专题8.3 简单几何体的表面积与体积讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦简单几何体的表面积与体积计算核心知识点，系统梳理柱体、锥体、台体、球的表面积及体积公式等基础知识，通过柱体、锥体、台体、球的表面积与体积计算考点，结合例题与变式题构建从基础到应用的学习支架。 该资料以分层设计与情境化应用为特色，例题与变式题递进训练，培养学生空间观念与运算能力。如结合伊丽莎白圈、正四棱锥模型等实例，渗透数学眼光观察现实世界，运用公式法、等体积转换等培养数学思维，课中辅助教学，课后练习助力查漏补缺。

专题8.3 简单几何体的表面积与体积 模块导航 · 模块一 几何体的表面积计算 · 模块二 几何体的体积的计算 · 模块三 课后练习 模块一 几何体的表面积的计算 · 基础知识 1．几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积是围成它们的各个面的面积之和。 （2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式： 圆柱：（是底面半径，是母线长） 圆锥：（是底面半径，是母线长） 圆台：（分别是上、下底面圆半径，是母线长） （3）球的表面积：（R为半径） 【考点1 柱体表面积的计算】 【例题1.1】在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】直接根据底面边长和侧棱长即可求解. 【详解】解：因为长方体中，底面是边长为1的正方形，， 所以该长方体的表面积为： 故选：A 【例题1.2】底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 ． 【答案】 【分析】利用圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】设该圆柱的高为， 则该圆柱的侧面积，表面积， 由题意可得，即，解得， 即该圆柱的高为， 故答案为： 【变式1.1】如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为 ．    【答案】 【分析】求出正四棱柱的侧棱长和底面边长后即可求表面积. 【详解】因为四边形为正方形，，故， 而，故，故， 故正四棱柱的表面积为. 故答案为：. 【变式1.2】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【答案】 【分析】分别求三棱柱每个面的面积相加即可. 【详解】因为侧棱底面， 所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为， 所以底面，均为直角三角形． 因为，， 所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 【变式1.3】如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 . 【答案】 【分析】首先根据正弦定理求出正三角形边长与圆柱底面半径的关系，然后根据三棱柱体积求出圆柱底面半径，进而根据圆柱侧面积公式求出侧面积的值. 【详解】设底面正三角形的边长为，则正三角形的高为. 由于直三棱柱的底面是正三角形且在圆柱底面内，可知正三角形的外接圆半径为. 所以根据正弦定理，所以. 易知圆柱母线， 所以三棱柱的体积为. 所以. 那么圆柱的侧面积为. 故答案为：. 【考点2 锥体表面积的计算】 【例题2.1】已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥结构特征可求得侧面的高，由此可计算得到结果. 【详解】正四棱锥的底面边长为，高为，正四棱锥侧面的高为， 正四棱锥的侧面积. 故选：B. 【例题2.2】某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】先求得圆锥的母线长，再根据圆锥的表面积公式求得正确答案． 【详解】依题意得该圆锥的母线长为，则该圆锥的表面积为． 故答案为：. 【变式2.1】已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意正三棱锥三个侧面全等，利用锥体的高及底边长求得斜高，即可得到侧面积. 【详解】 在正三棱锥中，底面边长为6，高， 且为的中心也是重心，所以， 则，所以， 即. 故答案为：. 【变式2.2】已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是 .    【答案】 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示：    由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：. 【变式2.3】已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知圆锥的性质求出母线长及半径，再利用侧面积公式计算求解． 【详解】圆锥的轴截面是边长为的正三角形， 母线长，底面半径， 圆锥的侧面积，故D正确． 故选：D． 【考点3 台体表面积的计算】 【例题3.1】正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为 cm2. 【答案】 【分析】由条件可得侧面等腰梯形的上底、下底边长及腰长，即可求出等腰梯形的高即正六棱台斜高，代入面积公式，可求出侧面积，根据上下底面均为正六边形，即为6个全等的等边三角形组成，代入面积公式，即可求出底面积，相加即可得答案. 【详解】如图在正六棱台中， 由题意， 所以侧面的等腰梯形的高即正六棱台斜高，且为， 所以梯形的面积为， 故正六棱台的侧面积为； 由图可知，该正六棱台的上底面为正六边形，即为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为， 同理下底面积为 ， 所以该正六棱台的表面积是． 故答案为： 【例题3.2】已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助圆台轴截面等腰梯形的性质求出圆台的高，再利用圆台的表面积公式求解. 【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上下底边长分别为，底角的正切值为2， 因此圆台的高，即该等腰梯形的高，则母线， 所以圆台的表面积. 