专题08 三视图与几何展开图（压轴题专项训练）数学浙教版九年级下册

专题08 三视图与几何展开图 典例详解 类型一、平行投影 类型二、中心投影 类型三、图形的三视图 类型四、已知三视图求立方体最多或最少个数 类型五、根据三视图求表面积 类型六、圆锥相关计算 压轴专练 类型一、平行投影 例1（25-26九年级上·山东济宁·月考）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 ，，，． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． 变式1-1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， 变式1-2（25-26九年级上·江苏无锡·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； (2)求纪念塔塔高． 变式1-4（25-26九年级上·四川·期中）九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 类型二、中心投影 例2（2026九年级·全国·专题练习）如图，一路灯距离地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点）5米的处沿所在直线走了7.5米到达点处，那么小方在点处影子的端点到在点处影子的端点的距离为（   ） A．5米 B．5.5米 C．7米 D．10.5米 变式2-1（25-26九年级上·四川成都·期中）小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是 ． 变式2-2（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求： (1)直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）； (2)路灯杆的高度． 变式2-3（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 类型三、图形的三视图 例3（2020·江西南昌·模拟预测）下图是一个螺母，它的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   变式3-1（2019·天津和平·二模）如图所示几何体的俯视图是(    )．    A．   B．   C．   D．   变式3-2（2017九年级下·安徽·专题练习）如图所示，该几何体的俯视图是(　　) A．A B．B C．C D．D 类型四、已知三视图求立方体最多或最少个数 例4（24-25九年级下·全国·期末）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为 个． 变式4-1（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，是由若干个相同的小正方体搭成几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是 ，最多是 个． 变式4-2（25-26七年级上·陕西西安·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图分别如图所示．根据所给的两个形状图判断搭成该几何体，最多需要 个小立方块，最少需要 个    变式4-3（25-26七年级上·山西晋城·月考）如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加________个小立方块． 类型五、根据三视图求表面积 例5（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 变式5-1（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 变式5-2（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，是某几何体的三视图． (1)直接写出该几何体名称； (2)若中，，，，求左视图的面积． 类型六、圆锥相关计算 例6（24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 变式6-1（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． (1)求图1中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 变式6-2（25-26九年级上·江西新余·月考）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的面积： (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，索玛立方体是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元拼成的一个的立方体，有400多种拼法．下列4个积木单元中，俯视图面积最小的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是 ． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1是某款“不倒翁”，其上方为圆锥，下方为球的一部分，图2是其轴截面图，为圆心，，是的切线，切点为，．若该圆半径是，的长为，则此“不倒翁”上方圆锥的表面积为 ． 5．（25-26九年级上·湖北鄂州·月考）用一个圆心角为，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为 ． 6．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，这是由10个棱长均为1cm的小正方体组成的一个几何体． (1)分别画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图的平面图形． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图看到的形状不变，那么最多可以添加 个小正方体． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）十一国庆前，数学组老师呼吁同学们利用假期时间，结合课本所学知识，丈量建筑物高度，文文和乐乐想要合作测量某一居民楼的高度：阳光下，文文先站在楼影子的顶端C处，此时测得文文的影长米，文文身高为米；接着，乐乐站在F处望向楼顶B，测出仰角约为，量得米，乐乐的眼睛到地面的距离约为米．已知测量过程中点A、F、C、E依次在同一条水平直线上，、、均与地面垂直，请根据测量得到的数据，计算出居民楼的高度．（结果取整数，参考数据：，，） 8．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 10．（25-26九年级上·广东茂名·月考）图1是地面上由8个棱长为的正方体积木搭成的几何体，回答下列问题： (1)在图2中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)将图1中小立方块①移走后，从 面看到的新几何体的形状图不发生改变，如果保持从这个面看的形状不改变，最多可以再移走 个小立方块． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三视图与几何展开图 典例详解 类型一、平行投影 类型二、中心投影 类型三、图形的三视图 类型四、已知三视图求立方体最多或最少个数 类型五、根据三视图求表面积 类型六、圆锥相关计算 压轴专练 类型一、平行投影 例1（25-26九年级上·山东济宁·月考）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 ，，，． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． 【答案】(1)见解析 (2)纪念碑的高度为 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． 变式1-1（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 变式1-2（25-26九年级上·江苏无锡·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； (2)求纪念塔塔高． 【答案】(1) (2)18米 【分析】本题考查了相似三角形的应用及矩形的性质和判定，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合相似三角形性质建立等量关系． （1）根据太阳光下，同一时刻，物体长度和其影长的比值相等得出，结合题干数据即可求解． （2）如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，得出，，，设， 则，，表示出，证明，则，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 即， ． （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ∴，， ∴， 设， 则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 米， 答：纪念碑的高度为18米． 变式1-4（25-26九年级上·四川·期中）九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据） (1)求点到水平地面的距离； (2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米） 【答案】(1)点到水平地面的距离为6米； (2)小明测得的九天楼高度为米． 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过C作交延长线于H，根据含角直角三角形的性质求解即可； （2）过H作交于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出的长，进而求解即可． 【详解】（1）解：过C作交延长线于H， 在中，， ∴（米）； 答：点到水平地面的距离为6米； （2）解：过H作交于E， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴米 在中，， （米） （米） ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ∴，即 解得， ∴（米）． 答：小明测得的九天楼高度为米． 类型二、中心投影 例2（2026九年级·全国·专题练习）如图，一路灯距离地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点）5米的处沿所在直线走了7.5米到达点处，那么小方在点处影子的端点到在点处影子的端点的距离为（   ） A．5米 B．5.5米 C．7米 D．10.5米 【答案】D 【分析】本题主要考查的是相似三角形在实际中的中心投影的应用．利用相似三角形可以求得和的长，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：； 由题意得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴长为米． 故选：D． 变式2-1（25-26九年级上·四川成都·期中）小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标确定，正确的识别图形是解题的关键．先根据圆桌与影子的平行关系，判定三角形相似；再利用相似三角形的对应边成比例，计算出影子的长度；最后结合已知点的坐标，确定目标点的坐标． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ∵点 D的坐标为 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 变式2-2（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求： (1)直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）； (2)路灯杆的高度． 【答案】(1)和 (2)米 【分析】本题主要涉及相似三角形的判定和性质． （1）根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似来找出相似三角形． （2）利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于路灯杆高度和相关线段长度的方程，进而求解路灯杆的高度． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ； （2）解：由题可知，，，， ， ， ， 即①， ， ， 即②， 联立①②解得，； 答：路灯杆的高度米． 变式2-3（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高是4.5米 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题意可得，进而得到，即，解得，再结合即可求解． 【详解】（1）解：如图： 点O和点Q即为所求： （2）由题意可知：， ， ，， 又， ，则， 即：， 解得：， ， ， ， 所以路灯的高是4.5米． 类型三、图形的三视图 例3（2020·江西南昌·模拟预测）下图是一个螺母，它的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】找出从左侧看到的图形即可． 【详解】解：该螺母为非实体， 那么左视图应该为： 故选：D． 【点睛】本题考查三视图，建立空间想象能力是解题的关键． 变式3-1（2019·天津和平·二模）如图所示几何体的俯视图是(    )．    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据几何体三视图的判断方法，确定出俯视图即可． 【详解】解：根据题意得：几何体的俯视图为   ， 故选：C． 【点睛】此题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解本题的关键． 变式3-2（2017九年级下·安徽·专题练习）如图所示，该几何体的俯视图是(　　) A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据三视图中俯视图的概念作出判断即可． 【详解】解：∵根据三视图的概念，俯视图是指从上面看， ∴从上面看是由五个矩形组成，其中有两条为虚线， 故选：C． 【点睛】本题考查三视图的概念，俯视图是指从上面看，注意看得见的线用实线，看不见的线用虚线，熟记三视图的概念是解答本题的关键． 类型四、已知三视图求立方体最多或最少个数 例4（24-25九年级下·全国·期末）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为 个． 【答案】9 【分析】本题考查了三视图，根据俯视图和左视图确定各个位置最少的小正方体的个数，即可求解． 【详解】解：结合俯视图和左视图，各个位置最少的小正方体的个数如下图： 或， 故答案为：． 变式4-1（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，是由若干个相同的小正方体搭成几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是 ，最多是 个． 【答案】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 根据所给出的图形可知这个几何体共有3层，2列，先看第一层正方体的个数，再看第二、第三层正方体的可能的最少个数和最多个数，相加即可． 【详解】解：根据主视图和俯视图可得：这个几何体有3层，2列，最底层有5个小正方体，第二、第三层正方体最少各1个， 所以搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是； 根据主视图和俯视图可得：这个几何体有3层，2列，最底层有5个小正方体，第二、第三层正方体最多各3个， 所以搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是； 故答案为：；． 变式4-2（25-26七年级上·陕西西安·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图分别如图所示．根据所给的两个形状图判断搭成该几何体，最多需要 个小立方块，最少需要 个    【答案】 9 7 【分析】本题主要考查从不同方向看，在俯视图的相应位置上标注所能摆放的最多和最少时，所需要的小正方体的个数即可． 【详解】解：如图，在俯视图的相应位置上标注所摆放小正方体的个数（最少、最多），    所以最多需要9个，最少需要7个， 故答案为：9；7． 变式4-3（25-26七年级上·山西晋城·月考）如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加________个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了三视图． （1）分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图即可； （2）分别找出主视图、左视图不变时可以添加的位置，取公共位置即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：保持主视图和左视图不变，可在如下位置添加， 即最多可以再添加2个小立方块． 故答案为：2． 类型五、根据三视图求表面积 例5（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)120平方厘米 【分析】本题考查由三视图判断几何体、求棱柱的表面积，解题的关键是： （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的棱长的和以及表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，这个几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：由题知，该几何体的表面积． 变式5-1（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． (1)请画出该几何体的三视图； (2)计算该几何体的表面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)24 【分析】本题考查了画几何体的三视图及几何体表面积的计算． （1）根据题中所给出的几何体正确将正视图、左视图及俯视图画出即可； （2）观察整个几何体发现有3个边长为2的正方形，3个六边形及3个边长为1的小正方形，分别计算其表面积后最终相加即可得到． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：该几何体中有3个边长为2的正方形，表面积为， 有3个六边形，其表面积为， 有3个边长为1的小正方形，表面积为， ∴该几何体的表面积为． 变式5-2（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，是某几何体的三视图． (1)直接写出该几何体名称； (2)若中，，，，求左视图的面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，熟练掌握三视图之间的关系是解题的关键： （1）观察可知，几何体为三棱柱； （2）作，解直角三角形，求出的长，根据左视图和俯视图的宽相等，得到，再根据矩形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱； （2）解：作，由题意，， 在中，，， ∴， ∴左视图的面积为． 类型六、圆锥相关计算 例6（24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 变式6-1（23-24九年级上·安徽阜阳·月考）图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． (1)求图1中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥与扇形的关系，扇形弧长公式，等腰直角三角形的性质，掌握“圆锥底面圆周长=扇形弧长”是解题关键． （1）利用“圆锥底面圆周长=扇形弧长”，结合扇形圆心角，代入弧长公式求出母线AE 的长． （2）先求等腰直角三角形的面积，再求扇形的面积，用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：根据题意，圆锥底面圆周长与长度一致， 故， 可得， 即． （2）由条件可得， 故． 变式6-2（25-26九年级上·江西新余·月考）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的面积： (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 【答案】(1) (2)这个圆锥的高是 【分析】此题考查了扇形面积、弧长公式和勾股定理等知识，熟练掌握相关公式是关键． （1）利用扇形面积公式计算即可； （2）求出扇形所对的弧长和圆锥底面圆的半径，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解∵扇形的圆心角为，半径为， ∴． （2）扇形所对的弧长为． 设圆锥底面圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴这个圆锥的高是． 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，索玛立方体是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元拼成的一个的立方体，有400多种拼法．下列4个积木单元中，俯视图面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的俯视图面积，掌握从上方观察积木单元，数出俯视图包含的小正方形个数是解题的关键． 分别分析每个选项中积木单元的俯视图，计算其包含的小正方形个数，个数最少的即为俯视图面积最小的． 【详解】解：三个选项的俯视图都由3个小正方形组成， C选项的俯视图由2个小正方形组成， 因此俯视图面积最小的是C选项中的图形． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径． 【详解】解：如图，连接， 则，， ， 设圆锥底面半径为， ， ． 故选：C． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是 ． 【答案】38 【分析】本题考查了几何体的组成及表面积计算．先分析几何体各个方向的面的情况，从上下方向，面积之和为，从前后方向，面积之和为，从左右方向，面积之和为，最后再依次计算几何体的表面积并相加即可． 【详解】解：该几何体的表面积是： ， 故答案为：38． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1是某款“不倒翁”，其上方为圆锥，下方为球的一部分，图2是其轴截面图，为圆心，，是的切线，切点为，．若该圆半径是，的长为，则此“不倒翁”上方圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、圆锥表面积公式，连接，，，连接交于点，由切线的性质可得，由垂径定理可得，，由题意可得，由勾股定理可得，，从而得出，最后由圆锥的表面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，连接交于点， 由切线的性质可得：， 由垂径定理可得：，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此“不倒翁”上方圆锥的表面积为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·湖北鄂州·月考）用一个圆心角为，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了求扇形的弧长，勾股定理， 扇形的弧长等于圆锥底面的周长，先求出底面半径，再利用勾股定理求高．即扇形的弧长计算公式为 ． 【详解】解：因为圆心角为，半径为3， ∴． 设圆锥底面半径为，则圆锥底面周长为 ，由弧长等于底面周长，得， 解得， 圆锥的母线长（即扇形半径）为，底面半径为 ， 由勾股定理，圆锥的高． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，这是由10个棱长均为1cm的小正方体组成的一个几何体． (1)分别画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图的平面图形． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图看到的形状不变，那么最多可以添加 个小正方体． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】此题主要考查了画三视图，根据三视图求小立方块最多或最少的个数，解题的关键根据物体正确作出三视图． （1）根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可； （2）在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可． 【详解】（1）解：该几何体的主视图、左视图和俯视图如下： （2）解：在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体， 所以最多可以添加4块小正方体． 故答案为：4． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）十一国庆前，数学组老师呼吁同学们利用假期时间，结合课本所学知识，丈量建筑物高度，文文和乐乐想要合作测量某一居民楼的高度：阳光下，文文先站在楼影子的顶端C处，此时测得文文的影长米，文文身高为米；接着，乐乐站在F处望向楼顶B，测出仰角约为，量得米，乐乐的眼睛到地面的距离约为米．已知测量过程中点A、F、C、E依次在同一条水平直线上，、、均与地面垂直，请根据测量得到的数据，计算出居民楼的高度．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】居民楼的高度约为 16 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后设米，则米，在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据同一时刻物高与影长是成正比例列出比例式，从而进行计算可求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：， 设米， 则米， 在中，（米）， 米， 由题意得：， ， 解分式方程得：， 经检验：是原方程的根， 米， 答：居民楼的高度约为16米． 8．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 【答案】(1)路灯的高度为9.6米 (2)的长是米 【分析】本题考查相似三角形的应用、列代数式，属于中档题． （1）由证△△，用相似比求高度； （2）由证△△，代入求长度． 【详解】（1）解：由题意，可知，米，米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为9.6米； （2）解：， 米， 米，米， 米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)5 (2)（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由见解析；②作图见解析，；（ii） 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可； （2）（i）①由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可； ②当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可； （ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 解得 故答案为：； （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片， 理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点 ， 是等边三角形 在中， 在四边形中， 四边形是矩形 、 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片； ②示意图如图所示，此时； 如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G， 则，， 在中， ； （ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， 此时， 此时； 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， 、 此时 ． 【点睛】本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键． 10．（25-26九年级上·广东茂名·月考）图1是地面上由8个棱长为的正方体积木搭成的几何体，回答下列问题： (1)在图2中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)将图1中小立方块①移走后，从 面看到的新几何体的形状图不发生改变，如果保持从这个面看的形状不改变，最多可以再移走 个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)正，2 【分析】本题考查立体图形的三视图，理解三视图的定义并发挥空间想象能力是解题关键． （1）根据三视图的定义作图即可； （2）根据三视图的定义进行判断即可． 【详解】（1）三视图如下： （2）结合（1）中的三视图可判断出，只有正面看到形状图没有发生改变； 要保持所看到的形状，最多还可以从右侧移走两个立方体． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $