5.2 余弦函数的图象与性质再认识（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦余弦函数的图象与性质再认识，通过回顾正弦函数周期与描点法引入，以诱导公式cosx=sin(x+π/2)为支架衔接前后知识，引导学生用描点法、五点法作图并探究性质。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合五点法作图（如例4画y=cos(x-π)）和图象观察性质，发展直观想象与数学思维，通过表格归纳性质便于理解。学生能提升作图与分析能力，教师可借助典例和检测高效教学。

5.2 余弦函数的图象与性质再认识 第一章 三 角 函 数 北师大版必修第二册·高一 学 习 目 标 1 2 3 用描点法画出y＝cosx的图象，掌握“五点（画图）法”，进一步理解余弦函数的性质. 利用余弦函数的图象再认识其性质（定义域、周期性、单调性、最值、值域、奇偶性、图象与x轴的交点等性质）. 通过从单位圆和图象两个不同的角度去观察和认识三角函数的变化规律，提高学生直观想象素养． 读教材 阅读课本P34-P37，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“余弦函数的图象与性质再认识”吧！ 1.正弦函数的周期是多少？如何用描点法绘制的图象？如何由上的图象得到的图象？ 2.如何用“五点(画图)法”绘制余弦函数的图象？ 3.通过余弦函数图象可以进一步得到正弦函数的哪些性质？ 单击此处添加备注 3 情境导入 学习过程 01 03 02 目录 1 余弦函数的图象 3 当堂检测 2 余弦函数性质的再认识 单击此处添加备注 5 新知探究 问题：我们怎样画出正弦函数y=的图象呢？ 由于正弦函数y=是以为周期，我们只需要画出正弦函数的图象，再利用周期性将其延拓到整个定义域上． 思考1：如何利用描点法作出正弦函数y=在上的图象吗？ 在区间上取一系列的值（的值取得越多，图象越精确，曲线越光滑），例如0，，，，，，列表，描点做出图象： 0 1 0 1 新知探究 思考1：如何利用描点法作出正弦函数y=在上的图象吗？ 列表 描点 连线 新知探究 事实上，利用信息技术，可使 x0 在区间 [0，2π] 上取到足够多的值，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 y = cos x，x∈[0，2π] 的图象. 新知探究 y=cosx x[0,2] y=cosx xR cos(x+2k)=cosx, kZ 思考2：如何画函数y=cos x,x∈R的图象?你能想到什么方法? 余弦函数的图象叫做余弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 新知探究 思考3：如何由y=sin x,x∈R的图象得到y=cos x,x∈R?你能想到什么方法? 由诱导公式得， 所以将正弦曲线向左平移个单位长度，就得到了余弦函数的图象 - - 1 -1 新知探究 思考4：在确定余弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 五点作图法 - - - -1 1 - -1 在函数 y =cos x，x∈[0,2π] 的图象上，起关键作用的点有： 最高点： 最低点： 与x轴的交点： 抽象概括 根据余弦曲线的基本性质，描出：这五个关键点后，函数 的图象就基本确定了. 因此在精度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图． 这种作余弦曲线的方法称为“五点（画图）法”． 典例分析 例4.画出函数在一个周期上的函数图象． π 0 π 2π 3π 1 0 0 1 同样的，我们也可以根据诱导公式，画出的图象． 解：按五个关键点列表： 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数在一个周期上的图象(如图). 思考交流 画出下列函数在区间[0，2π]上的图象： y＝2＋cos x y＝3cos x 学习过程 01 03 02 目录 1 余弦函数的图象 3 当堂检测 2 余弦函数性质的再认识 单击此处添加备注 15 新知探究 思考5：我们之前学习的余弦函数的性质有哪些？ 定义域 周期性 单调性 最大（小）值和值域 奇偶性 接下来我们通过余弦函数的图象，进一步理解余弦函数的性质. 新知探究 问题：观察余弦函数图象，你能从中看到哪些性质，并将看到的性质用数学语言描述． 一、定义域 余弦函数的定义域是R 二、最大(小)值和值域 当α＝2kπ，k∈Z时，余弦函数y＝cos x取得最大值1； 当α＝(2k+1)π，k∈Z时，余弦函数y＝cos x取得最小值－1. 从余弦函数的图象可以看出，余弦曲线夹在两条平行线y＝1和y＝－1之间，所以余弦函数的值域为[－1，1]. 新知探究 三、周期性 从余弦函数的图象可以看到，当自变量 x 的值增加 2π 的整数倍时，函数值不变.即余弦函数是周期函数，它的最小正周期是 2π.同样，也可以从诱导公式cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z中得到正弦函数的最小正周期为 2π. 因此，为了研究问题方便，通常选取 y＝cosx 在区间[0,2π]上的性质，然后延拓到定义域R上. 新知探究 四、单调性 如图，在余弦函数 y＝cos x 的图象中，选取区间， 可以看出，当 x 由增加到时，cos x 的值由增加到1； 当 x 由增加到时，cos x 的值由1减小到 因此，余弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 新知探究 四、单调性 由余弦函数的周期性可知，正弦函数 在每一个区间上都单调递增 在每一个区间上都单调递减. y x o - -1 2 3 4 -2 -3 1  y=cosx，x∈R 五、奇偶性 如图，正弦曲线关于y轴对称，即诱导公式 cos(x) x 成立，可知余弦函数是偶函数. 新知探究 思考交流 思考6：借助函数图象探究余弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 六、对称性 由余弦函数图象可以看出，余函数的对称轴为 对称中心为． 归纳小结 余弦函数性质可总结为下表 函数 性质 定义域 R 值域 [-1，1] 周期性 是周期函数，周期为，最小正周期为 最值 当，时，取得最大值1  当时，取得最小值-1  单调性 增区间 ， 减区间 ， 奇偶性 偶函数 对称性 对称轴为 对称中心为点 典例分析 例5.画出1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质． 解：函数的最小正周期是，按五个关键点列表 0 y= 1 0 0 1 y=1 0 2 1 0 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数在一个周期上的图象(如图). 典例分析 由函数的图象得到它的主要性质如下表： 函数 定义域 R 最大(小)值和值域 当时，最大值为 时，最小值为 值域： 奇偶性 偶函数 周期性 周期函数，周期是2   单调性 在每一个闭区间，单调递增； 在每一个闭区间，单调递减  奇偶性 偶函数 思考交流 思考交流：如何借助余弦函数的图像解不等式 ？ 如图，作， 从图像中看出：在［－π，π］区间直线与余弦曲线交于,两点， 在［－π，π］区间内， 时，x的集合为 所以不等式的解集为 学习过程 01 03 02 目录 1 余弦函数的图象 3 当堂检测 2 余弦函数性质的再认识 单击此处添加备注 27 当堂检测 1.函数 的定义域为_________________________________；若，， 则函数 的值域为______. 解，，即 ，得 ，， 函数 的定义域为 , . 若，，则， 函数的值域为 . 当堂检测 2.比较与 的大小. 解： ， . 又 ，在 上单调递减， . 当堂检测 A 当堂检测 4．方程在(－∞，＋∞)内的所有根的和为 (　　) A．2　　　　　　　　　　 B．1 C．0 D．－1 解：如图所示，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝|x|与g(x)＝cos x的图象，易知两个函数的图象在(－∞，＋∞)内只有两个交点，即原方程有两个根，且两根互为相反数，故和为0. C 课堂小结 感谢聆听! 3.当时，曲线与直线的交点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解：作出函数和的图象， 记，， 函数在上递减，在上递增，， ，， 结合图象知在上有两个交点，故选A. $