第07讲 抛物线的综合应用讲义（思维导图+2大知识点+8大题型+过关测试）-2025-2026学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

该高中数学讲义通过思维导图系统梳理抛物线知识体系，以表格形式对比四种标准方程的图形、焦点、准线等性质，清晰呈现定义、方程与几何性质的内在联系，突出焦半径、焦点弦等核心重难点。 讲义亮点在于“题型归纳，举一反三”的分层设计，涵盖轨迹方程、距离最值等8类题型，如利用抛物线光学性质解决反射问题，培养数学眼光与应用意识。例题与变式题梯度分明，基础学生可掌握通法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准复习教学。

第07讲 抛物线的综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、抛物线的定义 4 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：抛物线的定义与方程 5 题型二：抛物线的轨迹方程 5 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 6 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 6 题型五：焦半径问题 6 题型六：抛物线的性质 7 题型七：实际应用问题 8 题型八：焦点弦问题 9 05 过关测试 10 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型一：抛物线的定义与方程 【例1】（25-26高二上·山东烟台·期末）抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·广西梧州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·山西运城·期末）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：抛物线的轨迹方程 【例2】（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 【例3】（25-26高二上·重庆·期中）已知过抛物线 的焦点 的动直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点， 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（   ） A．6 B．3 C．12 D．9 【变式3-1】（25-26高二上·浙江·期中）已知抛物线为上的动点，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为 ． 【变式3-3】（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 【例4】（25-26高三上·湖南·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（   ） A．18 B．16 C．12 D．8 【变式4-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知抛物线：（）的焦点到的距离为1，是抛物线上的动点，到的距离与之和的最小值为1，则点的轨迹围成的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·广东深圳·二模）已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于 ． 【变式4-3】（23-24高二上·浙江温州·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为 . 题型五：焦半径问题 【例5】（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式5-1】（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【变式5-2】（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 题型六：抛物线的性质 【例6】（多选题）（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 【变式6-1】（多选题）（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【变式6-2】（多选题）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 【变式6-3】（多选题）（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 题型七：实际应用问题 【例7】（24-25高二上·北京海淀·期末）如图，是平面上一点， 以为圆心，分别画出半径为1， 2， 3， 4， 5 的同心圆.记半径为4的圆的一条切线为，再画出与平行的各圆的切线和一条穿过圆心与平行的直线. 若以为焦点，为准线的抛物线记为，则这个点（   ） A．都不在抛物线线上 B．只有个点在抛物线上 C．有个点在抛物线上 D．有个点在抛物线上 【变式7-1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·重庆渝中·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（    ） A．4 B．2 C．8 D．16 【变式7-3】（24-25高二上·河南南阳·期中）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（    ）    A．6.4m B．6m C．3.2m D．3m 题型八：焦点弦问题 【例8】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 . 【变式8-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设抛物线焦点为F，准线与对称轴交于点E，过F的直线交抛物线于A，B两点，对称轴上一点C满足，若的面积为，则F到抛物线准线的距离为 . 【变式8-2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，的中点为，的垂直平分线交轴于点，则线段长度的取值范围为 .    【变式8-3】（25-26高二上·云南昭通·月考）已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高二上·北京·月考）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽合肥·期中）设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过点总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·重庆渝北·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，若恰好为为中点，则等于（   ） A． B．