故选：D 【变式3.1】如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【分析】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 【变式3.2】如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止它们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，高为分米，则该伊丽莎白圈的侧面积为（   ） A．平方分米 B．平方分米 C．平方分米 D．平方分米 【答案】C 【分析】先求出圆台的母线长，由圆台的侧面积公式计算侧面积即可. 【详解】圆台上底面直径为4分米，则上底面半径分米， 下底面直径为2分米，则下底面半径分米， 圆台高为分米， 圆台母线长， 代入得：分米， 圆台侧面积， 将分米，分米，分米，代入： 平方分米. 故选：C 【变式3.3】现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，设，分别求出四面体的表面积和三棱台的表面积，由这两部分的表面积相等，求出，即可求出截面面积. 【详解】如图正四面体，， ，令，截面， 因为，所以，即，则， ，所以四面体为正四面体， 四面体的表面积为：， 设梯形的高为，的高为， 所以梯形的面积为， 所以三棱台的表面积为：， 又，所以，解得：， 所以截面. 故选：D.    【考点4 球的表面积的计算】 【例题4.1】一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的对角线就是球的直径及球的表面积公式即可求解． 【详解】因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径， 所以球的表面积为． 故选：A． 【例题4.2】已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ． 【答案】/ 【分析】根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式得出半径等于圆柱的高，再根据体积公式化简即可. 【详解】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为， 则由题意得，，则， 则. 故答案为： 【变式4.1】一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，则球的表面积为 cm2． 【答案】 【分析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可. 【详解】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知， 且，为两截面圆的圆心，则，． 设球的半径为，，． ，． 设，则． 在中，，记为①式， 在中，，记为②式， 联立①②可得，． ，故球的表面积为． 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， 由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心， 则，．设球的半径为， ，． ，． 设，则． 在中，．在中，． ，解得，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为． 故答案为： 【变式4.2】若平面截球所得截面圆的直径为2，球心到的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球截面的性质，结合球的表面积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，由题可得截面圆的半径为， 因为球心到的距离为1，所以, 球的半径， 所以球的表面积为. 故选：C 【变式4.3】若一个正方体内切球的表面积为，则该正方体的棱长为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】首先得到正方体与棱长的关系，再代入球的表面积公式，即可求解. 【详解】设正方体棱长为，则内切球的半径为， 所以，得， 所以正方体的棱长为. 故选：D 模块二 柱体、锥体、台体的计算 · 基础知识 1．柱体、锥体、台体的体积公式 柱体：（S为底面积，h为柱体高）， 锥体：（S为底面积，h为锥体高）， 台体：（分别为上、下底面面积，h为台体高） 2．球的体积公式 球的体积：（R为半径） 3．体积计算的常用方法 （1） 公式法：直接根据相关体积公式计算。 （2） 等体积转换法：针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量（底面积或高）不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算。具体做法是选择合适的底面，使得底面面积及高易于计算。该方法适用于求三棱锥的体积，由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面，但是三棱锥的体积保持不变，其他棱锥求体积就不能随意换底，用等体积转换法求体积需慎重。 （3） 分割求和法：当所给几何题不规则或不易求体积时，可以先将原几何体分割成几个规则的几何体，然后分别求这几个几何体的体积，再求和，就得到了原几何体的体积。 （4） 补形法：利用平移、旋转、延展或对称等手段，将不规则几何体补成规则几何体，不熟悉几何体补成熟悉几何体，便于计算其体积。 【考点1 柱体体积的计算】 【例题1.1】已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱的体积公式求得正确答案. 【详解】依题意，圆柱的体积为. 故答案为： 【例题1.2】如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点，则（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据放置前后，水的体积相等，即等体积法求解. 【详解】当底面水平放置时，水面高为3， 所以由柱体的体积公式可知水的体积. 当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点， 由相似比可知， 所以四边形的面积为， 由等体积法可知，即，解得. 故选：B. 【变式1.1】底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】设圆柱的高为，由圆柱的侧面积为，列出方程，求得，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】已知圆柱的半径，设圆柱的高为， 由圆柱的侧面积为，可得，解得， 圆柱体积为：. 故答案为：. 【变式1.2】若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为 ． 【答案】 【分析】直接根据棱柱的体积公式求解即可． 【详解】边长为2的正六边形面积为，根据棱柱体积公式可得． 故答案为：． 【变式1.3】已知底面边长为，侧棱长为的正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用棱柱的体积公式求三棱柱的体积. 【详解】由题意得该三棱柱体积为. 故选：B. 【考点2 锥体体积的计算】 【例题2.1】设某圆锥的体积为24π，其母线与底面所成的角是60°，则该圆锥底面圆的半径为 . 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由母线与底面所成角是，得到，，再结合体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由母线与底面所成的角是，知，， 所以体积，故， 化简可得，所以． 故答案为：． 【例题2.2】已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆锥和圆柱的高和底面半径，然后根据体积比可求出高之比. 【详解】设圆柱和圆锥的高分别为，底面半径分别为， 因为圆柱和圆锥的体积之比为，则，所以， 故选：A. 【变式2.1】在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的结构特征，先求出底面面积，然后根据勾股定理求出高，进而根据棱锥的体积公式求出结果. 【详解】因为正四棱锥的侧面是边长为的正三角形，正四棱锥的底面是正方形， 所以， 因为，所以. 根据勾股定理得. 所以该正四棱锥的体积为. 故选：D. 【变式2.2】如图，已知是棱长为的正方体，为的中点，为上一点，求三棱锥的体积． 【答案】 【分析】计算出的面积，利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】由， 因为， 又三棱锥的高为， 所以， 所以． 故答案为：. 【变式2.3】已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D． 【答案】C 【分析】设底面边长为a，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设底面边长为a，则正四棱锥的体积，解得. 故选：C 【考点3 台体体积的计算】 【例题3.1】已知正四棱台的上、下底面的边长分别为、，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正四棱台的高，结合台体的体积公式可求得该正四棱台的体积. 【详解】如图，过作下底面的投影，垂足为，    上底面对角线长，下底面对角线长， 则，可得正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积. 故选：A. 【例题3.2】某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（    ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为，由圆台的体积公式求解． 【详解】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为， 因为表面积为，下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm， 所以，解得， 设水桶的高为，如图所示： ， 所以水桶的容积为. 故选：B 【变式3.1】图1是名为“大铙”的西周云纹青铜乐器，其高76.8厘米，重100.35千克.某同学为估算“大铙”的体积，设计了一个与之等高等口径的组合体（如图2）.该组合体由一个圆台和一个圆柱构成，已知圆台与圆柱的高之比为，圆台的上、下底面和圆柱的底面半径之比为.则圆台和圆柱的体积之比约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，代入体积公式，可得圆柱的体积，由题意，圆台的下底面半径为，上底面半径为，高为，代入公式，可得圆台的体积，即可得答案. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的体积为， 由题意，圆台的下底面半径为，上底面半径为，高为， 所以圆台的体积为， 所以圆台和圆柱的体积之比约为. 故选D. 【变式3.2】已知圆台的上底面半径为2，母线与底面所成角的余弦值为，该圆台的体积为，则该圆台的母线长为 ． 【答案】/ 【分析】设下底面圆的半径为，根据体积为列方程求出，根据勾股定理再求出母线长. 【详解】如图，由题意可知，，则， 过点作，垂足为， 设，则 在中，， 圆台上底面面积，下底面面积， 则圆台的体积， 化简得，所以，则，， 在中，， 所以该圆台的母线长为. 故答案为：. 【变式3.3】已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为 . 【答案】 【分析】取正棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【详解】 如图，取正四棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，为侧棱，， 则， 因为上下底面边长分别为2和4， 所以，，， 所以，即棱台的高为， 棱台的体积=. 故答案为：. 【考点4 球体体积的计算】 【例题4.1】已知球的半径与圆锥的底面半径相等，且它们的表面积相等，则圆锥与球的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合圆锥和球的表面积公式和体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，高为， 则圆锥的母线长为，球的半径为， 因为圆锥与球的表面积相等， 所以，解得， 所以圆锥和球的体积比为. 故选：A. 【例题4.2】已知球的体积为，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】设球的半径为，利用球的体积公式，列出方程求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，可得，解得， 所以球的表面积为. 故答案为：. 【变式4.1】如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为 ．    【答案】 【分析】根据旋转体的定义，得到旋转后的几何体为一个半球，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】由半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体为一个半径为的半球， 所以几何体的体积为. 故答案为：.    【变式4.2】已知球上两点满足，则球体积的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用“当球的直径时，球的半径最小”可得答案. 【详解】因为球体中的最长弦为直径， 所以当球的直径时，球的半径最小， 此时，. 故答案为： 【变式4.3】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得所求球是棱长为的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案 【详解】由题知，该球为正方体的外接球，正方体的棱长为， 所以体对角线为该球的半径， 所以，这个球的体积是. 故选：B 1、已知圆锥的母线长l为5，体积V为，底面半径r，高为，该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的体积公式，结合圆锥的表面积公式进行求解即可. 【详解】圆锥体积：，化简得． 由母线长，得，把代入， 整理得 ，或 ，解得，， 因为，所以，或， 当时，，或舍去， 当时，，， 因为， 所以，因为，所以，与已知矛盾，舍去， 综上所述：，， 所以圆锥的表面积为． 故选：C 2、已知圆锥的底面直径和母线均为2，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆锥的侧面积公式直接计算即可. 【详解】因为圆锥的底面直径为2， 所以圆锥的底面圆的半径为1，母线为2， 所求圆锥的侧面积， 故选：C. 3、若一圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为7，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算圆台的高，再利用圆台的体积公式计算即可. 【详解】因为圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为7， 所以圆台的高为， 所以该圆台的体积为. 故选：B 4、正三棱台上底面边长为2，下底面边长为3，侧棱长为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正三角形的中心（重心）性质，通过边长计算中心到顶点的距离（即底面外接圆半径），再通过勾股定理 计算棱台的高，最后代入正棱台体积公式完成计算即可. 【详解】由题知当上底面边长时，则正三角形中心（重心）到顶点的距离：， 当下底面边长时，正三角形中心到顶点的距离：， 设棱台的高为，侧棱长， 由勾股定理得： ， 则，， 将，， 代入体积公式： 故选：C. 5、已知圆锥的母线长为4，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得圆锥的底面半径和高，进而求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥的高为h，底面半径为r，又母线长为， 而母线与底面所成的角是30°，则，， 所以体积为. 故选：C 6、已知圆锥的高为，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的内切球以及圆锥侧面积的计算，解题的关键在于根据内切球的体积求出半径，再利用圆锥的轴截面和几何关系求出圆锥的底面半径和母线长，最后根据圆锥侧面积公式计算结果. 【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径， 设圆锥的轴截面图如图所示,底面圆心为，球心为,球与圆锥侧面切点为, 圆锥高为，半径为 ,母线长为， 所以，； 因为 与相似，所以 ，即，得到， 在 中有 ,即得到，， 所以圆锥的侧面积为； 故选：B 7、如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 【答案】C 【分析】利用八面体的结构特征，求出每个面的面积即可求得表面积. 【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 因此每个面的面积为（）， 所以这个八面体的表面积（）. 故选：C 8、已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】设正三棱台的高为，结合棱台的体积公式，列出方程，即可求解. 【详解】设正三棱台的高为， 因为上下底面边长分别为2和4，可得上下底面面积分别为， 又因为正三棱台的体积为， 可得，解得， 所以正三棱台的高为. 故选：C. 9、正四棱锥的底面边长为，高为，则它的表面积为 . 【答案】 【分析】根据正四棱锥的底面边长与高，可得正四棱锥的斜高，进而可得表面积. 【详解】 如图所示，正四棱锥， 设底面中心为，取中点，连接，， 由题意可知，， 则，平面，且. 因为平面，则， 所以， 所以， 故答案为：. 10、已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 （结果保留） 【答案】 【分析】根据圆锥体积公式、侧面积公式，结合圆锥的性质进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线为，因为圆锥侧面积为， 所以， 所以该圆锥的高为， 因此该圆锥的体积为， 故答案为： 11、已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积为 . 【答案】 【分析】设点为上下底面的中心，证得平面平面，作，得到平面，得出是直线与平面所成角的平面角，且，进而求得四棱台的高为，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，点分别为上下底面的中心，连接， 在正四棱台中，可得平面， 因为平面，所以平面平面， 在平面内，过点作于点， 因为平面平面，所以平面， 所以是在平面上的射影，所以是直线与平面所成角， 又因为侧棱与底面所成角为，所以， 因为上底面边长为，下底面边长为，所以，且， 则，，所以，则四棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为. 故答案为：.    12、若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为 ； 【答案】/ 【分析】求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点， 上、下底面三角形的高分别为，， 所以，， 所以，又， 所以正三棱台的高为， 上底面积为，下底面积为， 所以正三棱台的体积为. 故答案为：. 13、已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积是 . 【答案】 【分析】利用圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，进而结合题设求得，，圆锥的高为，再根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 则，解得， 又圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，则，解得， 则圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故答案为：. 14、已知正四棱台的高为，上下底面边长分别为和． (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 【答案】(1)112 (2)168 【分析】（1）根据棱台的体积公式计算即可； （2）求出正四棱台的斜高，计算正四棱台各个面的面积之和即可. 【详解】（1）正四棱台的体积. （2）正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的侧面积， 故正四棱台的表面积. 15、如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且 .    (1)求这个四棱锥的侧棱长; (2)求这个四棱锥的表面积和体积. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用勾股定理计算出，可得出，然后利用勾股定理可计算出，即为该四棱锥的侧棱长； （2）计算出该正四棱锥的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱锥的表面积.再由体积公式求得体积. 【详解】（1）在中，. 在中，，， 侧棱长； （2）， ， ， . , 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 简单几何体的表面积与体积 模块导航 · 模块一 几何体的表面积计算 · 模块二 几何体的体积的计算 · 模块三 课后练习 模块一 几何体的表面积的计算 · 基础知识 1．几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积是围成它们的各个面的面积之和。 （2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式： 圆柱：（是底面半径，是母线长） 圆锥：（是底面半径，是母线长） 圆台：（分别是上、下底面圆半径，是母线长） （3）球的表面积：（R为半径） 【考点1 柱体表面积的计算】 【例题1.1】在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【例题1.2】底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 ． 【变式1.1】如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为 ．    【变式1.2】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【变式1.3】如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 . 【考点2 锥体表面积的计算】 【例题2.1】已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【例题2.2】某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的表面积为 ． 【变式2.1】已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为 ． 【变式2.2】已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是 .    【变式2.3】已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【考点3 台体表面积的计算】 【例题3.1】正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为 cm2. 【例题3.2】已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【变式3.2】如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止它们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，高为分米，则该伊丽莎白圈的侧面积为（   ） A．平方分米 B．平方分米 C．平方分米 D．平方分米 【变式3.3】现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【考点4 球的表面积的计算】 【例题4.1】一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例题4.2】已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ． 【变式4.1】一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，则球的表面积为 cm2． 【变式4.2】若平面截球所得截面圆的直径为2，球心到的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】若一个正方体内切球的表面积为，则该正方体的棱长为（   ） A．3 B．6 C． D． 模块二 柱体、锥体、台体的计算 · 基础知识 1．柱体、锥体、台体的体积公式 柱体：（S为底面积，h为柱体高）， 锥体：（S为底面积，h为锥体高）， 台体：（分别为上、下底面面积，h为台体高） 2．球的体积公式 球的体积：（R为半径） 3．体积计算的常用方法 （1） 公式法：直接根据相关体积公式计算。 （2） 等体积转换法：针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量（底面积或高）不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算。具体做法是选择合适的底面，使得底面面积及高易于计算。该方法适用于求三棱锥的体积，由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面，但是三棱锥的体积保持不变，其他棱锥求体积就不能随意换底，用等体积转换法求体积需慎重。 （3） 分割求和法：当所给几何题不规则或不易求体积时，可以先将原几何体分割成几个规则的几何体，然后分别求这几个几何体的体积，再求和，就得到了原几何体的体积。 （4） 补形法：利用平移、旋转、延展或对称等手段，将不规则几何体补成规则几何体，不熟悉几何体补成熟悉几何体，便于计算其体积。 【考点1 柱体体积的计算】 【例题1.1】已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为 ． 【例题1.2】如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点，则（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1.1】底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为 ．（结果保留） 【变式1.2】若正六棱柱的高为3，底面边长为2，则这个正六棱柱体积为 ． 【变式1.3】已知底面边长为，侧棱长为的正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【考点2 锥体体积的计算】 【例题2.1】设某圆锥的体积为24π，其母线与底面所成的角是60°，则该圆锥底面圆的半径为 . 【例题2.2】已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】如图，已知是棱长为的正方体，为的中点，为上一点，求三棱锥的体积． 【变式2.3】已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D． 【考点3 台体体积的计算】 【例题3.1】已知正四棱台的上、下底面的边长分别为、，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【例题3.2】某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（    ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A． B． C． D． 【变式3.1】图1是名为“大铙”的西周云纹青铜乐器，其高76.8厘米，重100.35千克.某同学为估算“大铙”的体积，设计了一个与之等高等口径的组合体（如图2）.该组合体由一个圆台和一个圆柱构成，已知圆台与圆柱的高之比为，圆台的上、下底面和圆柱的底面半径之比为.则圆台和圆柱的体积之比约为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】已知圆台的上底面半径为2，母线与底面所成角的余弦值为，该圆台的体积为，则该圆台的母线长为 ． 【变式3.3】已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为 . 【考点4 球体体积的计算】 【例题4.1】已知球的半径与圆锥的底面半径相等，且它们的表面积相等，则圆锥与球的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【例题4.2】已知球的体积为，则球的表面积为 . 【变式4.1】如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为 ．    【变式4.2】已知球上两点满足，则球体积的最小值为 ． 【变式4.3】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 1、已知圆锥的母线长l为5，体积V为，底面半径r，高为，该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 2、已知圆锥的底面直径和母线均为2，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3、若一圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为7，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4、正三棱台上底面边长为2，下底面边长为3，侧棱长为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 5、已知圆锥的母线长为4，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（　　） A． B． C． D． 6、已知圆锥的高为，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7、如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 8、已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 9、正四棱锥的底面边长为，高为，则它的表面积为 . 10、已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 （结果保留） 11、已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积为 . 12、若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为 ； 13、已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积是 . 14、已知正四棱台的高为，上下底面边长分别为和． (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 15、如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且 .    (1)求这个四棱锥的侧棱长; (2)求这个四棱锥的表面积和体积. 学科网（北京）股份有限公司 $