专题8.4 .1 平面 讲义-2026年高一数学人教A版必修第二册寒假提前学

专题8.4.1 平面 模块导航 · 模块一 平面的基本性质及推论 · 模块二 证明共线、共点、共面 · 模块三 课后练习 模块一 平面的基本性质及推论 · 基础知识 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. （2）基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 【考点1 平面概念及其表示】 【例题1.1】已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题1.2】如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【变式1.3】（多选）下列关于点、线和面的关系表示正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 【考点2 平面基本性质及推论】 【例题2.1】空间中有4个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是 条. 【例题2.2】设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 【变式2.1】下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【变式2.2】给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2.3】下列命题正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 模块二 证明共线、共点、共面 · 基础知识 1．点、线共面问题 点、线共面问题是指结论是几个点或者几条直线在同一平面内的问题，证明点、线共面的主要依据是基本事实1和基本事实2. 证明点、线共面的常用方法： （1） 直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面； （2） 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； （3） 辅助平面法：先使有关的点、线确定平面，再让其他点、线确定平面，最后证明重合。 2．三点共线问题 三点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，证明三点共线的依据是基本事实3，且应进一步理解下面三点： （1） 如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线； （2） 如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线； （3） 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面内的直线的交点必在这两个平面的交线上。 证明三点共线的常用方法： （1） 首先找到两个平面，然后证明这三个点都是两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在交线上； （2） 选择其中两个点确定一条直线，然后证明另一个点也在这条直线上。 3．三线共点问题 三线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，证明三线共点的依据是基本事实3. 证明三线共点的方法： 先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点或交点在第三条直线上，把问题转化为证明点在直线上的问题。 【考点1 空间中点、线共面的问题】 【例题1.1】下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是 ， 【例题1.2】下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【变式1.1】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【变式1.2】下列判断正确的是（   ） A．若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【变式1.3】已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的（   ）条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 【考点2 空间点共线的问题】 【例题2.1】已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【例题2.2】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2.1】（多选）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2.2】以下四个命题中，正确命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面 C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【变式2.3】如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证： (1)，O，M三点共线； (2)E，C，，F四点共面． 【考点3 空间中线共点问题】 【例题3.1】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【例题3.2】（多选）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 【变式3.1】如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【变式3.2】如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【变式3.3】在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 1、（多选）下列关于平面的说法正确的是（   ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 2、下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（   ） A． B． C． D． 3、下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 4、下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 5、下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 6、经过一条直线上3个点的平面（　　） A．有且仅有1个 B．有且仅有3个 C．有0个 D．有无数个 7、若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是（   ） A． B． C． D． 8、如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是 ．    9、如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 10、如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4.1 平面 模块导航 · 模块一 平面的基本性质及推论 · 模块二 证明共线、共点、共面 · 模块三 课后练习 模块一 平面的基本性质及推论 · 基础知识 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. （2）基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 【考点1 平面概念及其表示】 【例题1.1】已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线、点面、线面关系的数学表达符号判断各项的正误. 【详解】由点线、点面关系用或表示，线面关系用或表示， 所以A、B、C错，D对. 故选：D 【例题1.2】如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面的位置关系，及其符号表示逐一判断即可. 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 【变式1.1】已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的表示方法进行判断即可. 【详解】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 【变式1.2】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的符号语言可得结果. 【详解】在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：C． 【变式1.3】（多选）下列关于点、线和面的关系表示正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 【答案】BCD 【分析】根据点，线，面的位置关系的符号表示即可判断. 【详解】对于A：点与面的位置关系为：点平面，或点平面，故A错误； 对于BC：直线与平面的位置关系：直线平面，直线平面或直线平面，故BC正确； 对于D：平面与平面的位置关系：平面平面或平面平面，故D正确. 故选：BCD. 【考点2 平面基本性质及推论】 【例题2.1】空间中有4个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是 条. 【答案】6 【分析】分4个平面交于同一条直线，3个平面交于同一条直线时，第4个平面与这3个平面相交，任意3个平面都不交于同一条直线求解. 【详解】当4个平面交于同一条直线时，只有一条交线； 当3个平面交于同一条直线时，第4个平面与这3个平面相交，得到3条交线，一共得到4条交线； 当任意3个平面都不交于同一条直线时，共得到6条交线. 综上：它们交线的条数最多是6条. 故答案为：6 【例题2.2】设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】对于A，举例，当与相交时，可能满足，即可判断；对于B，根据常识判断即可；根据基本事实2判断C；根据基本事实3判断D. 【详解】对于A，由，则或与相交， 当与相交时，可能满足，故A错误； 对于B，由，，易得，故B正确； 对于C，根据基本事实2可知，由，，，可得，故C正确； 对于D，根据基本事实3可知，由，，，，可得，故D正确. 故选：A 【变式2.1】下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【答案】C 【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；两条相交直线能确定一个平面，可判断C；若点在直线上，则不能确定一个平面，可判断D. 【详解】对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面，A错误； 对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B错误； 对于C，两条相交直线能确定一个平面，故C正确； 对于D，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故D错误. 故选：C. 【变式2.2】给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 【变式2.3】下列命题正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】C 【分析】利用确定平面的条件逐项判断即可. 【详解】对于选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B，当该点在直线上时，不能确定一个平面，故B错误； 对于选项C，由于梯形有一组对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故C正确； 对于选项D，当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故D错误． 故选：C． 模块二 证明共线、共点、共面 · 基础知识 1．点、线共面问题 点、线共面问题是指结论是几个点或者几条直线在同一平面内的问题，证明点、线共面的主要依据是基本事实1和基本事实2. 证明点、线共面的常用方法： （1） 直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面； （2） 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； （3） 辅助平面法：先使有关的点、线确定平面，再让其他点、线确定平面，最后证明重合。 2．三点共线问题 三点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，证明三点共线的依据是基本事实3，且应进一步理解下面三点： （1） 如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线； （2） 如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线； （3） 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面内的直线的交点必在这两个平面的交线上。 证明三点共线的常用方法： （1） 首先找到两个平面，然后证明这三个点都是两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在交线上； （2） 选择其中两个点确定一条直线，然后证明另一个点也在这条直线上。 3．三线共点问题 三线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，证明三线共点的依据是基本事实3. 证明三线共点的方法： 先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点或交点在第三条直线上，把问题转化为证明点在直线上的问题。 【考点1 空间中点、线共面的问题】 【例题1.1】下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是 ， 【答案】①②③ 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 【例题1.2】下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据基本事实二、三逐项判断即可. 【详解】由基本事实二知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确； 由基本事实三知两条平行直线，确定一个平面，故B正确； 由基本事实三知两条相交直线，确定一个平面，故C正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故D错误． 故选：D． 【变式1.1】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【答案】证明见解析 【分析】如图，取的中点，连接，，由题可得四边形是平行四边形，进而可得，据此可完成证明. 【详解】如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． 【变式1.2】下列判断正确的是（   ） A．若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【答案】D 【分析】利用平面的相关基本事实即可得解. 【详解】平面五边形的五个顶点任何三点和四点均不共线，但这五点共面，故A，B错误； 若空间五点中有三点共线，则这五点仍不一定共面，故C错误； 若空间五点中有四点共线，则由基本事实可知，直线与直线外一点可确定唯一平面，即这五点一定共面，故D正确． 故选：D. 【变式1.3】已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的（   ）条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 【答案】C 【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可. 【详解】若两两相交，当相交于同一点上时，不一定共面，故两两相交不能推出共面， 若共面，可能彼此平行，故共面不能推出两两相交， 所以两两相交是共面的既不充分也不必要条件. 故选：C. 【考点2 空间点共线的问题】 【例题2.1】已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 【例题2.2】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【详解】如图所示，     E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C 【变式2.1】（多选）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】CD 【分析】根据平面的基本性质判断. 【详解】因为， 所以点A在与的交线上，点B在与的交线上，点C在与的交线上，点D在与的交线上， 故选：CD 【变式2.2】以下四个命题中，正确命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面 C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】A 【分析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，反证法：如果四个点中，有个点共线，第个点不在这条直线上， 根据基本事实的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，所以A选项正确. B选项，如下图，共面，共面，但不共面，所以B选项错误. C选项，如下图，共面，共面，但异面，所以C选项错误. D选项，如下图，四条线段首尾相接，但不共面，所以D选项错误. 故选：A 【变式2.3】如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证： (1)，O，M三点共线； (2)E，C，，F四点共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证 （2）根据平行的传递性，可证，根据基本事实的推论，即可得证. 【详解】（1）由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线 （2）连接EF、、， 因为E、F分别为AB、的中点， 所以， 又正方体， 所以， 所以， 因为两平行直线可确定一个平面， 所以E，C，，F四点共面. 【考点3 空间中线共点问题】 【例题3.1】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 【例题3.2】（多选）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 【答案】ABC 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，D错误. 故选：ABC 【变式3.1】如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 【详解】如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 【变式3.2】如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】A 【分析】由题意作出图形，并连接，结合已知条件容易证明四边形为等腰梯形，从而由等腰梯形的性质即可求解. 【详解】如图所示： 连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点， 是线段的中点， 所以在中，， 又， 且由正方形性质可知， 所以， 即四边形为等腰梯形， 又为等腰梯形的对角线， 所以，且直线是相交直线. 故选：A. 【变式3.3】在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【详解】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B 1、（多选）下列关于平面的说法正确的是（   ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 【答案】BD 【分析】根据平面的定义判断A，根据基本事实2判断B，举反例判断C，根据基本事实一的推论判断D. 【详解】根据平面的定义，平面是向四周无限延展的，故无法确定平面面积，A错误； 由基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直线在这个平面内，可得若，则，B正确； 当三点共线时，过此三点的平面有无数个，C错误； 由推论，经过两条平行直线，有且仅有一个平面可得D正确； 故选：BD. 2、下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，线，面的关系及符号表示判断各个选项即可. 【详解】，A选项正确； ，B选项错误；D选项正确； ，C选项正确； 故选：B. 3、下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【答案】C 【分析】A选项，考虑点可以随意运动可判断；B选项，考虑直线沿一个固定方向平移或非固定方向平移可判断；C选项，考虑两直线的垂直与否可判断；D选项，考虑移动方向垂直矩形所在平面与不垂直于矩形所在平面可判断. 【详解】对于A，一个点运动也可以形成曲线，故A错； 对于B，在空间中，直线平行移动， 若沿着固定方向平移可能形成平面，若沿非固定方向平移可以形成曲面，故B错； 对于C，在空间中，当直线与另一条直线垂直时，绕其转动形成平面， 当直线不与另一条直线垂直时，绕其转动形成锥面，C正确； 对于D，矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体， 若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误. 故选：C. 4、下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 【答案】D 【分析】根据空间点线面面位置关系、基本事实一及推论判断即可. 【详解】设是空间中不重合的两条直线， 对于A，若直线相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A说法正确； 对于B，若直线是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B说法正确； 对于C，若直线是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C说法正确； 对于D，若直线相交于一点，则直线一定共面，故D说法错误. 故选：D 5、下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质及各项描述判断正误即可. 【详解】由平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A、B错； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，C错； 平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，D对. 故选：D 6、经过一条直线上3个点的平面（　　） A．有且仅有1个 B．有且仅有3个 C．有0个 D．有无数个 【答案】D 【分析】利用确定平面的条件判断即可. 【详解】经过不共线3个点的平面有且只有一个， 而经过同一直线上的3个点的平面有无数个． 故选：D. 7、若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线和直线外的一点确定一个平面直接判断即可. 【详解】由题意知，直线和直线外的一点确定一个平面. 故选：C 8、如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是 ．    【答案】相交 【分析】连接，利于中位线性质可证得得共面，再利用反证法假设，可证得矛盾，从而可得与相交. 【详解】如图，    连接，P是的中点，Q是的中点，所以是的中位线， 故，而在正方体中中，， 所以四边形是平行四边形， 故，所以，得共面， 故与共面， 假设,由，可得四边形是平行四边形， 则，即，这与是的中位线矛盾， 故与相交. 故答案为：相交. 9、如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形中有一对平行直线即可. （2）要证明三点共线，可证明点在直线上，即证明点在平面与平面的交线上即可. 【详解】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 10、如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 学科网（北京）股份有限公司 $