各位家长朋友们，同学们好。本期视频我们来讲题型82平面向量与不等式的恒成立问题。我们上一期视频讲的是一个能成立问题，那么今天换了一个字就是变成恒成立问题。我们以这道题为例来看一下恒成立问题。恒成立问题，这里面对于任意的实数X如果满足这个不等平衡能力，实际上我们只需满足前面这个模的最小值比二分之根号三大或者是相等就可以了。这也是恒生率里面常见的一种解法。那么对于这道与平面向量结合的时候，我们还是要注意。一般来说涉及到模两种方法，一种是几何法，还有一种是代数法。去做我们这道题可以直接用平方，就是用几何法的式形式来做。我们要求满足这个不等式，恒成立只需满足X倍的A向量加上一个B向量，模的平方大于等于二分之根三的平方4分之3即可。好，我们把这个左边展开模的平方就等于向量的平方，我们可以写成X方倍的A向量的平方加上二倍的X倍的A向量乘以B向量，再加上B向量的平方，大于等于4分之3。好，下面我们根据计算机A向量的平方就是A向量模的平方。因为这道题告诉我们这两个向量是单位向量，所以说A的模就等于B的模就等于一，所以说这个就整体写成X方加上一个2X倍的A向量乘B向量，就是A的模乘以B的模，再乘以两个向量夹角的余弦值。那么夹角余弦值我们可以用这样一个符号来书写，后面再加上B向量模的平方就是一大于等于4分之3。好，下面我们继续来整理，可以写成X方加上一个这个是一，这个也是一。我们可以写成二倍的X乘以cos一两个向量夹角的余弦值乘以再加上一个4分之1大于等于零恒成立。所以这里这个不等式是恒成立是对于任意的X属于R都是成立的。我们现在通过函数的思想去做，我们现在构造一个就是令FX等于X方加上一个2X倍的cos AB的夹角，然后再加上一个4分之1，其中这个X是属于R的，那么就只需要满足对于任意的X属于R我这个二次函数FX是恒大于等于零的。换句话说，它只要满足FX的图像，横在这个X轴的上方就可以了，或者是相切也是可以的。有这样两种情况，那么根据三个二次之间的关系，我们知道如果横在X轴上方，只需满足德耳塔小于0或者是让它等于零就可以了。即德耳塔就是B方减CC此题的这个B就是二倍的cos AB的夹角，那就是四倍的cos方AB向量的夹角。然后减去CC就是减去4乘以1乘以4分之1要小于等于。好，整理一下cosine方AB的夹角就小于等于4分之1，这样的话可以算出这个cosine AB就是夹角的余弦值小于等于2分之1，大于等于负的2分之1。我们知道这个夹角的范围是零到派，所以说这里面我们画一个草图画零到派上的一个操作。这是注意这是余弦线，这是零，这是派。你在二分之1到-2分之一之间，一个对应的是三分之派，一个对应的是3分之2派。所以说此题的答案就是三分之派到3分之2派之间，答案是选B后面只要具备一定基本功，这个都不成什么问题。好，今天关于这个恒成立问题，我们就举一个相对比较典型的题来展示给大家看一看。好，感谢您的收看，下期视频我们再见。