第1章 有理数 专题复习-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（湘教版2024）

数理极 专题复习 第1章 有理数 ◎湖南 浦师伍 知识回顾 就是表示这个数的点与原点的 ra (a>0) 1.有理数的相关概念 a1= 0(a=0) (1)正、负数： 0的数叫作正数 -a(a<0) 0的数叫作负数.0既不是 数 (5)倒数： 是 的两个有 也不是 数，它是 数与 理数互为倒数 没有倒数.通常用a(a 的分界 ≠0)与 表示一对倒数 (2)数轴：规定了 和 (6)有理数的大小比较 的直线叫作数轴.任何一个有理数都 ①利用数轴比较大小：在以向右为正方向的 可以用数轴上的一个 来表示，而且原 数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数 点左边的点表示的数是 数，原点右边 大于是：正数大于0,0大于负数， 数大 的点表示的数是 数，原点本身表示的 于 一切 数. 数是 ②两个负数，绝对值大的 (3)相反数：如果两个数只有 不 2.有理数的运算 同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也 (1)有理数的运算法则 称这两个数互为相反数.特别地，0的相反数是 ①加法法则：同号两数相加，取 的 ·从数轴上看，表示互为相反数的两个 符号，并把 相加.绝对值不相等的异号 点，分别在原点的两侧，并且与原点的距离 两数相加，取 的加数的符号，并用 减去 ·互为相反 ①通常用a与 表示一对相反数. 数的两个数相加得 一个数与 ②a与b互为相反数÷ =0. 相加，仍得这个数. ③互为相反数的两数的绝对值 ②减法法则：减去一个数，等于 这 即l-a1=|a1. 个数的 ,即a-b=a+ ④1a1=1b1台a=b或a=-b(a与b ③乘法法则：两数相乘，同号得 ,异 互为相反数). 号得 ,并把 相乘任何数与0相 (4)绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值 乘，都得 ,几个不是0的数相乘，负因数的 考点解密 ·专项练习 3.下列各数中，是负分数的是 冬考点1：具有相反意义的量 A.-7 例1中国是最早使用正负数表示具有相 B C.-1.5 反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章 D.0 算术》中就引入了负数.若在粮谷计算中，益实 4.把下列各数填在相应的横线上： 一斗（增加1斗）记为+1斗，那么损实七斗（减 +65,-2分05,0.-1-3.21,13，-3. 少7斗)记为 ( A.-1斗 B.+1斗 -(-57),-1,-3.6 C.-7斗 D.+7斗 整数： 解：题中将增加记为正，则减少就记为负，所 分数： 以减少7斗应记为-7斗. 非负数： 故选C. 考点3：数轴 例3如图1，数轴上点A表示的数是2024 ●专项练习 OA=OB,则点B表示的数是 1.学校要组建一批身高175cm左右的仪仗 B 0 队，且将身高177cm记为+2，若某同学的身高 02024 记为-1，则这名同学的身高是 图1 A.173 cm B.174 cm A.2024 B.-2024 1 1 C.175 cm D.176 cm C.2024 D.-2024 2.若超市购进80件纯净水记作“+80件”， 解：因为OA=0B,点A表示的数是2024 则“-20件”表示的实际意义是 ( 所以点B表示的数为-2024. A.售出20件纯净水 故选B. B.售出60件纯净水 ●专项练习 C.购进20件纯净水 5.如图2，数轴上点A表示的数是号，将点A D.售出-20件纯净水 冬考点2：正、负数 沿数轴向左移动2个单位长度至点B,则点B表 例2下列咯数中，属于正整数的是（ ):示的数是 A A.3 B.2.1C.0 D.-2 解：选A 图2 3 个数是 时，积是正数；负因数的个数是 时，积是负数 ④除法法则：除以一个不等于0的数，等于 乘这个数的 ·两个有理数相除，同号得 异号得 ,并把 相 除.0除以任何一个不等于0的数，都得 :: ⑤乘方的意义：求n(n为正整数)个相同 因数a的 的运算叫作乘方，乘方的结 果叫作 .在a”中，a叫作 ,n叫 作 ,a”读作 或 负数 的 次幂是负数，负数的偶次幂是 ;正数的任何次幂都是 ;0的 任何正整数次幂都是 (2)有理数的运算律 ①加法交换律：a+b= ! ②加法结合律：(a+b)+c= ③乘法交换律：ab= ④乘法结合律：(ab)c= ⑤分配律：a(b+c)= 1 (3)有理数的运算顺序 ①先 ,再 最后 ②同级运算，从 到 进行； ③如果有括号，先做括号内的运算， ! 