专题11 解答题18题、19题压轴题（6阶题组）专项训练（二）-2026年高考数学二轮复习解答题解题大招（方法技巧+分层突破）-（会一题通一类系列）（全国通用）

专题11 解答题18题、19题压轴题 （6阶题组）专项训练（二） （建议用时：30分钟，满分：34分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18题17分、19题17分） 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数分和求解； （2）（i）由（1）知，且最小值为小于0即可得的取值范围； （ii）结合（i）知，要证，即，分和进行证明. 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. （2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点； 若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 因为当时，； 当时，， 所以函数有两个零点当且仅当. 设，函数在单调递增. 因为，的解集为. 综上所述，的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增.所以，故原不等式成立. 所以. 19．已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． (1)求的准线方程； (2)证明：； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值， 【分析】（1）根据列出关于的方程，即可求解； （2）设直线，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据抛物线焦半径公式即可证明； （3）令，则，即，求出，进而得出，根据导数即可求解最小值及点的坐标． 【详解】（1）点满足，则，解得． 故，准线方程：． （2）如下图所示： 设直线，否则直线轴，不合题意)， 联立消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． （3）易知直线的斜率一定存在，如下图： 不妨令，则，代入抛物线方程可得，即， 由于，且直线AB的斜率， 故直线，即， 令，则得点的横坐标为， 由可得直线， 联立，解得点纵坐标， 因此， ， 记， 则 . 因为当时，， 所以时，时，， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取到最小值，此时． （建议用时：30分钟，满分：34分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18题17分、19题17分） 18．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得. (1)求双曲线的离心率； (2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）设，代入双曲线方程得，再利用二倍角正切公式有，结合即可得到方程，解出即可. （2）代入得到双曲线具体方程，再设，根据正弦定理得，再作差结合三角恒等变换和三角函数值域即可求出其范围. 【详解】（1）设，由对称性不妨设，由， 有，可得， 又由， 有 又由，有， 有， 又由，有， 又由，有，可得， 故双曲线的离心率为2. （2）由（1）可知双曲线的方程为，代入点的坐标， 有，可得， 设，由双曲线的渐近线的倾斜角及双曲线的图像和性质， 可得， 又由，在中，由正弦定理，有， 有， 有 ， 由，有，有， 可得的取值范围为． 19．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若是两个不相等的正数，证明：. 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）由（1）可知，解不等式即可； （3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而可证不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，由， 令，可得，令，可得， 故函数的减区间为，增区间为； （2）由（1）知，若函数有且仅有两个零点，必须， 又由，有，可得， 令，有， 令，可得，令，可得， 可得函数的减区间为，增区间为， 可得， 当时，，有， 当时，， 可得若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为； （3）不妨设，令， 有， ， 又由，可得函数单调递增， 又由 ， 令， 则，当时，，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 故<0 同理可得， 又由函数单调递增，且，可得存在，使得， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又由，可得当时，， 又由，可得， 有， 可化为， 故当时，成立． （建议用时：30分钟，满分：34分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18题17分、19题17分） 18．已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求的离心率. (2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 【答案】(1)2 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和离心率公式，即可求解； （2）①直线方程与双曲线方程联立，根据向量共线的条件，结合韦达定理，即可求解； ②首先设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明定点问题. 【详解】（1）由题意可知， 则. （2）①解：直线的方程为， 联立得， . 设，则， 由，得， 代入，得， 则的方程为. ②证明：设的方程为. 联立得， ，且， . 因为， 所以， 即， 则， 整理得， 即. 