1.4 线段的垂直平分线（分层作业，4基础&3提升题型+培优）数学新教材北师大版八年级下册

1.4 线段的垂直平分线 题型一 线段垂直平分线的性质及其判定 一、单选题 1．如图，垂直平分，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 2．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 3．如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 4．下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（    ） A．， B．， C．， D．，平分 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．如图，下列说法正确的是（    ） A．若，则垂直平分 B．若，则垂直平分 C．若，则垂直平分 D．若，则垂直平分 7．下列说法中，正确的有（   ） ①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线； ②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、解答题 8．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和直尺画图： (1)补全； (2)做出点关于直线的对称点，连接、； ①直线________线段的中垂线（填“是”或“不是”） ②射线________的平分线（填“是”或“不是”） 9．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点．    10．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 题型二 利用线段垂直平分线的性质求角的度数 一、单选题 1．如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点．则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　）    A． B． C． D． 5．如图所示，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（    ） A．95° B．100° C．105° D．110° 6．如图，等边中，是的中线，点E在线段上，，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为 ． 8．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，点P是直线上动点，连接，，当最小时，的度数为 ． 9．如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为 ． 三、解答题 10．如图，在中，，． (1)尺规作图：①作边的垂直平分线交于点，交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中；求的度数． 解：垂直平分线段， ， ，（_____）（填推理依据） ，， ， ， _____． 平分， _____． 题型三 利用线段垂直平分线的性质求线段的长度 一、单选题 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 3．如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（   ） A．17 B．20 C．25 D．18 4．如图，在中，，若，，根据作图痕迹可知，的周长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，是中边的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在中，的垂直平分线交于点，若，则（   ）    A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 二、填空题 8．如图，，，线段的垂直平分线交于D，交于E，D为垂足，，则 ．    9．如图，在中，D为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为19，，则的长为 ． 三、解答题 10．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)如果 ，，试求的周长； (2)如果，求的度数． 题型四 线段垂直平分线的尺规作图 一、单选题 1．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A．B．C． D． 2．某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（    ） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 3．如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（   ） A．B．C．D． 4．某班开展“用直尺和圆规作垂线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中直线为直线l的垂线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，在中，，，用圆规和直尺作图，画出把分成两个三角形，使其中一个为等腰三角形，不符合题意的是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 6．下面是黑板上列出的尺规作图题． 已知：直线和上的一点，请用尺规作的垂线，使它经过点． 作法： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点和点（如图）． ②作直线，就是直线的垂线． ③分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点．    (1)以上作法步骤是混乱的，正确的排序是________； (2)步骤③中，的长满足的条件是_________； (3)以下是的说理过程，请补全． 解：如图，连接．    由作图知，， ． 又因为， 所以 ． 所以． 根据平角的定义，所以 = ， 所以，所以直线． 题型一 利用垂直平分线的性质求最值 一、单选题 1．如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为，，则 的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 3．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（    ） A．4.8 B．9.6 C．8 D．6 二、填空题 5．如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是 ． 三、解答题 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)请在图中作出关于x轴对称的； (2)线段的垂直平分线与x轴的交点坐标为 ； (3)请在x轴上找一点P，使得最小，则点P的坐标为 ； (4)在y轴上是否存在一点Q，使的值最大，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二 利用线段垂直平分线的性质判断多结论问题 一、单选题 1．如图，在等腰中，，，过点作于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，连接，则下面的结论：①点在的垂直平分线上；②；③．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．下列两个结论： ①≌；    ②． 判断正确的是（    ）． A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 二、填空题 3．如图，在中，，平分，，，下列结论：①平分；②；③若，，则；④．其中正确的是 （填写序号）． 4．如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下4个结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 5．如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中： ①点在运动的过程中，始终有； ②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，； ④当点不在线段上时，． 所有正确结论的序号是： ． 6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下面四个结论： ①是的平分线； ②； ③； ④点在线段的垂直平分线上． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 题型三 与线段垂直平分线相关的证明 一、解答题 1．如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F． (1)若，求的度数． (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 2．在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． (1)如图，当 时，求 的度数． (2)当 满足什么条件时，？说明理由． (3)在（2）的条件下，，求 的周长． 3．如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若与的周长之差为，求的长． 4．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 5．如图，在中，，是的中线，的垂直平分线分别交、、于点 E、F、O， 连接、． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 6．已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 7．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 8．如图，在中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 9．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点，，连接，． (1)若，求的周长． (2)设直线，交于点，连接，． ①试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； ②若，求的度数． 10．如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． 一、单选题 1．如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 2．如图，三角形纸片，其中，，点为中点，的垂直平分线与的角平分线相交于点．将纸片沿（点在上，点在上）折叠，点恰好与点重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点为上一点，点为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过中点，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，平分，，，下列结论：①平分；②；③若，，则；④．其中正确的是 （填写序号）． 三、解答题 5．如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． (1)若，求线段的长； (2)求证：垂直平分． 6．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 7．如图，已知． (1)求证：； (2)过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． ①连接，交于点，证明垂直平分； ②是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合． 8．在中，，，平分，，与线段的延长线交于点． (1)如图1，直接写出的度数为_________； (2)如图2，分别延长，交于点． ①试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． ②若，则__________． 9．综合与实践——探究不同三角形三边的垂直平分线． 【证明】（1）如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，．判断直线是否是线段的垂直平分线，并说明理由； 【解题】（2）如图2，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，求的度数； 【运用】（3）如图3，在中，，小明想在的内部找到一点，使得．小明______（填“能”或“不能”）找到满足题意的点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 线段的垂直平分线 题型一 线段垂直平分线的性质及其判定 一、单选题 1．如图，垂直平分，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质判断即可，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，不是说垂直平分， ∴不一定平分，不一定等于，故ABC选项不符合题意； D、∵垂直平分， ∴，故D选项符合题意； 故选：D． 2．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，游戏公平要求凳子到三个顶点距离相等，即该点为三边垂直平分线的交点，到顶点距离相等． 【详解】∵ 游戏公平需凳子到A、B、C三点距离相等， ∴ 需一点到三角形三个顶点距离相等， ∵ 三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等， ∴ 凳子应放在三边垂直平分线的交点． 故选：A． 3．如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A． 4．下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（    ） A．， B．， C．， D．，平分 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线，根据垂直平分线的概念与判定逐个判断即可． 【详解】解：A、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； B、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； C、如图， ，，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，符合题意； D、，平分，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意． 故选：C． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，掌握勾股定理求出线段的长，垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 连接，，，，，，，，结合网格的特点，根据勾股定理求出各线段的长，得到，，根据线段的垂直平分线的判定及性质即可解答． 【详解】解：连接，，，，，，，， ∵每个小正方形的边长都为1， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴直线是的垂直平分线， ∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线． 故选：C 6．如图，下列说法正确的是（    ） A．若，则垂直平分 B．若，则垂直平分 C．若，则垂直平分 D．若，则垂直平分 【答案】C 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理逐一判断进而得到答案． 【详解】解：A、若，则在线段的垂直平分线上，该选项说法错误，不符合题意； B、若，则在线段的垂直平分线上，该选项说法错误，不符合题意； C、若，则垂直平分，该选项说法正确，符合题意； D、若，则垂直平分，该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，能熟记到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解此题的关键． 7．下列说法中，正确的有（   ） ①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线； ②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的定义和判定定理，根据线段的垂直平分线的定义和判定定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可判断． 【详解】解：①不是的中点，则不平分线段，故错误； ②直线经过线段的中点，且垂直于则是线段的垂直平分线，故错误； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线，故正确； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线，故正确． 故选：B． 二、解答题 8．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和直尺画图： (1)补全； (2)做出点关于直线的对称点，连接、； ①直线________线段的中垂线（填“是”或“不是”） ②射线________的平分线（填“是”或“不是”） 【答案】(1)见解析 (2)①是；②是 【分析】本题考查作图轴对称变换、线段垂直平分线的性质、轴对称的性质、作图平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平移的性质作图即可． （2）①结合轴对称的性质、线段垂直平分线的性质可得结论． ②由题意可知，直线垂直平分线段，则射线是的平分线． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：①点与点关于直线对称， ， 由图可知，平分， 直线是线段的中垂线． 故答案为：是． ②点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， 射线是的平分线． 故答案为：是． 9．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点．    【答案】见解析 【分析】此题考查线段的垂直平分线的知识．先根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等求得，进而求得结论；然后再利用线段垂直平分线的判定方法即可确定边的垂直平分线经过点P． 【详解】已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，； 证明：点是边垂直平线上的一点， （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． 同理可得，．（等量代换）． 点是边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条垂直平分线上）， 、、的垂直平分线相交于点．   ． 10．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）以及垂直平分线的性质是解题的关键． （1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用ASA证明，从而证得． （2）利用和推出是的垂直平分线，结合全等三角形的性质得到，再结合，证明垂直平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）连接， 证明：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． 题型二 利用线段垂直平分线的性质求角的度数 一、单选题 1．如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，由线段垂直平分线的性质得，即得，由直角三角形两锐角互余得，进而由三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图和直角三角形的性质，解题的关键就是根据作图法则得出直角三角形.根据辅助线作法得出，然后直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵根据作图法则可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N分别在、的中垂线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 4．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图−基本作图，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 根据作图过程可得，是的垂直平分线，也是的角平分线，可得，再根据，，即可求出的度数，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知： 是的垂直平分线，也是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图所示，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（    ） A．95° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【分析】根据作图过程可得DM是BC的垂直平分线，所以DC=DB，所以∠B=∠DCB，再根据AD=AC，，可得，进而求出的度数． 【详解】解：根据作图过程可知：DM是BC的垂直平分线， ∴DC=DB， ∴∠B=∠DCB， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质． 6．如图，等边中，是的中线，点E在线段上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出是解本题的关键；先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵等边三角形中，是的中线， ，，即：是的垂直平分线， ∵点在上， ， ， ， ， ∵是等边三角形， ， ， 故选：A． 二、填空题 7．如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图过程，得平分，是的垂直平分线，则，，又因为，且结合三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察作图痕迹，得出平分， 则， 观察作图痕迹，得出是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 8．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，点P是直线上动点，连接，，当最小时，的度数为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用垂直平分线性质得出当B、E、P、C共线时，最小，此时点P与点E重合，求出和的度数，再求出的度数，最终求出的度数即可． 【详解】解：∵点E在的垂直平分线上， ∴，即点A是点B关于直线的对称点， ∴， 如图，当B、E、P、C共线时，最小，此时点P与点E重合， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 由题意可得，推出，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 10．如图，在中，，． (1)尺规作图：①作边的垂直平分线交于点，交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中；求的度数． 解：垂直平分线段， ， ，（_____）（填推理依据） ，， ， ， _____． 平分， _____． 【答案】(1)见解析 (2)等边对等角；； 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握尺规作图和线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）①根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； ②先连接，再根据角平分线的尺规作图即可得； （2）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据角平分线的定义即可得． 【详解】（1）解：①作边的垂直平分线交于点，交于点，如图所示： ②连接，作的平分线交于点，如图所示： （2）解：∵垂直平分线段， ∴， ∴，（等边对等角） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：等边对等角；；． 题型三 利用线段垂直平分线的性质求线段的长度 一、单选题 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，理解题意得是线段的垂直平分线，故，结合的周长是，即，因为，故的长为，即可作答． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（   ） A．17 B．20 C．25 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，作垂线，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明，有，，则，则的周长等于，从而求解． 【详解】解：由作图可知，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长等于， 故选：B． 4．如图，在中，，若，，根据作图痕迹可知，的周长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明，有，， 则的周长等于，从而求解． 【详解】解：由作图知，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的周长等于， 故选：C． 5．如图，是中边的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据线段的垂直平分线的性质得到AD=CD，进而BD-CD即可得出的长. 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD， ∵，， ∴. 故选：B. 【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等并进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 6．如图所示，在中，的垂直平分线交于点，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接．   ， ， 的垂直平分线是， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出和是解此题的关键． 7．如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 二、填空题 8．如图，，，线段的垂直平分线交于D，交于E，D为垂足，，则 ．    【答案】3 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质．注意求得是关键．由于为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 9．如图，在中，D为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为19，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长，进行求解即可． 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：12． 三、解答题 10．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)如果 ，，试求的周长； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角及直角三角形两锐角互余． （1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等直接求解即可得到答案； （2）设，则得到，结合直角三角形两锐角互余列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则． 题型四 线段垂直平分线的尺规作图 一、单选题 1．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 2．某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（    ） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定，尺规作图．根据作图痕迹，运用相关知识逐一进行判断即可． 【详解】解：图1为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 图2中，由作图可知， ∴，， ∴， ∴， ∴为的平分线； 图3为过点O作，则射线不一定是的平分线； 图4中，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线． 故选：C． 3．如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图——复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质等，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． A选项中，由作法知，可判断A；B选项中，由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的定义即可判断B；C选项中，由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断C；D选项中，由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断D． 【详解】解：选项A、由作法知， 是等腰三角形，故选项A不符合题意； 选项B、由作法知是的平分线， 即， ∵，， ∴， 故， ∴， 是等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 不能判定是等腰三角形，故选项C不符合题意； 选项D、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 4．某班开展“用直尺和圆规作垂线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中直线为直线l的垂线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，尺规作图等知识点，掌握尺规作图的方法的解题的关键． 垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线．三个图逐个分析即可． 【详解】解：从左起第一个图： 根据作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，所以直线为直线l的垂线； 左起第二个图： 根据作图痕迹可知尺规作图作出了一个菱形，菱形的对角线互相垂直，所以直线为直线l的垂线； 最后一个图： 等腰三角形底边三线合一，所以直线为直线l的垂线． 故选：D． 5．如图，在中，，，用圆规和直尺作图，画出把分成两个三角形，使其中一个为等腰三角形，不符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．根据三角形内角和定理可得的度数，再根据尺规作图，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， A、由作法得：，则为等腰三角形，故本选项不符合题意； B、由作法得：平分，则，则，则为等腰三角形，故本选项不符合题意； C、由作法得：所作直线垂直平分，则，则为等腰三角形，故本选项不符合题意； D、由作法得：所作直线垂直平分，则，无法得到以及的形状，故本选项符合题意； 故选：D 二、解答题 6．下面是黑板上列出的尺规作图题． 已知：直线和上的一点，请用尺规作的垂线，使它经过点． 作法： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点和点（如图）． ②作直线，就是直线的垂线． ③分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点．    (1)以上作法步骤是混乱的，正确的排序是________； (2)步骤③中，的长满足的条件是_________； (3)以下是的说理过程，请补全． 解：如图，连接．    由作图知，， ． 又因为， 所以 ． 所以． 根据平角的定义，所以 = ， 所以，所以直线． 【答案】(1)①③② (2)大于 (3)CB；；；； 【分析】本题主要考查了垂线的作法，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握垂线的作法和全等三角形的判定方法． （1）利用垂线的作法进行排序即可； （2）根据垂线的作法即可得出答案； （3）根据尺规操作，得出相等的线段，根据条件得出，然后根据对应角相等即可得出直角，得出垂直． 【详解】（1）解：正确的顺序为：①③②， 故答案为：①③②； （2） 解：的长满足的条件是：大于， 故答案为：大于； （3）证明：连接， 由作图知，，CB ， 又因为， 所以， 所以， 根据平角的定义， 所以，，所以， 所以直线， 故答案为：CB；；；；． 题型一 利用垂直平分线的性质求最值 一、单选题 1．如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为，，则 的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形三边之间的关系，三线合一，三角形的面积公式，线段中点的有关计算，连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； 故选：C． 2．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小． 【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， ∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB， ∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD＝8． ∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8， 故选C． 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线 3．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 【答案】B 【分析】连接PC，由题意易得，进而可得要使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，然后根据三角形边角不等关系可得当点A、P、C三点共线时满足题意，最后问题可求解． 【详解】解：连接PC，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴的周长为， 若使周长为最小，则需满足为最小，即为最小， ∵， ∴当点A、P、C三点共线时，为最小，即为AC的长， ∴的周长最小值为； 故选B． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（    ） A．4.8 B．9.6 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据题意可证AD是BC边上的高，设点Q关于直线AD对称的对称点为，可得，根据题意可证点在AB上，当且C、P、三点共线时，有最小值，根据等面积法计算求值即可． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴（等腰三角形三线合一）， 设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图， ∵是的平分线， ∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质）， ∴， ∴当且C、P、三点共线时， 有最小值，即， ∵, ，，， ∴， 解得，， ∴的最小值是9.6， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求的值是解题关键． 二、填空题 5．如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，等面积法求三角形的高，推导出的最小值即为中边上的高是解题的关键． 先根据垂直平分线的判定与性质可得，再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，利用勾股定理计算出，即可得到的长，再运用等面积法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为， ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)请在图中作出关于x轴对称的； (2)线段的垂直平分线与x轴的交点坐标为 ； (3)请在x轴上找一点P，使得最小，则点P的坐标为 ； (4)在y轴上是否存在一点Q，使的值最大，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析， (4)存在， 【分析】本题考查作图——轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理、线段垂直平分线的判定，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）取格点D，利用勾股定理和线段垂直平分线的判定可得结论； （3）连接，交x轴于点P，则点P即为所求； （4）延长交y轴于点Q，则Q即为所求点． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，取格点D，连接，， 则， ∴点D为线段的垂直平分线与x轴的交点， ∵点D坐标为， ∴线段的垂直平分线与x轴的交点坐标为； （3）解：如图，连接，交x轴于点P，则点P即为所求； 由图知，点P的坐标为； （4）解：存在． 如图，延长交y轴于点Q，则Q即为所求点， 由图知，点Q的坐标为． 题型二 利用线段垂直平分线的性质判断多结论问题 一、单选题 1．如图，在等腰中，，，过点作于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，连接，则下面的结论：①点在的垂直平分线上；②；③．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形内角和与外角性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．连接，延长至E，证明，即可得出点O在BP的垂直平分线上，可判定①正确；利用等腰三角形的性质求得，，，即可得出，可判定②正确；由与不一定相等，可判定③错误． 【详解】解：连接，延长至E， 如图， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴点O在的垂直平分线上， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， 点是线段上一点， 与不一定相等， 与不一定相等， 故③错误； ∴正确的有①②共2个， 故选：C． 2．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．下列两个结论： ①≌；    ②． 判断正确的是（    ）． A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 根据是的高，结合是的角平分线，利用全等三角形的判定和性质，可判定①正确；延长交于点N，得到，得到，可以判断②错误，解答即可． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵ ∴，故①正确； 延长交于点N， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 故不成立， 故②错误， 故选：B 二、填空题 3．如图，在中，，平分，，，下列结论：①平分；②；③若，，则；④．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】由角平分线的性质可得：，由可得，由三角形内角和为可知，由，等量代换得，即，故①正确；由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，，可得，故②正确；由全等三角形的性质可得，，故③正确；由三角形的面积公式可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵，，， ∴≌（）， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴≌（）， ∴，， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵平分， ∴点D到的距离相等，设为h， ∵，， ∴，故④不正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 4．如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下4个结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质、等腰三角形的判定判断即可． 【详解】解：①．由作图可知，平分， ∴ ，故①正确，符合题意； ②．由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ， ∴，故②正确，符合题意； ③．∵ ， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④．∵ ， ∴；故④错误，不符合题意． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息． 5．如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中： ①点在运动的过程中，始终有； ②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，； ④当点不在线段上时，． 所有正确结论的序号是： ． 【答案】①②③ 【分析】①由线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形三线合一的性质可以先证明，即可得，设，,通过等腰三角形的性质以及三角形内角和定理找出与的关系式，即可求解； ②为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点，当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大．当点在线段上时，分两种情况讨论即可； ③在上截取，先证明的等边三角形，再证明即可求解； ④当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，分两种情况讨论即可． 【详解】解：①线段的垂直平分线交直线于点， ． ，， 平分， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ， ． 设，, 则． 由三角形内角和得， ， ， ． 在中，． ， ． 在中，． 在中， ， ， ， ． ； ①是正确的； ②为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点， 当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大． 当点在线段上时，可分两种情况讨论： 当点越接近点时，点越靠近点，当点与点重合时，最小， 如图所示， 线段的垂直平分线交直线于点， ，， ,， ， ． ， ，， ． 且， 是等边三角形， ； 当点越远离点时，点越靠近点，当点与点重合时，最大， 如图所示， 线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点， ，， 平分． ，， ， ， ， ， ； 点不与，重合， 当点在线段上时，； ②是正确的； ③当点在线段上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， 是等边三角形， ， ． 在和中， ， ， ． ， ； ③是正确的； ④当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，需分类讨论： 当点在的延长线上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， ， 是等边三角形， ， ． 线段的垂直平分线交的延长线于点， ． ，， 平分， , ． 在和中， ， ， , ， ． 在和中， ， ， ． ， ； 当点在的延长线上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， 是等边三角形， ， ． 线段的垂直平分线交直线于点， ． ，， 平分， ． 在和中， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ； ④是不正确的； 综上所述，正确结论的序号是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下面四个结论： ①是的平分线； ②； ③； ④点在线段的垂直平分线上． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的做法，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据角平分线的做法可得①正确；根据直角三角形两锐角互余可判断②正确；根据不是的中线可判断③不正确；根据等角对等边可得，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得④正确． 【详解】根据作图的过程可知是的平分线，故正确； 是的平分线， ， 在中，，， ， ， ，故正确； ∵，， ∴， ∴不是的中线， ∴，故不正确； ， ， 点在的垂直平分线上，故正确， 故答案为：①②④． 题型三 与线段垂直平分线相关的证明 一、解答题 1．如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F． (1)若，求的度数． (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，得到，即可求解； （2）由平行线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． (1)如图，当 时，求 的度数． (2)当 满足什么条件时，？说明理由． (3)在（2）的条件下，，求 的周长． 【答案】(1) (2)当时，．理由见解析 (3)10 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得．得．由三角形内角和定理得．由 计算即得； （2）同（1）得 ，由，得，得； （3）由，可得周长为，即得． 【详解】（1）解：∵分别是的垂直平分线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ． （2）解：当时，． 理由如下： 如图，由(1)，得． ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴时，． （3）解：周长． ∵， ∴的 周长． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，角与线段的和差计算，是解题的关键． 3．如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若与的周长之差为，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）在中，，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得，即可求得的度数，继而求得答案； （）根据垂直平分得，，根据由的周长为，的周长为，又与的周长之差为，则求出的长即可； 此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， 由的周长为，的周长为， ∵与的周长之差为， ∴， ∴． 4．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （2）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 5．如图，在中，，是的中线，的垂直平分线分别交、、于点 E、F、O， 连接、． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线性质． （1）根据等腰三角形的性质，证得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，进而计算出结果； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求出的度数，即可求出． 【详解】（1）解：∵在中，，是的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线分别交、、于点 E、F、O， ∴， 答：的长为； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． 6．已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行的性质证，即可证明，可得，易证，即可解题； （2）连接交于点，易，，根据，可求得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题． 【详解】（1） ， ， ，， ， 在和中， ， ， 点是的中点， ， ； （2）连接交于点， ,点是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 垂直平分． 7．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 8．如图，在中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂直的定义、全等三角形的判定与性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可求； 利用可证，根据全等三角形的性质可知，又因为平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证：直线是线段的垂直平分线． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 平分， ，平分线段， 直线是线段的垂直平分线． 9．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点，，连接，． (1)若，求的周长． (2)设直线，交于点，连接，． ①试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； ②若，求的度数． 【答案】(1)10 (2)①点在的垂直平分线上，见解析；②． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，以及等腰三角形的性质． （1）在中，根据线段垂直平分线的性质可得，，继而可得的周长； （2）①连接，证明即可判断点是否在的垂直平分线上； ②根据题意得，由四边形内角和可得的度数． 【详解】（1）解：∵，的垂直平分线分别交于点，， ∴，， ∴的周长； （2）解：①点在的垂直平分线上． 理由：如图，补全图形， 连接． ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②∵，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)直线是的垂直平分线，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． （1）由已知条件利用证明即可； （2）由等腰三角形的性质和垂线定义可得，再由等腰三角形的判定即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：直线是的垂直平分线，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线是的垂直平分线． 一、单选题 1．如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由作图过程可得、垂直平分，进而得到、、，即；由直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求得即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由作图知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 故选：B． 2．如图，三角形纸片，其中，，点为中点，的垂直平分线与的角平分线相交于点．将纸片沿（点在上，点在上）折叠，点恰好与点重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质，关键是角的转换．通过全等及折叠可得到，，进而得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，，点为上一点，点为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过中点，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键；设的中点为，连接，由题意易得，为的垂直平分线，则有，，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 设的中点为，连接， ∴， 分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线， 为的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 二、填空题 4．如图，在中，，平分，，，下列结论：①平分；②；③若，，则；④．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】由角平分线的性质可得：，由可得，由三角形内角和为可知，由，等量代换得，即，故①正确；由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，，可得，故②正确；由全等三角形的性质可得，，故③正确；由三角形的面积公式可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵，，， ∴≌（）， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴≌（）， ∴，， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵平分， ∴点D到的距离相等，设为h， ∵，， ∴，故④不正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题 5．如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． (1)若，求线段的长； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形和等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和三线合一是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，求出，再根据三线合一得到的长，最后在中，运用勾股定理求出的长． （2）先依据等腰三角形三线合一得出 ，用证明 ，得到， ，根据线段垂直平分线的判定得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 在中， ； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴A、D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 6．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 7．如图，已知． (1)求证：； (2)过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． ①连接，交于点，证明垂直平分； ②是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）证明即可； （2）①证明得，证明得N是的中点，，进而得证；②延长交于点Q．证明是的垂直平分线，则P关于的对称点为Q，根据几何关系即可证明． 本题考查了三角形全等的判定性质、垂直平分线的判定与性质、直线平行的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）证明：①如图， ， ． ． ． ， ， ． ， ，， ． 又， ， ． 又， ， ， ∴N是的中点，， ∴垂直平分． ②如图，延长交于点Q． 由①知， ， ． ． ， ， ∴是的垂直平分线． ∵O为直线上的点， ， ∴当点O与点E重合时，，此时的值最小， 即当的值最小时，点E与点O重合． 8．在中，，，平分，，与线段的延长线交于点． (1)如图1，直接写出的度数为_________； (2)如图2，分别延长，交于点． ①试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． ②若，则__________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由等边对等角、角平分线定义得出，再结合三角形内角和定理、对顶角相等即可得解； （2）①连接，利用“角边角”证明，由全等三角形的性质、等边对等角推得是的垂直平分线，，进而证得，是等腰直角三角形，则可得证； ②由①得，，利用“边角边”证明，再由全等三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：平分，，， ，， ，， 中，， 中，， ， ， 故答案为：； （2）解：①，证明如下： 连接， 在和中， ， ， ，， 是的垂直平分线，， ， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形， ； ②由①得，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质与判定、角平分线定义、三角形内角和定理、对顶角相等、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 9．综合与实践——探究不同三角形三边的垂直平分线． 【证明】（1）如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，．判断直线是否是线段的垂直平分线，并说明理由； 【解题】（2）如图2，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，求的度数； 【运用】（3）如图3，在中，，小明想在的内部找到一点，使得．小明______（填“能”或“不能”）找到满足题意的点． 【答案】（1）直线是线段的垂直平分线，理由见解析；（2）；（3）不能 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质和已知得到，再由是的中点得到，进而即可得解； （2）先利用三角形内角和定理计算出，然后再利用线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，，进而计算即可得解； （3）满足的点P是三边垂直平分线的交点（即外心）．对于钝角三角形（，即是钝角三角形），外心在三角形外部． 【详解】解：（1）直线是线段的垂直平分线，理由： ∵在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴直线否是线段的垂直平分线； （2） 解：∵在中，，， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． （3）不能．理由： 满足的点P是三边垂直平分线的交点（即外心）． 对于锐角三角形，外心在三角形内部； 对于直角三角形，外心在斜边中点； 对于钝角三角形（，即是钝角三角形），外心在三角形外部． ∵题目要求在的内部找一点P，而钝角三角形的外心在外部， ∴小明不能找到满足题意的点． 故答案为：不能． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $