第3章 图形的初步认识 专题复习&趣味数学-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（华东师大版2024）

数理极 专题复习 第3章 图形的初步认识 ⊙江苏贾月婷 知识回顾 (2)正方体的表面展开图共有11种不同的 形式，可将其分为如下三种类型： 1.立体图形和平面图形 ①“一四一”型，如图1. (1)常见的立体图形有①柱体，包含棱柱、 圆柱；②锥体，包含 ;③球 西印细中即即 体 图1 (2)很多立体图形都是由平面图形围成 ②“一三二”型，如图2 的，例如三角形、四边形和圆等.其中，圆是由 围成的封闭图形，而其他由线段围成 图2 图3 的封闭图形叫做 ③“三个二”型和“二个三”型，如图3. 2.立体图形的三视图 4.与三线有关的概念和性质 从 得到的投影，称为主视图；从 (1)线段：线段是一个不定义的概念，可以 得到的投影，称为俯视图；从 形象地描述为“一根绷紧的琴弦”或是“一根拉 得到的投影，称为侧视图，依 不同，有 紧的绳子”等.其特征为：有 个端点 和 通常将 基本事实：两点之间， 最短 与 称做一个物体的三视图 (2)射线：把线段向一个方向无限延伸所 正方体的三视图都是】 ;圆柱的三 形成的图形.其特征为：有 个端点. 视图中有两个是」 一，另一个是 (3)直线：把线段向两个方向无限延伸所 圆锥的三视图中有两个是」 ,另一个是 形成的图形.其特征为：」 端点。 ;球的三视图都是 基本事实：两点 一 条直线 3.立体图形的表面展开图 (4)线段的中点：线段上，把这条线段分成 (1)棱柱的表面展开图是由两个 两条相等线段的点 和一个 组成的，沿棱柱表面不同的棱 (5)两点的距离：连结两点间的线段的长 剪开，可以得到不同组合方式的表面展开图。 度，叫做这两点的距离 考点解密 4.从一个n边形的同一个顶点出发，分别 连结这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形 考点1：认识立体图形 分割成6个三角形，则n的值是 ( 例1 下列立体图形中，是圆锥的是( A.6 B.7 C.8 D.9 4△ 考点3：展开与折叠 例3下列由小正方形组成的平面图形 B C D 中，能围成正方体的是 解：选项A为四棱柱；选项B为球；选项C 为五棱锥；选项D为圆锥.故选D. ●专项练习 1.下面几何图形：①三角形；②长方形；③ 长方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱.其中属于立体 解选项A是“凹”字型，选项B是“田”字 图形的有 ( 型，选项C折叠后有两个面重合，缺少一个侧 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 面，均不能折叠成一个正方体.故选D. 2.一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱有 例4“马牛羊，鸡犬 马牛 个面，有 条棱 (狗)豕（猪）.此六畜，人所 羊鸡 冬考点2：认识平面图形 饲.”作为传统启蒙教材的 例2 下列各组图形是平面图形的一组是 《三字经》，让最早出现于 犬豕 ( 图1 《周礼》《左传》中的六畜概 A.圆、圆锥 B.长方形、圆柱 念深入了千家万户.将“六畜”的名字分别写在 C.圆柱、棱锥 D.角、正方形 某正方体的表面上，如图1是它的一种展开图， 解：圆锥、圆柱、棱锥均是立体图形，圆、长 则在原正方体中，与“豕”字所在面相对面上的 方形、角、正方形均是平面图形. 汉字是 故选D. A.马 B.羊 。专项练习 C.鸡 D.犬 3.以下图形中，不是平面图形的是( 解：根据正方体展开图的“‘Z'字两端是对 A.线段 B.角 面”可知，与“豕”字所在面相对面上的汉字是 C.圆锥 D.五边形 “羊”.故选B。 27 5.角 (1)概念：①角是 组成的图形；②角是 形成的图形 【注意】平角与直线，周角与射线的区别； 角的大小与边的长短无关。 (2)角的表示方法：如图4，表示 或 ;如图5，表示；如图6，表示 A B a 图4 图5 图6 (3)角的分类：大于 ,且小于 的角是锐角；等于 的角是直 角；大于 ,且小于 的角是钝角 (4)特殊角之间的计算：1个周角的度数= 个平角的度数= 个直角的 度数=360. (5)角的度量单位及换算： 角的度量单位是 ,是 进制，即1°= 1'= (6)角的平分线：从一个角的顶点出发，把 这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角 的平分线 (7)余角和补角：若两个角的和是 则这两个角互为余角， 的余角相 等；若两个角的和是 ,则这两个角互为 补角， 的补角相等 专项练习 5.如图2，是某立体图形的 展开图，则该立体图形是 A.五棱柱 B.五棱锥 图2 C.六棱柱 D.六棱锥 6.如图3，是一个正方体的展开图，把展开 图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和相 等，则3a+1+b的值为 7-7 -4 b 3a+12 3 -3 图3 图4 7.如图4，在5×5的正方形网格图中，每个 小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴 影的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影， 使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小 正方体的涂法有」 种 冬考点4：立体图形的三视图 例5如图5所示的立体图形是由5个完 全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是 主视 图5 A B C 解：选C. 28 专项练习 8.如图6，通过小颖和小刚的对话，可以判 断他们共同搭的立体图形是 () 小颖：我们组用了4个 ,俯视图是 小刚：其左视图和主视图是一样的。 图6 主视 主视 主视 主视 A B C D 9.下列各种现象中，属于平行投影的是 A.皮影戏中的影子 B.阳光下旗杆的影子 C.台灯下的笔筒的影子 D.汽车灯光照射下行人的影子 10.一个由若干个大小相同的小立方块搭 成的立体图形的主视图和俯视图如图7所示， 则搭成这个立体图形最少需要小立方块() A.7个 B.9个 C.11个 D.12个 主视图 俯视图 主视 图7 图8 11.如图8，是用8个大小、形状完全相同的 小正方体搭成的一个立体图形.请画出这个立 体图形的三视图. 考点5：直线、射线、线段 例6如图9中有 条线段. A C D B 图9 解：以A为端点的线段有：AC,AD,AB;以C 为端点的线段有：CD,CB;以D为端点的线段有 DB.所以共有6条线段.故填6. ●专项练习 12.如图10，从长春站去往胜利公园，与其 他道路相比，走人民大街最近，其中蕴含的数学 道理是 长春站 D 民大街 C 胜利公园 图10 图11 13.如图11，下列说法不正确的是( A.点A在直线BD外 B.点C在直线AB上 C.射线AC与射线BC是同一条射线 D.直线AC和直线BD相交于点B 14.某特快列车从济南西站开往枣庄站的沿 途会经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达 枣庄站，那么从济南西站到枣庄站的这次列车在 这段线路上的火车票最多有 种 。考点6：线段的比较与运算 例7已知线段AB=12cm,C是线段AB 专题复习 的中点，若N是线段AC的三等分点，则线段BN 的长为 解：因为线段AB=12cm,C是线段AB的 中点，所以AC=BC=)AB=6cm 2 因为N是线段AC的三等分点，所以分两种 情况讨论： ①当CN=7AC=2em时，BN=CN+BC =8cm. ②当AW=号AC=2cm时，BN=AB-AN =10cm. 综上所述，线段BN的长为8cm或10cm. 故填8cm或10cm. ●专项练习 15.如图12，用圆规比较两条线段的长短， 正确的是 A.AC AB B.AC AB C.AC AB D.无法确定 B C 图12 图13 16.如图13，已知线段a,b,c,用直尺和圆规 按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作一条线段，使它等于a+2c; (2)作一条线段，使它等于a-b. 17.如图14，点M在线段AB上，线段BM与 AM的长度之比为5：4，点N为线段AM的中点. A N M B 图14 (1)若AB=27cm,求BN的长； (2)在线段AB上作一点E,使BM=3EB.若 EB=t,求AB的长（用含t的代数式表示） 考点7：角 例8下午2时整，钟表的时针和分针所夹 的锐角的度数为 解：下午2时整，钟表的时针指向2，分针指 向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角 的度数为：2×30°=60°.故填60. ●专项练习 18.如图15，下列表示角的方法错误的是 A.∠1与∠PON表示同一个角 B.∠2表示的是∠MOP C.∠MON也可以用∠O表示 D.图中共有三个角：∠MON,∠POM,∠PON 北 B N 47 图15 图16 19.嘉嘉一家去赵州桥参观.如图16，嘉嘉 站在点B处，赵州桥在点A处，则从点B看点A 的方向是 20.计算： (1)56.28°= 数理极 (2)5136'= o; (3)4016'31”+3418'42"= 冬考点8：角的比较与运算 例9如图17，直线AB, E CD相交于点0，OE平分 ∠A0D.若∠E0D=55°，求C D 0 ∠BOD的度数 解：因为OE平分 B 图17 ∠AOD,∠E0D=55°，所以∠A0D=2∠E0D =110°.所以∠BOD=180°-∠A0D=70°. ●专项练习 21.如图18，下列各式中，不一定正确的是 ( A.∠BOD>∠COD B.∠AOC=∠1+∠2 C.∠1+∠2 ∠3 D.∠AOD-∠1>∠BOD-∠2 D D B M 图18 图19 22.如图19，已知射线OB,OM,ON在 ∠A0D内部，OM平分∠AOB,ON平分∠B0D. 若∠A0D=156°，∠D0N=48°，则∠A0M的 度数为 A.42° B.78° C.30 D.36° 23.如图20，已知∠A0B,用直尺和圆规作 一个角∠A'O'B,使得∠A'O'B′=∠AOB(不 写作法，保留作图痕迹) 0 B B 图20 图21 24.已知点0为直线AB上一点，将直角三 角板MON如图21放置，且直角顶点在点0处， 在∠MON内部作射线OC,且OC恰好平分 ∠MOB. (1)若∠C0N=20°，则∠A0M= (2)若∠BON=2∠NOC,求∠AOM的度数， 考点9：余角和补角 例10 已知一个角的余角是这个角的 2倍，那么这个角的补角是 解：设这个角的度数是x°，则这个角的余角 的度数是(90-x). 根据题意，得90-x=2x.解得x=30. 所以这个角的度数是30°.所以这个角的补 角的度数是：180°-30°=150°.故填150. ●专项练习 25.若∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，∠3 =110°，则∠1与∠2的度数分别为() A.50°，40° B.70°，20° C.50°，130° D.70°，110° 26.已知∠的余角是23.46°，∠B的补角 是11327'36”，则∠和∠B的大小关系是 (本章检测卷见第11~12版) 数理招 趣味数学 29 走进科学 闻一闻硬币的味道 在一只塑料盘子里摆放着几枚硬币.请把眼睛闭上， 趣闻金 让其他人取其中的一枚，握在手中几秒钟，然后再放回盘子里.当你睁 开眼睛后，可以立即知道他拿的是哪一枚硬币，办法很简单，请把各枚硬币分别 贴在嘴唇上！金属是优良的热导体，被拿起的硬币会很快吸收手上的热量由于 巴依的祖先 塑料不导热，所以硬币放回后也不会冷却.由于被拿起的硬币所吸收的热量会保 阿凡提家里穷得揭不开锅，他到巴依老爷 家去借粮食巴依老爷很有钱，但是十分吝啬， 持一定时间，所以比其他的硬币温度高.这种温度的差别，可以被十分敏 他才不愿意白白地将粮食借给阿凡提呢！他 感的嘴唇感受到做下次试验时，需等待所有硬币冷却 ㄧ要为难为难阿凡提 巴依老爷问阿凡提：“你知道我的父亲是 1干什么的吗？· 的伤口好了没有. 阿凡提说：“不知道” 母熊说：“噢， 吊水病了一件 滴水藏海 巴依老爷又问：“你知道我爷爷的职业 子，伤口愈合后我就忘了，不过你 说过的话，我一辈子也忘不了” 1么？ 语言的伤害 没错，真正伤害人心的不是刀 “不知道！”阿凡提回答 曾有人讲述过这么一 子，而是比刀子更厉害的东西一语言。 准备 I “啧啧”巴依老爷说：“阿凡提，你太不关心 个故事. 看完一场魔术后，有位观众问魔术师 你令邻居的家了你肯定也不知道我曾祖父的职 在茂密的山林里，一位樵夫救了一只小“您的成功是不是因为您有一对比别人更灵 熊，母熊对樵夫感激不尽有一天，樵夫迷路 巧更敏捷的手？”魔术师摊开双手：“你看我的 业，那真遗憾！” 借宿到熊窝，母熊便安排他住宿，还以丰盛的手空空如也”观众迷惑不解魔术师说：“我现 “是的，我的确不知道” 晚宴款待了他 在变不出珍珠，不过给我3分钟，我就能给你 “这样吧，我亲爱的阿凡提我很愿意借一 第二天一大早， 樵夫对母熊说：“你招待变出一颗珍珠”3分钟后，魔术师原来空空的 得很好，但我惟一不喜欢的地方就是你身上手，瞬间就变出了一颗珍珠. 〡些粮食给你，但你必须根据我给你的条件，猜 的那股臭味” 这位观众幡然醒悟：原来魔术的施展，必 母熊心里不乐，但嘴上说：“作为补偿，你定离不开准备，准备珍珠，就变出珍珠人生 !出我的祖先们都是干什么的.” 用斧头砍我的头吧”樵夫按要求做了. 亦然，也需要准备，准备种子，就收获果实；准 “好吧”阿凡提说 若千年后，樵夫又遇到態，问她头上 备努力，就收获成功；准备今天，就收获明天 巴依的父亲、祖父和曾祖父曾分别在甲、 乙、丙三个城中谋生，分别是铁匠、鞋匠和商人.I 现在知道，其父不在甲城，其祖父不在乙城，在「 甲城的不是铁匠，在乙城的是鞋匠，其祖父不 无花果到底有没有花 是商人 有的植物既开花又结果，如梨、杏、桃等；有的植物只开花不结果， 阿凡提想：巴依的父亲不在甲城，就是在 如碧桃、重瓣梅花等但是，有没有只结果而不开花的呢？ 乙城或丙城了；他的祖父不在乙城，就是在甲 有的人会想到无花果，其实无花果并不是不开花，而是它开的花很小，人的肉眼 城或丙城；在甲城的不是铁匠，那就是商人或 不易看清楚因为无花果的花是开在囊状的总花托里面.只要采一个无花果的果实，把 鞋匠了；在乙城的是鞋匠，那他的祖父不是鞋「 它切开，用显微镜仔细观察，就会看到里面有很多小凸起， 匠，又不是商人，一定是铁匠了，他不在甲城就！ 定在丙城，巴依的父亲一定在乙城做鞋匠， 这些小凸起就是无花果的花.这种花植物学上叫“隐头花 而他的曾祖父则一定是商人了. 序”无花果的花，雌、雄分开生长，它隐藏在总花托里，由 阿凡提说：“巴依老爷，我已经知道了您的1 种名为小山蜂的昆虫传粉这种小昆虫，肉眼不易看 父亲是鞋匠，祖父是铁匠，曾祖父是商人” 清，它在囊状总花托里面钻来钻去，把花粉带到雌 下又巴依目瞪口呆，不知道阿凡提是怎么推出ㄧ 花上，使之受精结果 来的 “见多识广16 (3)7a2b3-10a36. 14.-x2+x+1;15.8m-2n. 16.(1)A=(2x-3)+(3x+5)=2x-3+3x+ 5=5x+2. (2)①因为2A+B=5x+6,所以B=5x+6-2A =(5x+6)-2(5x+2)=5x+6-10x-4=-5x+2. ②因为A+B=(5x+2)+(-5x+2)=4,是不 含一次顶的整式；A-B=(5x+2)-(-5x+2)=10x, 是含有一次项的整式，所以A和B相加时不含一次项， 结果是4. 17.D;18.C. 19.(1)原式=-10ab. 当a=1,b=-2时，原式=20 (2)原式=-5x+} 当x=2y=-子时，原式=- 27 20.-x39;21.(-x)"+2y: 22.n2+4:23.B. 24.(38- 2m-6n). 25.(1)(2a+3b)-(a-b)=2a+3b-a+b= a+4b,所以该长方形停车场的宽为(a+4b)米. (2)2(a+4b)+(2a+3b)=2a+8b+2a+3b= 4a+11b,所以护栏的总长度为(4a+11b)米. (3)当a=30,b=10时，4a+11b=4×30+11 ×10=230,230×80=18400(元). 答：建该停车场所需的费用是18400元. 《整式及其加减》复习检测卷 题号 1 2 3 6 7 8 9 答案C B C A B D B 二、13.三，四，-x3+5x2+2x-21;14.8: 15号：16(3n+7). 三、17.(1)2x4-5;(2)a2. 18.(1)原式=10a2b-ab. 当a=-1,b=2时，原式=22. (2)原式=2x2-x+3. 当x=-乃时，原式=4 19.(1)因为N=4x2-5x-6,M-N=-7x2+10x +12,所以M=-7x2+10x+12+4x2-5x-6=-3x2 +5x+6.所以M+N=-3x2+5x+6+4x2-5x-6= x2. (2)2M-N=2(-3x2+5x+6)-(4x2-5x-6) =-10x2+15x+18. 当x=-2时，原式=-10×(-2)2+15×(-2) +18=-52 20.(1)(80-3y); (2)由图可知，阴影A的长为(80-3y)cm,宽为(x -2y)cm,所以周长为：2(80-3y+x-2y)=(2x-10y +160)cm; 阴影B的长为3ycm,宽为x-(80-3y)=(x+3y -80)cm,所以周长为：2(3y+x+3y-80)=(2x+12y -160)cm. (3)阴影A与阴影B的周长差为：(2x-10y+160) -(2x+12y-160)=(320-22y)cm. 因为其周长的差与x无关，所以阴影A与阴影B的 周长差不会随着x的变化而变化 21.（1)因为x2-3x=2,所以1+3x-x2=1-(x2 -3x)=1-2=-1. (2)因为xy+x=-1,y-xy=-2,所以 参考答案 ①x+y=(xy+x)+(y-xy)=-1+(-2)=-3. ②原式=2(x+22)-3[(-1)2-y]-3xy+2y =2x+8-3+3xy-3xy+2y=2(x+y)+5=2× (-3)+5=-1. 22.(1)若选择“滴滴快车”车型，车费为：10.7+ (8.4-3.2)×1.9+(19-9)×0.49=25.48(元). 因为25.48<29.98，所以从费用划算的角度考虑， 小华应该选择“滴滴快车”车型. (2)当3.2<m≤12时，车费为：10.7+1.9(m- 3.2)+0.49(t-9)=(1.9m+0.49t+0.21)元； 当m>12时，车费还需加收远途费：0.63(m-12) =(0.63m-7.56)元，所以车费为：(1.9m+0.49t+ 0.21)+(0.63m-7.56)=(2.53m+0.49t-7.35)元 《图形的初步认识》专项练习 1.C;2.10,24;3.C;4.C;5.C; 6.-4:7.4:8.B;9.B;10.A 11.图略 12.两点之间，线段最短； 13.C14.10:15.C. 16.图略. 17.(1)因为BM:AM=5:4,AB=27cm,所以BM =号4B=15cm,AM=号4B=12cm因为点N为线 段AM的中点，所以MN=子AM=6cm所以BN=BW MN 21 cm. (2)因为BM:AM=5:4,所以AM=4BM因为 5 BM=3EB,EB=t,所以BM=3t.所以AB=AM+BM BM+BM=3. 4 27 18.C:19.南偏东43°； 20.(1)56,16,48,(2)51.6,(3)7435'13": 21.C;22.C 23.图略 24.(1)40°； (2)因为OC平分∠M0B,所以∠MOC=∠B0C. 因为∠MOW=90°，所以∠MOC+∠NOC=∠B0C+ ∠NOC=90°，即∠BOW+2∠NOC=90°.又因为 ∠BOW=2∠NOC,所以4∠N0C=90°.解得∠NOC= 22.5°.所以∠B0N=45°.所以∠AOM=180°- ∠MON-∠B0N=45°. 25.B;26.∠a=∠B. 《图形的初步认识》复习检测卷 题号 1 2 3 8 1011 12 答案B C B A 二、13.125°；14.4；15.-6；16.5或23. 三、17.图略. 18.因为点0是线段AB的中点，OB=14cm,所以 AB=2OB=28cm.又因为AP:PB=5:2,所以PB= 号AB=8cm.所以0P=0B-PB=6cm 19.(1)因为∠B0D=70°，OD平分∠B0C,所以 ∠BOC=2∠B0D=140°.又因为∠A0F=30°，所以 ∠COF=180°-∠A0F-∠B0C=10°. (2)∠AOE与∠AOC互余.理由如下： 因为∠B0D=70°，OD平分∠BOC,所以∠COD =∠B0D=70°.因为∠C0F=10°，∠A0F=30°，所 以∠AOC=∠COF+∠AOF=40°，∠DOF=∠COD +∠COF=80°.因为OF平分∠DOE,所以∠EOF= ∠DOF=80°.所以∠AOE=∠E0F-∠AOF=50°. 数理极 所以∠AOE+∠AOC=90°，即∠AOE与∠AOC互余. 20.（1)70;(2)8;（3)答案不惟一，补图略 (2)∠D0E=∠A0C.理由如下： 因为∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°，所以 ∠BOC=180°-∠AOC.因为OE平分∠BOC,所以 ∠C0E=7∠B0C=2(180°-∠A0C)=90° 分∠A0C因为∠0D=90,所以∠D0E=∠C0D ∠C0E=90-(90°-3∠A0C)=7∠A0G (3)因为∠AOC=a,OE平分∠BOC,所以∠COE =7∠B0C=(180°-∠A00)=90-2a因为 ∠COD=90°，所以∠D0E=∠COD+∠C0E=90°+ 90- 2a=180-2 22.(1)8,4; (2)①根据题意，得AP=2tcm,BQ=tcm,则OQ OB +BO =(4+t)cm. 当点P在线段A0上时，OP=OA-AP=(8-2)cm 因为20P-0Q=4, 所以2(8-2)-(4+t)=4. 所以t= 8 当点P在线段AO的延长线上时，OP=AP-OA= 2t-8. 因为20P-0Q=4, 所以2(21-8)-(4+t)=4. 所以t=8. 综上所达，当1=号或：=8时，20p-0=4 ②因为0A=8cm,所以点P运动到点0时，1= 8 =4(s),此时P,Q两点间的距离为：4×1+4=8(cm). 当点P与点Q重合时，所需时间为：8÷(2-1)=8(s) 所以点M行驶的总路程是：3×8=24(cm). 《相交线和平行线》专项练习 1.B;2.18°；3.B. 4.因为∠AOC=68°，由对顶角相等，得∠BOD= ∠AOC=68°.因为OE平分∠B0D,所以∠DOE= 士∠B0D=34因为0F1CD,所以∠D0F=90e所 以∠EOF=∠DOF-∠DOE=56°. 5.BE,∠ACD和∠ACE;6.①②：7.B;8.C. 9.因为CD平分∠ECF,所以∠ECD=∠DCF因 为∠ACB=∠DCF,∠B=∠ACB,所以∠B=∠ECD. 所以AB∥CE. 10.30°；11.C. 12.图略. 13.由对顶角相等，得∠2=∠3.因为∠1=∠2， 所以∠1=∠3.所以BD∥CE.所以∠ABD=∠C.因 为∠C=∠D,所以∠D=∠ABD.所以DF∥AC.所以 ∠A=∠F 14.102°；15.A. 16.(1)因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°.因为 ∠ADG=35°，所以∠BDG=∠ADB-∠ADG=55°.又 因为∠C=55°，所以∠BDG=∠C.所以DG∥AC. (2)因为AD⊥BC,EF⊥BC,所以∠ADC= ∠EFC=90°.所以AD∥EF.所以∠FEC=∠DAC.因 为DG∥AC,所以∠ADG=∠DAC.所以∠FEC= ∠ADG.