因为点不在直线上，所以，则， 则， 故直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示坐标运算. 19．已知正数的整数部分记为，例如. (1)若，求数列的前项和. (2)设. ①求； ②求数列的通项公式； ③求数列的前100项和. 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）将化简，得，该表达式第一项恒为整数，则只需考虑的取值情况可得解； （2）①将代入直接求解即可；②令，则，而，则可平方脱根，判断整数部分可得解；③已知，则可表达数列的前100项,，应用并项求和即可. 【详解】（1）， 当时，. （2）①， 因为，且，所以. ②令，则， 则， 所以. 因为，所以， 又为正整数，所以. ③方法一： 因为 ， 所以数列的前100项和为. 方法二： 数列的前100项和为 . 【点睛】本题考查新定义与数列的交汇，考查数学抽象，逻辑推理与数学运算的核心素养. （建议用时：30分钟，满分：34分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18题17分、19题17分） 18．已知数列满足，.记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列. (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)求的通项公式，并证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件可得，取依次计算得解. （2）由（1）的信息，按的奇偶分类，结合累加法及等比数列前项和公式求解. （3）利用与的关系求出通项公式，再作差比较得证. 【详解】（1）由是以为首项，为公比的等比数列，得， 则，而， 所以. （2）数列中，，， 当时，， ，则， 当为奇数，时，，满足上式，因此当为奇数时，； 当时，， ，则， 当为偶数，时，，满足上式，因此当为偶数时，， 所以的通项公式是. （3）由（2）知，， 当时，， 而满足上式，因此， ， 所以. 19．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. (1)若， （i）求随机变量的分布列和期望; （ii）求事件 “” 的概率; (2)已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. 【答案】(1)（i）分布列见解析，期望为；（ii）； (2). 【分析】（1）（i）求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）将事件 “”分拆成两两互斥的事件的和，利用概率的加法公式，结合等比数列前项和公式求解. （2）求出在的条件下，的可能取值，求出对应的概率及期望，再利用全概率公式求出，进而求出的期望的递推公式，利用等比数列通项公式求得. 【详解】（1）（i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 的数学期望为 （ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞， 且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞， 记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”， 则两两互斥，， 而， 因此， 所以事件 “” 的概率为. （2）在的条件下，的可能取值为， 则， ， 因此 ， （）， 由全概率公式得， 于是的期望 ，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以，即的期望为. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. （建议用时：30分钟，满分：34分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18题17分、19题17分） 18．如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求的长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）依据平面得，结合，利用线面垂直判定定理，证得结果； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设，依据异面直线所成角公式求解后结合长度得； （ⅱ）设求出平面法向量，计算线面角正弦值表达式，结合参数范围求取值范围． 【详解】（1）因为平面，平面PAD， 所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． （2）（i）由（1）可知平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直， 故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意可得， 所以， 设， 则， 因为异面直线AF与PB所成角为60°， 所以， 解得，所以． （ⅱ）设， 则， ， 设平面AEF的法向量为，则，即， 取，得， 因为，所以，即，解得， 所似所以 因为M在线段PB上，所以， 则， 设平面MAD的法向量，则即 取，得， 设EG与平面MAD所成角为， 则， 由于，所以，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为 19．已知直线，直线，动点M到x轴的距离小于它到y轴的距离，过M分别作和的垂线，垂足分别为D，E，O为坐标原点，若四边形的面积为，设动点M的轨迹为曲线C．根据上述运算回答下面问题： (1)求C的方程； (2)若C交x轴正半轴于点A，C上一点B和直线上一点Q满足是以为底的等腰直角三角形． （ⅰ）求直线的斜率： （ⅱ）若B在第一象限，记点B关于的对称点为K，点B关于原点的对称点为，若动点M不与，B重合，设动直线与直线相交于点P，动直线与直线相交于点，求证：成等比数列． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）设，得到四边形为矩形，求得和，进而得到，即可求解； （2）（ⅰ）解法一：设，求得，①当B在第一象限时，作轴，求得，求得直线BQ的斜率；②当B在第二象限时，作轴，求得，得到直线BQ的斜率③当B在第三象限时，由对称性，得到直线的斜率；④当B在第四象限时，由对称性，得到直线的斜率，进求得的斜率； 解法二：设直线AB的方程为，则直线的方程为，联立方程组，求得，根据，求得的值，进而求得的斜率； 解法三：设，根据，求得，结合，求得，所以，分类讨论，进而求得的斜率； （ⅱ）证明：设，求得直线OK的方程为，分和，以及且，三种情况讨论，求得的坐标，化简得到，结合P，K，，O四点共线，得到，即可得证. 【详解】（1）解：如图所示1，设， 因为M到x轴的距离小于它到y轴的距离，所以，故， 又因为的斜率为1，的斜率为，故，四边形为矩形， 因为到直线的距离，故，同理， 所以四边形的面积为，所以， 所以，所以C的方程为． （2）（ⅰ）解法一：设，令，代入，得， ①当B在第一象限时，如图2所示，由于是以为底的等腰直角三角形， 易知Q在x轴上方，， 作轴，垂足为S，则，故，故， 又因为则，即， 从而，故，直线的斜率． ②当B在第二象限时，如图3所示，由于是以为底的等腰直角三角形， 易知Q在x轴下方，， 作轴，垂足为S，则，故，故， 又，则，即， 从而，故，直线的斜率； ③当B在第三象限时，由对称性知，直线的斜率3； ④当B在第四象限时，由对称性知，直线的斜率； 综上可知，直线的斜率为或． 解法二：令，代入，可得， 易知直线AB的斜率存在且不为零，故可设直线AB的方程为， 则直线的方程为，则， 联立方程组，整理得，故， 所以， 由，得， 即，故，所以或， 当时，，所以， 直线的斜率 当时，，所以， 直线的斜率 当时，，所以，直线的斜率 当时，，所以， 直线的斜率 综上可知，直线的斜率为或． 解法三：令，代入，可得， 设，则， 由，可得，故， 由，可得，所以， 所以， 即，易知，所以，即，所以， 当时，，所以， 直线的斜率 当时，，所以， 直线的斜率： 当时，，所以， 直线的斜率； 当时，，所以， 直线的斜率， 综上可知，直线的斜率为或． （ⅱ）证明：设，依题意可得，所以直线OK的方程为， ①若，则直线MB的方程为，直线的方程为， 此时点，所以， 因为P，K，，O四点共线，所以，所以成等比数列； ②若，则直线的方程为，直线MB的方程为， 此时点，所以， 因为P，K，，O四点共线，所以，所以成等比数列； ③若且，， 直线MB的方程为， 联立方程组，解得， 同理可得直线的方程为， 联立方程组，解得 因为在双曲线上，所以， 所以， 所以， 因为P，K，，O四点共线，所以， 所以成等比数列． （建议用时：30分钟，满分：34分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18题17分、19题17分） 18．某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概率为，分配到复杂任务的概率为.已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该机器人在完成第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，使得当时，系统停止分配任务，求该机器人最多能挑战多少个阶段的任务. 【答案】(1). (2)①；②证明见解析，最多进行6次挑战. 【分析】（1）根据全概率公式计算即可； （2）①结合挑战规则分析挑战未结束的条件，利用全概率公式和概率乘法公式计算即可； ②结合①的分析，建立递推关系，利用构造等比数列及待定系数法求出的通项，结合数列的单调性及即可证明及求解. 【详解】（1）设事件“分配到简单任务”，则“分配到复杂任务”， 事件“成功完成任务”， 依题意，， 因此. 所以机器人在一个阶任务中成功完成任务的概率为. （2）①设事件“该机器人在第个阶段完成任务”，各阶段完成任务与否相互独立， 当时，挑战显然不会终止，即， 当时，则第轮至少答对一轮.， 由概率乘法公式得：； 同理 ②设事件“第个阶段任务结束时挑战仍然未结束”， 当时，第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的情况有两种： （i）第轮成功，且第轮结束时挑战未终止； （ii）第轮失败，且第轮成功，且第轮结束时挑战未终止， 因此第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的事件可表示为， 则， 而各轮任务成功与否相互独立， 因此， 当时，，设存在实数，使得数列为等比数列， 当时，，整理得， 而，则，解得或， 当时， 因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， ①， ②， ， 为单调递减数列. 又，故最多进行6次挑战. 【点睛】结论点睛：对于递推公式形如这一类型，可通过构造等比数列结合待定系数法来求通项。 设，则，求出，再结合等比数列的通项公式结合题意计算即可. 19．对于函数，记，，，，.对于任意的，如果是满足的最小正整数，则函数是“周期导函数”. (1)已知函数为奇函数，函数为偶函数，且.求证：函数是“周期导函数”，并求出的值； (2)设是“2周期导函数”，若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得，即可求解的解析式，结合“周期导函数”的定义即可证明； （2）根据题意可知， ， ，结合“周期导函数”的定义可得，即对任意的恒成立，求出和的值，可得函数的解析式.由在上恒成立，可得在上恒成立.令，对函数求导，分论讨论研究函数的单调性及最小值，即可求解的取值范围. （3）根据题意求得，.令，由题可知是函数的极大值点，故，所以.结合可得，所以，解得.根据，及可解得的值，即可证明. 【详解】（1）证明：因为，所以. 因为为奇函数，函数为偶函数，所以， 所以， 所以，， 故，， 即对，，所以. （2）因为是“2周期导函数”， 所以，， 所以， 所以对任意的恒成立， 令，所以. 因为，所以，所以，故，所以. 因为在上恒成立， 所以在上恒成立，所以在上恒成立. 令，所以， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以且，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 综上，. （3）因为，， 所以，，. 令，因为函数对恒成立，且存在使得， 所以是函数的极大值点，所以，所以. 又因为，所以， 所以，解得. 又因为，，所以， 由，知，所以， 所以， 所以，，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $解答题解题大招 会白题通台类系列 专题11解答题18题、19题压轴题 (6阶题组)专项训练（二） 8-山⑨题组（台） (建议用时：30分钟，满分：34分) 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (18题17分、19题17分) 18.已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，f"(x)为f(x)的导函数. (i)求实数a的取值范围； (ii)记f(x)较小的一个零点为x,证明：xf"(x)>-2. 1/12 解答题解题大招 会白题通台类系列 19.己知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点，点C(4,0)满足|CF=3OF,其中0为坐标原点，过F的 直线交E于A.B两点，点A在第一象限，过点A作直线AB的垂线，交x轴正半轴于点M,直线BC交直 线AM于点N.记△ACF,aBCF,aCMN的面积分别为S,S2,S3. (1)求E的准线方程： 11 ②)证明：F十F1: (3)求S-S2)S,的最小值及此时点A的坐标. 2/12 解答题解题大招 会白题通白类系列) ①8-①⑨题组（二） (建议用时：30分钟，满分：34分) 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18题17分、19题17分) 18。已知双曲线C:号茶-Q>06>0的右焦点为P,左顶点为4，双前线C的右支上任意一点P都使 得∠PFA=2LPAF. (1)求双曲线C的离心率； (2)若点(-V6,V6)在双曲线C上，且点P不在坐标轴上，求PA-PF的取值范围. 3/12 解答题解题大招 会白题通台类系列 19.已知函数fx=xnx-ax+1. (1)求函数fx)的单调区间： (2)若函数f(x)有且仅有两个零点，求实数Q的取值范围； ③若是两个不相等的正数，证男：八+)>2士】 4/12 解答题解题大招 会白题通白类系列 山8-山9题组（自） (建议用时：30分钟，满分：34分) 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18题17分、19题17分) 8已知双曲线C手-后-口>06>0的两条布线的斜丰之积为- (1)求C的离心率. (②)若过点D(0,5)且斜率为1的直线与C交于4B两点(A在左支上，B在右支上)，且AD=2DB ①求C的方程； ②已知不经过点P(2,3)的直线I与C交于E,F两点，直线I的斜率存在且直线PE与PF的斜率之积为1，证 明：直线I过定点 5/12 解答题解题大招 会白题通台类系列 19.己知正数m的整数部分记为Z[m],例如Z[8]=8,Z[7.641]=7,Z[V2-1]=0. (1)若a=z 22,+6neN,求数列e的前nn之o项和S 2)设b,=Z(Nn+n+1)neN) ①求b; ②求数列{b}的通项公式： ③求数列{(-1)"bn}的前100项和. 6/12 解答题解题大招 会白题通白类系列 山8-·⑨题组（四） (建议用时：30分钟，满分：34分) 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18题17分、19题17分) 18.已知数列a满是a=1,4=多记a,的前n项和为8，且S,-S是以为首或，号为公比的 等比数列. (1)求a,a的值： (2)求{Sn}的通项公式： (3)求{an}的通项公式，并证明：Sn≤an 7/12 解答题解题大招 会白题通台类系列 19.一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有p(0<p<1)的概率分裂为两个新细胞，1-p的概率分裂为 一个新细胞，随后自身消亡.新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立，如此繁衍下 去.某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过nn≥2，n∈N)个生命周期的分裂情况，将第 k(k=1,2,…,n)个生命周期后的活细胞总数记为随机变量Xk ①若p=3, 3 (1)求随机变量X,的分布列和期望； (ii)求事件“X,=2”的概率； (2)已知在Xk=m1≤k<n,1≤m≤2，k,m∈N)的条件下，Xk的期望称为条件期望E(Xk1XCm,其定 2 义为E(X1X=m)=∑·P(X1=0X,0m,试求条件期望E(X1X0m)和X,的期望E(X. 8/12 解答题解题大招 会白题通白类系列) ①8-①⑨题组（五） (建议用时：30分钟，满分：34分) 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (18题17分、19题17分) 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD,PA⊥AD. (1)证明：PA⊥平面ABCD; (2)若底面ABCD是正方形，AP=AB=2,E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的 角为60° (i)求PF的长度； (i)平面AEF交PC于点G,点M在线段PB上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围. 9/12 解答题解题大招 会白题通台类系列 19.己知直线l:y=x,直线l2:y=-x,动点M到x轴的距离小于它到y轴的距离，过M分别作和的垂 线，垂足分别为D,E,O为坐标原点，若四边形ODME的面积为？，设动点M的轨迹为曲线C.根据上 述运算回答下面问题： (1)求C的方程 (2)若C交x轴正半轴于点A,C上一点B和直线x=-1上一点Q满足△ABQ是以BQ为底的等腰直角三角 形 (1)求直线BQ的斜率： (ⅱ)若B在第一象限，记点B关于I的对称点为K,点B关于原点的对称点为B,若动点M不与B,B 重合，设动直线MB与直线OK相交于点P,动直线MB'与直线OK相交于点P,求证：OP,OK,OP成 等比数列. 10/12