（2） =1 是方程； （3） 分母中不含有字母 ；（4） m.分母中不含有字母 2.分式有意义、无意义的条件 一般地分式有意义的条件是分母不为0，否则就是无意义. 如：有意义的条件是分母 ，即m ;无意义的条件就是m . 3.分式的值为0,为1，为正（负）数，为整数的条件 分式值为0的条件是：A=0，且B. 如若分式 的值为0，则x2-1=0,且x+1 , 所以，x=1； 分式值为-1的条件是：A=-B，且B. 如若分式 的值为1．|x-5|=-（x-5）,且|x-5| 所以，x≤5,且x5，所以，x<5； 分式值为负数的条件是：A、B异号，且B. 如若分式的值为负，则x2+1>0 所以，x为任意实数； 分式值为整数的条件是：A能被B整除，且B. 如若分式的值为整数，则整数x应当满足x2+1是4的约数，4的约数在有理数范围内有1,2,4，所以整数x可以是0，1； 所以，x为任意实数. （2） 基本性质 1.分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 用字母表示为： （C≠0），其中A、B、C是整式． 作用：将分式恒等变形. 2.将分式的分子分母的最高次项化为正数，系数化为整数 例如：(1)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“－”号: ；= (2)利用基本性质将分式的系数化为整系数 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4.约分 约分就是利用分式的基本性质，分子分母同时除以分子分母的公因式，将分式化成最简分式. 约分的步骤：（1）找——公因式 （2）约——分子分母同时除以公因式 约分的类型：（1）分子分母是单项式——直接约分 （2）分子分母是多项式——先因式分解再约分 例如，利用基本性质将分式约分⑴ ⑵ 5.通分 ①根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分. ②这个相同的分母叫做这几个分式的公分母，其中最简的一个叫做最简公分母. ③对比辨析：通分与约分的区别（通分：异分母→同分母，分子分母同乘整式；约分：分式→最简分式，），二者依据均为分式的基本性质. 2、 例题讲解 【题型1】分式有无意义 例1（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 变式练习： 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 2．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 ． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【题型2】分式的值 例2（2025·黑龙江·中考模拟）当 时，分式的值为0． 变式练习： 1.（2025九年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【题型3】分式的基本性质 例2（25-26八年级上·辽宁大连·期末）若分式中和的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．不变 变式练习： 1．（2025·广东·二模）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 2．（25-26八年级上·北京·月考）下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）下列等式，运用分式的基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 分式的运算 1、 知识梳理 （一）分式的乘除 1. 分式的乘法 分式乘法法则：，即分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2. 分式的除法 分式除法法则：，即除以分式等于乘其倒数，再按乘法法则计算. 3. 分式的乘方 分式乘方运算法则：(n)为正整数） 关键细节： ①符号处理：举例，总结：负号单独看，指数奇数为负，偶数为正。 ②多项式处理：举例，强调：先因式分解，再将多项式整体乘方，结果为. 4. 分式的乘除混合运算 顺序同有理数的混合运算的顺序. （2） 分式的加减 1. 同分母分式的加法、减法 同分母分式加减法法则：同分母分式相加（减），分母不变，只把分子相加（减）.用字母表示为: 归纳关键提醒： ①分子是多项式时，相加减需加括号（避免符号错误）；如：= ②分母互为相反数时，先统一分母（如：； ③结果需约分（分子分母有公因式时）如：===x+2 2. 异分母分数的加法、减法 异分母分式相加（减），先因式分解分母→找最简公分母→通分（化为同分母分式）→按同分母法则计算→结果化简，: 如：计算时，公分母千万不能认为是（）(x-1),要先因式分解，再确定最简公分母。 3. 零指数幂和负整数指数幂 二、例题讲解 【题型4】分式的化简求值与计算 例4（1）（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 例4（2）（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 变式练习： 1．（2025·山东德州·中考真题）化简：． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【题型5】零指数幂和负整数指数幂的计算 例5（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式练习： 1.（2025·山东济南·中考真题）计算：． 2．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 3．（2025·云南·中考真题）计算：． 知识点3 分式方程 一、知识梳理 （一）定义 定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 判断的三要素：①含有分母②分母中含有未知数③是方程 如:,所以它不是分式方程; 如:不是,因为前者是整式方程,后者是分式方程;前者未知数的值可以为1,后者不能为1. （二）分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 2.解分式方程的一般步骤：①化②解③验 ①化：方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程； ②解：解这个整式方程； ③验：检验，是否为原方程的解. 3.检验.有两种方法： ①代入最简公分母，如果最简公分母等于0,则方程无解； ②直接代入原方程中，看其是否成立. 4. 分式方程为什么必须要有检验这个环节? 去分母时方程两边同时乘以最简公分母,如果这个公分母的值为0,就会导致原方程无意义,扩大了未知数的取值范围,导致一些解并不适用于原方程. 如:①方程两边同乘(x+5)(x-5)得到整式方程:x+5=10②,解之得x=5.这时我们发现x=5虽然能满足方程②,但x=5时方程①却没有意义.所以这个解必须舍弃. 5.注意事项： (1)去分母的依据是等式的性质，不是分式的基本性质; (2)用分式方程的最简公分母乘方程两边的各项时，不要漏乘没有分母的项 （三）实际应用 1.如何找“相等关系” (1)利用题目中的关键语句寻找相等关系；如“……共多少”，“比……少多少” (3)从生活、生产实际经验中寻找相等关系. 如行程问题：速度=路程×时间；工程问题：工作效率=等等. 2.解题步骤可归纳如下:审→设→列→解→验→答 (1)审清题意，分清已知量和未知量； (2)设未知数； (3)根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程； (4)解方程 (5)验根； (6)答,写出答案. 二、例题讲解 【题型6】分式方程及其解法 例6（2025·陕西·中考真题）解方程：． 变式练习： 1．（2024·青海西宁·中考真题）解方程：． 2．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 4. （2025·上海·中考真题）解方程：． 【题型7】分式方程的实际应用 例7（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 变式练习： 1．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 2．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 3．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【题型8】其他新题型 1．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 2．（25-26八年级上·北京海淀·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：为何值时，多项式有一个因式是？ 解：设它的另一个因式为（为常数）， 则 ， 比较两边的系数，得，解得； (1)已知多项式有一个因式是，求的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值 (3)已知是的一个因式，请用待定系数法将分解因式． 3．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 4．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 过关检测 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（　　） A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．扩大9倍 D．扩大27倍 2．（2025·云南楚雄·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古包头·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·重庆·中考真题）计算： ． 7．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）若，则 ． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 10．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 11．（2023·福建·中考真题）已知，且，则的值为 ． 12．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 13．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 14．（2024·甘肃甘南·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 15．（2025·四川·中考真题）化简：． 16．（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 17．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 18．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 19．（2025·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 20．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 21．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 22．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $