5.2二次函数的图像和性质同步练习2025-2026学年 苏科版数学九年级下册

5.2二次函数的图像和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的交点是，这个二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．12＜t≤3 B．12＜t＜4 C．12＜t≤4 D．12＜t＜3 3．下列函数中，当时，值随值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．若点在抛物线上，则下列各点在抛物线（h，k均为非零实数）上的是（   ） A． B． C． D． 5．如图是抛物线的示意图，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x+h）2+k的形式是（　　　） A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2+7 C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x+2）2﹣7 7．抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则b、c的值为（  ） A． B． C． D． 8．下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．函数有最大值为 B．函数的对称轴为轴 C．时，随的增大而增大 D．函数的顶点为 9．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 10．在下列，，0，1，2，3这6个数中任取一个数记作，放回去，再从这六个数中任意取一个数记作，则使得分式方程有整数解，且使得函数的图象经过第一三四象限的所有的值有（  ）． A．2个 B．4个 C．5个 D．8个 11．将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（   ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 12．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为 ． 14．已知函数的最大值等于2，则c的值为 ． 15．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 16．二次函数y＝x2与y＝－x2的图象关于 对称． 17．已知二次函数，当时，y的取值范围是 ． 三、解答题 18．如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线． （1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案； （2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答． 19．在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A（1、﹣4），且经过点B（3，0）． （1）求该二次函数的解析式； （2）当﹣3＜x＜3时，函数值y的增减情况； （3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点． 20．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时．T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象： x/周 8 24 T/千套 10 26 (1)求T与x的函数关系式； (2)观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为________． (3)设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则： ①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． ②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值． 21．已知抛物线，根据下面的条件，求k的值. （1）抛物线的顶点在y轴上； （2）抛物线的顶点在x轴上； （3）抛物线的对称轴是直线； （4）抛物线经过原点. 22．如图1，抛物线 与轴交于A,B两点，与轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E. （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值； （3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由. 23．已知二次函数，不画图像，回答下列问题． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？ (3)当x取何值时，y随x的增大而增大？ (4)抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ 24．在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与抛物线的对称轴交于点． （1）求m的值； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点，（点P在点Q的左侧）．若恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围． 《5.2二次函数的图像和性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D A C B C B C 题号 11 12 答案 A D 1．B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，的顶点坐标是，再结合与轴的交点是，即可逐项分析作答． 【详解】解：A、因为，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的； B、，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是正确的； C、的顶点坐标是；当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的； D、因为，所以顶点坐标是；当时，，与轴的交点是，该选项是错误的； 故选：B 2．C 【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解. 【详解】解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1， ∴b＝−2， ∴y＝－x2−2x＋3， ∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点， ∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12， ∴函数y＝－x2−2x＋3在﹣2＜x＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 3．B 【分析】本题考查了函数的性质，根据正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐项分析即可. 【详解】A、正比例函数的图象在一、三象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意； B、反比例函数中的，所以随的增大而减小，故本选项符合题意； C、一次函数的图象，随的增大而增大，故本选项不符合题意； D、二次函数的图象，开口向上，并向上无限延伸，在轴右侧（时），随的增大而增大，故本选项不符合题意； 故选B． 4．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．将代入得，再分别验证各选项得到的结果即可． 【详解】解：∵点在抛物线上 ∴将代入得， A、代入得：，不符合题意； B、代入得：，即，不符合题意； C、代入得：，即，不符合题意； D、代入得： ，即，故符合题意， 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次项系数与图象开口的关系成为解题的关键． 由图象可知抛物线的开口向下，得出二次项系数小于0，据此即可解答． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴二次项系数小于0，只有A选项符合题意． 故选：A． 6．C 【分析】用配方法化成顶点式即可． 【详解】解：y=x2﹣4x+3， y=x2﹣4x+4-4+3， y=（x-2）2﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查了用配方法把二次函数化成顶点式，解题关键是熟练运用配方法化顶点式，注意配方法的步骤． 7．B 【分析】本题主要考查了抛物线的平移．根据抛物线平移的规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴把抛物线图象向右平移2个单位再向上平移3个单位，所得图象的解析式为， ∴． 故选：B 8．C 【分析】此题考查了二次函数的性质，直接利用二次函数的性质分析得出答案，正确掌握二次函数的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵，则函数有最大值，即当时，的最大值为，故正确； 函数的对称轴为直线，即轴，故正确； 当时，随的增大而减小，故错误； 由可知函数的顶点坐标为，故正确； 故选：． 9．B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故选：B 10．C 【详解】试题分析：－2＝， 去分母得：ax＋3－2x＋4＝－1， (a＋2)x＝－8， x＝， 当a＝－2时，x＝2，分式方程无意义； 当a＝0时，x＝4； 当a＝1时，x＝8； 当a＝3时，x＝－8． 当a＝0时，y＝bx，是正比例函数，只经过两个象限，不符合题意； 当a＝1时，y＝－x2＋bx，当对称轴x＝＞0时图象才经过一三四象限， 所以b＝1，2，3； 当a＝3时，y＝－3x2＋bx，当对称轴x＝＞0时图象才经过一三四象限， 所以b＝1，2，3． 所以a＋b＝1＋1＝2或1＋2＝3或1＋3＝4或3＋1＝4或3＋2＝5或3＋3＝6， 故a＋b的值有5个． 故选C． 11．A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象平移规则“上加下减”求解即可． 【详解】将抛物线平移后得到抛物线， 平移的方法可以是向下平移3个单位长度． 故选：A． 12．D 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图像的性质，根据各函数的解析式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正比例函数的图像，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数的图像，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、二次函数的图像，开口向上，对称轴为轴， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图像，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 13． 【分析】本题考查了抛物线的性质，关于原点对称图形的性质，根据得出开口向上，顶点坐标为，再根据中心对称的性质得出开口向下，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵， ∴开口向上，顶点坐标为， ∵绕它的原点旋转得抛物线， ∴开口向下，顶点坐标为， ∴. 故答案为：． 14．7 【分析】本题主要考查二次函数的性质，关键是要牢记抛物线的顶点公式．由二次函数的最大值等于2，利用抛物线的顶点公式即可求出的值． 【详解】解：二次函数中二次项系数为 ∴开口向下， ∵函数的最大值等于2， ∴， 解得． 故答案为：7． 15．36 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，已知自变量的值求函数值，正确理解函数的开口方向确定最值是解题的关键． 将函数化为顶点式，确定函数的最小值，再分别计算时，当时的函数值，得到函数值的范围即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 16．x轴 【分析】根据y＝x2与y＝－x2的图象特点直接判断即可. 【详解】y＝x2与y＝－x2的图象关于x轴对称 【点睛】此题主要考查抛物线的图像，解题的关键是熟知这两个特殊的二次函数. 17．/ 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，将二次函数解析式化为顶点式，得出当时，二次函数由最小值为，结合得出当时，取最大值，即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为直线，开口向上， ∴当时，二次函数由最小值为， ∵， ∴当时，取最大值为：， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 18．（1）y=－2x+2；（2）y=－+2x 【分析】（1）根据顶点抛物线的定义，只要选择的抛物线过点（1，1）即可，可选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1； （2）将点（1，1）代入顶点抛物线解析式中得到b与c的关系式，再求得顶点纵坐标，并整理为关于b的二次函数，利用二次函数的性质求解b、c值即可求解． 【详解】解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1， 根据顶点式得：y=x2﹣2x+2； （2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1=1， ∴c=1﹣2b， ∵顶点纵坐标c+b2+1=2﹣2b+b2=（b﹣1）2+1， ∴当b=1时，c+b2+1最小，即抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=﹣1， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，理解题意，会利用顶点坐标式写出来，再化为一般形式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 19．（1）y=（x﹣1）2﹣4;（2）当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小，当1≤x＜3，y随x的增大而增大;（3）将抛物线y=（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位，再向上平移4个单位即可实现抛物线顶点为原点． 【分析】（1）由已知条件可设二次函数的解析式为：，再代入点（3，0）解出a的值即可得到二次函数的解析式； （2）由（1）中所求解析式可得第（2）问答案； （3）根据（1）中所得解析式可确定原来顶点的位置，这样就可确定怎样平移可将顶点移到原点了. 【详解】（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4）， ∴可设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4， 又∵二次函数图象过点B（3，0） ∴a（3﹣1）2﹣4=0，解得：a=1， ∴y=（x﹣1）2﹣4 （2）∵抛物线对称轴为直线x=1，且开口向上， ∴当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小；当1≤x＜3，y随x的增大而增大， （3）将抛物线y=（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位，再向上平移4个单位即可实现抛物线顶点为原点． 【点睛】（1）当已知抛物线的顶点坐标，求解析式时，一般把解析式设为顶点式：的形式；（2）本题中顶点的横坐标x=1在﹣3＜x＜3内，因此要分为：①﹣3＜x＜1和②1≤x＜3两段来讨论函数值y的增减情况；（3）将抛物线进行平移时，“h”的值是“左移加，右移减”；“k”的值是“上移加，下移减”. 20．(1)； (2)； (3)①存在，不变的值为240；②当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套． 【详解】（1）解：当0＜x≤8时，设， 根据表格中的数据，当x＝8时，T＝10， ∴， 解得：m＝120， ∴， 当8＜x≤24时，设， 根据表格中的数据，当x＝24时，T＝26， ∴， 解得：n＝1， ∴， 即：， ∴T与x的函数关系式为； （2）解：当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为， 将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入， 得：， 解得：， ∴当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为， 故答案为：； （3）①存在，不变的值为240， 由函数图像得：当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为， 将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入， 得：， 解得：， ∴当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为K＝2x＋8， ∴当0＜x≤8时，y＝KT＝(2x＋8)·＝240； 当8＜x≤12时，y＝KT＝(2x＋8)(x＋2)＝2x2＋12x＋16； 当12＜x≤24时，y＝KT＝(－x＋44)(x＋2)＝－x2＋42x＋88， 综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为240． ②（Ⅰ）当8＜x≤12时，y＝2x2＋12x＋16＝2(x＋3)2－2，抛物线的对称轴为直线x＝－3， ∴当8＜x≤12时，在对称轴右侧，y随着x的增大而增大， 当2(x＋3)2－2＝286时， 解得：x1＝9，x2＝－15（舍去）； 当x＝12时，y取得最大值，最大值为2×(12＋3)2－2＝448，满足286≤y≤504； 当x＝9时，周销售量T取得最小值11，当x＝12时，T取得最大值14； （Ⅱ）当12＜x≤24时，y＝－x2＋42x＋88＝－(x－21)2＋529，抛物线的对称轴为直线x＝21， 当x＝12时，y取得最小值，最小值为－(12－21)2＋529＝448，满足286≤y≤504； 当－(x－21)2＋529＝504时， 解得：x1＝16，x2＝26（舍去）； 当x＝12时，周销售量T取得最小值14，当x＝16时，T取得最大值18， 综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应的周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，二次函数图像的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数图像的性质是解决本题的关键． 21．（1）；（2）或-2；（3）；（4）. 【分析】根据二次函数的顶点坐标公式解答即可． （1）抛物线的顶点在y轴上，即x=-=0，解之即可； （2）抛物线的顶点在x轴上，即，解之即可得出答案； （3）抛物线的对称轴x=2即：x=； （4）抛物线经过原点，即k+3=0，解之即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点在y轴上， ∴对称轴为y轴. ∴，解得. （2）∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点的纵坐标为0，即，整理，得，解得，，即或-2. （3）由题意，得，解得： （4）将，代入抛物线关系式，得， ∴. 【点睛】本题考查了二次函数的最值及图象上点的坐标特征，属于基础题，关键是掌握二次函数上点的坐标特征及二次函数的性质． 22．（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+ ，最大值为；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）． 【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标． 【详解】解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1， ∴OB=1， ∵AB=4， ∴OA=3， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ， 解得 ， ∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2； （2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2， ∴E（﹣2，2）， ∴直线OE解析式为y=﹣x， 由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2）， ∵PG∥y轴， ∴G（m，﹣m）， ∵P在直线OE的上方， ∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+， ∵直线OE解析式为y=﹣x， ∴∠PGH=∠COE=45°， ∴l=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+， ∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为； （3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L， 则∠ALF=∠ACO=∠FNM， 在△MFN和△AOC中 ∴△MFN≌△AOC（AAS）， ∴MF=AO=3， ∴点M到对称轴的距离为3， 又y=﹣x2﹣x+2， ∴抛物线对称轴为x=﹣1， 设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4， 当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=， ∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）； ②当AC为对角线时，设AC的中点为K， ∵A（﹣3，0），C（0，2）， ∴K（﹣，1）， ∵点N在对称轴上， ∴点N的横坐标为﹣1， 设M点横坐标为x， ∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2， ∴M（﹣2，2）； 综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）． 考点：二次函数综合题． 23．(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为． (2)当时，y有最大值，最大值是0． (3)当时，y随x的增大而增大． (4)抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度得到的． 【分析】（1）本题考查二次函数的图象和性质，根据，抛物线开口向上，，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，即可解题． （2）本题考查二次函数的最值，根据二次函数开口确定其在顶点处取得最大值，即可解题． （3）本题考查二次函数的增减性，根据二次函数开口和对称轴，得到二次函数的增减性，得出的取值范围，即可解题． （4）本题考查二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”，掌握规律并灵活运用，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线解析式为，且， 抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向下， 二次函数有最大值，且当时，y有最大值是0． （3）解：抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大； （4）解：有函数平移规律可知，抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度得到的． 24．（1）1；（2）．（3）． 【分析】（1）将点A坐标代入求出，再根据直线过点即可求得的值； （2）由（1）得出抛物线对称轴为，据此知 ，代入得，从而得出答案； （3）当时，画出图形．若抛物线过点 知 ．结合函数图象可得 ．时显然不成立． 【详解】解：（1）∵ 经过点， ∴将点的坐标代入 ，即 ，得． ∵直线 与抛物线 的对称轴交于点 ， ∴将点代入，得 ． (2)∵抛物线 的对称轴为， ∴ ，即． ∴      ． ∴抛物线的顶点坐标为 ． (3)当时，如图， 若拋物线过点 ，则 ． 结合函数图象可得 ． 当时，不符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质及直线与抛物线相交的问题是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $