21.2.1 配方法 课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，通过长方形花坛面积问题（长比宽多4米，面积45平方米）导入，引出方程x(x+4)=45因无法直接开平方法需新解法，以步骤分解（移项、化1、配方等）和例题解析搭建学习支架。 其亮点在于问题驱动结合归纳总结，通过运算能力（如解方程2x²+4x-9=0）、推理意识（如代数式x²-6x+12最小值证明）培养核心素养，设置变式演练（等腰三角形边长问题）和错误分析（小明解题步骤纠错）。学生能掌握方法提升能力，教师可利用资料突出重难点提高教学效率。

九年级·数学·人教版·全一册册 21.2　解一元二次方程 21.2.1　配方法 单击此处编辑母版文本样式 第2课时　配方法 单击此处编辑母版文本样式 1.知道配方法的概念,能运用配方法解一元二次方程. 2.通过用配方法将一元二次方程进行变形,进一步体会转化的思想方法. ◎重点:用配方法解一元二次方程. ◎难点:用配方法解一元二次方程的步骤. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 学校的长方形花坛的长比宽多4米,并且这个花坛的面积是45平方米,则花坛的长和宽各是多少米? 学生思考老师提出的问题,设该花坛的宽为x米,依题意得x(x+4)=45. 发现所列方程无法用直接开平方法解,如何解这个方程呢? 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 用配方法解一元二次方程     阅读课本“探究”至“例1”,填空:(阅读时注意框图中解一元二次方程的步骤及每一步的理论依据) 1.通过配成　 　的形式来解一元二次方程的方法,叫作配方法.  完全平方 单击此处编辑母版文本样式 2.结合课本“例1”,说一说配方法解一元二次方程的一般步骤. (1)移项:使方程左边只含有　　项和　　项,右边为　 　.  (2)如果二次项系数不是1,则把二次项系数化为　　(方程两边都除以　 　).    二次 一次 常数项 1 二次项系数 单击此处编辑母版文本样式 (3)配方:方程两边都加上　 　,使方程左边变为　 　.  (4)若右边是　 　,则用直接开平方法求方程的解;若右边是　 　,则方程无解.  一次项系数一半的平方 完全平方式 非负数 负数 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　一般地,如果一个一元二次方程能通过配方转化成(x+n)2=p的形式,那么就有: (1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根,x1=　 　, x2=　 　;  (2)当p=0时,方程有两个相等的实数根,x1=x2=　 　;  (3)当p<0时,方程　 　.  -n- -n+ -n 无实数根 单击此处编辑母版文本样式 用配方法解一元二次方程 1.用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 D 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 2.(运算能力)用配方法解下列方程. (1)x2-x-6=0; (2)2x2+4x-9=0;(3)3x2-2x-3=0;(4)2x2-4x+3=0. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)x2-x=6,∴ (x- )2=,∴x1=3,x2=-2. (2)x1=-1,x2=--1. (3)x1=,x2=. (4)移项,得2x2-4x=-3,两边都除以2,得x2-2x=-,配方,得x2-2x+1=-,∴(x-1)2=-.∵(x-1)2≥0,而-<0,∴原方程无解. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　用配方法解一元二次方程ax2+bx=n,首先把二次项系数转化成　　,然后方程的两边同时加上　 　项系数　 　的　 　.  1 一次 一半 平方 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 用配方法解方程. (1)x2-4x+1=0;(2)2x2+1=3x; (3)3x2-6x+4=0. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)x2-4x=-1, x2-4x+4=3, (x-2)2=3, x-2=±, ∴x1=2+,x2=2-. 单击此处编辑母版文本样式 (2)2x2-3x=-1, x2-x+=-+, (x- )2=, x-=±, ∴x1=1,x2=. 单击此处编辑母版文本样式 (3)3x2-6x=-4, x2-2x+1=-+1, (x-1)2=-, ∴此方程无实数解. 单击此处编辑母版文本样式 配方法的应用 3.已知x2+y2-6x+2y+10=0,x,y为实数,则x=　　,y=　　.  方法归纳交流　利用配方法可以把方程左边变为两个　 　数的和的形式,再利用　 　数的性质即可求解.  3 -1 非负 非负 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 已知等腰三角形两边长a,b满足a2+b2-4a-10b+29=0,求这个等腰三角形的周长. 解:∵a2+b2-4a-10b+29=0, ∴(a2-4a+4)+(b2-10b+25)=0, ∴(a-2)2+(b-5)2=0. 单击此处编辑母版文本样式 ∵a-2≥0,b-5≥0, ∴a-2=0,b-5=0, 解得a=2,b=5. ∵2,2,5不能组成三角形, ∴这个等腰三角形的三边长分别为5,5,2, ∴这个等腰三角形的周长为5+5+2=12. 单击此处编辑母版文本样式 4.(推理能力)阅读理解:求代数式x2+6x+10的最小值. 解:∵x2+6x+10=(x2+6x+9)+1=(x+3)2+1, ∴当x=-3时,代数式x2+6x+10有最小值,最小值是1. 仿照应用求值. (1)求代数式x2+2x+10的最小值. (2)求代数式-m2+8m+3的最大值. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)由题意可得x2+2x+10=(x2+2x+1)+9=(x+1)2+9. ∵(x+1)2≥0, ∴(x+1)2+9≥9, ∴当x=-1时,代数式x2+2x+10有最小值,最小值是9. 单击此处编辑母版文本样式 (2)由题意可得-m2+8m+3=-(m2-8m+16)+3+16=-(m-4)2+19. ∵(m-4)2≥0, ∴-(m-4)2+19≤19, ∴当m=4时,代数式-m2+8m+3有最大值,最大值为19. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 试说明代数式x2-6x+12的值不小于3. 解:将x2-6x+12配方,得x2-6x+9-9+12,即(x-3)2+3, 因为(x-3)2≥0,所以(x-3)2+3≥3. 所以代数式x2-6x+12的值不小于3. 单击此处编辑母版文本样式 1用配方法解方程x2-2x-3=0时,配方后正确的是 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(x-2)2=-2 B.(x-1)2=4 C.(x-1)2=-2 D.(x+2)2=4 B 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2下面是小明用配方法解方程x2+8x-9=0的过程的一部分,横线上应填写 ( ) 第一步:把常数项移到方程的右边,得x2+8x=9. 第二步:两边都加　　　　.  A.22 B.42 C.82 D.92 B 单击此处编辑母版文本样式 3珍珍将方程x2-4x-2=0化为(x+p)2=q的形式时,得到p的值为2,q的值为6,则珍珍所得结果 ( ) A.正确 B.不正确,p的值应为-2 C.不正确,q的值应为2 D.不正确,q的值应为4 B 单击此处编辑母版文本样式 4下列二次三项式是完全平方式的是 ( ) A.2x2-4x+1 B.4y2-4y-1 C.x2-10x+25 D.9x2-12xy-4 C 单击此处编辑母版文本样式 5将一个关于x的一元二次方程配方为(x+m)2=p,若2±是该方程的两个根,则p的值是( ) A.2 B.4 C. D.3 D 单击此处编辑母版文本样式 6一元二次方程x2-mx-1=0配方后得(x-2)2=n,则m=　　, n=　 　.  7一元二次方程x2-2x-2=0用配方法化成(x+a)2=b的形式为　 　,则此方程的根为　 　.  4 5 (x-1)2=3 x1=+1,x2=-+1 单击此处编辑母版文本样式 8解下列一元二次方程: (1)3(x-1)2-27=0; (2)x2-8x-9=0.(配方法) 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵3(x-1)2-27=0, ∴3(x-1)2=27, ∴(x-1)2=9, ∴x-1=±3, 解得x1=4,x2=-2. 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵x2-8x-9=0, ∴x2-8x=9, ∴x2-8x+16=25,即(x-4)2=25, ∴x-4=±5, 解得x1=9,x2=-1. 单击此处编辑母版文本样式 9(过程性学习)小明在解方程x2-4x-2=0时出现了错误,解答过程如下: x2-4x=-2,第一步 x2-4x+4=-2+4,第二步 (x-2)2=2,第三步 x-2=±,第四步 单击此处编辑母版文本样式 x1=2+,x2=2-.第五步 (1)小明的解答过程从第　　　　步开始出错的,其错误原因是　　　　　　　　.  (2)请写出此题正确的解答过程. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)一;移项没有变号. (2)移项,得x2-4x=2, 配方,得x2-4x+4=2+4, 即(x-2)2=6, 开方,得x-2=±, 解得x1=2+,x2=2-. 单击此处编辑母版文本样式 10在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,对于两人的做法,说法正确的是 ( ) A 小博:2x2+4x=-1, 4x2+8x=-2, 4x2+8x+4=-2+4, (2x+2)2=2. 单击此处编辑母版文本样式 A.两人都正确 B.小思正确,小博不正确 C.小思不正确,小博正确 D.两人都不正确 单击此处编辑母版文本样式 11已知x2+y2+4x-6y+13=0,x,y为实数,则x=　　,y=　　.  12若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边是一个完全平方式,则m的值是　 　.  -2 3 6或-2 单击此处编辑母版文本样式 13(运算能力)用配方法解下列方程: (1)2y2=5y-4;(2)x2+x-1=0; (3)(x+1)(2x-3)=1;(4)x2-x-1=0. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)y2-y+2=0,y2-y+=-2+, (y-)2=-,∵-<0,∴该方程无解. (2)x2+x+=1+,∴ (x+)2=, ∴x=. 单击此处编辑母版文本样式 (3)2x2-x-3=1,x2-x-2=0,x2-x+=, (x-)2=,∴x=. (4)x2-2x-=0,x2-2x+1=+1, (x-1)2=, ∴x=. 单击此处编辑母版文本样式 14(推理能力)代数推理: 例题:求x2+8x+21的最小值. 解:x2+8x+21 =x2+2x·4+42-42+21 =(x+4)2+5 无论x取何值,(x+4)2总是非负数,即(x+4)2≥0,所以(x+4)2+5≥5 所以当x=-4时,x2+8x+21有最小值,最小值为5. 单击此处编辑母版文本样式 阅读材料:利用完全平方式,将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式,然后由(x+m)2≥0就可以求出多项式x2+bx+c的最小值. 根据上述材料,解答下列问题: (1)填空:x2-12x+　　　　=(x-　　　　)2.  (2)将多项式x2+16x-1变形为(x+m)2+n的形式,并求出x2+16x-1的最小值. 单击此处编辑母版文本样式 (3)若一个长方形的长和宽分别为2a+3和3a+5,面积记为S1,另一个长方形的长和宽分别为5a和a+3,面积记为S2,试比较S1和S2的大小,并说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)由完全平方公式可得x2-12x+36=(x-6)2, 故答案为36;6. (2)x2+16x-1 =x2+2x·8+82-82-1 =(x+8)2-65. 无论x取何值,(x+8)2总是非负数, 单击此处编辑母版文本样式 即(x+8)2≥0, ∴(x+8)2-65≥-65, ∴x2+16x-1的最小值为-65. 单击此处编辑母版文本样式 (3)由题意得S1=(2a+3)(3a+5)=6a2+19a+15, S2=5a(a+3)=5a2+15a, ∴S1-S2=6a2+19a+15-5a2-15a =a2+4a+15 =a2+2a·2+22-22+15 =(a+2)2+11. 单击此处编辑母版文本样式 无论a取何值,(a+2)2总是非负数,即(a+2)2≥0, ∴(a+2)2+11≥11, ∴S1-S2的最小值为11, ∴S1-S2>0, ∴S1>S2. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 49 $