2 C．3 D．4 8．（25-26高二上·湖南长沙·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为F，过F作直线l与C相交于A，B两点，则（   ） A．焦点F与C的准线的距离为1 B．的最小值为2 C．存在直线l，使得 D．若，则的最小值为 10．（多选题）（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线交于点（其中），与的准线交于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C．的面积为 D． 11．（多选题）（25-26高二上·重庆·期中）已知 是抛物线 的焦点，不过原点的直线 与抛物线相交于 、 两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线过点，则的最小值为2 B．若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为 C．若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2 D．若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内 12．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 13．（25-26高二上·山西·期中）已知抛物线的焦点为，，，是上不同的三点，且向量，，的横坐标之和为4，则直线，，的斜率之和为 . 14．（25-26高二上·云南楚雄·期中）已知点是抛物线上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是 . 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点.过该抛物线的焦点且斜率为的直线，与抛物线相交于、两点. (1)求抛物线的标准方程和线段的长； (2)求的值. 16．（25-26高二上·江西·月考）已知抛物线过其中两点，为的焦点. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 17．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）（1）求焦点关于准线的对称点为的抛物线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 18．（25-26高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为，动直线l过点，且点F到l的距离的最大值为1 (1)求抛物线的方程； (2)设l与C交于相异的A，B两点，证明：为钝角三角形. 19．（25-26高二上·浙江·期中）已知抛物线的焦点到其准线的距离为. (1)求抛物线的准线方程； (2)设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记的面积为，当时，求直线的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 抛物线的综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、抛物线的定义 4 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：抛物线的定义与方程 5 题型二：抛物线的轨迹方程 6 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 7 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 9 题型五：焦半径问题 12 题型六：抛物线的性质 16 题型七：实际应用问题 18 题型八：焦点弦问题 21 05 过关测试 26 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型一：抛物线的定义与方程 【例1】（25-26高二上·山东烟台·期末）抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线的准线方程是，则该抛物线的焦点坐标为， 可设该抛物线的标准方程为，则，解得， 故该抛物线的标准方程为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二上·广西梧州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线， 设其方程为，则其准线方程为，得. 该抛物线的标准方程是. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高二上·山西运城·期末）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线的光学性质可知与轴平行， 所以由抛物线定义可知， 解得， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D 题型二：抛物线的轨迹方程 【例2】（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 【变式2-1】（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 【变式2-2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2-3】（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为，则， 又动圆与直线相切，即到直线的距离为， 所以到直线的距离为， 所以到的距离与到直线的距离相等， 所以的轨迹为抛物线，其焦点为， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D． 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 【例3】（25-26高二上·重庆·期中）已知过抛物线 的焦点 的动直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点， 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（   ） A．6 B．3 C．12 D．9 【答案】A 【解析】由抛物线 可得，其准线方程为, 作垂直于准线，垂足为，如下图所示： 设过的直线方程为，； 联立直线与抛物线方程可得； 因此可得，所以, 可得， 由抛物线定义可知 ， 当三点共线时， 的最小值为， 此时，即动直线垂直于轴时， 的最小值为6. 故选：A 【变式3-1】（25-26高二上·浙江·期中）已知抛物线为上的动点，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由题可得抛物线焦点为：，准线为：. 如图，作直线，直线，取抛物线焦点为F， 则点到直线的距离与之和为， 由抛物线定义可得：， 则当四点共线时，取最小值为， 又由题可得，，则最小值为：. 故选：A 【变式3-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意，设点，则 ， 故当时，即当点的坐标为时，取得最小值. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 【例4】（25-26高三上·湖南·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（   ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】D 【解析】依题意，，解得，则抛物线，焦点， 设点，直线的方程为， 由消去得，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为8. 故选：D 【变式4-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知抛物线：（）的焦点到的距离为1，是抛物线上的动点，到的距离与之和的最小值为1，则点的轨迹围成的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线：的焦点，由到的距离为1，得， 而，解得，则抛物线的焦点，准线方程为， 直线与准线的距离为1，由到的距离与之和的最小值为1， 得到准线的距离与之和的最小值为2，因此的最小值为2， 显然，当且仅当点在线段上时取等号，则， 此时点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，由点在线段上，得点在圆内， 又直线与的距离为1，当点在直线上，点在直线及下方的抛物线弧上， 且垂直于直线时，到的距离与之和为1，符合题意， 因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆在直线及下方的圆弧与弦组成， 而点到直线的距离是1，则， 所以点的轨迹围成的面积扇形的面积减去的面积， 即. 故选：A 【变式4-2】（2025·广东深圳·二模）已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于 ． 【答案】 【解析】如图，因为抛物线C的焦点，所以，解得， 则抛物线C的方程为，准线方程为， ， 易知直线l斜率存在，设方程为，，, 联立，整理得, 由韦达定理得，， 又， ，且， ∴，即代入， 整理得，解得或（舍）， 所以，，所以， . 故答案为. 【变式4-3】（23-24高二上·浙江温州·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为 . 【答案】 【解析】 由，则，设，， 联立可得，消去可得：，显然， 由韦达定理可得：，， 由弦长公式可得： ， 设，由在直线上，则， 设，取，，由题意可知，则， 易知底上的高为到直线的距离，， 所以， 显然当时，取得最小值为. 故答案为：. 题型五：焦半径问题 【例5】（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【解析】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 【变式5-1】（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【解析】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． 故选：A 【变式5-2】（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以. 故选：A. 【变式5-3】（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 【答案】C 【解析】依题意，焦点，准线，设点,， 由得或， ， 当时，，即，则； 当时，，，即，则. . 综上所述，的值为或. 故选：C. 题型六：抛物线的性质 【例6】（多选题）（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 【答案】ACD 【解析】由题可得圆心，半径，抛物线的焦点为， 对于A，若为等边三角形，则，由对称性不妨设P在第一象限，则， 显然点P在抛物线上，所以存在点，使为等边三角形，故A正确； 对于B，设，则 ，故B错误； 对于C，由B得，令，所以， 由A可知为边长为4的等边三角形，圆心C到的距离为， 所以若，则直线与圆相切，故C正确； 对于D，设，若以为直径的圆与圆外切，设以为直径的圆圆心为G， 则，， 所以，化简并解得， 所以，故D正确. 故选：ACD 【变式6-1】（多选题）（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 【变式6-2】（多选题）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 【答案】AC 【解析】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线， 则焦准距，故其方程为，故A正确； 抛物线关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误； 由知 ，故C正确； 当点在曲线上时，由于抛物线开口向上， 当点位于原点时，到直线l的距离最小为1， 故点P到直线l的距离 ，所以D错误， 故选：. 【变式6-3】（多选题）（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 题型七：实际应用问题 【例7】（24-25高二上·北京海淀·期末）如图，是平面上一点， 以为圆心，分别画出半径为1， 2， 3， 4， 5 的同心圆.记半径为4的圆的一条切线为，再画出与平行的各圆的切线和一条穿过圆心与平行的直线. 若以为焦点，为准线的抛物线记为，则这个点（   ） A．都不在抛物线线上 B．只有个点在抛物线上 C．有个点在抛物线上 D．有个点在抛物线上 【答案】D 【解析】不妨以点D为坐标原点，过点D且平行于直线的直线为轴，过点D且垂直于直线的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 此时，则抛物线的方程为， 易知该组同心圆的方程为， 联立解得， 由图可知，所给5点的纵坐标不小于0，故， 当时，可得，该点为点D； 当时，，该点为点E； 当时，，该点不存在； 当时，，该点为点B； 综上所述，有3个点在抛物线上. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为（） 由已知点在抛物线上， 所以， 所以， 所以抛物线方程为， 所以焦点坐标为， 所以绳子最合适的长度是， 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二上·重庆渝中·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（    ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】A 【解析】设；由题意：直线与之间的距离； 因为，设直线，与联立，整理得：； 由韦达定理：，， 则； 故时，. 故选：A. 【变式7-3】（24-25高二上·河南南阳·期中）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（    ）    A．6.4m B．6m C．3.2m D．3m 【答案】A 【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 依题意可知，抛物线过点， 所以， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为. 故选：A 题型八：焦点弦问题 【例8】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 . 【答案】（或12.5）. 【解析】由题知：，则抛物线方程为， 所以焦点的坐标为，准线方程为， 设，则，解得， 将代入抛物线方程，得，即，故或， 因为直线过和，则斜率（取 为例，符号不影响结果）， 所以直线方程为，即， 联立直线与抛物线方程得， 代入得 ，化简为 ， 由韦达定理得， 因为，则， 根据抛物线定义，， 因此（或12.5）， 故答案为：（或12.5）. 【变式8-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设抛物线焦点为F，准线与对称轴交于点E，过F的直线交抛物线于A，B两点，对称轴上一点C满足，若的面积为，则F到抛物线准线的距离为 . 【答案】 【解析】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为， 由题意得，， 当过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不符合要求，舍去， 设过点的直线方程为，， 与抛物线联立得， 设，， 则，， 因为，设， 则，即， 将代入，中，解得， 如图所示，可知，，. 因为∽，所以，故， 即，解得， 则到抛物线准线的距离为， 假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为 同理可得，故到抛物线准线的距离为， 综上，到抛物线准线的距离为. 故答案为：. 【变式8-2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，的中点为，的垂直平分线交轴于点，则线段长度的取值范围为 .    【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，其中， 由抛物线的性质，可得，，， 所以， 则， 因为，所以， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二上·云南昭通·月考）已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 【答案】8 【解析】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】抛物线的焦点， 设过点的抛物线弦所在直线方程为， 由消去得， 设弦的两个端点坐标为， 则，当时，；当时，， 因此两条光线第二次反射的反射点的纵坐标分别为， 所以两次反射后，两条反射光线之间的宽度为. 故选：D 2．（25-26高二上·北京·月考）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知抛物线方程为，可得其焦点坐标为， 由于双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，可得双曲线的焦点为，即， 由，可得：，即， 综上可得：双曲线的渐近线方程为：. 故选：B 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线的定义知，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A. 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，点在准线上的射影分别为，线段的中点在上的射影为， 则， 由，即，得， 而，即，当且仅当时取等号， 所以. 故选：C. 5．（25-26高二上·安徽合肥·期中）设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过点总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示： 由题意可知直线与圆相切或相离， 则圆心到直线的距离， 由抛物线可得焦点， 易知直线的斜率存在，设为，则直线， 由，整理可得， 解得， 所以直线的斜率的最大值为， 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线的焦点为,准线方程为， ； 因为点到的焦点的距离为5，所以由抛物线的定义得，得； 又因为为抛物线上一点，所以，所以， 所以点的坐标为； 故选：A 7．（25-26高二上·重庆渝北·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，若恰好为为中点，则等于（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，直线与抛物线必相交， 设，， 因为恰好为为中点，则，可得， 则直线的斜率存在，设为，则直线， 联立方程，消去y可得，不为0，且， 则，即，可得， 所以. 故选：A. 8．（25-26高二上·湖南长沙·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为抛物线的焦点为，则抛物线方程可写为， 若，则， 由椭圆的定义得，所以，， 由抛物线的定义得，所以点的横坐标， 代入抛物线方程得，， 所以，即， 所以. 所以椭圆的离心率. 故选：A. 9．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为F，过F作直线l与C相交于A，B两点，则（   ） A．焦点F与C的准线的距离为1 B．的最小值为2 C．存在直线l，使得 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，抛物线，其标准方程为， 其焦点到准线的距离为，A正确； 对于B，由题意知直线l的斜率必存在，设过焦点的直线l的方程为，设，将代入，可得，， 由韦达定理可知， ，又， 则，所以， 因为，所以当时，取得最小值2，选项B正确； 对于C，若，则， 由于，故， 故，故不存在直线l，使得，C错误； 对于D，因为，故点在抛物线内，如图， 设点A到准线的距离为d，根据抛物线的定义知， 则，其最小值为点到准线的距离， 此时过点M向准线作垂线，和抛物线的交点即为A点， 故点到准线的距离为， 即得的最小值为，所以选项D正确， 故选：ABD 10．（多选题）（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线交于点（其中），与的准线交于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】BD 【解析】由已知可得，，准线，直线的方程为． 联立直线与抛物线的方程，可得． 由根与系数的关系可得，，故A错误； 结合图象，由弦长公式得，故B正确； 点到直线，即的距离为， 所以的面积，故C错误； 过点作，连接，因为倾斜角为且，所以为等边三角形， 在直角三角形中，，故， 所以，即线段中点为点，故，D正确． 故选：BD 11．（多选题）（25-26高二上·重庆·期中）已知 是抛物线 的焦点，不过原点的直线 与抛物线相交于 、 两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线过点，则的最小值为2 B．若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为 C．若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2 D．若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内 【答案】BCD 【解析】由抛物线的焦点，准线方程为，设， 对于A，根据抛物线的定义，可得， 则， 设，联立方程组，整理得， 则，所以， 所以，所以的最小值为，所以A错误； 对于B，由抛物线的定义，可得，解得，则. 因为点在第一象限，可得，即，所以， 设的倾斜角为，可得，所以，所以B正确； 对于C，当直线过抛物线的焦点时，则， 可得，因为是线段的中点，所以， 所以到轴的距离为； 当直线不过抛物线的焦点时，可得， 所以，解得. 因为是线段的中点，所以，即到轴的距离大于， 综上可得，所以到轴的距离的最小值为，所以 C正确； 对于D，由直线过抛物线的焦点，过分别作，垂足分别为， 根据抛物线的定义，可得，且 在过点作，垂足为，可得， 所以以为直径的圆与准线相切. （几何直观）由图可知，为钝角，所以，所以原点在以为直径的圆的圆内. （代数证明）设，由A可知，，， ，， ，所以， 故原点在以为直径的圆的圆内，所以D正确. 故选：BCD. 12．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 【答案】 【解析】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 故答案为： 13．（25-26高二上·山西·期中）已知抛物线的焦点为，，，是上不同的三点，且向量，，的横坐标之和为4，则直线，，的斜率之和为 . 【答案】2 【解析】由题可知.设， 则. 由题可知，直线的斜率， 同理直线的斜率，直线的斜率， 所以直线的斜率之和为. 故答案为：2. 14．（25-26高二上·云南楚雄·期中）已知点是抛物线上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是 . 【答案】 【解析】如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为，过点作，交直线于点， 由抛物线的定义可知，，所以当在线段上时，取得最小值，. 故答案为： 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点.过该抛物线的焦点且斜率为的直线，与抛物线相交于、两点. (1)求抛物线的标准方程和线段的长； (2)求的值. 【解析】（1）由题意，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设点、，易知抛物线的焦点为，则直线的方程为， 联立可得，， 所以，， 故. （2）. 16．（25-26高二上·江西·月考）已知抛物线过其中两点，为的焦点. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 【解析】（1）若点在上，则，解得， 此时，点B不在E上； 若点在E上，则，无解； 若点在E上，则，无解. 综上，E的方程为. （2）如图，可知直线的斜率可能不存在，但不为0， 设 联立l及E的方程得，则 此时，，解得. 故直线的方程为或. 17．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）（1）求焦点关于准线的对称点为的抛物线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【解析】（1）由题意知在轴上，故设所求抛物线方程为， 所以，准线方程为， 因为关于直线的对称点为，所以， 解得，故所求抛物线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为， 将点代入上述方程，得， 所以双曲线的方程为，故所求双曲线的方程为. 18．（25-26高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为，动直线l过点，且点F到l的距离的最大值为1 (1)求抛物线的方程； (2)设l与C交于相异的A，B两点，证明：为钝角三角形. 【解析】（1）解法一：抛物线C的焦点为， 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 点F到l的距离，d取最大值，当且仅当取最小值，即， 此时d取到最大值1，即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； 解法二：因为动直线l过点， 所以点F到直线l的距离的最大值为点F到点的距离， 即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； （2）证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立，得， 则， 所以， 则， 易知点O，A，B不共线，故和的夹角为钝角， 故为钝角三角形. 19．（25-26高二上·浙江·期中）已知抛物线的焦点到其准线的距离为. (1)求抛物线的准线方程； (2)设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记的面积为，当时，求直线的方程. 【解析】（1）抛物线焦点为，准线为， 由题意得，故准线方程为. （2）由（1）可得抛物线的方程为，焦点， 显然直线的斜率不可能为零，故可设直线的方程为， 代入抛物线方程整理得，， 设，则， ， ， 由，得，解得， ∴直线的方程为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $