21.2.1　配方法 课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦直接开平方法解一元二次方程，核心知识点为解形如\(x^2 = p (p \geq 0)\)或\((mx + n)^2 = p (p \geq 0)\)的方程。课堂导入通过“旧物回顾”复习平方根意义，衔接新知识，搭建从平方根到方程求解的学习支架。 其亮点在于以转化和整体思想为核心，通过归纳总结方程根的情况培养推理意识，结合变式演练和分层作业（基础达标到素养拓展）发展抽象能力与创新意识，如分析“min{(x-1)²,x²}=1”培养数学眼光。对学生可分层提升，对教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

九年级·数学·人教版·全一册册 21.2　解一元二次方程 21.2.1　配方法 单击此处编辑母版文本样式 第1课时　直接开平方法 单击此处编辑母版文本样式 1.会用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程. 2.经历用直接开平方法解一元二次方程的过程,体会转化和整体的数学思想. ◎重点:用直接开平方法解一元二次方程. ◎难点:通过解形如x2=n的方程迁移到解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 根据平方根的意义写出下列各数的平方根:0,4,15,32,81. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 用直接开平方法解一元二次方程     阅读课本本课时“问题1”,完成下列问题:(阅读时注意思考:用直接开平方法求一元二次方程的解与求平方根的关系.) 1.解方程10×6x2=1500时,两边同时除以　　求出x2的值,然后根据　 　的意义求出x的值.  60 平方根 单击此处编辑母版文本样式 2.方程10×6x2=1500有几个解?分别是什么?它们都符合实际问题的意义吗? 答:两个解,分别是5和-5.因为棱长不能是负数,所以-5不符合实际意义. 单击此处编辑母版文本样式 3.对于方程x2=p,当p的值分别为2,0时,求出方程的解;若p= -3,方程有解吗?为什么? 答:当p=2时,x1=,x2=-; 当p=0时,x1=x2=0; 当p=-3时,方程无解,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程x2=-3无解. 单击此处编辑母版文本样式 4.对照上面解方程的过程,你认为应怎样解方程(x-1)2=2?请写出求解过程. 答:根据平方根的意义,先求出x-1的值,再求x. 由(x-1)2=2,得x-1=±,即x-1=或x-1=-,所以x1=1+,x2=1-. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　(1)关于x的方程x2=p,当p>0时,方程有　　个　 　的实数根,x1=　 　,x2= 　;当p=0时,方程有　　个　 　的实数根,　 　;当p<0时,方程　 　实数根.  (2)解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,先根据　 　的意义,把一元二次方程“　 　”转化为两个　　元　　次方程,再求解.  两 不相等 - 两 相等 x1=x2=0 没有 平方根 降次 一 一 单击此处编辑母版文本样式 用直接开平方法解一元二次方程 1.用直接开平方法解下列一元二次方程. (1)9x2=25;(2)2x2-98=0; (3)3(x-2)2=0;(4)81(x-2)2=16. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)原方程可化为(3x)2=52, 解得x1=,x2=-. (2)原方程可化为x2=49,解得x1=7,x2=-7. (3)原方程可化为(x-2)2=0,解得x1=x2=2. (4)原方程可化为[9(x-2)]2=42, 解得x1=,x2=. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.解方程:(1)4x2+4x+1=0; (2)2(x2+6x+9)=32; (3)(2x-3)2=(x+2)2. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)方程可化为(2x+1)2=0,解得x1=x2=-. (2)方程可化为(x+3)2=16,得x+3=4或x+3=-4,方程的两根为x1=1,x2=-7. (3)2x-3=x+2或2x-3=-x-2, 解得x1=5,x2=. 单击此处编辑母版文本样式 2.小华在解方程(x+6)2-9=0时的解答过程如下: 解:移项,得(x+6)2=9,……第一步 两边开平方,得x+6=3,……第二步 所以x=-3.……第三步 小华的解答从第　　　　步开始出错,请写出正确的解答过程.  单击此处编辑母版文本样式 解:二. 正确的解答过程如下: 解:移项,得(x+6)2=9, 两边开平方,得x+6=±3, 所以x1=-3,x2=-9. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　原方程左边和右边都是完全平方式,因此可将右边看作一个非负数,运用　 　的方法将原方程　 　为两个　 　,即可求解.  直接开平方 降次 一元一次方程 单击此处编辑母版文本样式 能用直接开平方法解一元二次方程的条件 2.若关于x的方程2(x-3)2=3a-1有实数根,求a的取值范围. 解:由题意知3a-1≥0,解得a≥. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　对于形如(mx+n)2=p的方程,当p>0时,方程有　 　;当p=0时,方程有　 　;当p<0时,方程　 　.  两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 C 单击此处编辑母版文本样式 1方程x2=16的解是 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x=±4 B.x=4 C.x=-4 D.x=16 A 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2解方程3x2+27=0,得 ( ) A.x=±3 B.x=-3　 C.无实数解 D.有无数个解 C 单击此处编辑母版文本样式 3完成下面的解题过程. (1)解方程:2x2-8=0. 解:原方程化成　 　 ,  开平方,得　 　 ,  则x1=　 　,x2=　 　.  x2=4 x=±2 2 -2 单击此处编辑母版文本样式 (2)解方程:3(x-1)2-6=0. 解:原方程化成　 　,  开平方,得　 　,  则x1=　 　,x2=　 　.  (x-1)2=2 x-1=± 1+ 1- 单击此处编辑母版文本样式 4解下列一元二次方程. (1)x2-8=0;(2)(x-5)2=36. 解:(1)x=±2. (2)∵(x-5)2=36,∴x-5=±6,∴x1=11,x2=-1. 单击此处编辑母版文本样式 5已知一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为-3和1,则方程a(x+m-2)2+n=0(a≠0)的两根分别为 ( ) A.1,5 B.-1,3 C.-3,1 D.-1,5 B 单击此处编辑母版文本样式 6当a的取值范围为　 　时,方程(x-b)2=-a有实数解,实数解为　 .  a≤0 x=b±　 单击此处编辑母版文本样式 7对于实数p、q,我们用符号min{p,q}表示p、q两数中较小的数,如min{1,2}=1,若min{(x-1)2,x2}=1,则x=　 　.  2或-1 解析:∵min{(x-1)2,x2}=1, 当(x-1)2=1时,解得x=2或0, x=0时,不符合题意,∴x=2. 当x2=1时,解得x=1或-1,x=1不符合题意. ∴x=-1.故答案为2或-1. 单击此处编辑母版文本样式 8若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4. (1)求m的值;(2)求的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)ax2=b,x2=,x=±, 即方程的两根互为相反数. ∵一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4. ∴m+1+2m-4=0, 解得m=1. 单击此处编辑母版文本样式 (2)当m=1时,m+1=2,2m-4=-2, ∵x=±,一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4, ∴=(±2)2=4. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 31 $