四川省成都市2025-2026学年高二上学期数学期末考前模拟卷

四川省成都市2025-2026高二期末考前模拟卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 为了了解某小区居民10月份的用电量情况，随机抽取了该小区12户居民10月份的用电量（单位：度），得到他们的用电量数据如下：172，150，185，161，165，170，175，178，180，184，155，190．该组数据的第75百分位数是（   ） A．178 B．179 C．180 D．182 2. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 设x，，向量，向量，，且，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 4. 已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 5. 如图，在四棱柱中，侧面底面，四边形是正方形，四边形是菱形，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7. 已知点F是抛物线的焦点，经过F的两条直线分别交抛物线于A、B和C、D，其中B、C两点在x轴上方，若，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8. 已知四棱锥，底面为等腰梯形，，侧面，分别是边长为10，6的等边三角形，若动平面交直线，于，两点，且平面平面，则平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B．若样本数据，，……，方差为4，则数据，，……，方差为16 C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 10. 下列说法正确的是（    ） A．若方程表示圆，则 B．过两圆和交点的直线方程为 C．直线的一个方向向量为 D．圆内一点过点M的最短弦所在直线方程 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．直线斜率存在时， C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是 . 13. 在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 14. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校环保社团组织高二年级所有学生参加一项环保知识竞赛初赛，从所有成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示． (1)求出成绩在的频率并将频率分布直方图补充完整； (2)若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (3)现有甲乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 16. 如图，在三棱锥中，是边长2的等边三角形， . (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 17. 已知三点，，，记的外接圆为. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于，两点，求； (3)已知是圆上任意一点，求的最小值. 18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若点，连接AD，BD，证明：； (3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市2025-2026高二期末考前模拟卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 为了了解某小区居民10月份的用电量情况，随机抽取了该小区12户居民10月份的用电量（单位：度），得到他们的用电量数据如下：172，150，185，161，165，170，175，178，180，184，155，190．该组数据的第75百分位数是（   ） A．178 B．179 C．180 D．182 【答案】D 【分析】先对数据排序，计算百分位数对应的位置，根据位置规则（整数位置取对应两项的平均值）求出第75百分位数. 【详解】先将12户居民的用电量数据从小到大排序：150，155，161，165，170，172，175，178，180，184，185，190. 第75百分位数的位置：， 因为整数，第75百分位数是第9项与第10项数据的平均值. 第9项数据为180，第10项数据为184，故第75百分位数为. 故选：D 2. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 3. 设x，，向量，向量，，且，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据空间向量垂直和共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得，则，， ， 则. 故选：D. 4. 已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】依题意，点在圆外，圆的圆心为，半径为， 如图，，因为， 当三点共线且在之间时取等号；所以的最大值为8. 故选：C. 5. 如图，在四棱柱中，侧面底面，四边形是正方形，四边形是菱形，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算表示，再应用异面直线夹角余弦计算求解. 【详解】因为侧面底面，侧面底面， 四边形是正方形，所以底面，所以侧面，侧面， 所以，所以， 因为分别是棱的中点，所以， 所以， 因为四边形是正方形，四边形是菱形，且，所以设， ， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 故选：D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据椭圆的定义以及勾股定理分别表示出，再由离心率计算公式可求结果. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以， 在中，，即， 所以离心率， 故选：A． 7. 已知点F是抛物线的焦点，经过F的两条直线分别交抛物线于A、B和C、D，其中B、C两点在x轴上方，若，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线CD的方程为，将直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、关于的表达式，利用基本不等式求最小值. 【详解】设直线CD的方程为，设点、， 联立，可得，，所以， 所以，同理得， 所以，四边形的面积为， 当且仅当时，等号成立，所以四边形面积的最小值为. 故选：D 8. 已知四棱锥，底面为等腰梯形，，侧面，分别是边长为10，6的等边三角形，若动平面交直线，于，两点，且平面平面，则平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取棱的中点，连接，证得平面.所以平面平面.因为平面平面，过点作，垂足为，则平面.由平面平面，所以平面过，即三点共线.建立恰当坐标系，根据二面角余弦值的向量求法，结合函数的最值可得其最大值. 【详解】由题可知，等腰梯形中，且. 分别取棱的中点，连接，则. 连接.则. 所以因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面平面，过点作，垂足为，则平面. 因为平面平面，所以平面过，即三点共线. 连接易知. ，. 所以. 又. 如图以点为坐标原点，所在直线为轴，过M垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的一个法向量. 则，所以， 所以，令，则. 设，因为， 所以， 设平面的一个法向量. 因为, 所以，所以. 令，则. 所以. 所以. 当时，； 当时，. 因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 综上所述，平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B．若样本数据，，……，方差为4，则数据，，……，方差为16 C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 【答案】AB 【分析】根据古典概型概率公式求解判断A；根据方差的性质求解可判断B；根据互斥事件的定义可判断C；根据百分位数的求法可判断D. 【详解】选项A：由题意某个个体被抽到的概率是，故A正确； 选项B：因为样本数据，，……，方差为4， 所以数据，，……，的方差为，故B正确； 选项C：事件“第一次正面朝上”时，第二次可能反面朝上， 反之事件“第二次反面朝上” 时，第一次可能正面朝上， 所以两个事件可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 选项D：，所以第75百分位数是，故D错误. 故选：AB 10. 下列说法正确的是（    ） A．若方程表示圆，则 B．过两圆和交点的直线方程为 C．直线的一个方向向量为 D．圆内一点过点M的最短弦所在直线方程 【答案】AB 【分析】选项A：根据圆的一般方程表示圆的条件是，即可得的范围；选项B： 联立方程组，两式相减即可得直线方程；选项C：直线的斜率，方向向量可表示为，从而可判断；选项D：由于过圆内点的最短弦与垂直，利用直线垂直的斜率关系即可求解. 【详解】选项A：圆的一般方程表示圆的条件是， 对于方程，则： ， 即 解得或，故A正确； 选项B： 联立方程组，两式相减得：， 即为过两圆的交点的直线方程，故B正确； 选项C：直线的斜率，方向向量可表示为即，或其倍数，对应的斜率为，与直线斜率不符，故C错误； 选项D：圆化为标准式：，圆心， 过圆内点的最短弦与垂直，，则最短弦所在直线的斜率， 由点斜式得所求的直线方程为：，即，故D错误. 故答案为：AB 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．直线斜率存在时， C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由双曲线的焦点三角形的内切圆切于顶点（右焦点对应右顶点），通过列式即可判断；对于B，由斜率公式及点差法可判断；对于C，设直线的倾斜角为，得到，，根据求出，进而求出可判断C；对于D，构造对勾函数即可判断. 【详解】依题意，得，，得，则，，，，设点，，， 对于A项，如图，设的内切圆的切点为，，，由双曲线的定义得，，而，得，而，，得,又因为，得切点与点重合，得点，则内心的横坐标为1，同理可得，内心的横坐标也为1，得，，三点共线，故A项正确； 对于B项，由相减得，，得，即，故B项正确； 对于C项，设直线的倾斜角为，连接，， 则， 又， 则，，若，则，，故C项错误； 对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：，倾斜角分别为，，因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以，，，令，则，则在单调递减，在单调递增，故，故D项正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是 . 【答案】 【分析】由古典概型及事件的互斥性质进行求解． 【详解】记事件：摸出的是红球，事件 ：摸出的是白球，事件：摸出的是黑球，则 因为从口袋中有放回地摸球两次，两次摸球是相互独立的，两次摸出的球的颜色相同的事件可以表示为， 所以， 故答案为:. 13. 在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 【答案】0 【分析】根据题意，设，求得，，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解. 【详解】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 14. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为 . 【答案】 【分析】设，则，结合向量关系以及椭圆定义，由表示出、、、，结合直角三角形的关系以及椭圆中a、b、c的关系，以及离心率进行化简，解方程得出相关的三角函数值，进而求得. 【详解】设，由于，则. 即 解得，同理， 同理， 则， 同理， 由于，则， 则，即， 同理， 两式相加可得，即，即， 由于，即，即，即 则，即， 解得（负值已舍去）， 则， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校环保社团组织高二年级所有学生参加一项环保知识竞赛初赛，从所有成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示． (1)求出成绩在的频率并将频率分布直方图补充完整； (2)若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (3)现有甲乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 【答案】(1)，答案见解析 (2)分 (3) 【分析】（1）利用频率直方图的性质求的频率并补充直方图； （2）找出排名前的同学的成绩所在区间，通过比例计算该区间内的具体偏移量，最终求解最低入围成绩； （3）先拆分事件，再分步计算子事件概率，最后合并子事件概率求解． 【详解】（1）频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1， 成绩在的频率为， 则，补全频率分布直方图，如下： （2）的频率为，的频率和为， 排名前的同学的成绩位于内，且设为x，则，解得， 进入决赛的同学成绩应不低于分． （3）甲、乙两人共计答对三道题目的情况有： 甲对一道题，乙对两道题，或甲对两道题，乙对一道题， 设甲对一道题，乙对两道题为事件，甲对两道题，乙对一道题为事件， ； ； 两人各道题答对与否互不影响，则． 甲、乙两人共计答对三道题目的概率为． 16. 如图，在三棱锥中，是边长2的等边三角形， . (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取AB中点O，连接PO，CO，根据等边及等腰三角形的性质，可证，，根据勾股定理，可求得PO，CO的长，根据AC的长，结合勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标和各个所需向量坐标，可求得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，代入数据，即可得答案. （3）求出平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，可求得二面角的余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【详解】（1）证明：取AB中点O，连接PO，CO，如图所示， 因为是边长为2 的等边三角形，O为AB中点， 所以，且， 因为，O为AB中点， 所以，且， 因为，所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以平面，所以平面平面. （2）由（1）得两两垂直，则以O为原点，所在直线为x，y，z轴建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，即， 所以点到平面的距离 （3）设平面PBC的法向量， 所以，即， 令，则，即， 由（2）得平面的法向量， 所以， 所以，即二面角的正弦值 17. 已知三点，，，记的外接圆为. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于，两点，求； (3)已知是圆上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设圆的一般方程，再利用待定系数法求解即可得到圆的方程； （2）设，则，，再联立方程求解坐标并结合数量积的坐标运算求解即可； （3）根据斜率的几何意义，将问题转化为直线与圆有公共点问题，再结合直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】（1）设圆的方程为. 因为､，在圆上， 所以.解得，满足 所以圆的方程为 （2）解：设，则， 联立方程得，解得，. 当时，； 当时，. 所以， 所以. （3）解：表示圆上的点与点连线的斜率，记为， 故直线的方程为，即. 因为直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离（为圆的半径，）. 根据点到直线的距离公式，即. 整理得：，解得. 所以的最小值为. 18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意可得，结合已知可得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为，求得平面的法向量，利用向量法可得，求解即可. 【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以， 又，，，平面， 所以平面 （2）因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量，        则有， 令，得，，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为， 即使平面与平面夹角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 又平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 则有， 即，所以，解得或， 又因为，所以. 故存在，使平面与平面夹角的正弦值为. 19. 已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若点，连接AD，BD，证明：； (3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再求出，再根据求出，即可求出抛物线C的方程； （2）要证，即证DG平分，即证，结合（1）计算化简即可得出结论； （3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG，求出，结合切线长定理可得，，，再根据，求出，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）设直线的方程为， 由，得， 设，， 则，， 从而，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）要证，即证DG平分，即证， 由（1）可知，， 则 ， 故； （3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG， 由题意，得， 由切线长定理，知，，， 所以， 又 ，解得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故面积的最小值为8． 【点睛】思路点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：一是转化，把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解． 学科网（北京）股份有限公司 $