3.科学记数法 把一个绝对值大于10的数记作a×10”的 形式，其中a是 ,n是 1 ,这种记数方法叫作科学记数法. : A. B.-2 2 C. 2 6.有理数a,b在数轴上的对应点的位置如 图3所示，则下列结论正确的是 ( 0 b 图3 A.a+b0 B.a-b>0 C.ab >0 D. <0 7.根据图4给出的数轴(BM=BN),解答下 列问题： MBN A -6-54-3-2-1012345 图4 (1)点A表示有理数 ,点B表示有 理数 (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示 的数是 (3)若将数轴折叠，使得点A与表示-3的 点重合，则点B与表示数 的点重合 考点4：相反数、绝对值和倒数 例4 -1-1的相反数是 ( A. 1 B. 3 2 2 1 C. 3 T 4 解：-1宁=1分-1 -的相反数是 1即房 故选C. 例5子 的倒数是 A. 5 3 B 5 c.- 3 5 5 D.- 3 解：因为×号=1， 所以子的倒数是； 故选A. ●专项练习 的绝对值是 A. 32 B. 3 C.- 23 3 2 9.若m,n互为倒数，且满足m+mn=3,则 m的值为 ( A号 2 C.2 D.4 10.化简：-[-(-3)]= 11.数轴上表示数a和a+4的点到原点的 距离相等，则a的值为 考点5：有理数的大小比较 例6某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四 个城市的气温分别是-20℃，-10℃，0℃， 2℃，其中气温最低的城市是 ( A.哈尔滨 B.北京 C.杭州 D金华 解：由题可知-20<-10<0<2，所以气 温最低的城市是哈尔滨 故选A. ●专项练习 12.下列各式正确的是 ( A.-3<-4 B.-2>1-51 C.0>1-0.0011 D.1->-8 13.比较大小（填“>”“<”或“=”）： )- -13 (2)-1-—-(-5.25) (3)- 14.在数轴上表示下列各数，并用“<”将 它们连接起来： -(+2)0,-(-1.501,-31,-2 %考点6：乘方的意义 例7下列各选项中，与(-3)2的值相等 的是 () …专题复习 A.-32 B.32 C.(-2)3 D.23 解：因为(-3)2=9，-32=-9,32=9， (-2)3=-8,23=8, 所以与(-3)2的值相等的是32. 故选B. ●专项练习 15.(-)P的底数是 ,指数是 ,计算结果是 16.下列计算：①(-1)3=1；②-12=1； 8-(-1)2=1:④02=0：⑤(-子)2= 4 3 其中正确的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成 4个并死去1个，2个小时后分裂成6个并死去 1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律， 6小时后存活的细胞有 个，n个小时后 存活的细胞有 个（用含n的代数式表 示) 考点7：有理数的运算 例8计算：(-1)×(-4)+22÷(7-5). 解：原式=4+4÷2 =4+2 =6. ●专项练习 18.若等式-2□0-2=-2成立，则“口' 内的运算符号是 ( A.+ B.- C.× D.÷ 19.定义一种新运算“⑧”，规定：a⑧b=a -1b1,则(-2)⑧(-1)的运算结果为( A.-5 B.-3 C.5 D.3 20.计算： ()(-43)x0×375+(-4)÷8: (2-23-(合+号-075)×1-241： 11 (3)(-5)-(-5)×10÷0×(-5): (4)7x(-5)+(-7)×9-7×8 考点8：科学记数法 例9著名的数学家苏步青被誉为“数学 大王”.为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地 球约218000000km的行星命名为“苏步青 星”.数据218000000用科学记数法表示为 ( A.0.218×109 B.2.18×108 C.2.18×109 D.218×106 解：218000000=2.18×108. 故选B. ●专项练习 21.光速约为3×108米/秒，用科学记数法 表示的这个数的原数是 22.贵安樱花园位于红枫湖畔，享有“贵州 数理极 最佳樱花观赏区”的美誉，总占地面积约 1600万平方米.数据1600万用科学记数法可 表示为 A.16×106 B.1.6×10 C.1.6×108 D.0.16×108 考点9：有理数在生活中的应用 例10 有一批试剂，每瓶标准剂量为250 毫升，现抽取8瓶样品进行检测，超过或不足标 准剂量的部分分别用正、负数表示，记录结果如 下（单位：毫升）： +6,-2,+3,+10,-6,+5,-15,-8. (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)若增加或减少每瓶样品试剂剂量的人 工费为10元/毫升，求将这8瓶样品试剂再加 工制作成标准剂量需要多少人工费。 解：(1)250×8+(6-2+3+10-6+5- 15-8)=1993(毫升). 答：这8瓶样品试剂的总剂量是1993毫升. (2)这8瓶样品试剂增加或减少的总量为： I+61+1-21+1+31+I+101+I-61+1+51 +1-151+1-81=55(毫升)，55×10= 550(元). 答：将这8瓶样品试剂再加工制作成标准 剂量需要550元人工费. ●专项练习 23.在一个峡谷中，A地的海拔为-11m,B 地比A地高15m,C地比B地低7m,则C地的 海拔为 24.小星在一根直立的细竹竿上作了刻度 标记，一只蚂蚁从这根细竹竿上的虫眼开始上 下爬行.约定向上记为正，小星观察并记录如 下： +15cm,-2cm,+5cm,-1cm,+3cm, -9cm,+7cm,-6cm,+4cm,-5cm. (1)记录中的“-9cm”表示的意义为 (2)观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼多 远？在虫眼的上方还是下方？ (3)若蚂蚁平均每秒爬行1.5cm,求小星 同学观察期间蚂蚁爬行的总时间. 25.某电商把产品脐橙放到了网上售卖，原 计划每天卖200kg脐橙，但实际每天的销售量 与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况 (超额记为正，不足记为负，单位：kg) 星期 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +6 +3 -2 +12 -7 +19 -11 (1)根据表中数据可知前三天共卖出 kg脐橙； (2)根据记录的数据可知，销售量最多的 一天比销售量最少的一天多销售 kg 脐橙； (3)若该电商以1.5元/kg的价格购进脐 橙，又按3.5元/kg的价格出售，且需为买家按 0.5元/kg的价格支付脐橙的运费，该电商本周 一共赚了多少元？ (专项练习答案参见第15~20版，后同) (本章检测卷见第7~8版)数理极 17期2版 4.3.1角与角的大小比较 1.C;2.B;3.B;4.C;5.D;6.C. 7.(1)∠B;(2)∠BAD,∠CAD,∠BAC; (3)∠ACD,∠ACE,∠ACF. 4.3.2.1角的度量与计算 1.B;2.94°；3.135°. 4.(1)63分，3780秒；(2)70.23. 5.(1)1014125";(2)4044. 6.∠B0C=30°，∠A0C=120°. 7.(1)75；(2) 2a. 4.3.2.2余角和补角 1.C;2.B;3.90. 4.35 5.(1)72°；(2)126°. 17期3,4版 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B A A A D B D A C D 二、11.5；12.28.75°；13.57°； 14.70°；15.32°或64°；16.20°； 17.145.5°；18.75°或105°. 三、19.(1)851233”；(2)4136'47". 20.144°. 21. (1)5个，分别是∠A0M,∠A0C ∠MOC,∠BOC,∠BOM; (2)∠A0M=35°，∠C0B=110°. 22.(1)155°；（2)略. 23.(1)50°；(2)50° 24.(1)0B,0E;(2)20°或60°. 25.(1)36°；(2)15s或45s. 26.(1)50°；(2)50°；(3)50°或130°. 18期检测卷 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 答案 D C B C B C 二、11.5248'；12.1；13.则； 14.130°；15.24π；16.15°； 17.4;18.20°或40°. 三、19.图略. 20.4. 21. 50 3 22.10°. 23. 81 2 cm. 24.(1)40°； (2)①135°，②∠P0Q的度数不变，理由略 25.(1)4cm;(2)4cm;(3)4cm. 26(1)75；2)9或 (3)存在，4的值为5或15或 复习专号参考答案 《有理数》专项练习 1.B;2.A;3.C. 4.整数：0,13，-32，-1； 参考答案 分数：+65，-2}，0.5，-3.21， (-52),-3.6: 非负数：+6.5,0.50,13，-（-52）月 5.A;6.D; 7.(1)1,-2.5,(2)5或-3，(3)0.5； 8.B;9.C;10.-3;11.-2 12.D;13.(1)>,(2)<,(3)<. 14.数轴表示略 -1-31<-(+2)<-7 <0 < 1< -（-1.5). 16.A;17.65,(2"+1);18.C;19.D 20.(1)-8;(2)-3: (3)-30 (4)-7. 21.300000000;22.B;23.-3m; 24.(1)向下爬行9cm; (2)15+(-2)+5+(-1)+3+(-9)+ 7+(-6)+4+(-5)=11(cm). 答：观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼 11cm,在虫眼的上方. (3)(1+151+1-21+|+51+1-11+ 1+31+|-91+|+71+1-61+|+41+1-51) ÷1.5=38(s) 答：小星同学观察期间蚂蚁爬行的总时间是 38s. 25.(1)607;(2)30; 1 (3)该电商本周共卖出脐橙：200×7+(6+ 3-2+12-7+19-11)=1420(kg),1420× (3.5-1.5-0.5)=2130(元). 答：该电商本周一共赚了2130元 《有理数》复习检测卷 题号 2 8 10 答案 B B B 提示： 9.解：长方形纸片的面积为20×10 200(cm2). 第1次剪去后剩下部分的面积为200× 2 第2次剪去后剩下部分的面积为200× () cm 第6次剪去后剩下部分的面积为200× (分°cm,即200× cm2. 10.解：由数轴可知：a-b<0,b-c>0, c-a<0, a-b 所以 b-c c- -b1 1b-cI I c-al a-b b-c c- -(a 0) b-c -(c-a) =-1-1+1 =-1. 二、11.0.74,0.74；12.-4cm; 13.(1)<,(2)>;14.3;15.-2; 16.3.8;17.-11或1；18.9. 15 提示： 17.解：由题意，可得x=±3，y=±5， 因为y-x|=x-y, 所以y-x<0,即y<x, 所以x=3或-3，y=-5, 当x=3,y=-5时，2x+y=6-5=1, 当x=-3,y=-5时，2x+y=-6-5= -11. 18.解：因为2=2,22=4,23=8,24=16， 25=32,26=64,27=128,28=256,…, 所以其结果的末位数字以2、4、8、6为一组 循环出现 因为21÷4=5…1， 所以221的末位数字与2的末位数字相同， 为2. 因为31=3,32=9,33=27,34=81， 35=243.36=729.37=2187,38=6561,…, 所以其结果的末位数字以3、9、7、1为一组 循环出现 因为11÷4=2…3，所以3”的末位数字 与33的末位数字相同，为7 所以221+3”的结果的末位数字是9. 三、19.解：正数：子-(-1号)(-1)2 负数：-3，-0.86，-1-151，-2 负分数：-0.86，（-2) 3 20.解：数轴表示略 1-3.51>22>-(-3)>0>+(-0 >-1.8>-3 21.解：(1)8+(--5+0.25 =8-5+(-子+0.25) =3+0 =3. (2)-1-[-10+8÷(-4]×(-)》 =-1-(-10-2)×9 =-1-(-12)×是 =-1+27 =26. 22.解：由题意，得a+b=0,cd=1,m2=4, 所以m=±2. 当m=2时，原式=12-11+0-1=0； 当m=-2时，原式=1-2-11+0-1=2. 综上，1m-11+2(a+b)-cd的值为0或2， 5 23.解：(1)7. (2)5,-5. (3)因为点C表示的数为4，AB=6,BC=2, 所以c=4,b=4-2=2,a=2-6=-4. 所以p=a+b-c=-4+2-4=-6. 24.解：(1)因为4号袋低于标准质量4克， 6号袋低于标准质量5克，9号袋低于标准质量 6克，这三袋的质量都低于3克以上，所以4,6,9 号袋不合格 (2)质量最少的是9号袋， 它的实际质量是：454-6=448（克）. (3)454+=2+0+5-4-3-5+4+4-6-3 10