精品解析：重庆市长寿川维中学校2025-2026学年七年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年度秋期川维中学七年级第三次定时作业 数学试题 一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 有理数的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 3. 单项式的次数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，有一个圆柱形的玻璃杯，杯内装有一些溶液，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查适合普查是（ ） A. 了解重庆市所有初一学生的视力情况 B. 调查长寿龙溪河的水质情况 C. 我国新一代攻击型核潜艇095下水前的检查 D. 了解我区特产长寿血豆腐的品质 6. 下列说法正确的是（ ） A. 连接两点的线段叫做这两点的距离 B. 过一点有且只有一条直线 C. 若，则点为线段的中点 D 反向延长射线 7. 如图所示，用火柴棒摆“金鱼”，图①中有8根火柴棒，图②中有14根火柴棒，图③中有20根火柴棒，…，按此规律，图⑦中火柴棒的根数是（　　） A. 38 B. 44 C. 50 D. 56 8. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ） A. 2014 B. C. 2024 D. 10. 已知有序整式串：，，对其进行如下操作：第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，得到新的整式串，即：，，；第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新的整式串的第一项，即：，，，；……依次进行操作． 下列说法： ①第4次操作后得到的整式串为：，，，，，； ②第15次操作得到的新整式与第45次操作得到的新整式相等； ③第2026次操作后得到的整式串之和为0． 其中正确的个数是________________． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（共8个小题，每小题4分，共32分） 11. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为________． 12. 若关于的方程的解是，则的值为_________． 13. 如图是一个正方体的展开图，与“学”字所在的面相对面上的字是“_____________” 14. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，这个多边形是______边形． 15. 时钟显示时间为3点40分，此时时针和分针所成较小夹角是__________度． 16. 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事．在圆柱形玻璃杯中已有定量的水，将大小相同的石子一个个慢慢投入其中．图①，②，③分别为投入2个，3个，10个石子后的水位情况，当投入10个石子时，水位恰好到达水杯的高度．若水位高度为，则此时杯中投入了___________个石子． 17. 七年级韵西、海邑、雅彤三位小伙伴相约逛商场时，她们都看上了一款款式新颖、好用的签字笔，于是决定合伙购买．她们每人拿出同样多的钱，一起买了这种签字笔若干支，买来以后，韵西、海邑分别比雅彤多拿了10、14支这种签字笔，最后结算时，韵西付给了雅彤12元，那么，海邑应付给雅彤_____元． 18. 如图，将三个相同的三角尺（内角分别为，，）的一个顶点重合放置，若，，那么的度数是______________ 三、解答题：（共8个小题，共78分） 19. 计算或解方程： （1） （2） （3） （4） 20. 川川和维维在学习尺规作图时，已知：如图， ，射线在内部， （1）要求在的外部作，请帮助他们完成作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）在（1）的基础上，川川和维维猜想是直角，请替他们完成以下步骤： ∵（因为）∴（所以） 解：∵ ① ∴ ② ③ ∴ 又∵ ∴ ④ 21. 体育组为了解七年级学生的训练情况，组织七年级学生进行1分钟垫球测试，并将这些学生的测试成绩（即1分钟的个数，且这些测试成绩都在范围内）分段后给出相应等级，具体为：测试成绩在范围内的记为D级，范围内的记为C级，范围内的记为B级，范围内的记为A级。现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，其中扇形统计图中A级对应的圆心角为，请根据图中的信息解答下列问题： （1）这次测试中，一共抽取了 名学生，并补全频数直方图； （2）在（2）的基础上，则D级对应的圆心角的度数是 （3）若全年级有1200名学生，达到B级及以上视为“优秀”，请估计这次测试全年级达到“优秀”的人数． 22. 先化简，再求值:，其中． 23. 如图，已知，点，分别是，的中点，且，求，的长． 24. 如图，点在直线上，平分，，，求的度数． 25. 一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完，该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0．5元，两次进货共花费4400元． （1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元； （2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同，由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利3552元，则每千克西瓜的售价为多少元． 26. 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中一个角的度数是另一个角度数的3倍，则称射线是的“逐光线”，[注：本题研究的角都是小于平角的角]． （1）如图1，，射线是的“逐光线”，则的度数为________________． （2）如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为，问：当射线、旋转到一条直线上时，求的值． （3）在（2）的条件下，请直接写出当射线是的“逐光线”时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度秋期川维中学七年级第三次定时作业 数学试题 一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 有理数的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，熟记相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义解答即可得． 【详解】解：有理数的相反数是， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项法则，理解同类项的定义、理解合并同类项法则是关键． 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误； B、和不是同类项，不能合并，选项错误； C、，选项正确； D、与不是同类项，不能合并，选项错误. 故选：C． 3. 单项式的次数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略． 根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．. 【详解】解：根据单项式定义得：的次数为：． 故选：C． 4. 如图，有一个圆柱形的玻璃杯，杯内装有一些溶液，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆柱体的横截面性质，根据圆柱体的横截面可以为椭圆，矩形，圆即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：圆柱体的横截面可以为椭圆，矩形，圆，不可能为平行四边形， ∴玻璃杯中水面的形状都不可能是平行四边形， 故选：B． 5. 下列调查适合普查的是（ ） A. 了解重庆市所有初一学生的视力情况 B. 调查长寿龙溪河的水质情况 C. 我国新一代攻击型核潜艇095下水前的检查 D. 了解我区特产长寿血豆腐的品质 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A．了解重庆市所有初一学生的视力情况适合抽样调查； B．调查长寿龙溪河的水质情况适合抽样调查； C．我国新一代攻击型核潜艇095下水前的检查适合普查； D．了解我区特产长寿血豆腐的品质适合抽样调查． 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 连接两点的线段叫做这两点的距离 B. 过一点有且只有一条直线 C. 若，则点为线段的中点 D. 反向延长射线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是线段的性质、直线的性质、两点之间的距离的定义，掌握相关概念和性质是解题的关键． 依据两点之间的距离的定义可判断A；由直线的性质可判断B；由线段中点的定义可判断C，由射线的概念可判断D． 【详解】解：连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，而非线段本身，故A选项错误； 过一点有无数条直线，只有过两点有且只有一条直线，故B选项错误； 若，点P不一定在线段上，因此不一定是中点，故C选项错误； 反向延长射线是几何中的标准操作，表示从端点A向相反于B的方向延长射线，故D正确， 故选：D． 7. 如图所示，用火柴棒摆“金鱼”，图①中有8根火柴棒，图②中有14根火柴棒，图③中有20根火柴棒，…，按此规律，图⑦中火柴棒的根数是（　　） A. 38 B. 44 C. 50 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加6是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 图①中火柴棒的根数为：； 图②中火柴棒的根数为：； 图③中火柴棒根数为：； …， 所以图n中火柴棒的根数为个， 当时， （根）， 即图⑦中火柴棒的根数为44根． 故选B． 8. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，设有x辆车，通过两种乘车方式表示总人数并相等，列出方程. 【详解】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：． 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：， 则可建立方程：． 故选：B． 9. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ） A. 2014 B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解及换元法的应用，熟练掌握换元法将新方程转化为已知形式的方程是解题的关键．通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知关于x的方程相同的形式，利用已知解求解． 【详解】设，则方程化为， ∵已知方程的解为， ∴， 即， ∴， 故选：C． 10. 已知有序整式串：，，对其进行如下操作：第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，得到新的整式串，即：，，；第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新的整式串的第一项，即：，，，；……依次进行操作． 下列说法： ①第4次操作后得到的整式串为：，，，，，； ②第15次操作得到的新整式与第45次操作得到的新整式相等； ③第2026次操作后得到的整式串之和为0． 其中正确的个数是________________． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了数字变化类，整式的加减，通过计算每次操作后的新整式和整式串之和，发现新整式与和均以6为周期循环，根据周期性质判断各说法正确性． 【详解】解：由题意可得，第1次操作后得到整式串，，m；各项之和为； 第2次操作后得到整式串，，，m；各项之和为； 第3次操作后得到整式串，，，，m；各项之和为； 第4次操作后得到整式串，，，，，m；各项之和为0； 第5次操作后得到整式串，，，，，，m；各项之和为； 第6次操作后得到整式串，，，，，，，m；各项之和为； 第7次操作后得到整式串，，，，，，，，m；各项之和为； ．．． 所以，各项之和以及各项的首项都以6次操作为一个周期依次循环． ①第4次操作后整式串为，故说法①正确． ②新整式周期为6，，；，，故相等，说法②正确． ③，，故说法③正确． ∴三个说法均正确， 故选D． 二、填空题：（共8个小题，每小题4分，共32分） 11. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将25000用科学记数法可表示为． 故答案为：． 12. 若关于的方程的解是，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的解的定义把代入关于的方程中即可求出的值． 【详解】解：把代入关于的方程中，得， 解得， 故答案为：． 13. 如图是一个正方体的展开图，与“学”字所在的面相对面上的字是“_____________” 【答案】川 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字形两端是对面，即可解答． 【详解】解：与“学”字所在的面相对面上的字是川． 故答案：川． 14. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，这个多边形是______边形． 【答案】七 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点出发可分成个三角形，依此可得的值，掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 【详解】解：这个多边形是边形， ∴，解得， 故答案为：七． 15. 时钟显示时间为3点40分，此时时针和分针所成较小夹角是__________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 根据钟表角度计算原理，分别求出时针和分针的角度，再计算差值并取较小角． 【详解】在点分时，时针所在位置与指向12时的角度为，分针与指向12时的角度为， 两针角度差为， 由于， 故较小夹角为； 故答案为：． 16. 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事．在圆柱形玻璃杯中已有定量的水，将大小相同的石子一个个慢慢投入其中．图①，②，③分别为投入2个，3个，10个石子后的水位情况，当投入10个石子时，水位恰好到达水杯的高度．若水位高度为，则此时杯中投入了___________个石子． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意和图意，找到相应的变化规律，是解决本题的关键． 设圆柱形玻璃杯的高度为，根据题意，投入3个石子时，水位的高度为，比①中的水位增高，此时多投了一个石子，继而得到投入一个石子水位上升，③比①多投了8个石子，水位升高，根据题意列方程为，解方程解答即可． 【详解】解：设圆柱形玻璃杯的高度为，根据题意，投入3个石子时，水位的高度为，比①中的水位增高，此时多投了一个石子，继而得到投入一个石子水位上升，③比①多投了8个石子，水位升高， 根据题意，得， 解得， 当水位高度为，实际升高了， 此时增加的石子个数为：（个） 故此时杯中投入了8个石子． 故答案为：8． 17. 七年级韵西、海邑、雅彤三位小伙伴相约逛商场时，她们都看上了一款款式新颖、好用的签字笔，于是决定合伙购买．她们每人拿出同样多的钱，一起买了这种签字笔若干支，买来以后，韵西、海邑分别比雅彤多拿了10、14支这种签字笔，最后结算时，韵西付给了雅彤12元，那么，海邑应付给雅彤_____元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，设每人应得签字笔数量为支，则总笔数为支．通过计算每人实际拿笔数与应得笔数之差，结合韵西付款金额求出笔的单价，进而求解海邑应付金额． 【详解】解：设每人应得签字笔数量为支，则总笔数为支．根据题意，韵西比雅彤多拿10支，海邑比雅彤多拿14支， 设雅彤实际拿笔支，则韵西拿支，海邑拿支． 实际拿笔总数，应等于总笔数， 所以，解得． 因此，雅彤实际拿笔支（比应得少8支），韵西拿支（比应得多2支），海邑拿支（比应得多6支）． 韵西付给雅彤12元，对应多得的2支笔，故每支笔价格为元． 海邑多得的6支笔应付给雅彤元． 故答案为36． 18. 如图，将三个相同的三角尺（内角分别为，，）的一个顶点重合放置，若，，那么的度数是______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角度的计算，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用所学知识解决问题． 根据，从而求解． 【详解】解：如图： ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：（共8个小题，共78分） 19. 计算或解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，角度的除法计算． （1）根据有理数的加减运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （3）根据去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解； （4）根据角度的除法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 小问3详解】 解：方程两边同乘6，得 化简得 移项得 【小问4详解】 解：余 ，加上得 余 ，加上得 ∴ 20. 川川和维维在学习尺规作图时，已知：如图， ，射线在内部， （1）要求在的外部作，请帮助他们完成作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）在（1）的基础上，川川和维维猜想是直角，请替他们完成以下步骤： ∵（因为）∴（所以） 解：∵ ① ∴ ② ③ ∴ 又∵ ∴ ④ 【答案】（1）见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的计算，熟练利用尺规作图作一个角等于已知角是解题的关键． （1）利用作一个角等于已知角，作即可； （2）利用角度的转换即可解答． 【小问1详解】 解：如图，， 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， 又∵， ， 故答案为：；；；． 21. 体育组为了解七年级学生的训练情况，组织七年级学生进行1分钟垫球测试，并将这些学生的测试成绩（即1分钟的个数，且这些测试成绩都在范围内）分段后给出相应等级，具体为：测试成绩在范围内的记为D级，范围内的记为C级，范围内的记为B级，范围内的记为A级。现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，其中扇形统计图中A级对应的圆心角为，请根据图中的信息解答下列问题： （1）这次测试中，一共抽取了 名学生，并补全频数直方图； （2）在（2）的基础上，则D级对应的圆心角的度数是 （3）若全年级有1200名学生，达到B级及以上视为“优秀”，请估计这次测试全年级达到“优秀”的人数． 【答案】（1），图见解析 （2） （3）这次测试全年级达到“优秀”的人数约为人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据A级对应的圆心角的度数和对应的频数，可以求得本次调查的总人数，然后即可求得D级的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整； （2）根据D级人数求得对应圆心角； （3）求得A、B人数的占比，乘以总人数即可解答． 【小问1详解】 解：A级有25人，占， 抽查的总人数为（人， 故答案为：； D级有（人， 补全的频数分布图如图所示； 【小问2详解】 解：D级的圆心角为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：这次测试全年级达到“优秀”的人数约为人． 22. 先化简，再求值:，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据绝对值和偶次方的非负性，由关系式求得m和n的值，再对原式去括号，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ， 解得：，， ． 【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性以及整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解答此题的关键． 23. 如图，已知，点，分别是，的中点，且，求，的长． 【答案】线段长为，线段长为 【解析】 【分析】本题考查了线段中点有关计算，线段的和差，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是关键． 设厘米，则有，，然后表示出，，然后利用列方程求解即可． 【详解】解：设厘米，由题意得：， ，分别是，的中点 ， 解得 ，． 答：线段长为，线段长为． 24. 如图，点在直线上，平分，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义、角的计算、一元一次方程的应用，掌握角平分线的定义是解题的关键． 设，根据题意得到，根据角平分线的定义、结合图形列出方程，解方程即可． 【详解】解：， 设，则， ， 是的平分线， ， ， ， ， 解得， ． 25. 一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完，该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0．5元，两次进货共花费4400元． （1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元； （2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同，由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利3552元，则每千克西瓜的售价为多少元． 【答案】（1）4元 （2）7元 【解析】 【分析】（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为x元，则第二次进货价为元，根据题意列一元一次方程即可求解． （2）设售价为y元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 设第一-次购进的西瓜进货价每千克为x元，则第二次进货价为元，由题意可得:即 即 解得： 答:第一次购进的西瓜进价每千克4元; 【小问2详解】 设每千克西瓜的售价为y元，则第一次的销售额为元， 第二次的销售额为元，总成本为4400元， 则 解得： 答:每千克西瓜的售价为7元． 【点睛】此题主要考查了一元一 次方程应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键． 26. 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中一个角的度数是另一个角度数的3倍，则称射线是的“逐光线”，[注：本题研究的角都是小于平角的角]． （1）如图1，，射线是的“逐光线”，则的度数为________________． （2）如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为，问：当射线、旋转到一条直线上时，求的值． （3）在（2）的条件下，请直接写出当射线是的“逐光线”时的值． 【答案】（1）或或或 （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查角的概念与计算、分类讨论思想的应用，以及动态几何问题中的行程类角度计算．将动态的角度变化转化为含的代数式，再结合已知条件列方程是解题关键． （1）设，则，按“逐光线”的定义分类讨论列方程即可求解； （2）先确定运动总时间：转一周需30秒，设旋转时间为，则转了、转了，结合初始，分情况列方程即可求解； （3）根据“逐光线”定义，需在内部，据此先确定时间范围，用含的式子表示出、、，再分情况列方程即可求解． 【小问1详解】 解：已知，射线是的“逐光线”， 设，则， 分情况讨论： 当，，解得； 当，，解得； 当，，解得； 当，，解得． 即的度数为或或或； 故答案为：或或或； 【小问2详解】 解：由题意可得，会先回到出发位置，花费时间为，则运动的时间范围为， 转了、转了， 当射线与射线相遇时，，解得； 当射线运动到射线的反向延长线上时，，解得； 综上，或； 【小问3详解】 解：根据题意，需在内部， 当在射线反向延长线时，，解得， 结合（2）可得，． 当时， ，， ， 解得（舍）； 当时， ，， ， 解得； 当时， ，， ， 解得； 当时， ，， ， 解得． 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $